G&R vwo A deel C von Schwartzenberg 1/1 1a 1b r zijn 1 1 = 6 rondritten mogelijk (het maakt niet uit waar de rondrit begint) r zijn steeds twee rondritten met gelijke lengte (maar in omgekeerde volgorde) Utrecht 85 55 90 indhoven Haarlem Zwolle 15 150 15 10 150 10 Haarlem 10 Zwolle 90 Utrecht Zwolle 10 Haarlem 55 Utrecht indhoven 150 Zwolle 90 Utrecht Zwolle 150 indhoven 85 Utrecht indhoven 15 Haarlem 55 Utrecht Haarlem 15 indhoven 85 Utrecht totale lengte (km) 0 0 Utrecht-indhoven-Zwolle-Haarlem-Utrecht en Utrecht-Haarlem-Zwolle-indhoven-Utrecht zijn de kortste De grafen b en d zijn gelijkwaardig (beide hebben 5 knooppunten; in 1 knooppunt komen wegen en in elk de andere knooppunten komen wegen) 0 0 0 0 a r zijn 1 1 = 6 rondritten mogelijk b c en rondrit in omgekeerde richting is even lang DH 85 50 180 A G M 170 190 170 0 190 0 Advies: DH-A-G-M-DH of omgekeerd DH-M-G-A-DH G 0 M 180 DH M 0 G 50 DH A 190 M 180 DH M 190 A 85 DH A 170 G 50 DH G 170 A 85 DH totale lengte (km) 755 85 790 85 790 755 a b r zijn 1 1 =! 6,0 10 rondritten mogelijk (uit elk punt kun je op manieren starten, daarna op manieren verder gaan, ) Het duurt bijna 0 miljoen jaar (zie de berekening hiernaast) 5a De (kortste) afstand in km tussen N en R (via V) is 61 + = 8 De (kortste) afstand in minuten tussen N en R (via 's H, en W) is 9 + 1 + 17 + 1 = 81 5b De kosten een treinkaartje enkele reis tweede klas 6a Am As: ( /week) (71 + 7) (heen en terug) = 580 (km) Zw Am: 1 (1 /week) 71 (heen en terug) = 1 (km) Zw Gr: ( /week) (7 + 0) (heen en terug) = 16 (km) 6b Zie de matrix M hiernaast (heel wat gepuzzel en rekenwerk) afstand per week centraal magazijn Am Ap As Gr Zw Am 0 86 90 50 1 Ap 86 0 6 96 88 = M As580 7 0 10 96 Gr 700 59 10 0 16 166 105 66 766 9 6c Tel alle afstanden As alle andere vestigingen (kolom onder As) bij elkaar op Dus 90 + 6 + 0 + 10 = 66 (km) 6d Tel in elke kolom de getallen op (zie onder matrix M) ADVIS: magazijn in Assen (66 km/week) centraal magazijn 6e Am Am Ap: 1 (1 /week) (0 + ) (heen en terug) = 86 (km) Am Ap As Gr Zw Zw Am Ap: 1 (1 /week) (71 + + ) (andere weg terug) = 158 (km) Am-Ap 86 86 06 66 158 Am As Gr: 1 (1 /week) (71 + 7 + 0) (heen en terug) = 50 (km) = N As-Gr 50 96 60 60 08 Zw As Gr: 1 (1 /week) (7 + 0) (heen en terug) = 08 (km) 6 8 66 6 66 6f Tel in elke kolom de getallen op (zie onder matrix N ) ADVIS: magazijn in Assen of Zwolle (66 km/week)
G&R vwo A deel C von Schwartzenberg /1 7a 7b Zie de graaf (punten en verbindingen) hiernaast " A D " = 0 en " D A" = 0 Zie de verder ingevulde matrix M hiernaast (weer even puzzelen) 7c In deze matrix is: " A D" " D A" A 150 B 00 0 50 0 D 10 C A B C D 0 150 50 0 00 B 150 0 00 170 50 C50 00 0 70 50 = M D 0 190 90 0 0 160 10 0 10 0 8a 8b 8c 9a 9b 9c 10a De lijnstukken geven elk een verbinding aan tussen de plaatsen Telkens twee de vijf punten kiezen, waarbij de volgorde niet belang is 5 1 1 0 0 0 ("1" staat voor "wel" en "0" voor "niet") kan op = 5nCr = 10 manieren 10 verbindingen r zijn minimaal verbindingen nodig om 5 steden onderling bereikbaar te laten zijn (denk de punten achter elkaar aan een snelweg) A B C D F Verbind elk "knooppunt" met elk "ander knooppunt" 0 1 1 1 1 1 Zie de graaf en de verbindingsmatrix V hiernaast B 1 0 1 1 1 1 6 C 1 1 0 1 1 1 en "maximale" graaf heeft = 6nCr = 15 wegen 9ab = D 1 1 1 0 1 1 en "minimale" graaf heeft 6 1 = 5 wegen (zie voorbeelden hiernaast) n en graaf n knooppunten die maximaal verbonden is heeft wegen 10b In de verbindingsmatrix een graaf n knooppunten die maximaal verbonden is, staan op de hoofddiagonaal nullen en op de andere plaatsen enen 10c en graaf n knooppunten die minimaal verbonden is heeft n 1 wegen A B C D F 0 1 1 11a Zie de matrix M hiernaast B 1 0 1 11b De grootste minimale afstand in M is de diameter de graaf in figuur K1 is C 0 1 = M 11c Zie de kolomtotalen onder matrix M (een kleiner betekent een betere bereikbaarheid) D 1 0 1 De rangschikking ( bereikbaarheid) is, A en F, B en D, C 1 1 0 1 F 1 1 0 8 9 11 9 7 8 1a De maximale diameter is 9 (zie de graaf hiernaast) 1a 1b (diameter 9) 1c 1d Bij maximale verbondenheid is elk punt met elk ander punt verbonden de diameter is dan 1 Zie de rechter graaf hiernaast 1 1 1 1 0 1 F 1 1 1 1 1 0 de hoofddiagonaal 1c (diameter 5) De diameter een graaf met minimale verbondenheid kan,,, 5, 6, 7, 8 of 9 zijn (zie de grafen hier omheen) V 9c 9c 1a diameter diameter diameter diameter 6 diameter 7 diameter 8 A Teken eerst de graaf (zie hiernaast) met behulp de verbindindingsmatrix V en de afstandenmatrix M 15 Zet er de getallen de matrix M bij A = 5 (gegeven in M) B = 10 6 ( A via C en D is 10 + 8 + 10 + 6 > 5) Nu is de matrix M verder in te vullen (zie hiernaast) 1b Tel nu de getallen per rij in matrix M op (de totale afstanden alle punten A, B enz) De totale afstand C is het kleinst het ziekenhuis komt in C 10 B 8 10 10 D C A B C D 0 10 18 8 5 81 B 10 0 8 18 15 51 C 18 8 0 10 10 = M 6 D8 18 10 0 6 6 5 15 10 6 0 56 1a verbindingsmatrix A B C D 0 1 0 1 0 B 1 0 0 0 0 C 0 1 0 1 0 = V D 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1b afstandmatrix A B C D 0 6 1 5 7 1 B 6 0 19 11 1 9 C 9 0 8 10 = M 0 D5 11 8 0 6 10 17 9 0 0 0 57
G&R vwo A deel C von Schwartzenberg /1 1c Zie 1b: 6 + 0 + 19 + 11 + 1 (heenweg B) + 6 + 0 + + 11 + 10 (terugweg B) = 9 + 0 = 79 (km) 1d 1 (heenweg A) + (terugweg A) = 55 (km) 6 (heenweg D) + (terugweg D) = 59 (km) 0 (heenweg C ) + 57 (terugweg C ) = 87 (km) 0 (heenweg ) + (terugweg ) = 7 (km) Dus in A 15a 15c 16a 16c directe - wegenmatrix A B C D 1 1 0 0 0 B 1 0 0 0 C 0 0 0 = W D0 0 0 1 0 0 1 0 De diameter (het grootste aantal de minimale stappen tussen elk tweetal punten) de graaf is De diameter de graaf in dit voorbeeld is dus het aantal stappen D A A D B C Als je in een directe-wegenmatrix alle 'niet nullen' vergt door 'enen' krijg je de verbindingsmatrix