HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN

Transcriptie

1 HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN 1.2 Kansveranderlijken en verdelingen 1

2 Veranderlijken Beschouw een toevallig experiment met uitkomstenverzameling V (eindig of oneindig), de verzameling van alle gebeurtenissen Q(V), en de kansfunctie P Beschouw een afbeelding G die aan elke uitkomst w V een reëel getal G(w) toekent Men noemt een dergelijke afbeelding een veranderlijke (of een kansveranderlijke, een toevalsveranderlijke, een stochastiek) 2

3 Bij het definieren van een veranderlijke veronderstelt men dat de kansfunctie op de rechte wordt overgebracht. Beschouw een getal a en alle uitkomsten van het experiment die door G op het getal a worden overgebracht: {w V; G(w)=a} Dit definieert een verzameling A. Men stelt de kans op a gelijk aan de kans van A: P G (a) = P(A) Men noemt deze nieuwe kansfunctie de verdeling van de veranderlijke G 3

4 De kumulatieve frequentiefunctie (of verdelingsfunctie) F(x) van een verdeling wordt gedefinieerd door: F(x) = P({ w V G(w) x }) = P G (]-,x]) = de kans op een waarde kleiner of gelijk aan x 4

5 A. Meetschalen en soorten veranderlijken Eigenschappen van veranderlijken: Klasseren: onderscheiden van een aantal klassen of groepen van objekten x 1 =x 2 of x 1 x 2 Voorbeelden: nationaliteit, geslacht Ordenen: rangschikken van de klassen; Voor 2 verschillende waarden x 1 en x 2 heeft men: x 1 = x 2 of x 1 < x 2 of x 1 > x 2 Voorbeelden: examenuitslag, IQ, geordende beoordeling (slecht, matig, goed) Opmerkingen 1. de ordening mag niet het resultaat zijn van een codering zoals ja = 1 neen = 2 onbekend = 3 geen antwoord = 9 2. er kunnen gelijkheden optreden 5

6 Eenheid: het verschil tussen 2 opeenvolgende waarden heeft altijd dezelfde betekenis: x = k e Voorbeelden: hoogte, temperatuur Celsius Absoluut nulpunt: waarde die de afwezigheid van het kenmerk voorstelt Voorbeelden: gewicht, gewichtstoename tijdens eerste levensjaar, tijd, massa Opmerking: 0 C is geen absoluut nulpunt (geen afwezigheid van energie), maar 0 graden Kelvin wel 6

7 Deze vier eigenschappen geven aanleiding tot vier soorten veranderlijken of vier meetschalen: Nominaal klassen Ordinaal + ordenen Interval + eenheid Ratio + absoluut nulpunt Opmerkingen 1. Een speciaal gevel van de nominale schaal is de binaire schaal (met 2 waarden) 2. De schalen zijn geordend van zwak naar sterk 3. Kwalitatieve kenmerken hebben een nominale of ordinale schaal, kwantitatieve kenmerken hebben een ordinale, interval, of ratio schaal 7

8 Een andere indeling maakt gebruik van het aantal verschillende waarden die kunnen worden aangenomen: Diskreet: een eindig of aftelbaar aantal mogelijke waarden Kontinu: een oneindig niet aftelbaar aantal mogelijke waarden Opmerking Dezelfde grootheid kan soms geëvalueerd worden op verschillende schalen 8

9 Voorbeelden 1. Pijn (van zwak naar sterk) - binair: ja/neen - ordinaal: geen, een beetje, erg, ondraaglijk - ratio: op een visuele analoge schaal (VAS): 0 mm 100 mm geen pijn ondraaglijk 2. Diastolische bloeddruk (van sterk naar zwak) - ratio: eigenlijke meting of verschil van 2 metingen (verandering) - ordinaal: verandering (daling) x ingedeeld in geordende klassen x 20 mmhg x < 20 mmhg en x 10 mmhg x < 10 mmhg en x 0 mmhg x < 0 mm Hg (stijging) - binair: bloeddruk 90 mmhg (genormaliseerd) bloeddruk > 90 mmhg (te hoog) 9

10 B. Verdeling van een diskrete veranderlijke Voorbeeld: De veranderlijke G kent aan elke mogelijke uitkomst een getal toe. Bij een diskrete veranderlijke wordt V geprojekteerd op een eindig of aftelbaar aantal punten: x 1, x 2,..., x n van een rechte 10

