UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2009 2010 Financiële stabiliteit en bijziendheid van economische agenten: een simulatie Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de algemene economie Daan Depaepe onder leiding van Prof. Koen Schoors
"
UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2009 2010 Financiële stabiliteit en bijziendheid van economische agenten: een simulatie Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de algemene economie Daan Depaepe onder leiding van Prof. Koen Schoors #
PERMISSION Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/of gereproduceerd worden, mits bronvermelding. Daan Depaepe $
Woord vooraf Ik wil eerst en vooral een bedanking geven aan mijn promotor, prof. Koen Schoors, voor de hulp en het advies bij het tot stand komen van deze masterproef. Daarnaast wil ik ook mijn moeder bedanken om de tekst na te lezen. Ook nog een bedankje aan Jonas, Kenneth, Annelien en Marian om mij op reis niet te veel lastig te vallen toen ik mijn masterproef aan het afwerken was. %
"#$%&'$()*+, "#$%&'&#()))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))* +&,-,.%/0123&-)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))* 42'%$0%.5.13%-6.&7-))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) 58 9%,:$.-.%#))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) 5; <2#6$:,&%))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) 5* =%/>&?#&#(%#02'%$0%.5.13%-6.&7-))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) 5@ AB&.-(%#.%#)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) 5@ '()*+,-,(. /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 01 A#'2(%#% -6.:-$ ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) ;C '()*+,-,(. /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// "& A#'2(%%#0-D%# -6.:-$E-$.%/#-.&%> ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) F@ Resultaten ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// #2 <2#6$:,&%))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) GF 42'%$0%.;.13%,-6.&7-))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) GG 9%,:$.-.%#))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) GH <2#6$:,&%))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) C* I$(%0%#%<2#6$:,&%)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) C@ J&K$&2(/->&% )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) *8 &
"-,.&.")/ Uit de financiële crisis van 2007-2009 en ook uit vorige crisissen blijkt dat het financiële systeem gekenmerkt wordt door schokken op regelmatige tijdstippen. Deze crisissen komen grotendeels op dezelfde manier tot stand. Een stijging van de prijs van de activa wordt gevoed door een expansie van de kredietverlening. Hierdoor ontstaat een algemeen gevoel van overoptimisme dat leidt tot de verlaging van de risicostandaarden. Na een macro-economische schok die een initiële correctie veroorzaakt ontstaat meestal, als gevolg van psychologische effecten, een sterke daling van de activaprijzen (Vander Vennet, 2009). De focus van deze masterproef is gericht op de evolutie van de risicostandaarden en de mogelijke gevolgen die deze kunnen hebben op het ontstaan van financiële crisissen. Disaster myopia In traditionele financiële modellen wordt uitgegaan van een rationele economische agent. In de praktijk blijkt deze veronderstelling echter niet volledig op te gaan. Om hieraan een antwoord te bieden is 'behavioural finance' ontstaan. In deze modellen wordt ervan uitgegaan dat de economische agenten niet volledig rationeel zijn; ze proberen deze irrationaliteit te beschrijven en te modelleren (Barberis & Thaler, 2002). Een aantal van deze theorieën behandelt de bijziendheid of 'myopia' van economische agenten. Zo zullen managers zich myopisch of bijziend gedragen in het nemen van beslissingen om zo te proberen de aandeelmarkt te misleiden en de aandelenprijzen de hoogte in te duwen (Stein, 1989). Ook blijken irrationele economische agenten onderhevig aan 'myopic loss aversion': ze hebben een grotere gevoeligheid voor verliezen dan voor winst (Thaler, Tversky, Kahneman, Schwartz, 1997). Het model dat hieronder beschreven wordt, is grotendeels gebaseerd op de theorie van 'disaster myopia', die er van uitgaat dat economische agenten bij het inschatten van risico s aan bijziendheid lijden. Bij het inschatten van weinig voorkomende, zeer ernstige gebeurtenissen zijn economische agenten niet in staat hier op een rationele manier mee om te gaan (Herring, 1999). Uit onderzoek blijkt dat het gedrag van de agenten gekarakteriseerd wordt door twee heuristieken, namelijk de 'Availability' heuristiek en de 'Threshold' heuristiek (Herring, 1999). 'De Availability' heuristiek beschrijft dat bij het schatten van probabiliteit mensen zich gemakkelijker de gebeurtenissen herinneren in het nabije verleden dan in het verre verleden (Tversky & Kahneman, 1973). Op een bepaald punt zal - volgens de 'Threshold' heuristiek - de subjectieve kans op een gebeurtenis zelfs op 0 vallen (Simon, 1978). Dit leidt tot de hypothese 3
van 'disaster myopia': naarmate de tijd vordert zal de ingeschatte kans op weinig voorkomende gebeurtenissen (crisissen, rampen) steeds kleiner worden en zelfs op 0 vallen, ondanks het feit dat de werkelijke kans dezelfde blijft. Als gevolg van onzekerheid en bijziendheid worden economische agenten gedreven tot een foute inschatting van de kansen op een ramp, en dus tot het nemen van steeds grotere risico s. Figure 1 Disaster Myopia (Herring, 1999) 1 Daarnaast worden economische agenten ook gekenmerkt door zogenaamd 'kuddegedrag'. De agenten hebben de incentive om aan activiteiten deel te nemen die ervoor zorgen dat hun risicopositie hoog correleert met de andere agenten (Ergungor & Thomson, 2005). Een bijkomend gevolg is dat steeds meer agenten hetzelfde risicovolle gedrag gaan vertonen. Dit is een gevolg van het feit dat rationele, voorzichtige agenten - die wel de juiste risicopremies aanrekenen dreigen klanten te verliezen en mogelijk uit de markt weggeconcurreerd zullen worden, waardoor ze gedwongen worden om ook meer risico s te nemen (Guttentag, 1984). Dit leidt tot een zelfversterkend proces dat algemeen resulteert in het nemen van steeds grotere risico s. 2
Om het tot stand komen en de implicaties van 'disaster myopia' te simuleren, is er nood aan een formeel model. De basis van het hieronder beschreven model is gebaseerd op het werk van De Langhe en Greiff, 2009. Hierin beschrijven en simuleren de auteurs een 'onzichtbare hand'-model dat de distributie van arbeid in de wetenschap beschrijft. In het model worden N agenten ingedeeld in J concurrerende clusters. De keuze tot welke cluster een agent behoort, wordt enerzijds bepaald door de persoonlijke voorkeur en anderzijds door de invloed van de andere agenten (De Langhe & Greiff, 2009). Dit model wordt als basis genomen voor het beschrijven van myopia en kuddegedrag van economische agenten. In het eerste deel wordt een model beschreven waarbij er maar één type activa voorkomt en waarbij verondersteld wordt dat alle agenten myopisch zijn. Daarna wordt dit uitgebreid tot een model met twee types van activa waarbij zowel myopische als rationele agenten voorkomen. 1
