Wat is Differentiëren? 1 Wat is differentiëren? Wisnet-HBO update maart. 2010 Differentiëren is eigenlijk het differentiaalquotient bepalen. Je begint met het delen van uiterst kleine verschillen op elkaar. 1.1 Wat wordt er dan op elkaar gedeeld? Je deelt de toename van de functie ( ) door een toename van de variabele ( ). Je kijkt dus hoeveel de functie toeneemt als je de variabele iets laat toenemen. Soms neemt de functie niet toe maar juist af als je de variabele laat toenemen. De verhouding is dan negatief. Deze verhouding heet het differentiequotiënt of ook wel het Newtonquotiënt genoemd. 1.2 Hoe groot moeten die stukjes zijn die je op elkaar deelt? (Newtonquotiënt) Deze stukjes moeten eigenlijk helemaal niet groot zijn maar juist uiterst klein. Als ze héél klein worden, noemt men dat niet meer en maar dy en dx. We bepalen tenslotte de verhouding als de toename van de variabele (dx) nadert tot 0.
In de figuur hierboven is het startpunt. Vervolgens neem je een waarde (de toename van x (dx) is dan 0.2). Hierover is in Wisnet ook een Maplet te vinden: (Newtonquotient). 1.3 Wat is de toename van de functiewaarde? Daarvoor moet je het functievoorschrift kennen. Zie voorbeeld hieronder. 1.4 Voorbeeld Neem de functie De grafiek daarvan is een parabool..
Neem nu het startpunt het punt op de parabool dus stel de variabele x gelijk aan 1, de functiewaarde is dan 3. Laat nu de variabele vanaf iets toenemen (bijvoorbeeld met 0.2) en kijk hoe de functiewaarde toeneemt in dat interval. Bereken dus én. De toename van de functiewaarde is dus 0.24. Het NewtonQuotiënt of ook wel het Differentiequotiënt is dan =. De lijn door de twee punten van de parabool gaat over in de raaklijn aan de parabool als de stukjes dy en dx heel erg klein genomen worden. 1.4.1 uitrekenen
3 3.24 1.20000000 Zie ook het Maplet Newtonquotiënt. 1.5 Richtingscoëfficiënt en afgeleide De richtingscoëfficiënt van de lijn die door het startpunt getrokken is, is eigenlijk de tangens van de hoek die deze lijn maakt met de horizontale as. De tangens van de hoek is altijd rechthoekszijde. Hier is dat dus. Het bepalen van de afgeleide van een functie komt dus overeen met het bepalen van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie in een bepaald punt. Zie ook het applet Definitie van de afgeleide in Wisnet. 1.6 Script van de figuur 1.7 De raaklijn in een punt aan de grafiek Als de toename dx héél klein wordt, dan nadert de snijlijn tot de raaklijn aan de grafiek in het startpunt. Wat wordt dan het differentiaalquotiënt? (Newton Quotiënt) Het differentiaalquotient is het differentiequotënt (of ) waarbij de toename van x (dx) nadert tot 0. Hier wordt genomen: startpunt is. Daartoe gaan we de limiet bepalen van het differentiequotiënt waarbij dx nadert tot 0.
1.8 Berekening van de raaklijn met de limiet Laat de toename van de functie en de toename van de variabele heel klein worden en neem het startpunt. Nu het functievoorschrift bekend is, kan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn bepaald worden. Wat je nu eigenlijk gedaan hebt is de richtingscoëfficiënt bepalen van de raaklijn. 1.8.1 aanwijzing voor het berekenen van de limiet Vul dit in het functievoorschrift in: 1.8.1.1 aanwijzing Voor vul je in (= 3). en voor vul je in:
= haakjes wegwerken: herleiden Teller en noemer delen door dx zolang dx nog niet gelijk is aan 0. Als je nu dx naar 0 laat naderen, komt er 1 uit. De raaklijn heeft dus richtingscoëfficiënt gelijk aan 1. Verder gaat de raaklijn door het startpunt. Dan moet je de vergelijking van de raaklijn kunnen opstellen en deze is dan. Als je niet weet hoe dat moet is er bij onderdeel Standaardfuncties bij de rechte lijnen wel een lesje daarover. 1.8.2 aanwijzing voor het maken van vergelijking van de rechte lijn Een lijn met richtingscoëfficiënt 1 die gaat door het punt kan gemakkelijk bepaald worden met de regels voor grafiekmanipulatie: Maak eerst een lijn door O met richtingscoëfficiënt 1. Lijn door O met rc = 1 is de lijn Nu deze lijn verschuiven naar het startpunt 3 omhoog.) (Dat is 1 naar rechts en Lijn door is de lijn Dit komt op hetzelfde neer als de lijn. 1.8.3 Maken van de raaklijn met Maple Voer eerst de functie in met de pijltjesnotatie. Tekening:
De invoer kun je naar eigen inzicht veranderen. Neem bijvoorbeeld een zelfbedachte functie en een zelfbedacht startpunt. 2 De afgeleide functie De afgeleide functie in een algemeen punt kun je bepalen door de limiet te nemen van de verhouding van toename van de functie en dat is dus en de toename van de variabele (dx) waarbij de toename van de variabele nadert tot 0. In de grafiek komt dit neer op het bepalen van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een willekeurig punt. Met de computer wordt de limiet berekend van de verhouding van de toename van de functie en de toename van de variabele. Als antwoord komt de afgeleide functie (de gedifferentiëerde functie) voorgesteld door wat hetzelfde is als.
3 Notatie-afspraken Voor de afgeleide van een functie f naar x noteren we wel vaak als f ' (f-accent). We bedoelen dan dat we de functie f naar x differentiëren. Als we naar t differentiëren, korten we vaak af met een stip: functie naar t te noteren. Een paar andere manieren om de afgeleide naar x of naar t te noteren: Notatie van de afgeleide Differentiëren naar x f ' Differentiëren naar t om de afgeleide van een Dit zijn allemaal notaties om de afgeleide functie aan te geven naar x of naar t. 3.1 voorbeeld De afgeleide van de functie weergegeven: naar x gedifferentiëerd wordt als volgt In de praktijk komt het differentiëren naar de tijd t ook vaak voor. We spreken dan niet van f-accent maar van fluxie-f of ook wel f-stip. Het accent achter de f wordt dan vervangen door een stip boven de functie f. Zijn er meer letters in het spel, dan is het belangrijk om te vermelden waarnaar gedifferentiëerd wordt. Als je bijvoorbeeld naar x differentiëert, dan worden eventuele andere letters in de functie als constante verondersteld. Men gebruikt dan niet een rechte d om te differentiëren maar de notatie is dan als volgt met een zogenoemde "kromme d".
betekent dat gedifferentiëerd moet worden naar x waarbij c constant verondersteld wordt. 3.2 voorbeeld De afgeleide van de functie wordt als volgt genoteerd: De kromme d staat hier omdat er meer letters in de formule voorkomen. Bij differentiëren naar x worden de andere grootheden (L, en q) constant verondersteld.