11 De kans op een waarde x i wordt gegeven door: p i = P({w V G(w) = x i }) Men heeft de volgende eigenschappen: p i 0 en Σ i p i = 1 De (theoretische) verdeling van G is bepaald door een rij: {(x i, p i ); I = 1, 2, 3,...} die aan de twee voorwaarden hierboven voldoet. 11

12 De algemene grafische voorstelling hiervan is: 12

13 De kumulatieve frequentiefunctie wordt gegeven door: F(a) = P({w V G(w) a}) = p i xi a Eigenschappen: lim x - F(x) = 0 en lim x + F(x) = 1 F(x) is een stijgende functie : als a b dan is F(a) F(b) P G (a < x b) = F(b) - F(a) omdat F(b) - F(a) = - p i = p i = P G (a < x b) xi a a< x i b p i x i b P G (x > a) = 1 - F(a) 13

14 Grafische voorstelling voor een worp met een dobbelsteen: 14

15 C. Verdeling van een kontinue veranderlijke Voor een kontinue veranderlijke heeft de kumulatieve frequentiefunctie F(x): F(x) = P({ w V G(w) x }) de volgende eigenschappen: Kontinu stijgende functie lim x - F(x) = 0 en lim x + F(x) = 1 Deze ziet er bijvoorbeeld als volgt uit: 15

16 Definitie: De kansdichtheid (of frequentiefunctie) f(x) van een veranderlijke G is de afgeleide van de kumulatieve functie: f(x) = df ( x ) = F (x) dx Opmerking: De afgeleide van een functie is de toename (of afname) van de functie in een klein interval. Zowel bij een diskrete als bij een kontinue veranderlijke bestaat hetzelfde verband tussen frequentiefunctie en kumulatieve frequentiefunctie: 16

17 Voorbeeld: FIGUUR 17

18 Eigenschappen: f(x) 0 (vermits F een stijgende functie is) a fxdx ( ) = F(a) = P G (x a) FIGUUR 18

19 b fxdx ( ) = F(b) - F(a) = P G (a < x b) a FIGUUR + fxdx ( ) = F(+ ) - F(- ) = 1-0 = 1 (voor diskrete veranderlijken is Σ i p i = 1) P G (x = a) = a fxdx ( ) = 0 (men moet rekening houden met de nauwkeurigheid) a 19

20 Een kontinue verdeling wordt volledig bepaald door haar kumulatieve frequentiefunctie F(x) of door haar kansdichtheid f(x). De kansdichtheid komt overeen met de kansen p i bij de diskrete veranderlijke en de kumulatieve veranderlijke met de sommen van kansen p i. De belangrijkste kontinue verdeling is de normale verdeling (zie H2). Opmerking: Men spreekt meestal van een verdeling i.p.v. de verdeling van een veranderlijke 20

21 D. Gemiddelde en variantie van een functie Beschouw een diskrete of een kontinue veranderlijke en een reële functie g(x) Definitie: De gemiddelde waarde van een functie (of de verwachtingswaarde) is gelijk aan: Diskreet: E[g(x)] = Σ i g(x i )p i Kontinu: + + = E[g(x)] = gxfxdx ( ) ( ) gxdfx ( ) ( ) 21

22 Voorbeeld: In een loterij zijn er 1000 loten van 20 BF. Het winnende lot brengt BF op, en er zijn 20 troostprijzen van 100 BF: 1 winnend lot van BF 20 troostprijzen van 100 BF De veranderlijke G is de prijs die men wint bij aankoop van een lot De verdeling is diskreet met 3 mogelijke waarden: 0, 100 en BF 22

23 De kansen zijn: BF : 1/ BF : 20/ BF : 979/

24 Men definieert de netto winst: g(x) = x - 20 Bereken E[g(x)] = E[x - 20] = ( ) (0,001) + (100-20) (0,020) + (0-20) (0,979) = 9, ,600-19,580 = -8 BF De organisator ontvangt BF en betaalt in totaal BF+2.000BF= BF De winst is BF, of 8 BF per lot 24

25 Eigenschappen: E[a] = a E[a g(x)] = a E[g(x)] E[g(x) + h(x)] = E[g(x)] + E[h(x)] Definitie: De variantie van een reële functie g(x) is gelijk aan: Diskreet: Var[g(x)] = Σ i (g(x i ) - E[g(x)]) 2 p i Kontinu: + Var[g(x)] = ( gx ( ) Egx [ ( )]) fxdx ( ) 2 25