0$&,-/1,2/3/24(,/*52.+*/ In een eerste fase wordt een model beschreven waarin er slechts één type activa bestaat, die een bepaalde risicopositie inhoudt. Er wordt ook verondersteld dat alle economische agenten myopisch, en dus niet rationeel, zijn. We gaan uit van een populatie van N (myopische) economische agenten. De populatie wordt als homogeen beschouwd, er wordt dus geen onderscheid gemaakt tussen de verschillende agenten. Beschouw daarnaast J clusters. Elke cluster n stelt een groep van 'risicoinschattingen' voor. Met 'risico-inschatting' wordt de inschatting door een economisch agent op de probabiliteit van het voorkomen van een ramp ('disaster') bedoeld. Er bestaan dus J dergelijke clusters ( 0, 1... J-1 ). De economische agent zal bij het nemen van een beslissing telkens één risico-inschatting maken, behorend tot één cluster. Stel dat n (t) de cluster is waaraan agent n op tijdstip t de voorkeur geeft. In elke tijdstap maakt de agent een nieuwe inschatting. Er wordt ook verondersteld dat hoe lager de index is van n, hoe lager de inschatting van de probabiliteit is. 0 stelt dan de cluster voor waarbij de ingeschatte kans op een ramp gelijk is aan 0. Zoals vermeld, leiden de economische agenten aan bijziendheid of 'disaster myopia' (Herring, 1999). De inschattingen van de probabiliteit op een ramp die door de economische agenten gemaakt worden, zullen niet overeenkomen met de werkelijke probabiliteit. De werkelijke probabiliteit op een ramp wordt voorgesteld als actual en deze wordt om te beginnen verondersteld constant te zijn. Bij latere verfijningen van het model zal actual een endogene variabele worden. De ingeschatte, subjectieve probabiliteit n (t) is zoals hier boven vermeld niet constant in de tijd. Daarnaast worden ook n,event en threshold gedefinieerd. n,event is de probabiliteit op een ramp die agent n inschat, juist nadat een ramp voorgevallen is ( n,event wordt op voorhand gekozen uit een verdeling rond een exogene variabele event ). In het model wordt er vanuit gegaan dat er juist voor tijdstip t = 0 een ramp heeft plaatsgevonden. Met andere woorden n (0) = n,event. threshold is de grens waaronder - volgens de 'Threshold' heuristiek (Simon, 1978) - de ingeschatte subjectieve probabiliteit op een ramp op 0 valt. Er wordt verondersteld dat deze constant is en identiek voor alle agenten. Ten slotte wordt na elke tijdstap een random trekking gedaan op het effectief voor komen van een ramp met kans actual. 04
De agent zal een persoonlijke voorkeur p n (t) = (p 0n (t), p 1n (t)... p J-1n (t)) hebben voor een bepaalde cluster, en deze voorkeur zal onderhevig zijn aan 'disaster myopia'. Dit wordt gemodelleerd als een binaire vector waarbij p jn (t) gelijk is aan 1 voor de cluster die de voorkeur geniet en gelijk is aan 0 voor alle andere clusters. De cluster die de voorkeur geniet wordt als volgt gevonden: n = n (t-1) a n als n (t-1) > threshold = 0 als n (t-1) <= threshold Hierbij stelt de parameter a n de mate van 'bijziendheid' of 'myopia' voor. a n wordt gedefineerd als een positief getal; met andere woorden wordt er dus verondersteld dat de ingeschatte probabiliteit op een ramp dalend is naarmate de tijd vordert. Er wordt vanuit gegaan dat elke agent een verschillende graad van bijziendheid heeft. Elke agent heeft dus een parameter a n, die de persoonlijke graad van bijziendheid voorstelt. Deze parameter a n wordt in het model willekeurig gekozen uit een normale verdeling in het begin van de simulatie, en blijft constant voor de agent doorheen de tijd. Zoals hierboven vermeld wordt er vanuit gegaan dat er zich juist voor tijdstip t=0 een ramp heeft voorgedaan, dus dat n (0) = n,event. Bij het inschatten van de probabiliteit laat agent n zich ook beïnvloeden door de risicoinschattingen van andere agenten (Guttentag, 1984). Dit wordt voorgesteld door een vector E(t) = (E 0 (t), E 1 (t)... E J-1 (t)), waarbij het j-de element het aantal agenten voorstelt dat de strategie j volgt. Deze vector wordt dan genormaliseerd naar waarden tussen 0 en 1, en voorgesteld door Ê(t). De uiteindelijke voorkeur van agent n voor elk van de verschillende clusters wordt als volgt weergegeven: p n(t) = p n (t) + c* Ê(t) De volgende beslissingsregel wordt gedefinieerd: het element met de grootste voorkeur uit de vector p n(t) = (p n0(t), p n1(t)... p nj-1(t) ) wordt gekozen voor n (t). De parameter c drukt uit hoe groot de invloed van de andere agenten is. Bij het optreden van een ramp wordt hier verondersteld dat alle agenten de ramp overleven maar hun subjectieve inschatting n (t) wordt terug gelijk aan n,event. 00
Het model bevat dus de volgende parameters: a: graad van 'bijziendheid'; als a = 0 is er geen bijziendheid. Het ingeschatte risico blijft hetzelfde als in de vorige tijdstap, de tijd heeft dus geen invloed. c: graad van invloed van andere agenten; als c = 0 is er geen invloed op de beslissing van andere agenten, enkel de eigen risico-inschatting is van belang. t: frequentie van de evaluatie risico-inschatting N: het aantal economische agenten J: het aantal clusters Resultaten Bij de volgende simulaties wordt aangenomen dat het aantal agenten N gelijk is aan 10000, en dat het aantal clusters J gelijk is aan 20. Het verloop wordt bekeken over 10000 tijdstappen. Er kan bijvoorbeeld gesteld worden dat elke tijdstap 1 dag is en er dus gekeken wordt naar een periode van ongeveer 27 jaar. Om de resultaten eenvoudiger te kunnen vergelijken komen de rampen niet willekeurig voor, maar komt 1 ramp voor op tijdstip t = 5000. Als resultaat wordt enerzijds het aandeel van elk van de 20 clusters over de tijd weergegeven; anderzijds wordt een representatieve subset (50 agenten) van de ingeschatte subjectieve probabiliteit op een ramp weergegeven. De rode verticale stippellijn geeft aan op welke tijdstippen een ramp is voorgekomen, die zich zoals hierboven vermeld in de simulatie voordoet op tijdstip t=5000. De eerste simulatie toont het geval waarbij de economische agenten niet myopisch zijn, met andere woorden het geval waarbij a n = 0. Doorheen de tijd blijven de agenten dezelfde subjectieve probabiliteit inschatten en hierdoor blijft het aandeel van elke cluster ook hetzelfde. 0"