Omgekeerd kan niet, want aan een verbinding kun je niet het aantal wegen aflezen 16b 15b Alle 'niet nullen' in W worden enen in V (als er een weg is, is er een verbinding) verbindingsmatrix A B C D 1 1 0 0 0 B 1 0 1 0 0 C 0 1 0 0 1 = V D0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 A B C D 0 1 0 1 verbindingsmatrix B 1 1 0 1 V C 1 1 0 0 = D 1 1 1 0 17a A B C D A B C D A B C D fil 1 10 18 1 fil 1 0 18 10 15 fil 1 0 0 8 9 17 M1 + M = M fil 17 18 1 8 + fil 16 9 17 1 = fil 7 9 1 10 fil 18 15 16 1 fil 18 1 16 1 fil 6 6 5 19 17b 8 + 9 + = 89 Het aan verkochte wasautomaten C in de drie filialen samen in de eerste helft 007 17c 0 + 0 + 8 + 9 = 17 Het aantal verkochte wasautomaten in filiaal 1 in de eerste helft 007 18a A is -matrix C is 1-matrix is -matrix B is -matrix D is -matrix F is 1 -matrix 18b A en D zijn vierkante matrices De som de getallen op de hoofddiagonaal bij matrix A is + 0 = en bij matrix D is dat + + 5 = 10 18c a 1 = 1 c1 bestaat niet e = 6 b1 = d 1 = 6 f1 = 1 109 1 89 75 19a L LX SLX D Nob 6 5 1 Cas =V 0 8 19d L LX SLX D mei 1 7 7 juni =T 1 9 16 6 19b L LX SLX D Nob 1 5 8 =V Cas 0 8 19c L LX SLX D Nob 5 11 11 8 =V Cas 0 1 1 5 19e 1 + 9 = geeft het totale aantal auto's in de uitvoering LX dat in mei en juni door beide autobedrijven samen is verkocht 0a Q 0,8 0b Zaak A ontgt 8 0, 8 + 6 1, + 1, 6 +, 0 = 6 ( 1000) T 1, Zaak B ontgt 6 0, 8 + 1, + 0 1, 6 + 5, 0 = 18, ( 1000) P = ( 1000) L 1,6 0c 6 S,0 I = ( 1000) B 18, 1a 1 1b Kan niet 1c = B 0 A = 6 = A B 1 1 C = ( 0) 1 = B ( ) = C B
G&R vwo A deel C von Schwartzenberg /1 1d 1 = B 1e A B D B 6 + = + = 7 10 1f 1 = B 5 D = = D B 7 0 6 A = 1 = A B 6 a c 7 T = B 8 ( 1 1 1) 106 5 67 10 W = ( 17) = W V Betekenis: het aantal fietsen dat per dag gemaakt wordt b 7 B 8 A B 6 8 106 P = 5 5 5 67 = P T = V 10 10 De betekenis de matrix hierboven: het zijn de aantallen fietsen die per dag gemaakt worden met, 5 of 10 versnellingen ab Q T L S 8 6 V = B 6 0 5 prijs winst software Q 8 1 1 T 1 1 ( 100) W L = 16 S0 5 prijs winst software 60 51 8 ( 100) = K B 18 7 9 a b c 1 0 1 = Q 1 1 5 8 1 P = P Q 0 1 = 1 0 = R 1 1 1 5 P = P R kan niet 0 1 1 5 = P 0 1 0 6 10 R = = R P 1 1 1 5 6 d e f S = ( 1 5) ( ) 0 = R 1 1 7 5 = S R 0 = R 1 1 0 0 R = R R 1 1 = 1 1 5 = P 0 1 1 11 16 Q = 0 1 0 1 = Q P 1 1 7 7 5ab inkoop verkoop 00 500 B 75 00 P C 600 800 = D900 100 A B C D inkoop verkoop filiaal 1 10 1 8 filiaal 1 15700 1000 V = filiaal 7 8 5 filiaal 9800 1100 = V P = T filiaal 8 8 6 filiaal 10800 100 t 1 geeft het totale inkoopbedrag filiaal 5cd f1 f f Q = ( 1 1 1) inkoop verkoop filiaal 1 15700 1000 filiaal 9800 1100 = T filiaal 10800 100 inkoop verkoop 600 8500 = Q T ( ) De totale winst is 8500 600 = 100 ( ) 6ac kosten P 10 Q 8 K R 15 = T 0 P Q R T kosten 5 5 7 M = B 8 B 11 = M K C 1 5 C 69 M K geeft de productiekosten A, B en C per eenheid 6bd N = A B C best 1000 600 800 ( ) N M geeft de benodigde hoeveelheid grondstoffen en arbeidstijd die nodig is voor de bestelling P Q R T 5 5 B 8 = M C 1 5 P Q R T best ( 600 7600 10800 1000) = N M
