1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2 2. ax 2 + c = 0 (Herleid tot x 2 = getal) Voorbeeld 2: 3x 2 6 = 0 3x 2 = 6 x 2 = 2 x = 2 x = - 2 1

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 3. ax 2 + bx + c = 0 (Linkerlid ontbinden in factoren) Voorbeeld 3: x 2 6x 7 = 0 (x + 1)(x 7) = 0 x = -1 x = 7 4. ax 2 + bx + c = 0 (Linkerlid niet te ontbinden, dan ABC-formule) Voorbeeld 4: 2x 2 5x 7 = 0 D = b 2 4ac = (-5) 2 4 2-7 = 81 b D b D x x 2a 2a 5 81 5 81 x x 2 2 2 2 1 x 3 x 1 2 2

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Let op: 1. Algebraïsch oplossen betekent, dat je een vergelijking stap voor stap oplost en dit opschrijft. Dus niet alleen een antwoord; 2. Exact berekenen betekent, dat je in het antwoord een breuk en/of wortel laat staan en dit niet afrondt; 3. Bij de ABC-formule volgt uit de discriminant D het aantal oplossingen: D < 0 => geen oplossingen; D = 0 => één oplossing; D > 0 => twee oplossingen. Voorbeeld 5: (x + 4) 2 = 14 [Gebruik x + 4 = p] p 2 = 14 p = 14 p = - 14 [Geef de oplossing weer in x = ] x + 4 = 14 x + 4 = - 14 x = 14 4 x = - 14-4 3

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [2] Voorbeeld: In de vergelijking: x 2 6x + p = 0 is de letter p een parameter. Deze parameter kan elke mogelijke waarde hebben. Wanneer p gelijk is aan 7 wordt de vergelijking: x 2 6x + 7 = 0 Oplossen van de vergelijking x 2 6x + p = 0 geeft: x 2 6x + p = 0 D = b 2 4ac = (-6) 2 4 1 p = 36 4p Er zijn twee oplossingen bij D > 0: 36 4p > 0-4p > -36 p < 9 Er is één oplossing bij D = 0: 36 4p = 0 p = 9 Er is geen oplossing bij D < 0: 36 4p < 0 p > 9 4

1.2 Hogeregraads- en modulusvergelijkingen [1] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen als p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing als p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen als p < 0; Het bovenstaande geldt bij elke even exponent. 5

1.2 Hogeregraads- en modulusvergelijkingen [1] De functie x 3 = p heeft altijd één oplossing; Het bovenstaande geldt bij elke oneven exponent. 6

1.2 Hogeregraads- en modulusvergelijkingen [1] Voorbeeld 1: x 2 = 9 x = 9 x = - 9 x = 3 x = -3 Voorbeeld 2: x 4 = -81 Geen oplossingen. Voorbeeld 3: x 3 = 27 x = 3 27 = 3 Voorbeeld 4: x 3 = -27 3 x = 27 = -3 Let op: Wortels die mooi uitkomen, moet je altijd herleiden. 7

1.2 Hogeregraads- en modulusvergelijkingen [1] Voorbeeld 5: 6x 6 + 20 = 92 6x 6 = 72 [Alle losse getallen naar rechts] [Zorg dat er geen getal meer voor de x staat] x 6 = 12 6 x = 12 x = - 6 12 8

1.2 Hogeregraads- en modulusvergelijkingen [2] Voorbeeld 1: Haal x, x 2, x 3, buiten de haakjes x 3 3x 2 + 2x = 0 x(x 2 3x + 2) = 0 x(x 1)(x 2) = 0 x = 0 x = 1 x = 2 Voorbeeld 2: Ontbinden in factoren met substitutie x 4 3x 2 + 2 = 0 [Neem x 2 = p] p 2 3p + 2 = 0 (p 1)(p 2) = 0 p = 1 p = 2 x 2 = 1 x 2 = 2 [Schrijf oplossing als x =...] x = 1 x = -1 x = 2 x = - 2 9

1.2 Hogeregraads- en modulusvergelijkingen [2] Voorbeeld 3: Oplossen met de ABC-formule met behulp van substitutie: 2x 4 13x 2 + 20 = 0 [Neem x 2 = p] 2p 2 13p + 20 = 0 D = (-13) 2 4 2 20 = 9 13 3 1 13 3 p 2 p 4 4 2 4 2 1 2 x 2 x 4 2 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 2 2 [Schrijf oplossing als x = ] 10