clusterverdeling subjectieve probabiliteit De tweede simulatie veronderstelt dat de agenten wel myopisch zijn. Als parameter wordt voor event een normale verdeling met als verwachtingswaarde 0,001 en standaardafwijking 0,0002 0#
genomen. Voor de graad van bijziendheid a wordt een normale verdeling met als verwachtingswaarde 0,000001 en standaardafwijking 0,0000004 aangenomen. De resultaten worden weergegeven voor verschillende waarden van c, beginnend bij c = 0 (geen invloed door andere agenten op de risico-inschatting) gaande tot c = 1,25. Zoals verwacht gaan alle agenten een steeds lagere risico-inschatting maken, en dit aan een verschillend tempo, afhankelijk van hun a n. Als eenmaal de 'threshold' waarde bereikt is, valt de inschatting op 0. Naarmate de tijd vordert schatten dus meer en meer agenten hun risico op een ramp in op 0. Dit is ook te zien aan het aandeel van de cluster 0, die 1 benadert. Op tijdstip t = 5000 komt een ramp voor en begint het proces opnieuw. Naarmate c groter wordt, en dus de invloed van de agenten vergroot, zullen agenten sneller een lagere risico-inschatting maken. Op een bepaald ogenblik zal de invloed van de cluster 0 zo groot worden, dat alle agenten ook diegenen die een lage graad van bijziendheid hebben hun risico-inschatting op 0 zetten. Hoe groter c, hoe sneller dit voorkomt. 0$
c clusterverdeling subjectieve probabiliteit 0,00 1,05
c clusterverdeling subjectieve probabiliteit 1,10 1,25 "#
Ter verduidelijking wordt ook nog eens apart het verloop van het aandeel van één cluster getoond (bij c= 1,05), namelijk van de 'middelste' cluster 10. Juist na een event is het aandeel beperkt, aangezien de meeste agenten in clusters 'boven' 10 zitten ( 11 tot 20 ). Naarmate de tijd vordert groeit het aandeel eerst om vervolgens terug te dalen en uiteindelijk 0 te worden. Dit komt omdat de agenten door de clusters stromen, namelijk agenten die in hogere clusters zitten zullen door hun myopisch gedrag steeds in lagere clusters terecht komen om uiteindelijk te eindigen in de cluster 0. Na verloop van tijd zullen alle agenten terecht komen in 0 en zullen alle andere clusters leeg zijn. Conclusie Er kan worden geconcludeerd dat in dit eenvoudig model alle agenten uiteindelijk in cluster 0 terecht komen en ze dus na verloop van tijd inschatten dat de kans op een ramp gelijk is aan 0. De agenten evolueren hier sneller naartoe naarmate c, en dus de invloed van de andere agenten, groter wordt.
"#$%&'%'("')*+,"-)*".)/).01")23.%42) Exit agenten In het bovenstaande model blijven alle economische agenten bestaan, ook na het voorkomen van een ramp. Ondanks het nemen van te grote risico s en het voorkomen van rampen bestaat er toch geen kans op een faling of op het ingrijpen door een regulator. Om het model realistischer te maken wordt het daarom mogelijk gemaakt dat economische agenten falen of dat een regulator ingrijpt, door bijvoorbeeld de licentie van de agent af te nemen. Met andere woorden geen enkele agent is nog 'too big to fail'. Bij het nemen van te grote risico s bestaat de kans dat de agent verdwijnt. Er wordt veronderstelt dat elke agent een vooraf bepaalde kans op een exit (faling of ingrijpen regulator) heeft, en dat deze exit zich op elk tijdstip kan voordoen. Er wordt evenwel van uit gegaan dat bij het voorkomen van een ramp de kans op exit vergroot volgens een bepaalde factor. Dus in tegenstelling tot het basismodel, kunnen bij het optreden van een ramp agenten nu wel falen of gedwongen worden te stoppen door een regulator. De meeste agenten zullen dus bij een ramp hun subjectieve inschatting terug bijstellen tot n,event, maar sommige agenten zullen verdwijnen. In de veronderstelling dat de agenten die het meest bijziend zijn sneller risico nemen, zullen deze agenten een grotere kans hebben om te verdwijnen. Dit wordt eenvoudig gemodelleerd als: p(exit) = a n * " met " een exogene parameter, deze parameter bepaalt dus de kans op exit. Als een agent verdwijnt, wordt hij vervangen door een nieuwe economische agent. Er wordt vanuit gegaan de nieuwe agent geen overdreven risico s neemt bij zijn introductie, en begint in de cluster n,event. Er wordt ook vanuit gegaan dat de nieuwe agenten geleerd hebben van de fouten van hun verdwenen voorgangers, en dat zij minder myopisch zullen zijn, met andere woorden de parameter a n van de nieuwe agent zal kleiner zijn dan die van de gefaalde agent. ) "#
5"67-.2."') Bij de simulatie worden weer dezelfde beginvoorwaarden verondersteld, namelijk N = 10000, J = 20, event een normale verdeling met als verwachtingswaarde 0,001 en standaardafwijking 0,0002, de graad van bijziendheid a heeft een normale verdeling met als verwachtingswaarde 0,000001 en standaardafwijking 0,0000004. De tijdsperiode bevat 10000 tijdstappen, met een ramp op tijdstap 5000. Ter illustratie wordt eerst de invloed van " op a n getoond. Onderstaande grafiek geeft de evolutie van de gemiddelde a n over de tijd voor verschillende " weer. Het is duidelijk dat naarmate " groter is, de bijziendheid van de economische agenten sterker daalt. Dit komt omdat na het verdwijnen van een agent een nieuwe agent in de plaats komt die minder myopisch is. "$
In de eerste grafieken worden de clusterverdeling en een representatieve subset (50 agenten) van de ingeschatte subjectieve probabiliteit weergegeven. Hierbij is c = 1,05 en worden de resultaten getoond voor verschillend ". De rode verticale stippellijn geeft aan op welke tijdstippen een ramp is voorgekomen, zoals hierboven vermeld komt deze in de simulatie voor op tijdstip t=5000. Naarmate " groter wordt, verloopt de ingeschatte subjectieve probabiliteit meer 'grillig' en daalt de subjectieve probabiliteit trager. Dit valt te verwachten omdat op random tijdstippen een agent kan verdwijnen en de nieuwe agent ontstaat die terug op n,event begint en minder myopisch zal zijn. De dominantie op de clusterverdeling door één cluster, namelijk cluster 0, wordt ook kleiner naarmate " groter is. Door de mogelijkheid op een exit ontstaat meer spreiding in de clusters en zal dus minder snel één cluster de 'overmacht' krijgen. %&
clusterverdeling subjectieve probabiliteit 0 10
clusterverdeling subjectieve probabiliteit 100 ""
In de tweede grafiek wordt opnieuw de clusterverdeling getoond, voor verschillende c en waarden. Hierbij valt opnieuw op dat naarmate groter wordt, de invloed van één cluster kleiner wordt. Naarmate meer agenten verdwijnen, beginnen de nieuwe agenten meer invloed uit te oefenen op de 'oude' agenten. De invloed van c wordt kleiner bij grotere omdat de agenten meer over de verschillende clusters verspreid zijn. Aangezien elke cluster dus minder agenten bevat, zal de invloed hiervan op de keuze van de cluster die de uiteindelijke voorkeur geniet van de agent kleiner zijn.
