lazije 8 V-a Elke ominatie van aantallen ogen heeft een kans =. Bij K = horen 9 9 ominaties, us is P( K = ) = =. De omplete tael kleinste aantal ogen is: V-a Op vergelijkare manier als ij onereel a vin je ook e rest van e kansvereling: k P(K = k) 7 De ominaties van e ovenste tael, elk met kans, zijn ij e vorming van e kansvereling op een epaale manier vereel. De som van e kansen moet an natuurlijk = zijn. Controle: 7 9 7 + + + + + = + + + + + = = De kans op kop is voor elke munt gelijk aan. De kans op vier keer kop is an ( ) =. ( kkkm) = ( k) ( k) ( k) ( m) = ( ) = P P P P P Dit zijn = rijtjes. P( van e keer kop) = P( ) kkkm = V- Controle: P( ) V- P( B ) P( rrr) X = =( ) = = = = ( ) = ( ) = P( B ) P( rr). ; P( ) = X = = ( ) = 8 = = = ( ) = ( ) = P( B ) P( r) = = = ( ) = P( B ) P( ) = = = ( ) = 7 P(B = ) 8 7 X = = ( ) = ; P( ). lazije 9 V-a P( wrwrw ) = 8 7 77 =, 8 9 8 7 P( wwwrr ) = 8 7 77 =, 8, ezelfe uitkomst als ij a. 9 8 7 = ncr= =. Het aantal manieren waarop je in een rijtje van stuks plaatsen kunt aanwijzen om roe neer te leggen (en e rest aan te vullen met witte) is gelijk aan het aantal manieren waarop je kunt aanwijzen om e witte neer te leggen (en e rest aan te vullen met roe). Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v 8
V-a P( X = ) = P( rrwww), = 77 8 P( X = ) = P( rrrww) = 8 7, 97 9 8 7 8 7 De anere kansen: P( X = ) = P( wwwww) =, 8 7 P( X = ) = P( rwwww) =,, 9 8 7 P( X = ) = P( rrrrw) = 9 8, en 9 8 7 9 8 7, 9 8 P( X = ) = P( rrrrr) =,. 9 8 7 x P(X = x),,,8,97,, V-7a E( B ) = = 8 7 + + + = E( X ) =, +, +, 8 +, 97 +, +, =, V-8a Bij toepen zijn er 8= kaarten, waarvan tienen en 8 niet-tienen. De kans at er in het eerste stapeltje van vier kaarten geen enkele tien zit is P( K = ) =, 98. 8 7 Je moet eerst e verere kansvereling epalen. P( K = ) =,, 9 P( K = ) = 8 7 = 8 7, 7, 9 9 8 P( K = ) =,, P( K = ) =,. 9 9 Zoat E( K), 98 +, +, 7 +, +, =, 9999, lazije a Dit zijn = ncr = mogelijkheen. Dit is hetzelfe aantal als = ncr. Mogelijke einstanen met oelpunten zijn,,,,, en. Bij is er één mogelijkhei, ij zijn er = mogelijkheen, ij einstan zijn er =, ij zijn er =, ij zijn er = en ij zijn er = mogelijkheen. Tenslotte kan maar op één manier tot stan komen. a tegen voor Naar leien =, naar einstan leien = routes. Naar leien an + = routes. Er gelt us = +. 8 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v
a Een anere route van A naar D is niet het kortst. Door eze aantallen op te tellen. Alle kortste routes van A naar I gaan via C of H. Het aantal routes naar I is + =. De kortste routes van A naar K gaan via E of J. Dus het gevraage aantal routes is + =. Brei e aantallen in het iagram uit in e rihting van X stees oor e aantallen ehorene ij e voorgangers op te tellen. Hieroner zijn e roosterpunten omlijn waarvan het aantal kortste routes vanuit A in e opraht gegeven is. Zet nu ij S en F een omat ij zowel S als F maar één kortste route vanuit A hoort. S T U V W X M N O P Q R G H I J K L A B C D E F Bereken aarna e aantallen ehoren ij T eno, vervolgens ie horen iju, P, K en F, enzovoort. Bij X krijg je an kortste routes vanuit A. lazije a Het eerste getal in e ahtste rij is 8, it is het aantal manieren waarop 8 tot stan kan komen. Het tweee getal in e ahtste rij is 8, it het aantal manieren horen ij 