EEKTTET WSSESTOOMTHEOE Technisch nsiuu Sin-Jozef, Wijersraa 28, B-3740 Bilzen ursus : an laesen Versie: 19-10-2008
1 Sooren spanningen en sromen... 3 1.1 Gelijksroom... 3 1.2 Wisselsroom... 4 2 Sinusvormige wisselspanning...... 5 2.2 Onsaan van een sinusvormige spanning... 6 2.3 Belangrijke begrippen bij een sinusvormige wisselspanning (sroom).... 8 2.4 Gemiddelde waarde van een wisselspanning of wisselsroom.... 9 2.5 Effecieve waarde van een wisselspanning of wisselsroom.... 10 2.6 Begrip radiaal... 13 2.7 Elekrische hoeksnelheid of cirkelfrequenie. ω... 13 2.8 Vecoriele voorselling... 13 2.9 omplexe voorselling...... 15 2.10 Oefeningen complexe rekenwijze.... 17 2.11 Wiskunde bewerkingen me complexe geallen uivoeren me asio rekenmachine... 19 2.12 Fase... 23 2.13 Faseverschuiving... 24 3 Enkelvoudige wisselsroomkeens... 25 3.1 De zuiver ohmse kring.... 25 3.2 De zuiver inducieve keen...... 26 3.3 De zuiver capaciieve keen... 28 3.4 Samenvaing... 30 3.5 omplexe schrijfwijze van de spanning en sroom in een, en kring.... 31 4 Serieschakeling.... 32 4.1 Keen van weersand en spoel in serie (de - seriekeen).... 32 4.2 Oefeningen... 34 4.3 Keen me weersand en condensaor in serie ( - seriekeen).... 36 4.4 Keen van weersand, spoel en condensaor in serie (de - seriekeen).... 40 4.5 oefening - seriekeen... 44 5 Parallelschakeling... 48 5.1 Keen van weersand en spoel in parallel (de parallelkeen)...... 48 5.2 Keen me weersand en condensaor in parallel ( parallelkeen).... 52 5.3 Keen van weersand, spoel en condensaor in parallel (de parallelkeen).... 55 5.4 Oefeningen op parallelkeens.... 59 5.5 Prakische vormen van parallelschakeling... 66 7 De gemengde schakeling... 67 7.1 De serie - parallelschakeling.... 67 8 Vermogen en arbeidsfacor (bij een sinusvormige wisselsroom)... 75 8.1 Momeneel vermogen... 75 8.2 Acief en reacief vermogen.... 80 8.3 De vermogendriehoek.... 82 8.4 Arbeidsfacor.... 84 8.5 Verbeeren van de arbeidsfacor.... 87 8.6 Oefeningen.... 88 2
1 Sooren spanningen en sromen 1.1 Gelijksroom 1.1.1 De consane gelijksroom. Di is een sroom die onveranderlijk is. Hij blijf seeds dezelfde waarde behouden en in dezelfde zin sromen. Zie fig. Voorbeeld: sroom door een zaklamp. 1.1.2 De veranderlijke gelijksroom. De sroom blijf posiief of negaief, maar verander van waarde (nie van zin). Zie fig. Voorbeeld: sroom door een luidspreker. 1.1.3 Pulserende of periodieke gelijksroom. ndien he veranderlijk karaker van een veranderlijke gelijksroom een vas rime krijg en zich seeds herhaal bekom je een pulserende gelijksroom. Zie fig. Voorbeeld: een gelijkgeriche wisselspanning. 3
1.2 Wisselsroom 1.2.1 Wisselende sroom. Wanneer je een veranderlijke gelijksroom ook van polariei laa veranderen, dan bekom je een wisselsroom. Zie fig. 1.2.2 Wissel sroom. ndien de wisselende sroom rimisch verloop bekom je een wisselsroom. Zie fig. De wisselspanning die door een cenrale word opgewek heef een sinusvorm of sinusoïdaal verloop. Zie fig. We spreken dan van een sinusoïdale of sinusvormige wisselspanning. 4
2 Sinusvormige wisselspanning 2.1.1 Periode van een wisselspanning of wisselsroom. We zien de da de wisselspanning seeds de zelfde cyclus doorloop. He ijdinerval da nodig is voor he doorlopen van één cyclus noemen we de periode. Symbool: T Eenheid: s (seconden) 2.1.2 Frequenie van een wisselspanning of wisselsroom. He aanal cyclussen of perioden die per ijdseenheid worden doorlopen noemen we de frequenie van een wisselspanning of wisselsroom. 1 1 Formule : f = symbool : f eenheid : Hz = T s 2.1.3 Ampliude van een wisselspanning of wisselsroom. De ampliudo is de maximum waarde van de spanning of sroom in een periode. Symbool: 2.1.4 Piek-o piekwaarde van een wisselspanning of wisselsroom. 5
2.2 Onsaan van een sinusvormige spanning n Hoofdsuk 4 : Elekromagneische inducie konden we vassellen da wanneer een geleider veldlijnen snijd er een spanning opgewek word: e = B. l. v v = de snelheid waarmee we de veldlijnen loodrech snijden Als een geleider me lenge l de veldlijnen van een uniform magneisch veld B me een eenparige snelheid v snijd onder een hoek α.o.v. de riching van de veldlijnen, word in die geleider een elekromagneische spanning (ems) gegenereerd waarvan de grooe bepaald word door: 6 e 1 geleider = B. l. v.sinα
Omda nie 1, maar 2 geleiders magneische veldlijnen snijden is: e 2 geleider = 2. B. l. v.sinα De maximum waarde van bovensaande funcie word dan : EM = 2. B. l. v Voor een willekeurige hoek α die de geleider verdraai bekomen we volgende uidrukking: e = E.sin MA α Nemen we als voorbeeld de maximum waarde van de opgeweke emk = 40V. Dus Em = 40V (4 cm op de ekening). Bereken nu zelf de opgeweke emk per 30 verdraaiing van de geleider. 1. α=0 e 1 =E m.sin α e 1 =40.sin 0 e 1 = 2. α=30 3. α=60 4. α=90 5. α=120 6. α=150 7. α=180 8. α=210 9. α=240 10. α=270 11. α=300 12. α=330 13. α=360 7 e 2 = e 3 = e 4 = e 5 = e 6 = e 7 = e 8 = e 9 = e 10 = e 11 = e 12 = e 13 =
Ze nu de berekende waarden ui en eken he verloop. Vasselling : he verloop van de opgeweke spanning is 2.3 Belangrijke begrippen bij een sinusvormige wisselspanning (sroom). We kunnen dus de opgeweke spanning als volg schrijven: e = E.sin m α of u = Um.sinα Wanneer we een weersand aansluien op deze generaor kunnen we schrijven: 2.3.1 Ogenblikkelijke waarde u Um.sinα i = = = De wisselspanning heef op elk ijdsip een andere waarde. Als de generaor wikkeling α1 graden verschoven is kunnen we schrijven : e 1 = E.sin m α 1 Vb.: De ogenblikkelijke waarde na 45 =? Duid deze waarde aan op bovensaande figuur. De ogenblikkelijke waarde word aangeduid me een kleine leer : e; u; of i; 2.3.2 Ampliude of maximum waarde.sinα Di is de groose waarde die een wisselspanning kan aannemen. Duid deze waarde aan op bovensaande figuur. m De ampliude word aangeduid me een hoofdleer + kleine leer m. Voorbeeld : Em, Um of m 8