c = 0,00 c = 1,05 c = 1,10 0 10
c = 0,00 c = 1,05 c = 1,10 100 "#
Endogene actual In het huidige model wordt verondersteld dat actual een exogene variabele is. Het gedrag van de economische agenten heeft hier dus geen invloed op. Dit is natuurlijk geen realistische veronderstelling. Om het model realistischer te maken, wordt actual een endogene variabele gemaakt. Met andere woorden, de kans op een ramp is niet langer constant, maar hangt af van het gedrag van de economische agenten. Algemeen kan dus worden gesteld dat: actual (t) = f(e 0 (t), 0 (t), E 1 (t), 1 (t),... E J-1 (t), J-1 (t)) Voor de eenvoud wordt deze functie gedefinieerd als: actual (t) = [aantal agenten in clusters onder actual (t-1)/ N]* " waarbij " een exogene variabele is, met 0 < " < 1 Dit geeft een waarde tussen 0 en ". Als de risico-inschatting bij alle agenten boven actual is, is de kans op een ramp 0. Omgekeerd als bij alle agenten de risico-inschatting beneden actual is, is de kans op een ramp ". "#$%&'('#) Onderstaande grafieken zetten de werkelijke kans op een ramp actual (t) uit in de tijd, voor verschillende waarden van # bij een simulatie over een tijdsperiode van 20000 tijdstappen. Om de vergelijking te vereenvoudigen komen er rampen voor op 4 vaste tijdstippen (t=0, 5000, 10000 en 15000), in plaats van met de werkelijke kans actual (t). De overige parameters zijn dezelfde als bij de simulaties hierboven. De simulatie wordt uitgevoerd voor # = 0 (geen exits van agenten), # = 10 en # = 100. Elke grafiek geeft 3 maal actual (t) weer, eens voor elke waarde van #.
Na elke ramp valt de werkelijke kans actual (t) op 0, waarna deze een stijging vertoont. Naarmate de kans groter wordt dat een agent verdwijnt door faling of door het toedoen van een regulator, met andere woorden naarmate # groter wordt, daalt de werkelijke kans op een ramp actual (t). Dit komt omdat er steeds een aantal agenten verdwijnen, de nieuwe agenten minder myopisch zijn en zij dus minder risico nemen. Naarmate de tijd vordert, en er zich dus meer rampen hebben voorgedaan, daalt ook de kans waar naartoe actual (t) evolueert. Dit komt opnieuw omdat in het model ervan uitgegaan wordt dat de nieuwe agenten die ontstaan na een exit minder myopisch zullen zijn, en dus minder risico zullen nemen. De evolutie van actual (t) wordt meer grillig naarmate c groter wordt. Dit wordt veroorzaakt door de grotere invloed van andere agenten, waardoor de nieuwe minder myopische agenten ook invloed beginnen uit te oefenen op de oudere agenten en omgekeerd. "#
c 0.00 actual (t)
c actual (t) 1.05 "#
c 1.10 actual (t) $%
Hieronder wordt ook een 'uitvergroting' weergegeven van de eerste 1000 tijdstappen, en van tijdstap 15000 tot 16000 (juist na de 3de ramp). c t = 0... 1000 t = 15000... 16000 0.00 1.05
c t = 0... 1000 t = 15000... 16000 1.10 $"
Uit de grafieken valt af te leiden dat in de beginperiode (eerste 1000 tijdstappen) er een heel sterke stijging is van actual, en dat deze weinig verschilt voor de verschillende ". Na een langere periode (en enkele rampen) wordt de stijging minder sterk, zeker bij een hogere ". Dit komt opnieuw door het feit dat bij hogere " er meer agenten verdwijnen en vervangen worden door minder myopische agenten, wat op zijn beurt invloed heeft op de evolutie van actual. Er wordt ook gekeken naar de evolutie van het model waarbij de rampen random voorkomen (met probabiliteit actual (t)). Hierbij wordt de clusterverdeling en een representatieve subset (50 agenten) van de ingeschatte subjectieve probabiliteit weergegeven over een zeer lange periode, namelijk over een periode van 400 jaar. De parameters werden aangepast zodat één tijdstap overeenkomt met 1 jaar (in de veronderstelling dat bij de vorige simulaties één tijdstap gelijk was aan 1 dag). De parameters zijn de volgende: de graad van bijziendheid a is een normale verdeling met als verwachtingswaarde 0,0365 en standaardafwijking 0,00146. event heeft een normale verdeling met als verwachtingswaarde 0,365 en standaardafwijking 0,073. Daarnaast zijn actual (0) = 0,1095, # = 0,365, treshold = 0,0365 en c = 1,05. De resultaten worden voor verschillende " weergegeven. Opnieuw duiden de rode verticale stippellijnen aan wanneer een ramp is voorgekomen. Er valt op dat er duidelijk minder rampen voorkomen naarmate " hoger is, zelfs bij 'lage' " = 2. Dit komt omdat naarmate er meer exits van agenten zijn, de nieuwe agenten minder myopisch zijn, wat een invloed heeft op actual (t). Naarmate de agenten minder myopisch worden komen er dus minder rampen voor, en dit wordt sterker bij een hogere ". De verdeling over de clusters wordt ook steeds stabieler, omdat de agenten minder myopisch worden en dus minder snel 'verspringen' naar andere clusters. De grafieken met de subjectieve probabiliteit tonen duidelijk aan dat de agenten steeds minder myopisch zijn (de subjectieve probabiliteit daalt minder snel).