6e G&R vwo A deel C von Schwartzenberg 5/1 kosten P 10 P Q R T Q 8 kosten ( N M) K = best ( 600 7600 10800 1000) = best ( 788800) R 15 T 0 De productiekosten de totale bestelling zijn 788800 ( ) 7a 7e 7 0 50 A = 60 7 1 8 0 5A1 5A 5A = aant ( 1 1 1 ) 7b vold 0 50 B = 6 1 7 1 8 1 7c tot 1 51 C = 61 71 8 1 7d pnt 55 D = 66 77 8 8 8a a b c 8b a b c 8c 1 0 0 d e f = M d e f = M 1 0 1 = R g h i g h i 0 0 0 0 P = 0 0 0 0 a b c d e f = P M = M g h i 1 0 0 a b c a b c a + b c b Q = 0 0 d e f = Q M M = d e f d + e f e = M R 0 0 0 0 0 0 g h i g + h i h 9a a b c d e M = f g h i j 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 = A 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 a b c d e = M A = M f g h i j 9b 1 0 B = 0 1 a b c d e = M f g h i j a b c d e = B M = M f g h i j 0a 0b 0c 0d 0e 0f Neem GR- practicum 1 door (zie aan het eind deze uitwerkingen) P 6 19 5 Q = 16 1 R P 1 17 = 15 1 007 7608 10518 P + P Q = 7918 80 6688 P geeft een foutmelding, want P is geen vierkante matrix 5 5 Q R = geeft een foutmelding want Q en R hebben niet dezelfde afmeting 59 667 R P + 5 P = 691 55 1009 1a volw kind dier tent V V camping 1 5,0,0,00,5 volw camping 1 8,95 19,85 camping 7,0,00 1,00,00 kind 1 camping 8,60,60 T G = camping,50 1,75 1,00,10 K dier 0 = camping 0,0 1,85 = camping,00 1,80,00,0 tent 1 camping 1,80 16 1b k 1 = 8,60 is het bedrag dat de familie Vrielink (met volw, kinderen en tenten) per dag betaalt op camping 1c Camping was zowel voor familie Vrielink als voor familie ijssink het voordeligst 1d ( 7 7 7 7 ) K = F geeft voor beide families de bedragen als ze op elke camping één week hebben gestaan a De elementen e1 en e1 P V hebben geen betekenis (je vermenigvuldigt dan de voorraad het ene merk met de prijzen het andere merk) A B breedb plasma led breedb 1 8 A B b 600 50 500 8700 P V = plasma 18 15 B 750 500 100 = B 105500 led 10 0 e11 is de waarde ( ) de TV's merk A die in voorraad zijn e is de waarde ( ) de TV's merk B die in voorraad zijn
G&R vwo A deel C von Schwartzenberg 6/1 c A B breedb plasma led breedb plasma led breedb 1 8 breedb 100 600 50 500 V P = plasma 18 15 = plasma 78000 B 750 500 100 led 10 0 led 97000 Alleen de elementen op de hoofddiagonaal V P hebben betekenis (de opbrengst bij verkoop de totale voorraad) (bij de andere elementen vermenigvuldig je bijvoorbeeld de prijs breedbeeld A met de voorraad plasma A) P (overmorgen mooi weer onder de voorwaarde dat het daag bewolkt is) = P (overmorgen mooi weer daag bewolkt) = P (morgen mooi weer en overmorgen mooi weer daag bewolkt) + P (morgen bewolkt en overmorgen mooi weer daag bewolkt) + P (morgen regen en overmorgen mooi weer daag bewolkt) = 0, 0, 6 + 0,5 0, + 0, 0, = 0,1 + 0,10 + 0, 06 = 0,8 daag morgen overmorgen m m 0,6 m 0, 0, b 0,5 b 0, b r 0, r r a b c d e f g De