1.2 Hogeregraads- en modulusvergelijkingen [3] Het getal 6 heeft op een getallenlijn een afstand 6 tot het getal 0. Het getal -6 heeft op een getallenlijn een afstand 6 tot het getal 0. Modulus of absolute waarde = de afstand van een getal op de getallenlijn tot nul. Let op: Een afstand is altijd positief; De notatie voor modulus of absolute waarde is Voorbeeld 1: x = 4 [Vindt getallen op de getallenlijn met een afstand 4 tot 0] x = 4 of x = -4 Voorbeeld 2: 2x + 6 = 5 2x + 6 = 5 of 2x + 6 = -5 2x = -1 of 2x = -11 x = -½ of x = -5½ 11

1.3 Wortel- en gebroken vergelijkingen [1] Voorbeeld 1: 5x 9 3 5x 9 9 5x 18 3 x 3 5 Voorbeeld 2: x x 12 x 12 x x (12 x) x 144 24x x x 2 25x 144 0 ( x 9)( x 16) 0 x 9 x 16 o. k. k. n. 2 2 [Kwadrateren om wortel weg te werken] [Controleren altijd of de oplossing klopt!!!]] [Zorg dat links enkel nog de wortelterm staat] [Kwadrateren om wortel weg te werken] [Controleer altijd of de oplossing klopt!!!] 12

1.3 Wortel- en gebroken vergelijkingen [2] Voorbeeld: 5 2 x x x p p 2 2 2 p 2 p 2 0 ( p 1)( p 2) 0 p 1 p 2 2 2 x x x x 1 2 [Neem x 2 x = x 2 x ½ = x 2½ = p, dan x 5 = p 2 ] [Controleer altijd de oplossingen!!!] x 2 x = -1 heeft geen oplossing want x 2 > 0 en x > 0, dus x 2 x > 0 x 2 x = 2 x 5 = 4 x = 5 4 [Links en rechts kwadrateren] Grafische rekenmachine (GR): 5 4 => 5 MATH 5: ENTER 4 ENTER 13

1.3 Wortel- en gebroken vergelijkingen [3] Voorbeeld 1: x 7 x x 2 x 6 ( x 7)( x 6) x( x 2) 2 2 x 6x 7x 42 x 2x 2 2 x 13x 42 x 2x 15x 42 2 x 2 15 [Kruislings vermenigvuldigen] [Let op x = 2 en x = -6 mogen niet als oplossing want dan heb je een noemer die 0 is.] Algemeen: A C AD BC B D 14

1.3 Wortel- en gebroken vergelijkingen [3] Voorbeeld 2: x 7 0 x 2 x 7 0 x 7 Algemeen: Voorbeeld 3: 2x 7 x 6 x 3 x 3 2x 7 x 6 x 13 Algemeen: A 0 A 0 B A C A C B B [Oplossen door teller = 0 op te lossen] [Bij gelijke noemers, tellers aan elkaar gelijkstellen] 15

1.3 Wortel- en gebroken vergelijkingen [3] Voorbeeld 4: x 5 x 5 2x 6 x 7 x 5 0 2x 6 x 7 x 5 x 13 Algemeen: A A A 0 B C B C 16

1.4 Stelsels vergelijkingen [1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je twee punten op deze lijn weet, kun je de grafiek van deze vergelijking tekenen. Punt 1: Neem x = 0 => y = 8, dus het punt (0, 8) ligt op de lijn; Punt 2: Neem y = 0 => x = 2, dus het punt (2, 0) ligt op de lijn. Algemeen: Een lineaire vergelijking met de variabelen x en y wordt geschreven als: ax + by = c De bijbehorende grafiek is een rechte lijn. 17

1.4 Stelsels vergelijkingen [1] Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van de lijnen l:y = 2x + 3 en m: y = -2x + 5 y = 2x + 3 wordt -2x + y = 3 y = -2x + 5 wordt 2x + y = 5 2x y 3 2x y 5 2y 8 y 4 Invullen van y = 4 in één van de twee vergelijkingen geeft: x = ½, dus (½, 4) is het snijpunt. 18

1.4 Stelsels vergelijkingen [1] Voorbeeld 2: Bereken het snijpunt van de lijnen l:y = 2x + 3 en m: y = -2x + 5 y = 2x + 3 wordt -2x + y = 3 y = -2x + 5 wordt 2x + y = 5 2x y 3 2x y 5 4x 2 1 x 2 Invullen van x = ½ in één van de twee vergelijkingen geeft: y = 4, dus (½, 4) is het snijpunt. 19