2.4 Gemiddelde waarde van een wisselspanning ning of wisselsroom. De gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselsroom is de consane gelijksroom die er zou moeen vloeien om in dezelfde ijd van een halve periode in dezelfde weersand dezelfde hoeveelheid elekriciei(lading) e verplaasen als de beschouwde wisselsroom. Bepalen van de gemiddelde waarde: Oppervlake wisselsroom = Oppervlake gelijksroom 2 2 = en U = U π π Algemeen kunnen we schrijven: gem m gem m Voor he meen van de gemiddelde waarde moeen we de mulimeer op D plaasen! D=direc curren of gelijksroom. 9
2.5 Effecieve waarde van een wisselspanning of wisselsroom. Definiie: de effecieve waarde van een sinusvormige wisselsroom is de consane gelijksroom die er zou moeen vloeien om in dezelfde ijd (een vierde of hele periode) in dezelfde weersand dezelfde hoeveelheid warme energie e onwikkelen als de beschouwde wisselsroom. Bepalen van de effecieve waarde: Gebruike formules: Vermogen in een weersand 2 P = U. =.. =. Hoeveelheid warme geproduceerd in een weersand voor een bepaalde ijd W = P. De hoeveelheid warme door de wisselsroom geproduceerd in de periode T/4 word dan: W =. i. +. i. + K +. i. wisselspanning 2 2 2 1 2 9 De hoeveelheid warme door een gelijksroom geproduceerd in de periode T/4 word dan: W gelijkspanning = T 2.. 4 De sroom is de effecieve waarde van de wisselsroom als W wisselspanning = Wgelijkspanning gelijkspanning 10
W gelijkspanning = W wisselspanning T 4 2 2 2 2.. =. i1. +. i 2. + K +. i9. 2 T 2 2 2.. =. ( i 1 + i2 + K + i 9 ) 4 2 T T 2 2 2. = ( i1 + i2 + K + i9 ) 4 4.9 i + i + K + i = 9 2 2 2 2 1 2 9 = i + i + K + i 9 2 2 2 1 2 9 = ( m.sin 5) + ( m.sin15) + K + ( m.sin85) 9 2 2 2 = 2 m 2 2 2.(sin 5 + sin 15 + K + sin 85) 9 = m. 2 2 2 sin 5 + sin 15 + K + sin 85 9 = 0, 707. m ndien oneindig klein word genomen kunnen we schrijven: Me = de effecieve waarde van de wisselsroom. Voor de spanning kunnen we di eveneens schrijven: = U = m 2 U m 2 Meeinsrumenen op A (alernaing aing curren of wisselsroom) plaasen! 11
Voor andere wisselspanningen geld volgende regel: De effecieve waarde van een wisselsroomgrooheid wisselsroom heid is gelijk aan de worel ui he kwadraisch gemiddelde van de momenele sroomserken. sroomserken (deze waarde word MS waarde genoemd) MS = roo main square) De MS waarde geef dus alijd de effecieve waarde weer van elke wisselspanningsvorm. (Zie fluke123) 12
2.6 Begrip radiaal 2.7 Elekrische hoeksnelheid of cirkelfrequenie. ω Wanneer de winding van de generaor rond draai verander de hoek α. De doorlopen hoek per ijdseenheid noemen we de hoeksnelheid. α rad We schijven: ω = ( ) s me ω = omega α = alpha rad = radialen s = seconden We kunnen de formule van de spanning en de sroom als volg schrijven. u = U.sin α = U.sin( ω. ) en i =.sin α =.sin( ω. ) m m m m Sel we willen een spanning opwekken van 1 Hz De wikkeling van de generaor moe dus 1 omweneling per seconde maken. Wil men een spanning opwekken van 50 Hz dan moe men 50 omwenelingen per seconde maken. De cirkelfrequenie is dan: Algemeen kunnen we schrijven da: α = ω. en ω = 2. π. f Me ω : cirkelfrequenie in rad/s α : doorlopen hoek vanaf ogenblik = 0 (rad) : ijd (s) f : frequenie (Hz) 2.8 Vecoriele voorselling De projecie op de vericale as van he uieinde van een vecor me een grooe gelijk aan de ampliude van een sinusvormige grooheid, die in egenwijzerzin rond he aangrijpingspun draai me een eenparige hoeksnelheid gelijk aan de cirkelfrequenie, geef de momenele waarde van die sinusvormige grooheid. 13
14
2.9 omplexe voorselling = + me De sroomvecor complex geschreven word dan: a j. b j 2 = 1 j = 1 a b =.cos( ϕ) =.sin( ϕ) => =.cos( ϕ ) + j..sin( ϕ ) =.(cos( ϕ ) + j.sin( ϕ )) De absolue waarde van word dan : = + 2 2 a b kunnen we als volg bepalen : an( ϕ ) = De hoek ϕ kunnen we als volg bepalen : b a He complex geal a j. b = + j -> in rechhoekige coördinaen = (, ) -> in poolcoördinaen = ϕ a b 15
2.9.1 Wiskunde bewerkingen me complexe geallen. 2.9.1.1 Opelling ( a + j. b ) + ( c + j. d ) = ( a + c ) + j ( b + d ) 2.9.1.2 Afrekking ( a + j. b ) ( c + j. d ) = ( a c ) + j ( b d ) 2.9.1.3 Vermenigvuldiging van complexe geallen 2 ( a + j. b).( c + j. d) = ac + j. bc + j. ad + j. bd = ac + j. bc + j. ad bd = ( ac bd ) + j ( ad + bc ) 2.9.1.4 Deling van complexe geallen ( a + j. b ) ( a + j. b ).( c j. d ) ( ac + bd ) + j ( bc ad ) 2 = = j = 1 2 2 2 ( c + j. d ) ( c + j. d ).( c j. d ) c j. cd + j. cd j. d ( ac + bd ) + j ( bc ad ) ac + bd bc ad = = j. 2 2 2 2 + 2 2 c + d c + d c + d 16
2.10 Oefeningen complexe rekenwijze. 2.10.1 oefening 1 Geg. : Teken he vecordiagram (10A~2cm). = 15A ϕ = 45 1 1 = 10A ϕ = 30 2 2 Gevr.: =... A ϕ =... 3 3 Oplos.: => =.cos( ϕ ) + j..sin( ϕ ) => 1 = 15.cos(45 ) + j.15.sin(45 ) = 10, 6 + j.10, 6 => 2 = 10.cos( 30 ) + j.10.sin( 30 ) = 8, 66 + j.( 5) = 8, 66 j.5 => 3 = 1 + 2 = 10,6 + j.10,6 + 8,66 j.5 = 19, 26 + j.5,6 = + = 2 2 3 19, 26 5, 6 20,1 A De hoek ϕ kunnen we als volg bepalen : b 5,6 an( ϕ ) = = ϕ = 16 19, 26 a 17
2.10.2 oefening 2 Geg. : Teken he vecordiagram (10A~2cm). = 10A ϕ = 70 1 1 = 25A ϕ = 30 3 3 Gevr.: =... A ϕ =... 2 2 Oplos.: => =.cos( ϕ ) + j..sin( ϕ ) => 1 = 10.cos(70 ) + j.10.sin(70 ) = 3, 42 + j.9, 4 => 3 = 25.cos(30 ) + j.25.sin(30 ) = 21, 65 + j.12,5 => 2 = 3 1 = (21, 65 3, 42) + j.(12,5 9, 4) = 18, 23 + j.3,1 2 2 2 = 18, 23 + 3,1 = 18, 52 A De hoek ϕ kunnen we als volg bepalen : b 3,1 an( ϕ ) = = ϕ = 9 39' 18, 23 a 18