clusterverdeling subjectieve probabiliteit 0.0 1.0
clusterverdeling subjectieve probabiliteit 2.0 "#
Hieronder wordt het voorkomen van het aantal rampen weergegeven voor verschillende parameters. De simulatie wordt telkens 100 maal uitgevoerd en het gemiddelde hiervan wordt weergegeven. Onderstaande tabel toont het gemiddelde aantal rampen over volledige periode (met tussen haakjes de variantie): 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 c = 0,00 38,38 (3,09) 20,85 (1,16) 13,77 (1,57) 9,63 (1,55) 7,00 (1,27) c = 1,05 38,02 (5,05) 21,10 (1,51) 13,66 (0,93) 9,67 (0,89) 6,83 (1,03) c =1,10 38,68 (6,22) 21,04 (1,35) 13,51 (1,40) 9,66 (1,40) 7,10 (1,16) c = 2,00 38,89 (4,40) 21,02 (1,13) 13,65 (0,92) 9,61 (1,05) 6,83 (1,23) c = 4,00 39,61 (6,10) 22,10 (1,69) 14,38 (1,31) 10,17 (1,13) 7,76 (1,21) Daarnaast wordt ook de evolutie van gemiddeld aantal rampen getoond, in 10 tijdsintervallen ingedeeld. De grafieken zetten voor de tijdsperioden t= 0-40, 40-80... 360-400 het gemiddeld aantal rampen in die tijdsperiode uit. c = 0,00
c = 2,00 Naarmate hoger is, zal het aantal rampen per tijdsinterval sneller afnemen. Als = 0 (en er dus geen agenten verdwijnen) blijft het aantal rampen constant. "#
Endogeen maken " actual : alternatief " actual (t) zou ook op alternatieve wijze kunnen gedefinieerd worden. Als er van uitgegaan wordt dat " actual (t) afhankelijk is zowel van een globale component (het aantal agenten dat de werkelijke kans hebben onderschat) als van een individuele component (gebaseerd op de individuele kans op een exit van de agenten), is een mogelijkheid: " actual (t) = b * [aantal agenten in clusters onder " actual (t-1)/ N]* # + (1-b) (($ p(exit) agent n ) / N) met b % [0,1] Er wordt dus verondersteld dat " actual (t) afhankelijk is van 2 invloeden: een globaal risico, net als in de vorige definitie van " actual (t) dat wordt bepaald door het aantal agenten dat het risico heeft onderschat, vermenigvuldigt met een factor # 1. een gewogen som van individuele risico's, waarbij het individueel risico wordt bepaald door de kans op exit van de agenten, dat op zijn beurt afhankelijk is van de graad van bijziendheid a. Resultaten De onderstaande grafieken tonen de invloed van b op het verloop van" actual bij verschillende waarden van (elke grafiek geeft 3 maal " actual (t) weer, eens voor elke waarde van ). De resultaten worden getoond voor c = 0,00. Voor b = 1,00 is de situatie identiek (en dus de resultaten identiek) aan die van de vorige definitie van " actual (t). Als b kleiner wordt zal naarmate de tijd vordert de " actual (t) sneller dalen. Dit valt te verklaren door het feit dat de individuele component sterker wordt. Aangezien deze dalend is in de tijd (zoals te zien is bij b = 0,00), zal " actual (t) dus ook sterker dalen. Voor b = 0,00 wordt " actual volledig bepaald door de gewogen som van individuele kansen op exit van de agenten. Omdat, als meer en meer agenten verdwijnen, de nieuwe agenten minder myopisch worden en dus minder kans op exit hebben (aangezien p(exit) = a n * ), is te zien dat " actual (t) daalt naarmate de tijd vordert. Dit effect is groter voor een grotere. "$
b 1.00 actual (t) 0.75
b 0.50 actual (t) 0.00 "#
Er wordt ook gekeken naar het gemiddeld aantal rampen over een lange periode (met tussen haakjes de variantie), en dit voor verschillende waarden van en b. 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 b = 1,00 38,39 (5,65) 21,08 (1,33) 13,73 (1,15) 9,74 (1,14) 7,38 (1,31) b = 0,75 32,01 (3,08) 18,83 (1,62) 12,40 (1,50) 8,88 (1,23) 6,50 (1,17) b = 0,50 27,12 (3,19) 16,57 (1,78) 11,14 (2,34) 8,22 (2,57) 6,38 (1,85) b = 0,25 18,7 (3,40) 13,00 (4,72) 9,00 (3,15) 7,00 (4,06) 5,38 (2,64) b = 0,00 0,14 (0,12) 2,99 (3,10) 4,13 (4,70) 3,63 (3,22) 3,76 (3,49) Daarnaast wordt ook de evolutie van gemiddeld aantal rampen gegeven, ingedeeld in 10 tijdsintervallen. De grafieken zetten voor de tijdsperioden t= 0-40, 40-80... 360-400 het gemiddeld aantal rampen in die tijdsperiode uit. b 1,00
b 0,75 0,50 "#
b 0,00 Naarmate b groter is, en " actual (t) dus meer afhankelijk is van het globaal risico, komen er meer rampen voor. Hierbij moet wel duidelijk worden vermeld dat dit grotendeels afhankelijk is van de definitie van " actual (t). Een andere definitie kan leiden tot verschillende resultaten. Conclusie De verfijningen van het model tonen aan dat als er toegestaan wordt dat er exits van agenten zijn, ofwel door een faling ofwel door het ingrijpen van een regulator, dit een grote invloed heeft op de ingeschatte kansen op een ramp door de agenten en op " actual (t). Bij grotere waarden%&', en dus meer exits, worden de agenten sneller minder myopisch, en daalt de werkelijke kans op een ramp " actual (t) sneller, wat natuurlijk resulteert in het minder voorkomen van rampen. Als economische agenten dus worden toegestaan te falen of als een regulator strenger ingrijpt bij agenten die te veel risico nemen, zal na verloop van tijd het aantal rampen/crisissen afnemen. Dit in de veronderstelling dat de nieuwe agenten leren van de fouten van hun verdwenen voorgangers en minder myopisch zullen zijn. De invloed van andere agenten wordt ook kleiner naarmate groter wordt, omdat de agenten meer verspreid zullen zijn over de verschillende clusters. "$
"#$%&'$(&)&(*+$,&-.(/0-& In het bovenstaande model werd er vanuit gegaan dat de economische agenten maar één type activa kunnen kiezen en dat zij allen myopisch zijn. Om het model realistischer te maken wordt hieronder een complexer model beschreven: Er wordt uitgegaan van de situatie dat elke agent de keuze heeft tussen 2 types van activa, namelijk 'veilige activa', en 'risicovolle activa', elk met een verschillende te verwachten return ( expected return ) en een verschillend risico: Veilige activa: A S met return R S en risico " S Risicovolle activa: A R met return R R en risico " R Waarbij R S < R R en " S < " R Bij het maken van de keuze moet de agent dus twee risico-inschattingen " S en " R maken. Daarnaast wordt verondersteld dat er 2 soorten economische agenten zijn (in een populatie van N agenten), namelijk X rationele agenten en N-X bijziende agenten. Beide types agenten maken hun keuze gebaseerd op de verwachte return. Hij kiest namelijk voor het activa met de hoogste verwachte return: E(R) S = (1-" S ) R S E(R) R = (1-" R )R R De agenten worden net zoals in het simpele model beïnvloed door het gedrag van andere agenten. De myopische agenten verschillen van de rationele in het feit dat zij onderhevig zijn aan 'disaster myopia'. De rationele agenten maken telkens wel een correcte inschatting van de werkelijke kans op een ramp. Het maken van een beslissing bestaat uit 2 stappen: 1. Het maken van risico-inschatting voor zowel de veilige als de risicovolle activa. 2. Het maken van een keuze tussen de twee activa A S en A R, gebaseerd op de verwachte return. ""