7, enzovoort. Het viere getal in e rij hoort ij het aantal mogelijkheen at ij hoort. Je moet an het ere getal in e zevene rij heen. Dat is. Het vijfe getal in e ahtste rij hoort ij een einstan van. Hiervoor heen je e negene rij noig. Hierij horen ahtereenvolgens e getallen, 9,, 8,,, 8,, 9,. Bij hoort het zevene getal uit e negene rij, us 8. Bij 7hoort het ere getal, us. e Voor elk van e ahtereenvolgene oelpunten gelt at een oelpunt voor of tegen kan zijn gesoor. Dus zijn er = mogelijkheen. f Dezelfe reenering als ij opraht e. Als er n oelpunten zijn gemaakt, zijn er n mogelijke soreverlopen. Een maht van us. a route routes Bij akje C horen routes, ij akje D routes, ij E routes en tenslotte ij akje F route. Er zijn rijen pinnen en e aantallen ij e akjes A, B, C, D, E en F komen overeen met e e rij in e riehoek van Pasal. e Aht akjes horen ij een flipperkast met 7 rijen pinnen en ook ij e zevene rij in e riehoek van Pasal. Bij akjec, het ere akje, hoort het ere getal van e zevene rij. Het gevraage aantal routes is. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v 87
lazije a De kans op eze serie is PABABAB ( ) = ( ) = =,. ( )= = ( ) ( ) =, 8 en ook Nu is PABABAB PABBBAA ( )= ( ) ( ) = ( ) ( ) =,8. Dat kan op = manieren. Peinstan ( ), =, = ( ) ( ) = 8 78 7a niet zessen zessen Je egint linksoner. Als je een zes gooit ga je één stapje naar rehts, gooi je geen zes an ga je één stapje naar oven. Er zijn = uitkomsten mogelijk, als je alleen let op zes en niet-zes. Als N niet-zes etekent, an is e gevraage kans P( NNN) = ( ) ( ),. Ppreies ( keer een ) = ( ) ( ), 8. lazije 8a De kans op sues is omat het hier om vierkeuzevragen gaat. De kans op mislukking is an. 8 P( suessen) = P( ssssmmmm) 7 = ( ) ( 8 ), In geval van Kim etekent één fout at zijn vier van e vragen ie zij moet gokken goe heeft. Dus is P( suessen) = P ssssm = ( ( ) ),. Wouters kans op sues is. P( van e goe) = P( sssmm) = ( ) ( ),. e naam Saine Kim Wouter inomiaal vereele stohast Aantal op e gok goe eantwoore vragen parameters n = 8, p = n =, p = n =, p = 88 9a De kans op het trekken van een efete lamp is niet stees hetzelfe. Deze hangt namelijk af van wat eerer getrokken is. Pefet, ( goe)= 9 9 =, 7. 9 8 9 8 Als er met teuglegging wort getrokken wort ie kans gelijk aan 77 ( ),. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v
De steekproef is nogal klein ten opzihte van e populatie en ook ten opzihte van het aantal efete lampen in e populatie. PX ( = ) =( ), 7787 ; PX ( = ) = ( ) ( ), ; PX ( = ), 77 (zie opraht ); PX ( = ) =( ), x P(X = x),7787,,77, a X is het aantal keren at je munt gooit. De parameters van e ijehorene inomiale vereling zijn n=, p=. X is het aantal goe eantwoore vragen. De parameters van e ijehorene inomiale vereling zijn n=, p=. Nee, e kansen op een jongen veraneren stees en hangen af van wat er tussentijs is getrokken. X is ijvooreel het aantal roe knikkers at je trekt. De parameters van e ijehorene inomiale vereling zijn n=, p= =. lazije =( ) =( ) a P( X = ), 78 P( X = ), Laat g = genezen en n= niet genezen. De gevraage kans is P( ggnnnn) = ( ) ( ),. Het aantal volgoren is =. e P( X = ) = ( ) ( ). Er zijn = mogelijkheen, ie elk met kans us gelt: P( X = ) = ( ) ( ), ( ) ( ), a P( X = ) =, ( ) 7 P( X = ) =, ( ) Ook ij eze manier van oen is e kans om ij een westrij e toss te winnen. Dus is e gevraage kans gelijk aan ie ij opraht : PX ( = ),. a Per worp is e kans op een twee, us is p =. Het aantal worpen is, us n =. e PX ( = ) =, ( ) ( ) PX ( = ) = ( ncr ) ( ) ( ), PX ( = ) =, ( ) ( ) 8 en PX ( = ) =, ( ) ( ) PX ( = 7) = In vijf worpen lukt het niet om 7 tweeën te krijgen. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v 89