2.11 Wiskunde bewerkingen me complexe geallen uivoeren me asio rekenmachine De sroomvecor complex geschreven word dan: = + j. a b Di complex geal heef volgende rechhoekige coördinaen (, ) a b Di complex geal heef volgende poolcoördinaen (, ϕ) of ϕ me = lenge v d vecor 1) Wanneer we een complex geal in rechhoekige coördinaen willen ingeven in ons rekenmachine doen we di als volg : Pol(, ) =. He rekenmachine zal he complex geal dan bewaren in poolcoördinaen. a b Je kan de poolcoördinaen dan opvragen me Pol(, ) = en F. a b Pol(, ) = geef dan de lenge van vecor. a b F geef dan de hoek van vecor. -> ->ϕ Vb. We willen ondersaande vecor ingeven. Pol ( 1,1 ) = -> 1,414 F -> 45 (Zorg ervoor da je rekenmachine in de juise hoek-aanduiding saa, eer D bovenaan) 2)Wanneer we een complex geal in poolcoördinaen willen ingeven in ons rekenmachine doen we di als volg : e c(, ϕ ) =. He rekenmachine zal he complex geal dan bewaren in rechhoekige coördinaen. Je kan de rechhoekige coördinaen dan opvragen me e c (, ϕ ) = en F. e c(, ϕ ) = geef dan de projecie van de vecor op de reële-as. F geef dan de projecie van de vecor op de imaginaire-as. -> -> a b Vb. We willen volgende vecor ingeven. 1 1 e c ( 10, 70 ) = F = 10A ϕ = 70 (zie voorgaande oefeni -> 3,420 -> 9,396 (zie voorgaande oefening) 19
2.11.1 Opelling me asio rekenmachine ( a + j. b ) + ( c + j. d ) = ( a + c ) + j ( b + d ) 2.11.2 Afrekking me asio rekenmachine ( a + j. b ) ( c + j. d ) = ( a c ) + j ( b d ) 2.11.3 Vermenigvuldiging van complexe geallen me asio rekenmachine ( a + j. b).( c + j. d) =... + j... Pol ( a, b ) = m ( lenge van vecor ) F α ( hoek van vecor) of m α Pol ( c, d ) = n ( lenge van vecor ) F = β ( hoek van vecor ) of n β ( a + j. b ).( c + j. d ) = ( m α ).( n β ) = m. n α + β 2.11.4 Deling van complexe geallen me asio rekenmachine ( a + j. b) =... + j... ( c + j. d) Pol ( a, b ) = m ( lenge van vecor) F α ( hoek van vecor) of m α Pol ( c, d ) = n ( lenge van vecor) F = β ( hoek van vecor ) of n β m ( a + j. b ) / ( c + j. d ) = ( m α ) / ( n β ) = α β n 20
2.11.5 oefening 1 Geg. : = 10A ϕ = 70 U = 25 V ϕ = 30 Gevr.: Z = Oplos.: 21
2.11.6 oefening 2 Geg. : Z = 10 + j.5 U = 25 V ϕ = 30 Gevr.: = Oplos.: 22
2.12 Fase De fase van een sinusvormige grooheid is de hoek ussen de oorsprong van he assenselsel en he nulpun van de sinusvormige grooheid. Voorwaarden - de hoek aanduiden vanaf de oorsprong naar he nulpun (+ of -). - de grooheid moe sijgen na he beschouwde nulpun. - seeds de kleinse hoek beschouwen. Algemene uidrukking : i =.sin( α β ) Me β : fase in of in rad m ndien 0 β < (VOOJEN) ndien 0 β > (NAJEN) 23
PS: vecoren in de vecoriele voorselling worden seeds geekend in de sand die ze innemen op he ogenblik = 0. 2.13 Faseverschuiving Faseverschuiving of faseverschil ussen wee sinusvormige grooheden is he verschil van de fasen van beide grooheden. Formule: β = β β E We zeggen de sroom ijl β na (of voor) op de spanning E (zie figuur) 24
3 Enkelvoudige wisselsroomkeens 3.1 De zuiver ohmse kring. 3.1.1 De zuiver ohmse (resisieve) kring aangesloen op een wisselspanning u = U.sin(. ) M ω Grafische voorselling Vecoriële voorselling ( = 0) 3.1.2 We van ohm bij een zuiver ohmse kring. U U Zuivere weersand op wisselspanning = Z = = Z =... Ω 25
3.2 De zuiver inducieve keen. 3.2.1 De zuiver inducieve keen (ideale spoel) aangesloen op een wisselspanning Wanneer we de spoel aansluien op een wisselspanning krijgen we een wisselsroom i =.sin( ω. ) De veranderende wisselsroom wek een zelfinduciespanning op in de spoel volgens volgende formule: E =. M Vecoriële voorselling ( = 0) 26
3.2.1.1 We van ohm bij een zuiver inducieve kring. EZ =. De gemiddelde spanning opgewek in een vierde van een periode word dan: Egem =. Zuivere spoel op wisselspanning U U = = Z Z = = ω. = 2. π. f. ( Ω) 27
3.3 De zuiver capaciieve keen 3.3.1 De zuiver capaciieve keen (ideale condensaor) aangesloen op een wisselspanning. Vecoriële voorselling 28
3.3.1.1 We van ohm bij een zuiver capaciieve kring. Zuivere condensaor op wisselspanning U U = Z 1 1 ( ) = Z = = ω. = 2. π. f. Ω 29
3.4 Samenvaing 30
3.5 omplexe schrijfwijze van de spanning en sroom in een, en kring. 3.5.1 - kring = + j.0 U = U + j.0 U U + j.0 U = = = = + j.0 = = 0 3.5.2 - kring = + j.0 U = 0 + j.. U 0 + j.. = = = + j.0 j. = j. = 90 3.5.3 - kring = + j0 U = 0 j.. U 0 j.. = = = j. + j0 = j. = 90 31
4 Serieschakeling. 4.1 Keen van weersand en spoel in serie (de - seriekeen). Elekrisch schema.. ur uur uur = = uur uuur uur U = U + U Vecordiagram seriekeen Je eken eers de vecor van de elekrische grooheid die in de wee componenen gelijk is. Di is bij een serieschakeling de sroom vecor ur uur uur = = uur uuur uur U = U + U Opgele : Teken deze hoek alijd van naar U. Merken we op da de hoek bij een seriekeen posiief is. Spanningsdriehoek Vermis di een rechhoekige driehoek is kunnen we wiskundig schrijven da : U = U + U 2 2 U U U sinϕ =, cosϕ =, g ϕ = U U U 32
De impedaniedriehoek Hierin is: Z = + 2 2 Wa gebeur er me de hoek ϕ indien je de frequenie vergroo? eg ui, sap voor sap. sinϕ =, cosϕ = Z Z =, g ϕ = Opmerking: Bij de enkelvoudige wisselsroomkeens (4EM) merken we op da een ideale spoel in de prakijk nie besaa!!! Je kan namelijk geen spoel wikkelen me een draad waarvan de ohmse weersand gelijk is aan 0 Ω. Bv.: een spoel van koperdraad. ρ = 0.0175. 10-6 Ω m²/m of 0.0175 Ω mm²/m. Een prakische spoel besaa dus ui een inducanie en een ohmse weersand. Een prakische spoel is dus een seriekeen. 4.1.1 omplexe voorselling. U =. + j.. = + j.0 U. + j.. Z = = + j.0 Z = + j. 33
4.2 Oefeningen 4.2.1 Oefening - seriekeen (Grafische oplossing). Geg. = 80 Ω, = 0, 4 H, U = 100 V 60 Hz Gevr. Z,, ϕ, U, U Z 2 2 = 80 + 150, 79 = 170, 703 Ω U 100 = = = 0, 5858A Z 170, 703 Ω 150, 79 an( ϕ) = = 80 ϕ = 62,05 U =. = 0, 5858.80 = 46,865 V U =. = 0, 5858 A.150, 79 = 88,3 V Teken horizonaal 34
4.2.2 Oefening - seriekeen (omplexe rekenwijze). Geg. = 80 Ω, = 0, 4 H, U = 100 V 60 Hz Gevr. Z,, ϕ, U, U ϕ = 62,05 Z = + j. = 80 + j.150, 79 Z = pol(80,150.79) = 170, 703 Ω U = 100 + j.0 U 100 + j.0 100 0 = = = = of 0,5858 62, 05 Z 80 + j.150, 79 170.69 62, 05 = 0,5858A U =. = (0,5858 62, 05 ).(80 0 ) = 46,865 62, 05 U =. = (0,5858 62, 05 ).(150, 79 90 ) = 88, 31 27.95 U = 88,31V Teken U horizonaal 35