1.4 Stelsels vergelijkingen [1] Voorbeeld 3: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 x3 3x 2 y 6 x2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar wegvallen 6x 3 y 9 6x 4 y 12 7 y 21 y 3 Invullen van y = 3 geeft x = 0, dus (0, 3) is het snijpunt. 20

1.4 Stelsels vergelijkingen [2] Voorbeeld : De punten (1,5) en (2,14) liggen op de grafiek van y = ax 2 + bx Bereken de waarden van a en b. Stap 1: Vul de twee punten in de grafiek in: 5 = a 1 2 + b 1 => 5 = a + b 14 = a 2 2 + b 2=> 14 = 4a + 2b Stap 2: Los het gevonden stelsel van vergelijkingen op: a b 5 x2 4a 2b 14 x1 2a 2b 10 4a 2b 14 2a 4 a 2 21

1.4 Stelsels vergelijkingen [2] Voorbeeld : De punten (1,5) en (2,14) liggen op de grafiek van y = ax 2 + bx Bereken de waarden van a en b. Stap 3: Vul de gevonden waarde van a in één van de beide vergelijkingen in: 5 = a + b 5 = 2 + b b = 3 Hieruit volgt: y = 2x 2 + 3 22

1.4 Stelsels vergelijkingen [3] Voorbeeld : Los algebraïsch op: y = x 2 + 4 9x + 3y = 6 Er is nu een stelsel van vergelijkingen met een kwadratische vergelijking. Er is nu een oplossing te vinden door de ene vergelijking in de andere vergelijking in te vullen (substitutie). 9x + 3y = 6 9x + 3(x 2 + 4) = 6 9x + 3x 2 + 12 = 6 3x 2 + 9x + 6 =0 x 2 + 3x + 2 = 0 (x + 2)(x + 1) = 0 x = -2 x = -1 Invullen van x = -2 geeft y = 8, dus (-2, 8) is een oplossing; Invullen van x = -1 geeft y =5, dus (-1, 5) is een oplossing. 23

1.5 Grafisch-numeriek oplossen [1] Herhaling: Algebraisch oplossen = Los de vergelijking stap voor stap op. De oplossingen moeten soms afgerond worden; Exact oplossen = Los de vergelijking stap voor stap op. De oplossingen mag niet afgerond worden; Los op, bereken de oplossingen = De vergelijking mag nu met de GR opgelost worden. De oplossing mag afgerond worden. Voorbeeld 1: Los de vergelijking: x 4 5x 3 + 5x 2 + 5x 6 = 0 op. Stap 1: Vul de functie in, in de GR: Y= Y1 = x^4 5X^3 + 5X^2 + 5X 6 24

1.5 Grafisch-numeriek oplossen [1] Stap 2: Stel het venster van de GR in: WINDOW Xmin = -10 Ymin = -10 Xmax = 10 Ymax = 10 Stap 3: Teken de grafiek met de GR: GRAPH Stap 4: Bepaal de nulpunten van de functie: 2ND TRACE 2:ZERO ENTER 25

1.5 Grafisch-numeriek oplossen [1] Op het scherm verschijnt Left Bound? Zet het knipperende kruisje links van een snijpunt met de x-as en druk op ENTER; Op het scherm verschijnt Right Bound? Zet het knipperende kruisje rechts van hetzelfde snijpunt met de x-as en druk op ENTER; Op het scherm verschijnt Guess? Drukken op ENTER geeft de uitkomst x = -1. Dit nog drie keer herhalen geeft de overige uitkomsten x = 1 en x = 2 en x = 3 26

1.5 Grafisch-numeriek oplossen [1] Voorbeeld 2: Los de vergelijking: 0.5x 3 2x 2 4x + 8 = -0.5x 3 + 2x 2 8 Stap 1: Vul de functies in, in de GR: Y= Y1 = 0.5X^3 2X^2 4X + 8 Y= Y2 = -0.5X^3 + 2X^2 8 Let op: De toets met de min aan de rechterkant gebruik je voor een min in een berekening; De toets met (-) onder de drie gebruik je voor een min, die voor een getal staat, maar niet in een berekening. Stap 2: Teken de grafiek met de GR: GRAPH 27

