Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten

Transcriptie

1 Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Paul van der Werf 12 februari Inleiding In de sterrenkunde werken we vaak met zwakke signalen, of met grote hoeveelheden metingen van verschillende nauwkeurigheid. Daarom speelt een goede behandeling van de onzekerheden van een resultaat een belangrijke rol. Daarom zal hier worden ingegaan op de behandeling van onzekerheden. Ook het passen ( fitten ) van een functie aan verkregen resultaten en het vervolgens beoordelen van de (on)nauwkeurigheid van die fit is een belangrijke sterrenkundig techniek, die hier aan de orde komt. 2 Onzekerheden Elk resultaat dat je met een experiment verkrijgt heeft een bepaalde eindige nauwkeurigheid, en dus ook een bepaalde onzekerheid of foutmarge. Als je bijvoorbeeld de positie van een object op een CCD wilt bepalen heb je altijd te maken met een kleinste meet-eenheid (1 foton), en met de pixelgrootte van een CCD. Wanneer je één foton hebt geregistreerd van een ster, kun je de positie niet preciezer aangeven dan tot op een pixel nauwkeurig. Registreer je meerdere fotonen dan kun je, in principe, de positie van de ster bepalen tot op een fractie van een pixel. Hoe goed dat lukt hangt af van de verdeling van de fotonen over de pixels. Uit de verdeling van de fotonen schat je de positie van het object door de gemiddelde waarde van de posities van alle fotonen te bepalen. Die schatting van de positie wordt preciezer naarmate je meer fotonen hebt geregistreerd, en naarmate de verdeling van die fotonen nauwer is. De breedte van de verdeling hangt vaak af van de opzet van het experiment (bv. het diffractiebegrensd oplossend vermogen van het instrument bij de waarneemgolflengte), maar is soms ook afhankelijk van, of gegeven door de natuur. Op aarde heb je altijd last van de onrust van de atmosfeer ( seeing ) die alle afbeeldingen versmeert met een functie met een typische afmeting van de orde van een boogseconde (in het visuele golflengtegebied). Opnamen gemaakt met de Hubble Space Telescope hebben daarvan geen last, en hun scherpte wordt dan ook bepaald door de grootte van de pixels en de diffractiegrens van de optiek. 3 Toevallige fouten Om uit een verdeling van fotonen een positie af te leiden gaan we er van uit dat alle fotonen uit dezelfde richting ( de exacte positie van het object) komen, en dat het proces dat ervoor verantwoordelijk is dat we ze niet allemaal als komend uit die richting waarnemen, geen systematische verplaatsing veroorzaakt. Met andere woorden, we nemen aan (of vergewissen ons ervan) dat we met toevallige fouten te maken hebben, waarbij de afwijkingen ten opzichte van het exacti resultaat willekeurig verdeeld zijn. Wiskundig gesproken gedragen de metingen zich dan als zg. toevalsvariabelen. Dit zijn variabelen waarvan de waarde niet precies vast ligt, maar waarvan wel bekend is dat die waarden verdeeld zijn volgens een bepaalde verdelingsfunctie P (x), waarbij P (x 0 )dx de kans is, om dat de variable een waarde tussen x 0 en x 0 + dx heeft. Omdat de totale kans 1 moet zijn, is de verdelingsfunctie genormaliseerd via de normalisatievoorwaarde P (x)dx = 1. (1) We definiëren de momenten van P als volgt: het n-de moment van P wordt gegeven door x n = 1 x n P (x)dx. (2)