lazije a PX ( = ) = inompf( ;, ; ), en PX ( = ) = inompf( ;, ; ), 7 Voer iny= inomf( ;, ; X), geruik TABLE en sroll oor e ijehorene tael: a X is het aantal goe eantwoore vragen. Deze stohast is Bin( ;, ) vereel. PX ( = ) = inompf(;, ; ), 879, Voer iny= inompf( ;, ; X), geruik TABLE en je krijgt: x P(X = x),7,9,7,879,, a X is het aantal shuiven at weigert en eze stohast is Bin(; ) vereel. P( X = ) = inompf( ;, ; ),. Nu is X Bin(; ) vereel en P ( X = ) = inompf ( ;, ; ), 998 P( X = ) = inompf( ;, ; ), e Ja, aners is er geen sprake van een inomiale vereling. lazije 7a P( X ) = P( X = ) + P( X = ) + P( X = ) = inompf(; / ; ) + + inompf(; / ; ) + inompf( ; / ; ) 9, +, 9 +, 8, 9 P( X ) = P( X ) + P( X = ) + P( X = ), 9 + inompf(; / ; ) + +inompf(; / ; ), 9 +, +,, 9999 P( X ) = P( X = ) = inompf(; / ; ), 9 =, 98 8a P( X = ) = inompf( ;, ; ), ; P( X = ) = inompf( ;, ; ), 877 ; P( X = ) = inompf( ;, ; ), 8 ; P( X = ) = inompf( ;, ; ),. Controle: P( X ) = P( X = ) + P( X = ) + P( X = ) + P( X = ), +,877 +,8 +, =,779. Dit klopt us met e gegeven kans in e tael. Uit e tael lees je af P( X ), 98 en P( X ), 99. P( X ) P( X ), 98, 99 =, 8. Dit is gelijk aan P( X = ). Controle: P( X = ) = inompf( ;, ; ) =, 8 en het klopt. e P( X ) = P( X < ) = P( X ), 7. 9 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v
f Na afroning op eimalen zijn eze kansen wel even groot. De kans op hoogstens suessen is gelijk aan preies, omat het optreen van meer an suessen onmogelijk is. Aners gezeg, e uitrukking aantal suessen omvat alle mogelijkheen. 9a P( X ) = inomf( 8;, ; ), ; P( X ) = inomf( 8;, ; ), 9788; P( X 7) = inomf( 8;, ; 7), 78 ; P( X ) = P( X ) = inomf( 8;, ; ), Voer iny= inomf( 8; 8, ; X), geruik TABLE en je krijgt: Na afroning op eimalen krijg je e volgene umulatieve kansvereling: k PX ( k),,,,9,,,8 7,77 8, lazije 7 a X is inomiaal vereel met parameters n = en p = % =. Het gaat om e Bin(; )-vereling. P( X ) = P( X ) = inomf( ;, ; ), P( X 8) = P( X 8) P( X ) = inomf( ;, ; 8) inomf( ;, ; ), 89, 789, 78 a P( X ) = inomf( ;, 7; ), P( X ) = P( X ) = inomf( ; 7, ; ), 8 P( 7 < X < ) = P( X ) P( X 7) = inomf( ; 7, ; ) inomf( ; 7, ; 7), 889 P( 9 X ) = P( X ) P( X 8) = inomf( ; 7, ; ) inomf( ; 7, ; 8), e P( X > 8) = P( X 8) = inomf( ; 7.; 8), f P( 7 X < ) = P( X ) P( X ) = inomf( ; 7, ; ) inomf( ; 7, ; ), g P( X < ) = P( X ) = inomf( ;, 7; ), 9 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v 9