4.3 Keen me weersand en condensaor in serie ( - seriekeen). Elekrisch schema.. uur uuur uuur U = U + U ur uur uur = = Vecordiagram seriekeen Je eken eers de vecor van de elekrische grooheid die in de wee componenen gelijk is. Di is bij een serieschakeling de sroom vecor uur uuur uuur U = U + U ur uur uur = = Opgele: Teken deze hoek alijd van naar U. Merken we op da de hoek bij een seriekeen..is. Spanningsdriehoek Vermis di een rechhoekige driehoek is kunnen we wiskundig schrijven da: U = U + U 2 2 U U sinϕ =, cosϕ = U U, U g ϕ = U 36
De impedaniedriehoek 2 2 Z = + sinϕ =, cosϕ = Z Z =, g ϕ = Wa gebeur er me de hoek ϕ indien je de frequenie vergroo? eg ui, sap voor sap. Opmerking: Een condensaor in de prakijk kom bijna overeen me een ideale condensaor. He diëlekricum ussen de 2 plaen van een condensaor is echer nooi 100 % volmaak. 4.3.1 omplexe voorselling. U =. j.. = + j.0 U. j.. Z = = = j. + j.0 37
4.3.2 oefening - seriekeen (Grafische oplossing) Geg. = 2 Ω, = 100 µ F, U = 40 V 50 Hz Gevr. Z,, ϕ, U, U 1 = = 31,831 Ω 2. π. f. Z = + = 31.894Ω 2 2 U 40 = = = 1, 254A Z 31.894Ω an( ϕ) = ϕ = 86, 412 U =. = 1, 254.2 = 2,508V U =. = 1, 254.31,831 = 39,921 V Teken horizonaal 38
4.3.3 oefening - seriekeen (omplexe oplossing) Geg. = 2 Ω, = 100 µ F, U = 40 V 50 Hz Gevr. Z,, ϕ, U, U 1 = = 31,831 Ω 2. π. f. Z = 2 j.31,831 U 40 + j.0 = = = 1, 254A 86, 412 Z 2 j.31,831 U =. = (1, 254 A 86,412 ).(2 0 ) = 2,508 V 86,412 U =. = (1, 254 A 86, 412 ).(31,831 90 ) = 39, 921 V 3, 588 Teken U horizonaal 39
4.4 Keen van weersand, spoel en condensaor in serie (de - seriekeen). Elekrisch schema. uur uuur uur uuur U = U + U + U ur uur uur uur = = = Vecordiagram seriekeen Je eken eers de vecor van de elekrische grooheid die in de drie componenen gelijk is. Di is bij een serieschakeling de sroom vecor Teken eveneens de faseverschuivingshoek ϕ ussen de aangelegde spanning U en de oale sroom. Opgele : Teken deze hoek alijd van naar U. Wanneer de vecor U groer is dan U, dan is de hoek. Wanneer de vecor U groer is dan U, dan is de hoek. 40
Spanningsdriehoek De impedaniedriehoek Hierin is: U = U + ( U U ) Hierin is: Z = + ( ) 2 2 2 2 U U sinϕ = U U cosϕ = U U U gϕ = U sinϕ = Z cosϕ = gϕ = Z 4.4.1 omplexe voorselling. U =. + j.. j.. = + j.0 U. + j.. j.. Z = = + j.0 Z = + j. j. 41
4.4.1.1 nvloed van de frequenie. Wa gebeur er me de hoek ϕ indien je de frequenie vergroo? eg ui, sap voor sap. Wanneer de frequenie daal zal in ons geval de hoek ϕ.. Voor één bepaalde frequenie zal de hoek ϕ dus gelijk zijn aan 0. Op da ogenblik is U in fase me. Wanneer bij een seriekeen de bronspanning U in fase is me de oale sroom, dan spreken we van serieresonanie. Vecordiagram serieresonanie Bij serieresonanie is U gelijk aan U U = U = eid nu zelf de formule af voor he berekenen van de resonaniefrequenie fr. = Bepaal eveneens de grooe van de impedanie Z bij resonanie. Beslui : Bij serieresonanie is de impedanie he. Hij is dan namelijk gelijk aan. De sroomserke zal dan zijn. Wanneer de ohmse weersand klein is kan di leiden o zeer groe sromen!!! 42
4.4.2 esonaniekrommen Z = f(f) en = f(f). = = = U= f c Z 0 ###### 0 ###### ##### 10 154,32 6,48 148,18 1,35 20 77,16 12,96 64,975 3,078 30 51,44 19,44 33,526 5,965 40 38,58 25,92 16,133 12,4 50 30,864 32,4 10,117 19,77 60 25,72 38,88 16,528 12,1 70 22,046 45,36 25,368 7,884 80 19,29 51,84 34,051 5,873 90 17,147 58,32 42,37 4,72 100 15,432 64,8 50,371 3,971 43
4.5 oefening - seriekeen 4.5.1 Oef 1 (Grafische oplossing) = 10 Ω = 0,1 H = 100µ F U = 200 V f = 30 Hz = 18.85Ω = 53,05Ω Z = + ( ) = 35,63 Ω 2 2 anϕ = = 73, 70 U 200 = = = 5,613A Z 35,63 U =. = 5,613.10 = 56,126 V U =. = 5,613.18.85 = 105, 79 V U =. = 5,613. 53,05 = 297,75 V - Teken he vecorendiagram (,U,U,U,U) en plaas de vecor horizonaal 44
4.5.2 Oef 2 (complexe oplossing) Geg.: = 10 Ω = 0,1 H = 100 µ F U = 200 V f = 30 Hz Gevr.: Z,, ϕ, U, U, U, U Opl.: = 18.85Ω = 53,05Ω Z = 10 + j.18.85 j.53, 05 = 10 j.34, 20 = 35, 63 73, 70 U = 200 + j.0 U 200 + j.0 200 0 = = = = 5,613 73,70 Z 10 j.34, 20 35, 63 73, 70 U =. = (5, 613 73, 70 ).(10 0 ) = 56,126 73, 70 U =. = (5, 613 73, 70 ).(18.85 90 ) = 105, 79 163, 70 U =. = (5,613 73,70 ).(53,05 90 ) = 297,75 16,29 - Teken he vecorendiagram (,U,U,U,U) en plaas de vecor U horizonaal 45
4.5.3 Prakische vormen van serieschakeling 4.5.4 Smoorspoel 46
4.5.5 Opslorpen van vonken 4.5.6 Afsemkring van radio-onvangersonvangers 47
5 Parallelschakeling 5.1 Keen van weersand en spoel in parallel (de parallelkeen). Elekrisch schema. ur uur uur = + uur uuur uur U = U = U Vecordiagram parallelkeen Je eken eers de vecor van de elekrische grooheid die in de wee componenen gelijk is. Di is bij een parallelschakeling de spanningsvecor : U uur Teken eveneens de faseverschuivingshoek ϕ ussen de aangelegde spanning U en de oale sroom. Opgele : Teken deze hoek alijd van naar U. Merken we op da de hoek bij een parallelkeen..is. 48
Teken, verrekkende van he vecordiagram, de sromendriehoek. Sromendriehoek Vermis di een rechhoekige driehoek is kunnen we wiskundig schrijven da : = + 2 2 sinϕ = cosϕ = gϕϕ = De admianiedriehoek. Schrijf voor iedere sroom de we van Ohm. 49
We bekomen alzo de admianiedriehoek. Hierin is : 2 2 1 1 1 = + Z of 2 1 1 1 1 1 = + = + Z of Z = 1 1 1 + 2 2 2 2 2 2 1 1 Z Z sinϕ = = cosϕ = = 1 1 Z Z 1 gϕ = = 1 Opmerking : de weersandendriehoek besaa hier nie ui ; (zoals bij de seriekeen), maar wel ui 1 1 1, en. Z We spreken dan ook nie van een impedaniedriehoek, maar wel van een admianiedriehoek. 1 = admianie, word soms ook aangeduid me he symbool Y Z Wa gebeur er me de hoek ϕ indien je de frequenie vergroo? eg ui, sap voor sap. 50
