GEOGEBRA 5 Ruimtemeetkunde in de tweede graad R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 1
1 GEOGEBRA 5 INSTALLEREN Surf naar www.geogebra.org Klik op download now en download de windowsversie of eventueel de mac-versie. Je kan nu GeoGebra ook opstarten vanuit een usb-stick. Klik daarom eerst onderaan op More GeoGebra downloads en kies dan bijvoorbeeld voor GeoGebra Portable for Windows. Open GeoGebra, klik op beeld en vink 3D tekenvenster aan. Je moet dan volgend scherm krijgen: GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 2
2 KEUZE VAN HET PERSPECTIEF Dit is een belangrijke balk: 1 2 3 4 5 6 De eerste 2 icoontjes spreken voor zich. Met het derde icoontje kan je het xoy-vlak al dan niet als vlak wat inkleuren. Met het vierde icoontje kan je altijd terugkeren naar het standaardscherm ook als je in- of uitgezoomd hebt. Met het vijfde icoontje kan je zoals in 2D punten al dan niet laten vasthechten aan roosterpunten. Met het zesde icoontje kan je het 3D-venster laten draaien / stoppen. Als je op het voorlaatste icoontje klikt dan kan je de box verbergen: Bij het laatste icoontje kan je het gepaste perspectief waaronder het Cavalièreperspectief kiezen: GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 3
3 COORDINAAT VAN EEN PUNT Open het 3D-tekenvenster. Klik op Nieuw punt en klik in het xoy-vlak. Ga nadien in de buurt van het punt staan. Je krijgt dan dit te zien:: Je kan nu het punt verschuiven in het xoy-vlak zelf. Als je nog eens klikt op de linkermuisknop krijg je dit: Nu kan je het punt naar boven of naar onder verschuiven (volgens de z-as dus). Door een combinatie van beide acties kan je een willekeurig punt in de ruimte vastleggen. Uiteraard kan je ook de coördinaat van een punt gewoon in het commandovenster intypen en het punt wordt getekend. Om een rechte door 2 punten te tekenen, teken je dus eerst de punten zelf op de manier die hierboven werd beschreven. GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 4
4 TEKENEN VAN RECHTEN EN VLAKKEN Teken 3 punten A, B en C willekeurig gelegen in de ruimte. Teken de rechte AB. Teken door C de evenwijdige aan AB. Zoals in GeoGebra 2D klik je bijvoorbeeld eerst op C en dan op de rechte AB. Teken het vlak dat bepaald wordt door deze 2 evenwijdige rechten. Gebruik hiervoor het passende icoontje op de werkbalk (kies voor vlak algemeen en klik op de 2 evenwijdige rechten). Teken de driehoek ABC. Teken een willekeurig punt D in de ruimte. Teken de rechte AD. Teken het vlak dat bepaald wordt door AB en AD. Laat alles ronddraaien. Versleep het punt D. Meet de hoek DAB (klik wel passend op de 3 punten, het tweede aangeklikte punt is uiteraard het hoekpunt). GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 5
5 TOEPASSINGEN OP DE STELLING VAN THALES EN PYTHAGORAS 5.1 TOEPASSING 1: eigenschap in een balk Teken in het 2D-tekenvenster een rechthoek. Deze rechthoek wordt ook zichtbaar in het 3D-tekenvenster. GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 6
Klik in het 3D-venster op het aangeduide icoontje en kies voor uitrekken naar prisma of cilinder. Teken de 2 driehoeken en de middens van de aangeduide zijden. Bereken de omtrekken van beide driehoeken. 5.2 TOEPASSING 4: Pythagoras in de ruimte Werk op schaal 1 : 10 Teken de balk met afmetingen 8 cm, 5 cm en 4 cm. Ga na of een stok van 10 cm in de balk kan. GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 7