Het model is als volgt: Net zoals bij het model met één type activa wordt verondersteld dat een economische agent de keuze heeft tussen J clusters van risico-inschattingen, maar nu moet hij een keuze maken tussen J clusters voor zowel A S als voor A R. Er zijn dus twee maal J clusters (" S 0, " S 1... " S J-1 ) en (" R 0, " R 1... " R J-1 ). Weer wordt verondersteld dat elke agent een persoonlijke voorkeur p n (t) heeft voor een bepaalde cluster, en dit voor elke activa. Dit wordt gemodelleerd als twee binaire vectoren: p S n (t) = (p S 0n (t), p S 1n (t)... p S J-1n (t)) p R n (t) = (p R 0n (t), p R 1n (t)... p R J-1n (t)) De werkelijke kans op het voorvallen van een ramp wordt voorgesteld door " S actual (t) en " R actual (t). Opnieuw worden " S n,event en " R n,event gedefinieerd als de probabiliteit op een ramp die agent n inschat, juist nadat een ramp voorgevallen is. In het model wordt verondersteld dat er juist voor tijdstip t = 0 een ramp heeft plaatsgevonden, met andere woorden " S n (0) = " S n,event en " R n (0) = " R n,event. Rationele agenten: De rationele agent zal een juiste inschatting van het risico maken. De ingeschatte probabiliteit op een ramp is dus gelijk aan de effectieve kans: p n S (t) = 1 voor de cluster die gelijk is aan " actual S (t) = 0 voor alle andere clusters p n R (t) = 1 voor de cluster die gelijk is aan " actual R (t) = 0 voor alle andere clusters De agent wordt ook beïnvloedt door andere agenten. Dit wordt voorgesteld door 2 vectoren: E S (t) = (E S 0 (t), E S 1 (t)... E S J-1 (t)) waarbij het j-de element het aantal agenten voorstelt dat de strategie " S j volgt, en ook effectief het veilige activa A S heeft gekozen. Met andere woorden, als een andere agent voor A S een bepaalde risico-inschatting heeft gemaakt, maar dan voor de risicovolle activa A R heeft gekozen, heeft dit geen invloed op de andere agenten. E R (t) = (E R 0 (t), E R 1 (t)... E R J-1 (t)) "(
waarbij hier ook het j-de element het aantal agenten voorstelt dat de strategie " R j volgt, en ook effectief het risicovolle activa A R heeft gekozen. Beide vectoren worden weer genormaliseerd naar waarden tussen 0 en 1, en worden voorgesteld door Ê S (t) en Ê R (t) De uiteindelijke voorkeur van agent n voor de verschillende clusters wordt als volgt voorgesteld: p n S (t) = p S n (t) + c * Ê S (t) p n R (t) = p R n (t) + c * Ê R (t) De volgende beslissingsregel wordt gedefinieerd: het element met de grootste voorkeur uit de vector p n S (t) = (p n0 S (t), p n1 S (t)... p nj-1 S (t) ) wordt gekozen voor " S n (t). Idem voor " R n (t). De parameter c drukt opnieuw uit hoe groot de invloed van de andere agenten is. Na het maken van de risico-inschattingen moet de agent de keuze maken tussen de A S en A R, hij doet dit zoals hierboven vermeld door te kiezen voor de activa met de grootste verwachte return E(R) S of E(R) R. Myopische agenten: Bij myopische agenten wordt er vanuit gegaan dat ze onderhevig zijn aan bijziendheid. De modellering is bijna volledig analoog aan die van de rationele agent behalve bij het inschatten van de probabiliteit op een ramp p S n (t) en p R n (t). De cluster die de voorkeur geniet wordt namelijk: " n S = " n S (t-1) a n S als " n S (t-1) > " threshold = 0 als " n S (t-1) < " threshold " n R = " n R (t-1) a n R als " n R (t-1) > " threshold = 0 als " n R (t-1) < " threshold Net zoals bij het model met één activa stellen a S en a R de 'graad van bijziendheid' voor, voor zowel het veilige als voor het risicovolle activa. " threshold is opnieuw de grens waaronder - volgens de 'Threshold' heuristiek (Simon, 1978) - de ingeschatte subjectieve probabiliteit op een ramp op 0 valt. ")
Voor het overige blijft het model hetzelfde als bij de rationele agent; hij ondervindt dus ook invloed van andere agenten, en kiest voor het activa met de grootste verwachte return. Exit agenten en endogene actual Net zoals bij de uitbreiding van het model met één activa, heeft een agent de mogelijkheid dat hij verdwijnt, ofwel door een faling ofwel door het ingrijpen van een regulator. Dit wordt eenvoudig gemodelleerd als: p(exit) = a n S * als het veilige activa gekozen werd in de vorige tijdstap = a n R * als het risicovolle activa gekozen werd in de vorige tijdstap. met een exogene parameter, deze parameter bepaalt dus de kans op exit Aangezien rationele agenten niet myopisch zijn kan p(exit) voor hen niet op deze manier gedefinieerd worden. De rationele agenten hebben daarom een vaste kans op exit (exogeen). Als een agent verdwijnt, wordt hij vervangen door een nieuwe economische agent. Een rationele agent wordt vervangen door een nieuwe rationele agent. Aangezien een rationele agent een juiste subjectieve inschatting maakt verschilt de nieuwe agent in wezen niets van de oude. Bij myopische agenten wordt verondersteld dat de nieuwe agent geen overdreven risico s neemt bij zijn introductie, en begint in de cluster " S n,event (t) en " R n,event (t). Er wordt ook vanuit gegaan dat de nieuwe (myopische) agenten geleerd hebben van de fouten van hun gefaalde voorgangers, en dat zij minder myopisch zullen zijn. Er wordt ook opnieuw verondersteld dat de effectieve kans op een ramp afhankelijk is van het gedrag van de economische agenten. Omdat hier twee verschillende types activa worden verondersteld, is de kans voor elk type verschillend. Algemeen geldt dus: " S actual (t) = f(e S 0 (t), " S 0 (t), E S 1 (t), " S 1 (t),... E S J-1 (t), " S J-1 (t)) " actual R (t) = f(e 0 R (t), " 0 R (t), E 1 R (t), " 1 R (t),... E J-1 R (t), " J-1 R (t)) "*