a Laat X zijn het aantal jongens at wort georen, an is eze stohast Bin(; ) vereel. P( meer jongens an meisjes) = P( X ) = P( X ) = inomf( ;,; ), 9 P( X ) = P( X ) = inomf( ;,; ), 77 Deze kans is gewoon weer gelijk aan. De omstanighei at er eerst 9 jongens zijn georen heeft geen invloe. a De groenteman trekt zoner teruglegging, us shommelt e kans op een zure sinaasappel een klein eetje en is stees een eetje afhankelijk wat hij aarvoor heeft getrokken. Gelijke kansen zijn voorwaare voor een inomiaal toevalsexperiment. Dus is X niet preies inomiaal vereel. Omat e steekproefgrootte () klein is ten opzihte van e populatiegrootte () en ook ten opzihte van e hoeveelhei zure sinaasappels () maakt het niet zoveel vershil of je met of zoner teruglegging trekt en mag e kansvereling van X enaer woren oor een Bin(; ) vereling. De parameters zijn us n = en p =. P( X < ) = P( X ) = inomf( ;, ; ), 78 P( X > ) = P( X ) = inomf( ;, ; ), 9 lazije 8 a X is Bin(; ) vereel en P ( X = ) = inompf (;, ; ),. Door Y= inompf( ;, ; X) in te voeren in je rekenmahine vin je met TA- BLE e kansvereling. x P(X = x),77,9,8,,, E( X), 77 +, 9 +, 8 +, +, +, =, 9999 % is op e. In agen kun je ekeuring verwahten. e % van is. Hij kan us parkeeronnen verwahten. a Bij e eerste keer trekken wort er een hartenkaart getrokken of er wort een anere kaart getrokken. Het aantal hartenkaarten is us of. De kans op een hartenkaart is stees =. E( X ) = P( X = ) + P( X = ) = P( X = ) = Voor ijvooreel X gelen e eigenshappen als voor X : X is het aantal hartenkaarten ij e tweee keer trekken en kan ook alleen e waare en heen. Ver- er is ook weer E( X ) = P( X = ) + P( X = ) = P( X = ) =. Enzovoort. E( X) = E( X ) + E( X ) + E( X ) + E( X ) + E( X ) + E( X ) = = a P( X = 9) = inompf( ;, ; 9), E( X) = n p =, = 7, P( X < E( X)) = P( X < 7, ) = P( X 7) = inomf( ;, ; 7), 88 7a 9 Veronerstel at % van e fietsen in Neerlan is voorzien van terugtrapremmen. Als X het aantal fietsers in e steekproef is ie geruik maken van terugtrapremmen, an is eze stohast Bin(;,)-vereel en is E( X) = n p =, = 8. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v
De meererhei eient zih van hanremmen. Dit komt overeen met e minerhei eient zih van terugtrapremmen, us X <. De kans aarop is P( X < ) = P( X 9) = inomf( ;, ; 9), 7. lazije 9 8a Deze kans is gelijk aan 9. X is het aantal reaties oor e leugenetetor. Deze stohast is Bin(;,)-vereel. De gevraage kans is P( X ) = P( X = ) = inompf( ;, ; ), 77 E( X) = n p =, =, In het geval van een shulige verahte is X Bin(;,9)-vereel en is E( X) = n p = 9, =, 8. 9a Laat X het aantal te lihte pakken zijn in een oos, an is eze stohast Bin(;,)-vereel en is P( X = ) = inompf( ;, ; ), 778. E( X) = n p =, =, De kans at een oos wort afgekeur is PX ( ) = -, 778 =, 7. Laat Y het aantal afgekeure ozen zijn, an is eze stohast Bin(; 7)-vereel. De verwahting is an E( Y) = n p =, 7., a De steekproef is klein ten opzihte van e populatie van alle wiskuneleraren. Dus is steekproeftrekken zoner teruglegging te enaeren oor steekproeftrekken met terugleggen. Als e minister gelijk heeft, is het aantal oenten in e steekproef at tegen verplihtstellen is, Bin(;,)-vereel en is E( X) = n p =, = 7,. Als e minister gelijk heeft an is PX ( 8) = PX ( 7) = inomf( ;, ; 7), 8. Aht tegenstaners op e is % in e steekproef en evestigt het stanpunt van e minister. e PX ( a) = P( X a ). Voer in je rekenmahine in Y= inomf( ;, ; X ). Via TABLE krijg je: Pas ij a = en meer tegenstaners in e steekproef (minstens % van e steekproef) start e vakon een grootshalig onerzoek. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v 9