omplexe voorselling U = U + j.0 = j. U 1 = = U U 1 = = U 1 1 1 Y = = j. Z U U + j.0 U 1 j. Z = = = = = j. j. j. Z U U U 1 1 1 1 1 Y = = + = + Z j. j 2 = 1 j j = = = j. j. 2 1 1 ( 1) 1 1 Z 51
5.2 Keen me weersand en condensaor in parallel ( parallelkeen). Elekrisch schema.. ur uur uur = + uur uuur uuur U = U = U Vecordiagram parallelkeen Je eken eers de vecor van de elekrische grooheid die in de wee componenen gelijk is. Di is bij een parallelschakeling de spanningsvecor : U uur ur uur uur = + uur uuur uuur U = U = U Teken eveneens de faseverschuivingshoek ϕ ussen de aangelegde spanning U en de oale sroom. Opgele : Teken deze hoek alijd van naar U. Merken we op da de hoek bij een parallelkeen..is. 52
Teken, verrekkende van he vecordiagram, de sromendriehoek. Sromendriehoek Vermis di een rechhoekige driehoek is kunnen we wiskundig schrijven da : = + 2 2 sinϕ = cosϕ = gϕϕ = De admianiedriehoek. Schrijf voor iedere sroom de we van Ohm. 53
We bekomen alzo de admianiedriehoek. Hierin is : 2 2 1 1 1 = + Z of 2 1 1 1 1 1 = + = + Z of Z = 1 1 1 + 2 2 2 2 2 2 1 1 Z Z sinϕ = = cosϕ = = 1 1 Z Z 1 gϕ = = 1 Opmerking : de weersandendriehoek besaa hier nie ui en (zoals bij de seriekeen), maar wel ui 1 1 1, en. Z We spreken dan ook nie van een impedaniedriehoek, maar wel van een admianiedriehoek. 1 = admianie, word soms ook aangeduid me he symbool Y Z Wa gebeur er me de hoek ϕ indien je de frequenie vergroo? eg ui, sap voor sap. omplexe voorselling 1 1 1 1 1 Y = = + = + Z j. U U = U + j.0 = = U U = = U. Y = = j. Z 54
5.3 Keen van weersand, spoel en condensaor in parallel (de parallelkeen). Elekrisch schema. uur uuur uuur uur U = U = U = U ur uur uur uur = + + Vecordiagram parallelkeen ur uur uur uur = + + Teken eveneens de faseverschuivingshoek ϕ ussen de aangelegde spanning U en de oale sroom. Opgele : Teken deze hoek alijd van naar U. Wanneer de vecor groer is dan, dan is de hoek. Wanneer de vecor groer is dan, dan is de hoek. 55
Teken, verrekkende van he vecordiagram, de sromendriehoek. Sromendriehoek Vermis di een rechhoekige driehoek is kunnen we wiskundig schrijven da : = sinϕ = cosϕ = gϕ = Sromendriehoek We schrijven voor iedere sroom de we van Ohm. Admianiedriehoek. We bekomen zo de admianiedriehoek. Hierin is : 2 1 = Z of 1 = Z Z = sinϕ = = cosϕ = = gϕ = = 56
Wa gebeur er me de hoek ϕ indien je de frequenie vergroo? eg ui, sap voor sap. omplexe voorselling 1 1 1 1 1 1 1 U Y = = + + = + + = = Z Z1 Z2 Z j. j. 3 U U = U + j.0 = = j. U U = = U. Y = = j. Z 57
Wanneer de frequenie sijg zal in ons geval de hoek ϕ.. Voor één bepaalde frequenie zal de hoek ϕ dus gelijk zijn aan 0. Op da ogenblik is U in fase me. Wanneer bij een parallelkeen de bronspanning U in fase is me de oale sroom, dan spreken we van parallelresonanie. Zie ondersaand vecordiagram. Bij parallelresonanie is gelijk aan = = = = eid nu zelf de formule af voor he berekenen van de resonaniefrequenie fr. Bepaal eveneens de grooe van de impedanie Z bij resonanie. Beslui : Bij parallelresonanie is de impedanie he. Hij is dan namelijk gelijk aan. De sroomserke zal dan zijn. 58
5.4 Oefeningen op parallelkeens. 5.4.1 oefening - parallelkeen (Grafische oplossing) Geg. = 50 Ω, = 0,5 5 H, U = 100 V 50 Hz Gevr. Bereken Z,, ϕ,,, Teken, ϕ,,, U = 2. π. f. = 157,08 Ω 1 Z = = 47,645Ω 1 1 + 2 2 U 100 = = = 2.099A Z 47,645 an( ϕ) = ϕ = 17,657 U 100 = = = 2A 50 U 100 = = = 0.637A 157,08 Teken U horizonaal 59
5.4.2 oefening - parallelkeen (omplexe oplossing) Geg. = 50 Ω, = 0,5 H, U = 100 V 50 Hz Gevr. Bereken Z,, ϕ,,, Teken, ϕ,,, U = 2. π. f. = 157,08 Ω 1 1 1 1 1 1 1 1 0 Y = = + = + = + = 0.02 + Z j. 50 j.157,08 157,08 90 1 Y = 0.02 + 0 90 = 0.02 + (0,0063662 90 ) 157,08 Y = 0.02 j.0,0063662 = 0.021 17.657 = 100 + j.0 U = U. Y = (100 0 ).(0.021 17.657 ) = 2.099A 17.657 U 100 0 = = = 2A 0 50 0 U 100 + j.0 100 0 = = = =0.637 90 j.157,08 157,08 90 Teken U horizonaal 60
5.4.3 oefening - parallelkeen (omplexe oplossing) (2 de oplossing) Geg. = 50 Ω, = 0,5 H, U = 100 V 50 Hz Gevr. Bereken Z,, ϕ,,, Teken, ϕ,,, U Z Z = 2. π. f. = 157,08 Ω = 0 + j.157,08=157,08 90 = 50 + 0. j = 50 0 Z. Z (157,08 90 ).(50 0 ) (7853 90 ) 7853 90 Z = = = = = 47,64 17,66 Z + Z (0 + j.157,08) + (50 + 0. j) 50 + j.157,08 164,84 72, 34 U = 100 + j.0 U 100 0 = = = 2.099 A 17.66 Z 47,64 17,66 U 100 0 = = = 2A 0 50 0 U 100 + j.0 100 0 = = = =0.637 90 j.157,08 157,08 90 Teken U horizonaal 61
5.4.4 oefening - parallelkeen (Grafische oplossing) Geg. = 60 Ω, = 0, 6 H, = 50 µ F, U = 220V 50 Hz Gevr. Bereken Z,, ϕ,,, Teken, ϕ,,,, U = 188,496 Ω = 63, 662 Ω 1 Z = = 50,899 Ω 1 1 1 2 + ( ) 2 U 220 = = = 4,322A Z 50,899 1 1 an( ϕ) =.( ) ϕ = -31,971 U = = 3, 667A U = = 1.167A U = = 3, 456A Teken U horizonaal 62
5.4.5 oefening - parallelkeen (omplexe oplossing) (2 de oplossing) Geg. = 60 Ω, = 0, 6 H, = 50 µ F, U = 220V 50Hz Gevr. Bereken Z,, ϕ,,, Teken, ϕ,,,, U = 188,496 Ω = 63, 662 Ω = 0 + j.188,496=188,496 90 = 0 j.63, 662=63, 662 90 = 60 + 0. j = 60 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 = + + = + + Z 60 0 63, 662 90 188,496 90 1 = 0,01666 0 + 0,01570 90 + 0,005305-90 Z 1 = 0,01666 + j.0,01570 - j.0,005305 Z 1 Y = = 0,01666 + j.0,010395 = 0, 01963 31,96 Z = 220 + j.0 U U = = U. Y = (220 0 ).(0, 01963 31,96 ) = 4,318A + 31, 96 Z U 220 0 = = = 3, 666 0 60 0 U 220 0 = = = 1,167 90 188,496 90 U 220 0 = = = 3, 455 + 90 63, 662 90 63
Teken U horizonaal 64
5.4.6 oefening - parallelkeen (omplexe oplossing) (3 de oplossing) Geg. = 60 Ω, = 0, 6 H, = 50 µ F, U = 220V 50 Hz Gevr. Bereken Z,, ϕ,,, Teken, ϕ,,,, U = 188,49 Ω = 63, 662 Ω = j.63, 662 = 60 = j.188,49 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + Z j 60.63, 662 j.188.49 2 1 = j 2 2 1 ( 1) ( 1) ( j ) ( j ) = 0,01666 + + = 0,01666 + + Z j.63, 662 j.188.49 j.63, 662 j.188.49 1 j j = 0,01666 + Z 63,662 188.4 9 1 = 0,01666 + j.0,01570 - j.0,005305 Z 1 Y = = 0,01666 + j.0,010395 = 0, 01963 31, 96 Z = 220 + j.0 U U = = U. Y = (220 0 ).(0, 01963 31, 96 ) = 4,318 A + 31, 96 Z U 220 0 = = = 3, 666 0 60 0 U 220 0 = = = 1,167 90 188,496 90 U 220 0 = = = 3, 455 + 90 63, 662 90 65