Voor de eenvoud worden deze functies gedefinieerd als: " actual S (t) = [aantal agenten in clusters onder " actual S (t-1) / N S ]* # S waarbij # S een exogene variabele is, met 0 < # S < 1 en N S het aantal agenten is dat A S gekozen heeft. " actual R (t) = [aantal agenten in clusters onder " actual R (t-1)/ N R ]* # R waarbij # R een exogene variabele is, met 0 < # R < 1 en N R het aantal agenten is dat A R gekozen heeft. In de simulaties wordt voor de eenvoud verondersteld dat # S = # R. Het model bevat dus de volgende parameters: a S en a R : graad van bijziendheid voor zowel het veilige als de risicovolle activa; als a = 0 is er geen bijziendheid. Het ingeschatte risico blijft hetzelfde als in de vorige tijdstap, de tijd heeft hier dus geen invloed op. R S en R R : return van zowel de veilige als van de risicovolle activa. c: graad van invloed van andere agenten; als c=0 is er geen invloed op de beslissing van andere agenten, enkel de eigen risico-inschatting is van belang. # S en # R : factor die bepaald hoe zwaar de fractie agenten die het risico onderschat weegt op " S actual (t) en " R actual (t). : factor die bepaald hoe groot de kans is op exit van een agent. t: frequentie van de evaluatie risico-inschatting N: het totaal aantal economische agenten X: het aantal rationele agenten, er zijn dus N-X myopische agenten J: het aantal clusters "+
Resultaten Eerst wordt enkel naar resultaten gekeken waarbij telkens maar één type activa, namelijk het veilige activa, wordt gekozen. Onderstaande grafieken geven " S actual (t) weer voor verschillende waarden van, en dit ook voor verschillende X, gaande van 0 (enkel myopische agenten) tot 1000 (enkel rationele agenten). Elke grafiek geeft voor 3 maal " S actual (t), telkens voor = 0, 10 en 100. Enkel " S actual (t) wordt getoond omdat bij de gekozen parameters alle agenten steeds voor het veilige activa kozen, en " R actual (t) dus niet relevant is. Bij de simulatie gelden de volgende beginvoorwaarden: N = 10000, J = 20, R S = 100, R R R = 0; er zal dus altijd voor het veilige activa gekozen worden. " event wordt gekozen uit een normale verdeling met als verwachtingswaarde 0,001 en S standaardafwijking 0,0002. " event wordt gekozen uit een normale verdeling met als verwachtingswaarde 0,00075 en standaardafwijking 0,00015. De graad bijziendheid a R en a S worden beiden gekozen uit een normale verdeling met als verwachtingswaarde 0,000001 en standaardafwijking 0,0000004. Om eenvoudiger vergelijkingen te kunnen maken komen er op 4 vaste tijdstippen een ramp voor (t = 0,2500,5000,7500). Verondersteld wordt dat c = 1,05. Uit de grafieken valt af te leiden dat naarmate er meer rationele agenten zijn en dus X groter is, de kans op " S actual (t) kleiner wordt. Als alle agenten rationeel zijn wordt dit zelfs 0, als gevolg van de wijze waarop " S actual (t) gedefinieerd is. Aangezien alle agenten de werkelijke probabiliteit correct inschatten kiest geen enkel rationele agent een cluster onder " S actual (t-1), en wordt " S actual (t) dus gelijk aan 0. Net zoals bij het model met één activa, is te zien dat naarmate de tijd vordert de werkelijke kans op een ramp daalt, als groter dan 0 is. Dit komt omdat als een agent verdwijnt, de nieuwe agent die in zijn plaats komt minder myopisch is. Deze daling wordt minder sterk na meerdere rampen als gevolg van het feit dat bij een ramp meer agenten verdwijnen en dus vervangen worden door minder myopische agenten. Hierdoor zullen ook steeds minder agenten verdwijnen, aangezien de kans op een exit afhankelijk is van de graad van bijziendheid. ",
X c = 1,05 0 250 (-
X c = 1,05 500 750 (.
X c = 1,05 1000 (#
Opnieuw wordt ook gekeken naar de evolutie van het model waarbij de rampen random voorkomen (met probabiliteit " actual ). Hierbij wordt de clusterverdeling en een representatieve subset (50 agenten) van de ingeschatte subjectieve probabiliteit weergegeven over een zeer lange periode, namelijk over een periode van 400 jaar. De parameters werden aangepast zodat één tijdstap overeenkomt met 1 jaar (in de veronderstelling dat bij de vorige simulaties één tijdstap gelijk was aan 1 dag). De parameters zijn de volgende: de graad van bijziendheid a S en a R is een normale verdeling is met als verwachtingswaarde 0,0365 en standaardafwijking 0,00146. " R event heeft een normale verdeling met als verwachtingswaarde 0,365 en standaardafwijking 0,073. " S event heeft een normale verdeling met als verwachtingswaarde 0,273 en standaardafwijking 0,0547. Daarnaast zijn " R actual (0) = 0,1095, " S actual (0) = 0,0821, # = 0,365, " treshold = 0,0365 en c = 1,05. De resultaten worden voor verschillende weergegeven. Opnieuw duiden de rode verticale stippellijnen aan wanneer een ramp is voorgekomen. ($
clusterverdeling X = 0,00 = 1,00 0 500
clusterverdeling X = 0,00 = 1,00 750 ""
subjectieve probabiliteit X = 0,00 = 1,00 0 500 "#
subjectieve probabiliteit X = 0,00 = 1,00 750 "$
Uit de grafieken kan worden geconcludeerd dat het aantal rampen vermindert naarmate het aantal rationele agenten X groter wordt en naarmate groter is. Hieronder wordt ook het voorkomen van het aantal rampen weergegeven voor verschillende waarden van X en. De simulatie word telkens 100 maal uitgevoerd en het gemiddelde hiervan word berekend. Onderstaande tabel toont het gemiddelde aantal rampen over de volledige periode (met tussen haakjes de variantie): 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 X = 0 138,92 (80,0) 9,16 (2,74) 4,78 (1,72) 2,92 (1,10) 2,12 (0,84) X = 250 41,76 (5,33) 7,10 (2,01) 3,58 (1,02) 2,58 (1,10) 1,72 (0,65) X = 500 31,14 (4,49) 5,28 (2,20) 2,66 (1,13) 1,54 (0,82) 1,44 (0,58) X = 750 21,82 (8,48) 3,20 (1,80) 1,56 (0,86) 0,98 (0,79) 0,62 (0,32) X = 1000 0,08 (0,09) 0,10 (0,09) 0,06 (0,05) 0,08 (0,08) 0,04 (0,04) Daarnaast wordt ook de evolutie van gemiddeld aantal rampen getoond voor verschillende waarden van, in 10 tijdsintervallen ingedeeld. De grafieken zetten dus voor de tijdsperioden t= 0-40, 40-80... 360-400 het gemiddeld aantal rampen in die tijdsperiode uit. Er dient opgemerkt dat de schaal op de vertikale as verschilt per grafiek. X = 0
X = 250 X = 500 "#