6 ONDERLINGE LIGGING VAN 2 RECHTEN Teken 3 punten A, B en C en teken het vlak dat bepaald wordt door deze 3 punten. Teken een punt D niet gelegen in dit vlak. Ga na dat AB en CD elkaar kruisen door het assenstelsel te laten draaien. Je kan ook het snijpunt opvragen van AB en CD. Wat krijg je als antwoord? Laat het assenstelsel draaien zodat leerlingen goed kunnen zien dat de rechten elkaar kruisen. GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 8
We tekenen nu een kubus en duiden daar dragers van ribben aan die elkaar kruisen. Om een kubus te tekenen, gaan we als volgt te werk: Teken het punt A(6,0,0) Teken het punt B(6,6,0) Teken een kubus met ribbe 6 door het volgende commando in te geven in het invoervenster: kubus[a,b,zas]. Teken nu in het blauw 2 kruisende rechten (als dragers van ribben) op de kubus. Teken 2 snijdende rechten in het groen. Teken 2 evenwijdige rechten in het rood. Verberg alle getekende rechten en teken 2 ruimtediagonalen. Snijden deze elkaar? Om dit uit te maken kan je het snijpunt vragen van de 2 getekende lijnstukken door er op te klikken. Je kan ook in het invoervenster het commando S = snijpunten[, ] ingeven. GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 9
7 ONDERLINGE LIGGING VAN EEN RECHTE EN EEN VLAK Als de rechte a 2 of meer punten gemeen heeft met het vlak dan ligt ze volledig in dit vlak. Als de rechte geen enkel punt gemeen heeft met het vlak dan is ze evenwijdig met dit vlak. Als de rechte één punt gemeen heeft met het vlak dan snijdt ze het vlak. Opdracht 1 Teken een rechte en een vlak die elkaar snijden in een punt S. GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 10
Opdracht 2 Bepaal telkens het snijpunt van de rechte PQ met het gearceerde vlak: Dit kan op 2 manieren: Geef het commando snijpunten[ ] in via het invoervenster. Voer zelf een passende constructie uit. (teken door PQ een vlak dat loodrecht staat op het gearceerde vlak en zoek de snijlijn van dit aangebrachte vlak met het gearceerde vlak, in dit geval is dit FL) GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 11
8 ONDERLINGE LIGGING VAN 2 VLAKKEN Teken in het tekenvenster van 2D een rechthoek ABCD. Maak van deze rechthoek een balk door gebruik te maken van uitrekken van prisma of cilinder. Klik daarom op de getekende rechthoek in het 3D venster en trek hem naar boven. Teken nu 2 vlakken die elkaar snijden en bepaal de snijlijn met het snelicoontje. Teken nu 2 diagonaalvlakken in deze balk en zoek de snijlijn van deze 2 vlakken. Staan deze diagonaalvlakken loodrecht op elkaar? GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 12
9 EVENWIJDIGE STAND VAN RECHTEN EN VLAKKEN We illustreren de volgende eigenschap: Een rechte is evenwijdig met een vlak als ze evenwijdig is met een rechte van dat vlak. Teken 3 niet collineaire punten A, B en C. Teken het vlak bepaald door deze punten. Teken in dit vlak de rechte AB. Teken een punt D niet gelegen in dit vlak. Teken door D de evenwijdige aan AB. Ga nu na dat de rechte door D die evenwijdig loopt met AB, evenwijdig is aan het getekende vlak door het snijpunt op te vragen tussen de rechte en het vlak. Laat alles ook ronddraaien zodat het ook visueel duidelijk wordt dat deze rechte evenwijdig loopt met het getekende vlak. GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 13
10 DOORSNEDE VAN EEN KUBUS MET EEN VLAK Teken een kubus, teken eerst de punten A(6,0,0) en B(6,6,0) en geef nadien het commando kubus[a,b,zas] in. Teken het vlak bepaald door de 3 punten I, J en K en bepaal de doorsnede van de kubus met dit vlak. Gebruik hiervoor het icoontje voor doorsnede op de werkbalk. Klik nadien met de rechtermuisknop op de getekende veelhoek en kies voor Toon veelhoek1 bij 2D venster. GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 14
