BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor ra > 1/2. y 2 y=ax 2 A1 1.5 A2 1 0.5 x 2 +y 2-2ry=0 1 0.5 0 0.5 y 1 De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. Antwoord: A 1 = A 2 = Antwoord: A 1 = ( 1 a ) 2ra 1, 2ra 1 a ; A2 = ( 1 a ) 2ra 1, 2ra 1 a
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 2/10 We lossen het stelsel { x 2 + y 2 2ry =0 y = ax 2 op. Substitutie van de tweede vergelijking in de eerste levert: x 2 + a 2 x 4 2rax 2 =0 en x = ± 1 a 1 2ra + a 2 x 2 =0 2ra 1 ; y = 2ra 1 a
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 3/10 Bepaal de oppervlakte S van het eindig gebied begrensd door de parabool en de rechte die A 1 en A 2 verbindt. Antwoord: S = Antwoord: S = 4 3a 2 (2ra 1) 3/2 en dus is 1 a 2ra 1 ( ) 2ra 1 S/2 = ax 2 dx 0 a = 1 [ ax 3 a (2ra 2 1)3/2 3 = 1 a 2 (2ra 1)3/2 (1 1 3 ) ] 1 a 2ra 1 0 S = 4 (2ra 1)3/2 3a2 Voor welke waarde van a (voor een vaste r) iss het grootst? Bepaal die grootste oppervlakte S max als functie van r. Antwoord: a = S max =
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 4/10 Antwoord: a =2/r ; S max = 3r 2 We kunnen net zo goed T =9S 2 /16 = (2ra 1)3 a 4 maximaliseren. Afleiden naar a geeft dt da = 4 a (2ra 5 1)3 + 6r (2ra 1)2 a4 = 2(2ra 1)2 (3ra 4ra +2) a 5 = 2(2ra 1)2 (2 ra) a 5 Een stationair punt wordt bereikt voor a = 2/r. Uit meetkundige overwegingen (of door een tekenbespreking van de afgeleide te maken) zien we dat dit noodzakelijk een maximum moet zijn. De maximale oppervlakte is dan S max = 3r 2
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 5/10 2. De gemiddelde waarde µ van een continue functie f : [a, b] R over het interval [a, b] wordt gegeven door de formule µ = 1 b a b a f(x)dx We beschouwen nu een elektrische stroom I die afhangt van de tijd t als volgt: I(t) = 2 sin(120πt) Bereken de gemiddelde waarde µ 1 van het kwadraat van de stroom over het interval [ 1/60, 1/60]. Antwoord: µ 1 = Antwoord: µ 1 =1 1/60 µ 1 =30 2sin 2 (120πt)dt 1/60 Substitutie: u = 120πt, du = 120πdt. µ 1 = 1 2π sin 2 udu 2π 2π = 1 2π (sin 2 u +cos 2 u)du =1 4π 2π
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 6/10 Bereken de gemiddelde waarde µ 2 van de absolute waarde van de stroom over het interval [ 1/60, 1/60]. Antwoord: µ 2 = Antwoord: µ 2 = 2 2 π We gebruiken dezelfde substitutie als in het eerste deel. µ 2 = 30 = 60 = = = 1/60 1/60 1/60 0 2π 2 sin(120πt) dt 2 sin(120πt) dt 1 π sin u du 2 0 2 π π sin udu 2 0 2 π 2 [ cos u]π 0 = 2 2 π
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 7/10 3. Een persoon P bevindt zich op een afstand x van een muur waaraan een reclamepaneel hangt. Het paneel is 1 meter hoog, en de onderkant van het paneel bevindt zich op 3,5 meter boven de grond. P ziet het reclamebord, vanop een ooghoogte van 1,5 meter, onder een hoek a, en het gedeelte van de muur onder het bord onder een hoek a 2 + a 3. Alle hoeken worden positief beschouwd. 4 bord 3 a 2 x a 1 a2 P a 3 1 0 Bepaal tg a 3 als functie van x. Antwoord: tg a 3 = Antwoord: tg a 3 =1.5/x
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 8/10 Bepaal tg a in functie van x, en stel deze uitdrukking gelijk aan T (x). Antwoord: T (x) = Antwoord: T (x) =tga = x/(x 2 +6) T (x) =tga = tg(a 1 a 2 ) = tg (a 1) tg (a 2 ) 1+tg(a 1 )tg (a 2 ) x = x 2 +6 Bereken x zodat P het reclamebord ziet onder een maximale hoek a. Antwoord: x =