X = 750 X = 1000 Uit de tabel en grafieken valt opnieuw duidelijk af te leiden dat naarmate er meer rationele agenten zijn, er zich minder rampen voordoen. Dit valt te verklaren uit de manier waarop " S actual (t) is gedefinieerd, aangezien de rationele agenten steeds de correcte kans op een ramp inschatten, waardoor ze nooit in een cluster onder " S actual (t-1) komen te liggen. Als alle agenten $%
rationeel zijn, komt er toch nog een heel klein aantal rampen voor in het eerste interval t=0-20, wat kan verklaard worden uit het feit dat in de eerste tijdstap de kans op een ramp exogeen gegeven wordt, en dus toch groter dan 0 kan zijn. Vanaf de tweede tijdstap valt de kans op 0 en komen er dus geen rampen meer voor. Net zoals bij het model met enkel myopische agenten, komen er minder rampen voor bij grotere, en daalt het aantal rampen sneller. Om af te sluiten wordt ook eens gekeken naar de situatie waarbij er interactie bestaat tussen de 2 types activa. De agenten zullen hun voorkeur in het type van activa over de tijd wijzigen, naarmate de risico-inschatting voor elk van de types verandert. De parameters zijn als volgt: de return van het veilige activa R S = 90, dat van het risicovolle activa R R = 100. Er wordt van uitgegaan dat alle agenten myopisch zijn, dus dat X = 0. Daarnaast wordt verondersteld dat = 0,5 en c = 1,05. Om de resultaten eenvoudiger te kunnen interpreteren komen er op vaste tijdstippen rampen voor, voor de veilige activa gebeurt dit op t=0,100,200,300; voor de risicovolle activa op t=0,50,150,250,350. Alle overige parameters zijn identiek aan de simulaties hierboven. $&
verdeling over risicovolle en veilige activa, voor zowel myopische als rationele agenten " actual S en " actual R $'
Hieruit valt te concluderen dat ook de evolutie van de werkelijke en ingeschatte kans op een ramp van het ander type activa een invloed kan uitoefenen. Op tijdstip 100 bijvoorbeeld komt een ramp voor bij het veilige activa waardoor de ingeschatte probabiliteit van de agenten stijgt (tot " n,event ) en een groot aandeel van het aantal agenten zijn keuze van het veilige activa naar het risicovolle verschuift. Hierdoor is er een plotse sterke daling in " S actual (t). Op t = 175 komt het omgekeerde voor, een groot deel van het aantal agenten stapt terug over naar het veilige activa waardoor " R actual (t) sterk daalt. Net zoals bij het geval waar maar één type activa voorkomt dalen " S actual (t) en " R actual (t) in de tijd omdat de populatie van agenten minder myopisch wordt als er meer en meer exits voorkomen. Er wordt ook gekeken naar het geval waarbij er niet enkel myopische, maar ook rationele agenten voorkomen. Hierbij wordt verondersteld dat X = 500. In onderstaande simulaties geldt ook dat c=1,5. Alle overige parameters zijn identiek aan de simulatie hierboven. $(
verdeling over risicovolle en veilige activa, voor zowel myopische als rationele agenten " actual S en " actual R Opnieuw kan dezelfde conclusie worden getrokken: een ramp van de veilige activa leidt tot een verschuiving van de keuze van de veilige naar de risicovolle activa voor sommige agenten, $)
zoals bijvoorbeeld te zien is op t = 150. Ook de rationele agenten ondervinden soms invloed van de andere agenten. Zo verschuiven ze op tijdstip 10 hun keuze naar de risicovolle activa omdat door het gedrag van de myopische agenten " actual S (t) gestegen is. Tenslotte wordt ook de situatie getoond waarbij de rampen random voorkomen. Als parameters geldt dat c= 1,05, = 1,00 en X=250. $"
verdeling over risicovolle en veilige activa, voor zowel myopische als rationele agenten " actual S en " actual R $$
Net zoals bij de situatie waarbij de rampen op vaste tijdstippen voorkomen, hebben rampen in de andere activa ook een invloed op de risicopositie van de andere activa. In deze simulatie komen rampen voor in de veilige activa op tijdstip 7 en 13; voor de risicovolle activa komen er rampen voor op tijdstip 10, 26 en 38. Opnieuw is te zien dat de ramp van de veilige activa leidt tot een verschuiving in de keuze naar de risicovolle activa (zowel voor de rationele als myopische agenten). Dit zorgt er voor dat de risicopositie van de risicovolle activa stijgt waardoor op tijdstip 10 zich een ramp voordoet van de risicovolle activa en het omgekeerde gebeurt. Opvallend is ook dat niet enkel een ramp er voor kan zorgen dat de agenten hun keuze van type activa veranderen. Vastgesteld wordt dat een groot deel van de myopische agenten op tijdstip 100 hun keuze verschuift van de veilige activa naar de risicovolle wat te verklaren valt door het feit dat de verwachte returns van beide activa in deze situatie dicht bij elkaar liggen. Een kleine verschuiving in de risico-inschatting van de myopische agenten leidt er dan toe dat de keuze tussen de activa plots omslaat. Conclusie Uit het model met twee types activa en zowel rationele als myopische agenten kan geconcludeerd worden dat naarmate er meer rationele agenten voorkomen, de kans op een ramp kleiner wordt. Omdat de werkelijke kans op een ramp " actual (t) berekend wordt aan de hand van het aantal agenten dat de kans op een ramp lager inschat dan de werkelijke kans (bij de definitie van " actual (t) die in dit model gebruikt wordt), zorgt het feit dat de rationele agenten de kans altijd exact inschatten er voor dat " actual lager wordt naarmate er meer rationele agenten zijn. In de situatie waar er enkel rationele agenten zijn, valt hierdoor de kans zelfs op 0. Net zoals bij het model met één activa, speelt een grote rol bij de frequentie van rampen. Omdat bij een hogere de populatie van agenten minder myopisch wordt naarmate de tijd vordert, daalt het aantal rampen dat voorkomt in de tijd. Daarnaast heeft ook de evolutie van het ander type activa een invloed. Zo hebben rampen in het ander type activa een sterke invloed op de risicopositie van een activa. Als bijvoorbeeld een ramp voorkomt bij het veilige activa, zorgt dit voor een verschuiving naar het risicovolle activa waardoor de risicopositie van het risicovolle activa sterk stijgt. Op zijn beurt heeft dit tot gevolg dat er in het risicovolle activa sneller een ramp zal voorkomen. Waarna er weer een beweging in de andere richting waar te nemen is. $*