5.5 Prakische vormen van parallelschakeling 5.5.1 Verbeeren van de arbeidsfacor Zie einde cursus. 5.5.2 Afsemmen van een radio-onvanganenne. Tekeninganenne -seriekring -parallelkring 66
7 De gemengde schakeling 7.1 De serie - parallelschakeling. 1. Elekrisch schema U = U = U =. =. U = = 2. Vecordiagram : ak 1 ( aangesloen op de bronspanning) 67
3. Vecordiagram : ak 2 (spoel ( serie) aangesloen op de bronspanning) Vergee de hoek ϕ nie e ekenen!!! 68
4. Vecordiagram : ak 1 + ak 2 Bij he maken van de som van beide vecordiagrammen is he noodzakelijk om eers de vecor e ekenen die in de wee vecordiagrammen gemeenschappelijk is. Di is de vecor. Teken daarom eers he vecordiagram van ak 1 over (condensaor). Plaas dan he vecordiagram van de spoel () over deze ekening me de..vecor als gemeenschappelijke vecor. Teken vervolgens al de vecoren over. Teken uieindelijk de vecor ( = ). Duid eveneens de hoek ϕ aan. 69
5. Bepalen van de oale sroom. (GAFSHE METHODE) 6. Bepalen van de faseverschuivingshoek ϕ. 70
7. Bepalen van de oale sroom. (OMPEE METHODE) = 2. π. f.. j j = 2. π. f. Z = + 2. π. f.. j j = 2. π. f. Z 1 1 1 = = + Z Z Z Y U = U + j.0 U 1 = = U..... = U Y = ϕ Z Z U = =... ϕ Z = U 71
7.1.1 oefening - gemengde kring (omplexe oplossing) Geg. = 35 Ω, = 0, 65 H, = 10 µ F, U = 220 V 50 Hz Gevr. Bereken Z, Z,,,, ϕ, ϕ, U, U Teken,,, ϕ, ϕ, U, U, U = 2. π. f.. j = 204,20. j j = = -318,31. j 2. π. f. Z Z = + 2. π. f.. j = 35 + 204,20. j = 207.18 80.274 j = = -318,31. j 2. π. f. 1 1 1 1 1 1 0 1 0 = + = + = + Z Z Z 35 + 204,20. j -318,31. j 207,18 80.274 318,31 90 1 = (0,0048266 80.274 ) + (0,0031415 90 ) = (0,00081538-0,0047572.j) 72.j) + (0,0031415.j) Z 1 = 0,00081538-0,0016157.j = 0,0018097 63.222 Z 1 = Y Z U = U + j.0 U = = U. Y (220 0 ).(0,0018097 63.222 ) 0.398 63.222 = = => ρ = 63.222 Z U 220 0 = = = 1.062 80.274 => ρ 80.274 = Z 207.181 80.274 U 220 0 = = = 0.691 90 318,31 90 U =. = 1.062 80.274.35 0 = 37.166 80.274 U =. = 1.062 80.274.204,204 90 = 216.838 9.726 72
Teken U horizonaal 73
7.1.2 De serie - parallelkring in de prakijk. Beschouwen we even onze school. De voornaamse verbruikers zijn hier elekromooren (in prakijk mechanica en prakijk elekriciei) en T lampen. We kunnen he elekrisch schema dus vereenvoudigd voorsellen als een..keen aangesloen op een wisselspanning. schema vecordiagram Voor he bepalen van de verbruike energie (aanal kwh) word enkel de acieve sroomserke a (zie hoofdsuk 2 : éénfasig vermogen) in rekening gebrach. n de prakijk kan he nuig zijn om de sroom naar de school () e verkleinen o de sroom (). We verkleinen dan nie alleen de spanningsverliezen in de leidingen (.leiding), maar ook de vermogenverliezen ( ². leiding). He verkleinen van de sroom kan men bereiken door condensaoren in parallel e schakelen me de verbruiker. Zie ondersaand schema. Schema vecordiagram 74
8 Vermogen en arbeidsfacor (bij een sinusvormige wisselsroom) 8.1 Momeneel vermogen 8.1.1 Verband ussen momeneel en gemiddeld vermogen. n de loop van he 3 e jaar heb je volgende formule van he vermogen gebruik : P = U. Hierin was : P = gemiddeld vermogen uigedruk in W (Pgem). U = effecieve waarde van de spanning in V = effecieve waarde van de sroom in A. Bij een wisselspanning aangesloen op een weersand zien we da de sroom en spanning op elk ogenblik anders zijn. (zie ondersaande figuur) He vermogen zal dus ook veranderlijk zijn. (zie ondersaande figuur) He gemiddeld vermogen is opgebouwd ui de som van een aanal momenele vermogens gedeeld door he aanal. p1 + p2 + p3 +... + p9 P gem = 9 p = u. i Hierin is : u = U M. sin( ω. ) i = M. sin( ω. ) (zie 4 e jaar). p = U = U M M.sin( ω. ).. M 2.sin ( ω. ) 2 = K.sin ( ω. ) 2 = K.sin ( α ) M.sin( ω. ) me U. K M M = 75
Beschouwen we de helf van een halve periode van een sinusvorm. We berekenen hier 9 maal he momeneel vermogen (p1 o p9) α1 = 5 α2 = 15 α3 = 25.. α9 = 85 p1 = K. sin ² α1 p1 = K. sin ² 5 p1 = K... p2 = K. sin ² α2 p2 = K. sin ² 15 p2 = K... p3 = K. sin ² α3 p3 = K. sin ² 25 p3 = K... p4 = K. sin ² α4 p4 = K. sin ² 35 p4 = K... p5 = K. sin ² α5 p5 = K. sin ² 45 p5 = K... p6 = K. sin ² α6 p6 = K. sin ² 55 p6 = K... p7 = K. sin ² α7 p7 = K. sin ² 65 p7 = K... p8 = K. sin ² α8 p8 = K. sin ² 75 p8 = K... p9 = K. sin ² α9 p9 = K. sin ² 85 p9 = K... Vervolgens bepalen we he gemiddeld vermogen. p1+ p2 + p3 +... + p9 P gem = =... 9 P gem = K. 0.5 en K = Um. m P gem = Um. m. 0.5 Werk verder ui wanneer je wee da Um = 2. U en m = 2. Je bekom uieindelijk de bekende formule : P = U. Bij de wisselsroomheorie kunnen we 3 verschillende ypes van belasing onderscheiden, namelijk : - zuiver ohmse belasing - zuiver capaciieve belasing - zuiver inducieve belasing. 76
8.1.2 Momeneel vermogen bij een zuiver ohmse belasing. Elekrisch schema. Vecoriële voorselling Fig. 2.1 Fig 2.2 Sinusvormige voorselling p u i 360 α ( ) Fig 2.3 Vasselling : He gemiddeld vermogen is seeds posiief (+). D.w.z. da er seeds een bepaald vermogen ui he ne onrokken word. He verloop van he vermogen is volgens de uidrukking p = Um. m. sin ² ω (zie blz. 1). He gemiddeld vermogen is hier gelijk aan : P = U. Wanneer di vermogen gedurende een bepaalde ijd onrokken aan he ne spreken we van energie. mmers : W = P.. aer noemen we deze energie acieve energie omda he vermogen op ieder ogenblik posiief is. 77