lazije a Er vallen prijzen op loten. Als je één lot koopt is e kans op een prijs De kansvereling van e prijs ie Janneke krijgt is: prijs e e e P(prijs),97,, =,. De verwahting is 97, +, +, = 8,. Laat X het aantal prijzen zijn at Janneke wint. Dan is X Bin(;,)-vereel en PX ( = ) = inompf (;, ; ), 8. Elke prijs is groter an e aanshafprijs van een lot. De kans op winst is us gelijk aan e kans op minstens één prijs. P( X ) = P( X = ) = inompf(;, ; ),. a a e Laat L het aantal linkshanigen in e klas zijn (ie us rehterhanshoenen noig heen), an is L Bin(;,)-vereel. Te weinig rehterhanshoenen etekent te veel linkshanigen, us meer an. De gevraage kans is P( L> ) = P( L ) = inomf( ;, ; ),. De omplementaire geeurtenis is at er preies genoeg hanshoenen van e juiste soort zijn, us L =. De kans is an P( L ) = P( L= ) = inompf( ;, ; ), 78. De kans op een tekort voor een klas met leerlingen is,78. Laat X het aantal klassen zijn waarij sprake is van een tekort, an is X Bin(8;,78)-vereel. Het verwahte aantal klassen waarij een tekort optreet is EX ( ) = n p= 8, 78 7., In een klas van ahttien leerlingen zijn er altij genoeg hanshoenen voor e rehtshanigen. Er is een tekort aan hanshoenen voor linkshanigen als L >. In eze situatie is L Bin(8;,)-vereel. De gevraage kans is P( L> ) = P( L ) = inomf( 8;, ; ),. Er zijn 8 = ominaties mogelijk van getallen uit t/m. De kans at Tim e jakpot wint is,. De kans at een epaal ieman van e miljoen eelnemers e jakpot niet wint is. De kans at nieman van eze miljoen eelnemers e jakpot wint is an. De kans at e jakpot wel valt is an, 8,. Laat X het aantal keren zijn at e jakpot in eze twintig weken valt, an is X Bin(;,)-vereel. Dan is P( X ) = P( X ) = inomf( ;, ; ),. Laat Y het aantal keren zijn at e jakpot in weken valt, an is Y Bin(;,)-vereel en PX ( = ) = inompf ( ;, ; ), 8,. Nee, toeval heeft geen geheugen. De kans at e jakpot eze week valt is nog stees,. 9 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v
lazije a Hoeveel enveloppen moet ik verzamelen (zeg n) opat mijn kans op een aeauon minstens 9% eraagt? Een aeauon ontvang ik als ik minimaal waareonnen in eze enveloppen aantref. Het gaat er us om e n te epalen waarvoor gelt PX ( ), 9. Als je e linker- en rehterkant van e ongelijkhei van aftrekt en het ongelijkteken omraait an krijg je PX ( ), 9. Omat PX ( ) = PX ( ) komt at us neer op PX ( ),. Voer in je GRY= inomf( X;, ; ). Je vint via TABLE: Het enoige aantal enveloppen is n = of meer. Je moet minstens = esteen. a De tael met opshrift Totaalresultaat kun je aarvoor geruiken. Van e geënquêteeren antwooren er met riemaal A. De shatting van e kans at een willekeurig ieman riemaal A zou antwooren is,. In e tael Resultaat per vraag is af te lezen at van e geënquêteeren op vraag antwoor A gaven. De kans op antwoor A op vraag zal us ongeveer, zijn. De kans op A ij vraag is an ongeveer,9. Hij verwaht at % van e mensen in e nieuwe steekproef een voorkeur voor prout A heen, mensen us. Laat X het aantal mensen in e steekproef zijn met voorkeur voor prout A, an is -als e farikant gelijk heeft- X Bin(;,)-vereel. Meer an e helft etekent X >. En meer an 8% etekent X > 8. De gevraage kansen zijn: P( X > ) = P( X ) = inomf( ;, ; ), 979 en P( X > 8) = P( X 8) = inomf( ;, ; 8),. lazije I-a In at geval is p =. Het einpunt van route ABBABA is hieroner voorzien van een aangeikte stip. ears START amirals Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v 9