2 De momenten zijn belang omdat deze vaak relatief gemakkelijk uit de gegevens zijn af te leiden, ook als de precieze verdelingsfunctie onbekend is. Er kan worden bewezen dat een willekeurige verdelingsfunctie volledig kan worden gespecifiveerd door al zijn momenten te specificeren. De laagste orde momenten hebben een simpele betekenis. Het eerste orde moment is de verwachtingswaarde of het gemiddelde van x: x = xp (x)dx = x, (3) waarbij x het gemiddelde aangeeft. Het 2de orde moment wordt gegeven door x 2 = x 2 P (x)dx. (4) Dit wordt nuttiger als we het 2de orde nemen rond het gemiddelde, dus eerst het gemiddelde er af trekken. Dit noemen we de variantie σ 2. σ 2 = (x x ) 2. (5) Dus zodat σ 2 = σ 2 = σ 2 = x 2 2 x (x x ) 2 P (x)dx, (6) ( x 2 2x x + x 2) P (x)dx, (7) xp (x)dx + x 2 P (x)dx, (8) σ 2 = x 2 2 x 2 + x 2, (9) σ 2 = x 2 x 2. (10) De wortel uit de variantie noemen we dispersie σ. Deze is van belang omdat hij een maat geeft voor de breedte van de verdelingsfunctie P. Een resultaat kan nu met zijn nauwkeurigheid gespecificeerd worden door x en σ te vermelden, in de notatie x ± σ. 3.1 Optellen van grootheden met onzekerheden In de praktijk moeten we vaak grootheden optellen om tot een resultaat te komen. Maar wat is dan de onzekerheid in de som? Wiskundig ziet dit er als volgt uit: laat x 1 en x 2 twee onafhankelijke toevalsvariabelen zijn met verdelingsfuncties P 1 (x 1 ) en P 2 (x 2 ), gemiddelden m 1 en m 2 en dispersies σ 1 en σ 2. Wat is dan het gemiddelde m z en de dispersie σ z van z = x 1 + x 2? Er kan worden aangetoond dat geldt en m z = m 1 + m 2 (11) σ 2 z = σ σ 2 2. (12) Dit resultaat heeft een belangrijke toepassing, nl. bij het berekenen van de standaarddeviatie van het gemiddelde. Dit is een vaak voorkomend geval: bij een aantal metingen van dezelfde grootheid nemen we de gemiddelde waarde als meest waarschijnlijke uitkomst. Maar wat is de onzekerheid op die uitkomst? De gemiddelde waarde wordt gegeven door z = 1 N x i (13) waarbij x i de uitkomst van meting i is en er in totaal N metingen zijn. Met behulp van het hierboven afgeleide volgt voor de dispersie van z nu de uitdrukking σ 2 z = ( σi ) 2 (14) N 2

3 waarbij σ i de dispersie van meting i is. Als we dezelfde meting een aantal keren herhalen, zullen we steeds dezelfde dispersie hebben, dus σ i = σ en dus σ 2 z = N N 2 σ2, (15) zodat σ z = 1 N σ. (16) Dit is een belangrijk resultaat, dat aangeeft dat de meetnauwkeurigheid beter wordt met de wortel uit het aantal metingen. 3.2 De normaalverdeling Er kan worden aangetoond, dat als er alleen toevallige fouten in het spel zijn, voor grote aantallen metingen de verdelingsfunctie van de resultaten in de buurt van het gemiddelde altijd nadert tot een bepaalde verdeling, die de Gaussische of normaal -verdeling wordt genoemd. Het wiskundige beeld is dan als volgt. We zoeken een bepaalde grootheid X, en we hebben N metingen die de resultaten x i (i = 1, 2,..., N) opleveren. De metingen x i zijn dan verdeeld volgens de volgende kansverdeling: 1 P (x i ) = (x 2πσ 2 e i X) 2 2σ 2. (17) Wat betekent dit nu in de praktijk? In de praktijk krijgen we met N onafhankelijke metingen x i een verdeling n(x i ). Let op: die is niet precies gelijk aan P (x i ), maar (als er geen systematische fouten in het spel zijn) zal n(x i ) wel steeds meer P (x i ) gaan benaderen naarmate N groter wordt. Het gevolg daarvan is dat x, de gemiddelde waarde van x i, weliswaar de beste schatting van X is, maar hij is daaraan niet exact gelijk. Maar als je weet wat de waarde van σ is, kun je schatten hoe groot de onzekerheid in het resultaat is, nl. σ/ N. Maar let op: ook σ weten we doorgaans niet a priori en meestal gebruiken we dus een schatting: σ est = N (x i x) 2. (18) N 1 Er kan bewezen worden dat deze uitdrukking σ (zoals gedefinieerd door Eq. (10)) benadert voor grote waarden van N. In de praktijk gebruiken we dus N waarden van x i