8.1.3 Momeneel vermogen bij een zuiver capaciieve belasing. Elekrisch schema. Vecoriële voorselling Fig. 2.4 Fig 2.5 Sinusvormige voorselling p u i 360 α ( ) Fig 2.6 Vasselling : He verloop van he vermogen is vergelijkbaar me een sinusvorm. Di verloop heef echer een dubbele frequenie.o.v. u en i. Merken we op da he vermogen echer afwisselend posiief (+) en negaief (-) is. Er word dus eers een bepaald vermogen ui he ne onrokken (+) en nadien word hezelfde vermogen erug afgevoerd naar he ne (-). He gemiddeld vermogen van een zuiver capaciieve belasing is gelijk aan.. M.a.w.: P =.. W. He vermogen word als he ware seeds ui he ne onrokken en nadien weer eruggevoerd. Wanneer di verschijnsel een bepaalde ijd plaasvind spreken we nie meer van vermogen, maar van energie ( W = P. ). De energie die seeds heen en weer geslingerd word ussen de condensaor en he ne noemen we dan ook slingerenergie of blinde energie. aer noemen we di reacieve energie. 78
8.1.4 Momeneel vermogen bij een zuiver inducieve belasing. We beschouwen hier een zuiver inducieve belasing. Di ype belasing kom in de prakijk echer nooi voor. (zie seriekeen). Elekrisch schema. Vecoriële voorselling Fig. 2.7 Fig 2.8 Sinusvormige voorselling p u i 360 α ( ) Fig 2.9 Vasselling : We bekomen hezelfde verloop als bij de zuiver capaciieve belasing. Di verloop is echer in egenfase (180 verschoven).o.v. de capaciieve belasing. He gemiddeld vermogen is gelijk aan.. P =. W. We bekomen hier dus ook weer de zogenaamde slingerenergie of reacieve energie. 79
8.2 Acief en reacief vermogen. Beschouwen we even een prakische verbruiker. Bijvoorbeeld een elekromoor. ( seriekeen) De faseverschuiving is gelijk aan + 30 (ϕ = 30 ). Teken zelf he vecordiagram verrekkende van de spanning U U Fig. 2.10 He verloop van de spanning (u), de sroom (i) en he vermogen (p) vind je in de ondersaande ekening. (ϕ = 30 ) Fig. 2.11 80
Vasselling : He vermogen da ui he ne onrokken word (+) is beduidend groer dan he vermogen da eruggevoerd word naar he ne (-). Di ype van belasing besaa dus ui de som van 2 vorige belasingsgevallen. Namelijk : een zuiver ohmse en een zuiver inducieve belasing. Zuiver ohms zuiver inducief Samen geef di een gemengde belasing ( ϕ =... ) Fig. 2.12 Omgekeerd kunnen we sellen da de vecor kan onbonden worden in een componen a die in fase is me de spanning U (zuiver ohms) en een componen r die 90 verschoven is (in di geval naijlend) op de spanning U. Ui pun 8.1.2 ween we da he gemiddeld vermogen veroorzaak door componen a gelijk is aan : P a = U. a Ui pun 8.1.4 ween we da he gemiddeld vermogen veroorzaak door componen r gelijk is aan : P r = 0 W He gemiddeld vermogen veroorzaak door de sroom is gelijk aan he gemiddeld vermogen van a + he gemiddeld vermogen van r. P = Pa + Pr P = U. a + 0 P = U. a a kan geschreven worden als. cos ϕ ( immers cos ϕ = arbeidsfakor) We bekomen aldus volgende uidrukking : P = U.. cos ϕ (W) 81
Enkel de componen a zorg voor he geleverde vermogen ui he ne. We noemen de componen a dan ook acieve sroomcomponen of Wa-componen. De componen r lever geen vermogen op geleverd door he ne. Hij word dan ook reacieve of blinde sroomcomponen genoemd. De energie die r veregenwoordig noemen we slingerenergie. He vermogen word reacief of blind vermogen genoemd? Beslui : Een bron lever uisluiend energie via de acieve sroomcomponen a. He is dus enkel deze energie die beaald dien e worden door de verbruiker. mmers W = P. = ( W. s) of ( kw. h ) = ( kwh) en 1 kwh kos ongeveer 0.15 euro. 8.3 De vermogendriehoek. Vermis we de oale sroom kunnen onbinden in een acief en een reacief deel, kunnen we ook he vermogen onbinden in een acief en een reacief deel. Beschouwen we erug he vecordiagram van figuur 2.12. Fig. 2.13 We eken nu de sromendriehoek en vermenigvuldigen elke sroom me de spanning U. Je bekom alzo de vermogendriehoek (zie figuur 2.14) 82
Vermogendriehoek. Hierin is: 2 2 S = P + Q Fig. 2.14 sinϕ = Q S P, cosϕϕ =, S Q g ϕ = P Hierin is : P = he acief vermogen onrokken ui he ne P = U. a of P = U.. cos ϕ Symbool : P Eenheid : W Q = he reacief vermogen. Q = U. r of Q = U.. sin ϕ Di saa in voor de energie door bron en verbruiker voordurend word uigewisseld (slingerenergie). Symbool : Q Eenheid : var (= vol-ampère-reacief) S = he schijnbaar vermogen. S = U. Di zou he vermogen zijn indien de spanning U en de sroom in fase zouden zijn. Symbool : S Eenheid : VA (vol-ampère). 2.4 Vermogen in de prakijk. 2.4.1 He acief vermogen. De vermelding van he acief vermogen kom verui he mees voor. Vb : gloeilamp Fornuis Koffieze Elekromoor P = 60 W P = 7 kw P = 900 W P = 2.2 kw (opgele : 83
8.3.1 eacief vermogen Di kom vooral voor bij groe condensaoren (condensaorbaerijen) en elekromooren (word hier echer nie rechsreeks vermeld) Vb.: ondensaorbaerij (zie verbeeren arbeidsfacor) Q = 15 kvar. (zie caaloog Merlin Gerin). 8.3.2 Schijnbaar vermogen. Di word vooral vermeld bij ransformaoren. Vb.: Didacische ransfo s in.e. Hoogspanningsransfo TSJ Hoogspanningsransfo Elecrabel S = 100 VA S = 250 kva S = 1 MVA. 8.4 Arbeidsfacor. 8.4.1 Begrip arbeidsfacor. (Power Facor) Wanneer je in de prakijkles he ypeplaaje van een elekromoor bekijk dan kan je onder andere he volgende aflezen : cos ϕ = 0.75 Beschouwen we even he vecordiagram van zo n moor. Als de cos ϕ = 0.75, dan is de hoek ϕ gelijk aan bg cos 0.75 of ϕ = 41,4 Fig. 2.15 De vermogendriehoek : 84
Hoe groer de hoek ϕ is, hoe kleiner de cos ϕ. Vb.: ϕ = 0 cos ϕ = (. belasing) ϕ = 60 cos ϕ = ϕ = 90 cos ϕ = (. belasing) Hoe groer de faseverschuivingshoek ϕ, hoe kleiner P en hoe groer Q De verhouding ussen he acief vermogen P en he schijnbaar vermogen S noemen we de arbeidsfacor. Arbeidsfacor P = S = cos ϕ (arbeidsfacor = cos ϕ : enkel bij sinusvormige spanningen en sromen) De grooe van de cosϕ of arbeidsfacor is afhankelijk van de aangesloen verbruiker. Vb.: cos ϕ gloeilamp cos ϕ condensaor cos ϕ kookplaa cos ϕ elekromoor ϕ = en cos ϕ = ϕ = en cos ϕ = ϕ = en cos ϕ = ϕ = 38 en cos ϕ = 8.4.2 Belang van de arbeidsfacor op de geleverde sroomserke. Verondersellen we een verbruiker me een acief vermogen van 2200 W die aangesloen is op een spanning van 220 V. Bereken en eken de opgenomen sroom bij een arbeidsfacor van respecievelijk : cos ϕ1 = 1 cos ϕ2 = 0.867 cos ϕ3 = 0.5 P = U.. cos ϕ dus = 1 =. =..A 2 =. =..A 3 =. =..A Teken deze 3 sromen op ondersaand vecordiagram. (1cm = 2 A) Zie blz.... 85