1.5 Grafisch-numeriek oplossen [1] Voorbeeld 2: Los de vergelijking: 0.5x 3 2x 2 4x + 8 = -0.5x 3 + 2x 2 8 Stap 3: Bepaal de snijpunten van de functies: 2ND TRACE 5:INTERSECT ENTER Op het scherm verschijnt First Curve? Controleer of het knipperende kruisje op grafiek Y1 staat en druk op ENTER; Op het scherm verschijnt Second Curve? Controleer of het knipperende kruisje op grafiek Y2 staat en druk op ENTER. 28

1.5 Grafisch-numeriek oplossen [1] Voorbeeld 2: Los de vergelijking: 0.5x 3 2x 2 4x + 8 = -0.5x 3 + 2x 2 8 Stap 3: Op het scherm verschijnt Guess? Druk op ENTER en het snijpunt (-2,4) verschijnt. Let op: De GR rekent het snijpunt uit waar het knipperende kruisje het dichtste bij is. De snijpunten (2, -4) en (4, -8) volgen door het knipperende kruisje hier in de buurt te zetten en de voorgaande stappen opnieuw te doen. 29

1.5 Grafisch-numeriek oplossen [2] Voorbeeld: Los de ongelijkheid: x 2 > -8x + 5 op. Stap 1: Plot de beide grafieken in de GR: Y= Y1 = X^2 Y2 = -8X + 5 Stap 2: Bereken met behulp van INTERSECT de Snijpunten x = -8,58 en x = 0,58 Stap 3: Lees het antwoord af m.b.v. de GR: x > 0,58 of x < - 8,58 Let op: Neem Ymax = 80 om het linkersnijpunt te vinden. 30

1.5 Grafisch-numeriek oplossen [3] Voorbeeld: Bereken voor welke p de vergelijking x 2 + px 2p = 0 twee oplossingen heeft. Er zijn twee oplossingen als de discriminant D > 0 is. D = b 2 4ac = p 2 4 1-2p = p 2 + 8p Oplossen van de vergelijking D = 0 geeft: p 2 + 8p = 0 p(p + 8) = 0 p = 0 p = -8 Via een plot van de discriminant D vind je de oplossingen p < -8 en p > 0 31

1 Samenvatting Vergelijkingen oplossen: ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes); ax 2 + c = 0 (Herleid tot x 2 = getal); ax 2 + bx + c = 0 (Ontbinden in factoren of ABC-formule). Algebraisch oplossen: Los de vergelijking stap voor stap op. De oplossingen moeten soms afgerond worden; Exact oplossen: Los de vergelijking stap voor stap op. De oplossingen mag niet afgerond worden; Los op, bereken de oplossingen, grafisch-numeriek oplossen: De vergelijking mag nu met de GR opgelost worden. De oplossing mag afgerond worden. De functie x 2 = p heeft twee oplossingen als p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing als p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen als p < 0; Het bovenstaande geldt bij elke even exponent. De functie x 3 = p heeft altijd één oplossing; Het bovenstaande geldt bij elke oneven exponent. 32

1 Samenvatting Oplossen hogeregraadsvergelijkingen: Haal x, x 2, x 3, buiten de haakjes; Ontbinden in factoren met substitutie (x 4 + x 2 + 3 = 0 => p 2 + p +3 = 0 met p = x 2 ); Oplossen met de ABC-formule met behulp van substitutie. Modulusvergelijkingen: Modulus of absolute waarde = de afstand van een getal op de getallenlijn tot nul. Een afstand is altijd positief; De notatie voor modulus of absolute waarde is ; x 3 = 6 x 3 = 6 x 3 = -6. Wortelvergelijkingen: Ga pas kwadrateren als er links enkel nog maar een wortelterm staat!!! Controleer aan het einde altijd de oplossingen; Maak eventueel van substitutie gebruik (x 5 + x 2 x + 3 = 0 => p 2 + p +3 = 0 met p = x 2 x. 33

1 Samenvatting Gebroken vergelijkingen: A C A AD BC 0 A 0 B D B A C A A A C A 0 B C B B B C De lineaire vergelijking ax + by = c is een vergelijking met twee variabelen. Stelsels van vergelijkingen: Tel de lineaire vergelijkingen bij elkaar op zodat een van de variabelen wegvalt; Maak bij niet lineaire vergelijkingen gebruik van substititutie. Grafische Rekenmachine: (via 2ND TRACE) VALUE = bepaal de waarde van een functie voor een gegeven X; ZEROS = bepaal het snijpunt van een functie met de x-as; MINIMUM = bepaal het minimum van een functie; MAXIMUM = bepaal het maximum van een functie; INTERSECT = bepaal het snijpunt van twee functies. 34