en leiden daaruit x en σ est af; we gebruiken deze als schattingen van X en σ, met andere woorden, we doen alsof we hiermee een kansverdeling van X bepaald hebben (formeel alleen waar voor oneindig grote N), met gemiddelde x en dispersie σ est, zodat de onzekerheid σ est / N wordt. Let op: de dispersie σ is een eigenschap van de uitkomsten van het experiment. Met andere woorden, zowel de beperkingen van een instrument als ook de eigenschappen van het bestudeerde object kunnen daaraan bijdragen. De dispersie hangt dus niet af van N, het aantal metingen. Wel wordt het verschil tussen σ en de schatting daarvan (σ est ) kleiner naarmate N groter is. Opgave 1: In de praktijk wordt een bepaling x van een grootheid x altijd vermeld met zijn foutmarge, waarvoor σ gebruikt wordt. Beantwoord, om te begrijpen wat dit betekent in termen van waarschijnlijkheden, de volgende vragen, met behulp van bijgevoegde tabel (waarin z gedefineerd is als z = x/σ). 1. Wat is de kans dat x een waarde heeft tussen x σ en x + σ? 2. Wat is de kans dat x een waarde heeft tussen x 2σ en x + 2σ? 3. Wat is de kans dat x een waarde heeft tussen x 3σ en x + 3σ? Op grond hiervan wordt een resultaat pas betrouwbaar geacht als het groter is dan 3σ. 3

4 3.3 Het kombineren van toevallige fouten Vaak is de grootheid die je zoekt niet direkt meetbaar, maar volgt hij uit een kombinatie van grootheden die je wel kunt meten. Wiskundig hebben we het dan over een grootheid A afgeleid uit waargenomen grootheden x 1, x 2,..., x N met behulp van A = f(x 1, x 2,..., x N ). Laat de onzekerheid in elk van de x i bekend zijn en gelijk aan x i. Wat is dan de onzekerheid in de afgeleide grootheid A, oftewel A? Als de grootheid A van maar één enkele x i zou afhangen, d.w.z. als A = f(x), dan is gemakkelijk in te zien dat de fout in A, dat wil zeggen A, evenredig is aan de fout in x, x. De evenredigheidsfactor is gelijk aan de mate waarin A van x afhangt, met andere woorden A/ x, zodat we krijgen A = A/ x x. Als A niet van één enkele x, maar van meerdere x i afhangt, wordt de totale fout in A gevonden uit een kombinatie van de N fouten in A ten gevolge van de fouten in de N x i -waarden. De bijdrage van elk van de x i aan A hangt weer af van de mate waarin A afhangt van x i. Bovendien moeten, zoals hierboven aangetoond, de bijdragen van de verschillende x i kwadratisch bij elkaar worden opgeteld. Daarom geldt A = N ( A x i ) x 2. (19) i Opgave 2: Laat z = xy, waarbij x en y de gemiddelde waarden van de toevalsvariabelen x en y zijn, en σ x en σ y hun dispersies. Laat zien dat voor de gemiddelde waarde z en dispersie σ z van z geldt: ( σz z ) 2 = ( σx x ) ( ) 2 2 σy +. (20) y Gebruik hiervoor Eq. (19). Dit resultaat laat zien, dat bij vermenigvuldigen de relatieve fouten kwadratisch opgeteld moeten worden. Bij optellen en aftrekken waren dat de absolute fouten. Let op: de uitdrukking voor de gecombineerde fout van twee grootheden die je op elkaar deelt is complexer. Opgave 3: Stel we hebben voor de bepaling van een grootheid twee metingen x 1 en x 2 met dispersies σ 1 en σ 2, die niet per se gelijk zijn. Bij het bepalen van de gemiddelde waarde x zouden nu het liefst meer gewicht toekennen aan de meting met de kleinste dispersie. Hoe doen we dit optimaal? We definiëren een gewogen gemiddelde met de uitdrukking x = w 1x 1 + w 2 x 2 = x 1 + wx 2 w 1 + w w (21) waarin w = w 2 /w 1. Het blijkt dat de optimale gewichten worden gegeven door w i = 1 σ 2 i (22) Laat zien dat dit het geval is, door eerst σ x te bepalen en deze vervolgens te minimaliseren als functie van w. Wat is de dispersie van het