Volgens e tael zou e kans op AAAAAA gelijk zijn aan,. Controle oor erekening: P( AAAAAA) =, =,. Wat in e tael ston klopt us. e Deze geeurtenissen heen ezelfe kans als geeurtenis AAAAAA. P( AAABBB) = P( ABABAB) =, =, f Dit zijn = manieren. g De kans op einstan - is, =,. h Lees af: P( AAAAAA) =,. Controle: P( AAAAAA) =, =, q =, START p =, aantal suessen formules p q p q p q p q p q p q p q waare,,8,8,78,,8, totaal, Nu is P( AAABBB) = P( ABABAB) =,, =, 8, het aantal mogelijkheen waarop - tot stan kan komen is nog stees en us is e kans op e einstan - gelijk aan, 8 =, 78, welk getal ook in e kanstael hieroven is te vinen. I-a Stel het roosteriagram in op stappen en e kans op sues (een zes) op,7 ( ). In e kanstael lees je at it aantal is. Je leest af at eze kans gelijk is aan,7. lazije I-a De sueskans is,. Het gaat immers op vierkeuzevragen. P( X = ) =,,,, 8 7 7 7, 8 Controle: In e kanstael ij het roosteriagram vin je voor ie kans,8. De kans op een fout antwoor is,7. Je moet het roosteriagram nu ovenien instellen op vijf stappen. Je leest af at e kans op één fout gelijk is aan,. e Bij Wouter hoort een sueskans,. Het aantal stappen lijft. De kans op goee antwooren is nu,. f Saine: het aantal goee antwooren is Bin(8;,)-vereel. Kim: het aantal foutieve antwooren is Bin(;,7)-vereel. Wouter: het aantal goee antwooren is Bin(; )-vereel. 9 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v
I-a De kans op een efet lampje is ij it soort steekproeftrekken niet stees hetzelfe en is afhankelijk van wat er al getrokken is. Laat X het aantal efete lampjes zijn. P( X = ) =, 9 7. De 9 8 overeenkomstige kans ij steekproeftrekken met teruglegging is te epalen via het roosteriagram. Neem als aantal stappen en als sueskans = 8,. Deze kans is,7. De steekproef is vrij klein ten opzihte van e populatie en ook ten opzihte van het aantal efete lampjes in e populatie. aantal suessen formules waare p q,7789 p q, START p =,8 p q,7 p q, totaal, q =,9 x P(X = x),7789,,7, I-a Stohast X is het aantal munt ij keer tossen; n=, p=. Stohast X is ijvooreel het aantal fout eantwoore vragen in e gehele toets; n=, p= 7,. Hierij hoort niet een inomiale vereling, zelfs niet als enaering. Reen: Er wort zoner teruglegging getrokken en e steekproef is helemaal niet zo klein ten opzihte van e populatie. lazije T-a Dat zijn = mogelijkheen. Je moet op een voor e han liggen roosteriagram stapjes naar rehts en naar oven. Het aantal mogelijkheen is =. Je moet in een ijehoren roosteriagram stapjes naar rehts en naar oven. Het aantal mogelijkheen is =. Je eantwoort van e vragen goe. Het aantal mogelijkheen is =. T-a, Het punt hoort ij e helft van jaren geen lessures. geen lessure wel lessure Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v 97