Je kan ook de doorsnede stap voor stap tekenen. Volg de volgende werkwijze (de punten hebben in deze tekening andere namen): GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 15
11 LOODRECHTE STAND VAN RECHTEN EN VLAKKEN 11.1 De loodlijn neerlaten uit een punt op een vlak Teken een vlak bepaald door 3 niet-collineaire punten Teken een punt P buiten het vlak gelegen Teken een loodlijn door P op α door gebruik te maken van het commando (invoeren via het commandovenster) Loodlijn[ <Punt>, <Vlak> ] 11.2 Het loodvlak tekenen uit een punt op een rechte Dit kan via een bestaand icoontje: 11.3 Eigenschappen 11.3.1 Eigenschap 1: loodlijnen op eenzelfde vlak zijn evenwijdig Ga dit na door eerst een vlak te tekenen door 3 punten. Teken nadien 2 punten die niet in dit vlak gelegen zijn en teken nadien de loodlijnen door die 2 punten op het getekende vlak. Laat de tekening draaien om te ervaren dat de getekende rechten evenwijdig lopen. In de derde graad kan er ook nagegaan worden dat de rechten richtingsvectoren hebben die evenredig zijn. 11.3.2 Eigenschap 2: loodvlakken op eenzelfde rechte zijn evenwijdig Teken een rechte Teken 2 punten niet op deze rechte gelegen Teken door het eerste en door het tweede punt telkens een loodvlak op de getekende rechte Laat de tekening draaien om te ervaren dat de getekende vlakken evenwijdig lopen. In de derde graad kan er nagegaan worden dat beide vlakken evenwijdig zijn door de normaalvectoren van beide vlakken op te vragen. GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 16
11.4 Loodrechte stand van 2 vlakken Teken 2 vlakken die loodrecht op elkaar staan. Denk aan de eigenschap: twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als het ene vlak een loodlijn op het andere vlak omvat. Teken dus een vlak bepaald door de punten A, B en C. Teken een punt P buiten dit vlak gelegen en teken nadien de loodlijn door dit punt op het vlak. Teken een punt D niet in het vlak gelegen. Teken de rechte PD. De loodlijn en de laatst getekende rechte bepalen een vlak dat loodrecht staat op het eerst getekende vlak. Laat de tekening draaien om te ervaren dat de getekende vlakken loodrecht op elkaar staan. In de derde graad kan er nagegaan worden dat beide vlakken loodrecht op elkaar staan door na te gaan dat het scalair product van de normaalvectoren van beide vlakken gelijk is aan nul. GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 17
INHOUD 1 GeoGebra 5 installeren... 2 2 Keuze van het perspectief... 3 3 Coordinaat van een punt... 4 4 Tekenen van rechten en vlakken... 5 5 TOEPASSINGEN OP DE STELLING VAN THALES EN PYTHAGORAS... 6 5.1 TOEPASSING 1: eigenschap in een balk... 6 5.2 TOEPASSING 4: Pythagoras in de ruimte... 7 6 Onderlinge ligging van 2 rechten... 8 7 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak... 10 8 Onderlinge ligging van 2 vlakken... 12 9 evenwijdige stand van rechten en vlakken... 13 10 Doorsnede van een kubus met een vlak... 14 11 Loodrechte stand van rechten en vlakken... 16 11.1 De loodlijn neerlaten uit een punt op een vlak... 16 11.2 Het loodvlak tekenen uit een punt op een rechte... 16 11.3 Eigenschappen... 16 11.3.1 Eigenschap 1: loodlijnen op eenzelfde vlak zijn evenwijdig... 16 11.3.2 Eigenschap 2: loodvlakken op eenzelfde rechte zijn evenwijdig... 16 11.4 Loodrechte stand van 2 vlakken... 17 GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 18
Eindelijk kan ik de ruimtemeetkunde van de tweede graad visualiseren GeoGebra in de tweede graad Roger Van Nieuwenhuyze 19