gewogen gemiddelde dat je op deze manier bepaald hebt? 4 Systematische fouten Zijn er alleen maar toevallige fouten in het spel, dan geldt dat X = x ± σ est / N. Zijn er echter ook systematische fouten aanwezig, dan geldt deze gelijkheid niet. Systematische fouten zijn vrijwel altijd een gevolg van een onvoldoende nauwkeurige beschrijving/analyse van het experiment of de waarneming. Bijvoorbeeld, als bij een goed scherpgestelde (gefocusseerde) telescoop de temperatuur verandert, zal de lengte van de buis veranderen. Daardoor zal de telescoop niet meer precies in focus zijn. De afmetingen van objecten zullen overschat worden. Bij systematische fouten gaat de afwijking dus een bepaalde kant op, en niet een willekeurige kant zoals bij toevallige fouten. 4

5 5 Fitten Een subtieler geval van fouten-analyse komen we tegen als we waarneemgegevens gaan vergelijken met een model-beschrijving. Het model bevat meestal één of meerdere parameters die je zo goed mogelijk met behulp van de data wilt bepalen. Maar wat betekent: zo goed mogelijk bepalen? Daarvoor moet je de intuïtieve betekenis van zo goed mogelijk in een wiskundig kriterium omzetten. 5.1 Ongewogen fits We nemen eerst het eenvoudige geval van een grootheid die afhangt van één enkele parameter, dus y = f(x). We hebben N gemeten paren (x j, y j ). Neem bovendien aan dat de x j s met oneindige precisie bekend zijn en dat alle y j s dezelfde onzekerheid hebben. Zodra de vorm van f(x) gespecificeerd is, kun je nu de beste waarden van de parameters in de formule voor f(x) uit de waarnemingen afleiden. De meest gangbare manier om die beste waarden te definiëren is te zeggen dat dit de waarden zijn die de som van de gekwadrateerde afwijkingen minimaliseert. Dit kriterium wordt de kleinste kwadraten (Least Squares, LSQ) methode genoemd. Wiskundig komt dit neer op het minimaliseren van de som N j=1 (f(x j) y j ) 2. Stel dat het gebruikte model een polynoom is, d.w.z. y = n i=0 a ix i. De beste waarden voor de a i s, dat wil zeggen de koëfficienten van het polynoom, kunnen worden bepaald met behulp van een LSQ-fit. De eis dat S = N j=1 (f(x j) y j ) 2 minimaal moet zijn wordt dan dat N j=1 ( n i=0 a ix i j y j) 2 minimaal moet zijn. De beste waarden van de koëfficienten a i, dat wil zeggen die waarvoor S minimaal is, worden nu gevonden door te eisen: S/ a i = 0, met i = 1,..., n. 5.2 Gewogen fits Tot nu toe hebben we aangenomen dat alle waarden van y i dezelfde onzekerheid hebben. Dat betekent dat je N j=1 δ2 j, met δ j = (f(x j ) y j ), kon minimaliseren. Het komt echter ook heel vaak voor dat de verschillende waarden van y j niet dezelfde onzekerheid hebben. In dat geval moeten de waarden van δ j gewogen worden met de onzekerheid in y j, in een zg. gewogen LSQ-fit, of χ 2 -fit. Deze methode komt er op neer dat voor N data punten (x j,y j ) (j = 1,..., N) en M model parameters a i (i = 1,..., M) de χ 2, gedefinieerd door ( ) 2 χ 2 yj f(x j ; a 1...a M ), (23) j=1 waarin ε j de onzekerheid in y j is, geminimaliseerd wordt. Net zoals eerder nemen we de afgeleiden naar de modelparameters a i en stellen die nul, dat wil zeggen ( ) ( f(xj ) y j f(x j ) ;...a k...) ε 2 = 0, (24) j a k waarin k = 1,..., M. Voor het geval van een rechte lijn y j = f(x j ; a, b) = ax + b met fouten ε j voor de y j -waarden, vinden we a = (SS xy S x S y )/A, b = (S xx S y S x S xy )/A waarin A SS xx Sx 2 en waarin we definieerden: S N j=1 ε 2 j, S x N j=1 x j/ε 2 j, S y N j=1 y j/ε 2 j, S xx N j=1 x2 j /ε2 j en S xy N j=1 x jy j /ε 2 j. Opgave 4: Leid bovenstaande vergelijkingen voor de parameters a en b zelf af. ε j 5