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 9/10 Antwoord: x max = 6 Om T (x) te maximaliseren leiden we T af naar x, en berekenen de nulpunten van T. T (x) = x2 +6 x(2x) = 6 x2 (x 2 +6) 2 (x 2 +6) 2 Het relevante nulpunt van T is x max = 6.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 10/10 4. De figuur toont de grafiek van een reële functie f gedefinieerd als: ( ) x 2 + ax + b f(x) =Bgsin, cx 2 + d met a, b, c, d R. De grafiek heeft een horizontale asymptoot met vergelijking y = π/6, snijdt de x-as in de punten (1, 0) en ( 2, 0) en de y-as in (0, π/2). 1 0.5 0 y-as -0.5-1 -1.5-2 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 x-as Bepaal a, b, c en d. Antwoord: a = b = c = d = Antwoord: a =1 ; b = 2 ; c =2 ; d =2
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 11/10 Omdat de grafiek een horizontale asymptoot heeft met vergelijking y = π/6: lim x ± f(x) =Bgsin1 c = π 6 zodat 1 c =sinπ 6 = 1 2 en c =2. Omdat de grafiek de x-as snijdt in P (1, 0) en Q( 2, 0): 0= 1+a + b c + d zodat { a + b = 1 2a b =4 waaruit a =1enb = 2. Omdat de grafiek de y-as snijdt in R(0, π/2): en d = b =2. = 4 2a + b 4c + d Bgsin b d = π 2 en b d =sin π 2 = 1
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 12/10 Heeft de grafiek van f nog andere asymptoten? Zo ja, met welke vergelijking? Antwoord: Antwoord: nee f zou alleen nog een verticale asymptoot kunnen hebben, maar dit kan niet, omdat Bgsin x [π/2,π/2], voor elke x R. Bepaal de definitieverzameling D (domein, bestaansgebied) van f. Antwoord: D =
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 13/10 Antwoord: D = R\] 1/3, 0[ x D 1 x2 + x 2 1 2x 2 +2 Dit is in feite een stelsel ongelijkheden. We lossen de twee ongelijkheden achtereenvolgens op. x 2 + x 2 1 x2 + x 4 0 2x 2 +2 2x 2 +2 De noemer is positief, en de teller is negatief, voor elke waarde van x R, zodat deze ongelijkheid steeds geldt. 1 x2 + x 2 3x2 + x 2x 2 +2 2x 2 +2 0 De noemer is steeds positief, zodat deze ongelijkheid equivalent is met 3x 2 + x 0 en deze ongelijkheid geldt als en alleen als x R\] 1/3, 0[.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 14/10 5. We bekijken de parabolen C 1 en C 2 met vergelijking C 1 : y = x 2 + x +4 C 2 : x = y 2 y +3 10 y C1 8 6 4 P 1 C 2 2 4 2 2 4 x 2 P 2 4 We nemen een punt P 1 =(x 1,y 1 ) gelegen op de parabool C 1. Bepaal, in functie van x 1, P 2 =(x 2,y 2 )opc 2 zodat de raaklijn in P 1 aan C 1 loodrecht staat op de raaklijn in P 2 aan C 2. Antwoord: x 2 = y 2 =
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 15/10 Antwoord: x 2 = x 2 1 x 1 +3 y 2 = x 1 De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in P 1 is 2x 1 + 1. richtingscoëfficiënt van de raaklijn in P 2 is 1/( 2y 2 1). Het produkt van de twee richtingscoëfficiënten moet 1 zijn, en dus 2x 1 +1=2y 2 +1 en y 2 = x 1. Hieruit volgt onmiddellijk dat x 2 = x 2 1 x 1 +3. Bestaan er (één of meer) waarden van x 1 waarvoor het lijnstuk P 1 P 2 verticaal is? Zo ja, bereken ze. Antwoord: Aantal = Waarde(n): x 1 = SUCCES! Antwoord: Ja, er zijn er twee: x 1 =1enx 1 = 3 Om verticaal te zijn moeten de x-coördinaten van P 1 en P 2 gelijk zijn. Dus: x 1 = x 2 = y 2, waaruit x 1 = x 2 1 x 1 + 3. Hieruit x 1 = 1 ± 2.