U Fig. 2.16 Beslui : Zoveel e slecher (kleiner) de cosϕ van een verbruiker is, zoveel e..moe de geleverde sroom worden. Gevolg : bij een groere sroom zal de kabeldoorsnede ook oenemen. Een goede cosϕ is dus wel belangrijk. Oplossing : Je kan de arbeidsfacor verbeeren door een condensaor in parallel e schakelen me de verbruiker (Zie serie parallelkeen) 8.4.3 Belang van de arbeidsfacor op gebied van vermogen. Zie handboek pun 8.5.3 blz.. Beslui : Als de arbeidsfacor van de verbruiker slecher word (daal), zal ook he geleverde acief vermogen van de sroomleverancier dalen! Nemen we even figuur 2.16 erug. Bij een cosϕ van 0.5 moe er een sroom door he ne geleverd worden van 20 A, erwijl slechs 10 A nodig is om he gewense acief vermogen e kunnen leveren. Enkel de acieve energie dien beaald e worden aan bv. nerelekra. Je beaal enkel de hoeveelheid kwh (nie kvarh of kvah). De sroomleverende maaschappij moe een sroom leveren van 20 A, erwijl je maar voor 10 A energie beaal. Men eis daarom da de arbeidsfacor (voor indusriële verbruikers) minsens 0.9 is. 0.9 < cos ϕ < 1 s cos ϕ kleiner dan 0.9, dan dien men een boee e bealen!!! Oplossing: plaasen van een condensaorbaerij (zie TSJ) 86
8.5 Verbeeren van de arbeidsfacor. We hebben reeds in de vorige punen gezien da een kleine arbeidsfacor r nie gunsig is. n de prakijk zal men ervoor gaan zorgen da deze nie kleiner is dan 0.9 (cos = =0.9). Om de arbeidsfacor van onze verbruiker e verbeeren gaan we er een condensaor parallel over plaasen (zie ondersaande figuur). n ondersaande figuur zie je he vecordiagram van de keen me impedanie = Z waarover een spanning U saa en waardoor een sroom z sroom. Als we hierover een condensaor plaasen krijgen we een sroom door die 90 voorijl op de spanning (zie -keen in parallel). Wanneer we deze sroom bijekenen in ons vecordiagram en de oale sroom door onze parallel-keen willen berekenen, moeen we de som nemen van onze deelsromen (=z+c). De faseverschuiving ussen sroom en spanning is kleiner geworden ( z -> ). Di beeken da de arbeidsfacor groer is geworden (cos > cos z). 87
8.6 Oefeningen. 1. Een willekeurige keen op 110-50Hz neem een sroomserke van 6,5 A die 40 verschoven is.o.v. de aangelegde spanning. Bereken de arbeidsfacor en he acief, reacief en schijnbaar van deze keen. os = cos(40 ) = 0766 S = U. = 220. 6.5 = 715 VA P = S. os = 715. 0.766 = 547.22 W Q = S. Sin = 715. 0.642 = 459.59 VA 2. Een wisselsroommoor lever aan zijn riemschijf een vermogen van 3KW. De vol- en A-meer die in de voedingskeen werden aangesloen duiden 220 V en 19A aan. De arbeidsfacor bedraag 0,8. Bereken he rendemen en he reacief vermogen da de moor opneem P oe = U..cos = 220. 19. 0.8 = 3344 W P nuig = 3000 W η= Pn/P=3000/3344 = 0.897 cos = 0.8 => = 36 52 12 Q = U..sin = 220. 19. 0.6 = 2508 VA 3. Een seriekeen beva een ohmse weersand van 40Ω, een inducanie van 100Ω en capacianie van 30Ω. De oegepase spanning is 240V-50Hz. Bereken de sroomserke, he schijnbaar vermogen, he acief vermogen, he reacief vermogen en de arbeidsfacor. 88
4) Verbeer de arbeidsfacor o 0.8 van oefening 3 door over de keen een condensaor e plaasen in parallel. Sel spanning en sroomdiagram op. Uo = 240 V Ur =. = 2.978 x 40 = 119.2 V Ux =. =. (l-c) = 2.978. (100-30) = 208 V = 2.978 A Zonder arbeidsfacorverbeering -> cos = 0.496 => = 60,26 Me arbeidsfacorverbeering -> cos v = 0.800 => v = 36,86 lijnsuk o a cos 60.26 = o a / => o a =. cos 60.26 o a = 2.978. cos 60.26 = 1.477 lijnsuk a c g 60,26 = a c / o a => a c = o a. g 60,26 lijnsuk a b g 36.86 = a b / o a => a b = o a. g 30.86 c = a c - a b = o a.g 60,26 - o a.g 36,86 c = 1.477. (g 60,26 - g 36,86 ) = 1,477 A c = U/c = U. ω. => = c / (U. ω) = 1.477 / (240. 2. 3.14. 50) = 19.59. 10-6 F Oefening 3 : opselling zonder verbeering arbeidsfacor. 89
Oefening 3 : opselling me verbeering arbeidsfacor. -> opgave bepaal de waarde van 2 zoda de faseverschuiving 0 is. 5)Een T-lamp neem 50W op ui een ne van 220V/50Hz. De sroom die door de lamp vloei = 0.591 A. Bereken de condensaor die over de lamp moe geplaas worden zoda de arbeidsfacor = 0,8. P = U.. cos cos = P/(U.) = 50 / (220. 0,591) = 0,384 = 67,38 lijnsuk o a cos 67,38 = o a / => o a =. cos 67,38 o a = 0,591. cos 67,38 = 0,227 c = a c - a a b = o a.g 67,38 - o a.g 36,86 c = 0,227. (g 67,38 - g 36,86 ) = 0,374A c = U/c = U. ω. => = c / (U. ω) = 0,374/ (220. 2. 3.14. 50) = 5.41. 10-6 F 90
6) Bereken de sroomserke, he schijnbaar vermogen, he acief vermogen, he reacief vermogen en de arbeidsfacor van he ondersaande schema (zie volle lijn). Verbeer de arbeidsfacor o 0.8 door over deze keen een condensaor e plaasen in parallel. (zie sippellijn) Teken de sroomvecoren op schaal. (, 111, 2 ) Z² = 47² + (2. 3.14. 50. 0.5 1/(2. 3.14. 50. 50.10-6 ))² Z² = 2209 + (157 63)² => Z = 104.47 ohm = 220/104.47 = 2.168 A Zonder arbeidsfacorverbeering Me arbeidsfacorverbeering -> cos = /Z = 47/104.47 = 0,449=> = 63,32 -> cos v = 0.800 => v = 36,86 Uo = 220 V Ur = 2.168. 47 = 101.896 V Ux =. = 2.168. (157 63) = 203,792 V lijnsuk o a cos 63,32 = o a / => o a =. cos 63,32 o a = 2.168. cos 63,32 = 0,973 lijnsuk a c g 63,32 = a c / o a => a c = o a. g 63,32 lijnsuk a b g 36.86 = a b / o a => a b = o a. g 30.86 c = a c - a b = o a.g 63,32 - o a.g 36,86 c = 0,973. (g 63,32 - g 36,86 ) = 1,206A c = U/c = U. ω. => = c / (U. ω) = 1,206 / (220. 2. 3.14. 50) = 17.45. 10-6 F 91