De gevraage kans is 8,,,. De kans at je in twee van e zes jaren wel een lessure oploopt is 8 7,,, en e kans at je in preies in twee van e zes jaren niet een lessure oploopt is 8,,,. T-a Deze kans is 7 9 7,,,. X is het aantal efete eeluizen in een proutie van tien stuks. Bijehorene inomiale kansvereling heeft parameters n=, p=,. De inompf-funtie zou je nog niet mogen geruiken omat eze opgave ij paragraaf. hoort. Wel mogelijk is het om een tael te maken via e invoering van Y= ( ncr X)*, ^ X*, 9^( X). De tael ie je krijgt: x P(X = x),87,87,97,7,,, 7, 8, 9,, P( X = ) klopt met het antwoor ij opraht a. T-a Het is hier hanig om Y= inomf( ; / ; X) in te voeren en e antwooren van e oprahten via TABLE op te zoeken. a P( Y 8), 7 P( Y < ) = P( Y ), P( Y ) = P( Y ), 99 =, P( < Y ) = P( Y ) P( Y ), 99, 9 = 88, e P( Y > ) = P( Y ), 8 =, 78 f P( 9 Y < ) = P( Y ) P( Y 8), 8, 7 = 8, lazije 7 T-a Hier is n=, p=,, us E( X) = n p =, =. Preies een zes krijg je als je 8 antwooren fout zijn, us goe. P( X = ) = inompf( ;, ; ), 8 Minstens een zes halen etekent hoogstens 8 foute antwooren en us minstens goee antwooren. P( X ) = P( X ) = inomf( ;, ; ), 9 Dit antwoor is us nauwelijks groter an ij onereel. De kans per leerling op een of hoger is,9. Laat Y het aantal leerlingen zijn ie een of hoger krijgen, an is Y Bin(;,9)-vereel en is EY ( ), 9,. Naar verwahting waarshijnlijk nieman. 98 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v
e f Het is nu haniger om naar het aantal fout eantwoore vragen over te shakelen. Laat Z het aantal fout eantwoore vragen zijn, an is eze stohast hier Bin(;,7)-vereel, EZ ( ) = 7, =,. Per fout eantwoore vraag gaat er een half punt af, us is e verwahting van het ijfer, =, 7. In het geval van Juith is X Bin(;,)-vereel. En us is P( X ) = P( X ) = inomf( ;, ; ), 7. T-a De kans op een even aantal ogen en at Tom een punt krijgt, is per worp gelijk aan =. Laat T het aantal punten van Tom zijn, an is na worpen T Bin(; )-vereel en is P( T = 8) = inompf( ;, ; 8), 8. Bij eze manier van verelen krijgt Tom twee keer zoveel als Harry, us Tom e,- en Harry e,-. Wil Tom winnen, an moet hij via e resterene worpen nog minimaal punten krijgen. Laat X het aantal punten zijn at Tom in e laatste worpen haalt, an is X Bin(; )-vereel en P( Tom wint) = P( X ) = P( X ) = inomf( ;, ; ), 8 en us is e kans at Harry alsnog wint gelijk aan,8 =,. De vereling van e pot naar evenreighei van e kansen op winst levert voor Tom op, 8 =e,- en voor Harry e,-. De vereling naar evenreighei van e kansen lijkt het meest eerlijk. Nog eerlijker is het om het spel gewoon uit te spelen. T-7a Omat e steekproefgrootte hier zeer klein is ten opzihte van e populatiegrootte is F, het aantal fietsers in e steekproef, ij enaering inomiaal vereel met parameters n = en (als Ar gelijk heeft) p =, 7. Dus is, opnieuw volgens Ar, E( F ) = 7, =. Gert meent at p =,. Bij ie veronerstelling is P( 8 F ) = P( F ) P( F 7) =. inomf( ;, ; ) inomf( ;, ; 7), 8. Als Ar gelijk heeft is p = 7,. Gert krijgt gelijk als F <. Bijehorene kans is ij Ars veronerstelling gelijk aan P( F < ) = P( F ) = inomf( ;, 7; ), 9. Nu ga je uit van het gelijk van Gert, us p =,. De kans at Ar gelijk krijgt is P( F ) = P( F ) = inomf( ;, ; ),. T-8a Als je let op het (in e steekproef) voorkomen van knikkers van een speiale soort (ijvooreel knikkers met een epaale kleur) en als tegelijkertij het herhaal trekken met terugleggen geeurt. Als e steekproefgrootte erg klein is ten opzihte van e populatie maakt het voor e kansen op een speiaal soort knikkers niet zoveel uit of er met of zoner teruglegging wort getrokken en is het aantal speiale knikkers in e steekproef op zijn minst ij enaering inomiaal vereel. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v 99