som de getallen in een kolom is de som de kansen op alle mogelijke volgende weertypen De kansen in een rij hebben niets met elkaar te maken m b r m 0, 0,8 0,8 W = b0,6 0,0 0,6 r 0,0 0, 0,6 0,0 W is de kans dat als het op een dag in mei mooi weer is, het twee dagen later zal regenen Dit is element w 1 W Deze kans is 0,8 m b r m 0,76 0,1 0,1 0,7 W is de kans dat als W = b 0,7 0,80 0,7 het op een dag in mei regent, het r0,5 0,08 0,16 drie dagen later bewolkt zal zijn 6 mei is dagen na mei De gevraagde kans wordt gegeven door element w W en is 0,16 Voor gypte zullen de getallen op de eerste rij vrijwel gelijk aan 1 zijn en de andere getallen vrijwel nul 0, 5a Zie de graaf hiernaast 5b M M 0,7 M 0,51 0, P = en M 0, 0,6 0,7 0, 0,6 0,9 0,58 P = 5c De kansen voor hoofdstuk staan nu in P M 0, De kansen voor hoofdstuk staan in P De gevraagde kans ( M ) is 0,9 M M 0,7 0,7 P = 0,55 0,56 5d De kansen voor h staan nu in P, die voor h5 in P en voor h6 in P De gevraagde kans ( M) is 0,7 6a 6c 6d 6b K M S K M S K 0,17 0,5 0,5 K 0,5 0,88 0,17 M0,70 0,7 0,75 = T M0,5 0,51 0,57 = T S 0,1 0,1 0 S 0,10 0,161 0,16 0,7 is de kans dat na 0,51 is de kans dat drie plaatsen na een een medeklinker weer medeklinker weer een medeklinker komt een medeklinker komt De kans dat vier plaatsen na een medeklinker weer een medeklinker komt, is (ongeveer) 0,51 De kans dat vijf plaatsen na een klinker een spatie komt, is (ongeveer) 0,18 7a B M B 0, 0 0,6 M0,7 0,9 0 = S 0 0,1 0, 7b 7c lement s 1 S is 0, De kans dat twee klanken na een eindklank een beginklank komt lement s 1 S is 0,1086 8a A R 0,9 0,01 = V R 0,07 0,99 8b A R inw inw 0,9 0,01 00000 16650 R 0,07 0,99 R 50000 R 8750 A heeft na 15 jaar 16650 inwoners en R 8750
G&R vwo A deel C von Schwartzenberg 7/1 9a Bereken met de GR element w 11 W Dat is 0,816 81,6% 9b % % 0,9 W B 0 B,9 C 0 C 1, 9c Neem de elementen w 11, w en w W Je krijgt 0,816 0 + 0, 75 0 + 0,891 = 79, 59 Dus 79,5% 9d De elementen w 1, w en w W worden groter (de kolomsommen moeten wel 1 blijven) Zie bijvoorbeeld de matrix W hiernaast A B C 0,87 0,0 0,05 B 0,0 0,81 0 = W C 0,10 0,15 0,95 0a 0c P S P 0,90 0,05 = T S 0,10 0,95 P 00000 P 18718 T = S 00000 S 186 (00 is perioden 5 jaar na 005) 0b We zoeken element t T 0,9075 0d 1 P 00000 P 0588 T = S 00000 S 9118 Dus in 000 had de stad 910 inwoners 1a Deze kans is 55 80 1b N F S N F S 55 0 6 0 N 80 10 0 160 N 0,688 0,167 0,150 0,50 10 85 1 15 F 80 10 0 160 F 0,15 0,708 0,05 0,09 S 5 8 5 5 S V 80 10 0 160 0,06 0,067 0,65 0,156 = De kolomsommen moeten 1 zijn 10 7 8 80 0,15 0,058 0,00 0,500 (op de GR niet afronden) 80 10 0 160 1c 1d N 50 N 6 N 50 N 6 F 150 F 159 V F 150 F 166 S 100 S 119 V S 100 S 19 00 160 00 161 De komende zomer zullen 6 werknemers in Nederland r zullen (over jaar) 19 werknemers Spanje gaan blijven en er zullen 159 werknemers Frankrijk gaan a (boom blijft in I) 00 klasse I 50 00 I II III P = = 0,8 50 50 I 0,8 0 0 P (boom I II) = 50 = 0, } 10 klasse II 100 70 50 II 0, 0,7 0 = V De tabel geeft overgangen hiernaast 0 III 0 0, 1 } 80 klasse III 50 50 b c I 50 I 160 I 50 I 66 V II 100 = II 1 6 V II 100 II 8 III 50 III 116 III 50 III 50 a 0,8 0, B 0, 0,6 = M b De tweede week: De vierde week: De vijfde week: M A 50 A 56 = B 0 B ; M A 50 A 59 B 0 B 1 ; M A 50 A 60 B 0 B 0 ; c Op den duur zullen de aantallen stabiliseren op 60 mappen A en 0 mappen B d A B Ook nu op den duur 60 mappen A en 0 mappen B (zie de GR-schermen hiernaast) De zesde week: M 5 A 50 A 60 B 0 B 0 a L S L 0,8 0, L 50 S 0, 0,7 M = B = S 60
a (vervolg) b 5ab 5c 5d 5e 5f G&R vwo A deel C von Schwartzenberg 8/1 Over 5 jaar: L 58 L 6 S 5 en over 10 jaar: M B = M B = S 8 Op den duur 60% bij L en 0% bij S (zie de GR-schermen hiernaast) Dus op den duur 0,6 110 = 66 leden bij L en 0, 110 = leden bij S N B N 0,96 0,00 N 1,6 B 0,0 0,998 en M = K = B 0,8 1 N 1,577 Bij 1 januari 00 (1 maanden verder) hoort M B B 0,8 Op 1 januari 00 waren er 1,577 miljard munten in Nederland en 0,8 miljard in het buitenland 1 Bij 1 januari 00 hoort M met " N (ederlandse munten) N (ederland)" m11 0,6167 Op 1 januari 00 waren er m11 1,6 0,987 miljard Nederlandse munten in Nederland 15 Bij 1 april 00 hoort M met " B (uitenlandse munten) N (ederland)" m1 0,06 Op 1 april 00 waren er m1 0,8 0,696 miljard buitenlandse munten in Nederland 180 Vanaf ongeveer M veranderen de machten M niet meer Dus na ongeveer 180 maanden is de evenwichtssituatie bereikt N B 180 N 0,08 0,08 M B 0,95 0,95 Op den duur zijn er 0,08 (1,6 + 0,8) 1,555 miljard munten in Nederland in omloop Hier heeft,8% de beeltenis koningin Beatrix n 5g De vraag is: voor welke n in M is m11 1,6 = m1 0,8 Proberen geeft: m (1 juni 00) 11 1, 6 = 0,811 n = 17 m1 0,8 = 0, 759 in juni 00 m (1 juli 00) 11 1,6 = 0,780 n = 18 m1 0,8 = 0,789 6a 6b 6c 6d 6e 5 Bereken g11 G g11 0,087 Dus 8,7% de inactieven is vijf jaar later nog inactief I M N % % I 0,11 0,09 0,08 I 10 I 8,7 7 G M 0,5 0, 8 0, M M5,6 Dus 5,7% N 0,7 0, 0,50 N 6 N 5,7 Bereken eerst g11, g en g, G Je vindt: g11 10 + g + g 6,0% n Op den duur zijn de drie kolommen G gelijk stabilisatie Je vindt: g 97 077 100 11 = g1 = g1 = ; g 55 11 = g1 = g1 = ; en g 55 1 = g = g = 77 6f Het lukt niet met de matrix 6e I M N I M N I 0,05 0,05 0,05 Met de matrix hieraast lukt het I 0,06 0,06 0,06 G = M 0,5 0,8 0, natuurlijk al na 1 jaar G = M0,0 0,0 0,0 N0, 0,7 0,5 (dus het is mogelijk) N0,5 0,5 0,5 7a 7b 7c In elke kolom is de som de elementen onder de hoofddiagonaal groter dan de som de elementen erboven Bereken m M m = 0,6566 Dus (ongeveer) 65,7% N A (%) N A (%) 0 < 5 69 0 < 5 51, 5,7 5 < 10 15 1 5 < 10 1,6 9,8 M 10 < 5 11 6 = 10 < 5 17,1 1, 5 < 50 1 5 < 50 7,7 1,5 50+ 1 15 50,, 1,7 + Dus in Nederland (ongeveer) 7,7% en in Amsterdam (ongeveer) 1,5% 7d N (%) N (%) 0 < 5 69 0 < 5 5,0 5 < 10 15 5 < 10,0 M 10 < 5 11 = 10 < 50,0 5 < 50 5 < 50 9,7 50+ 1 50+, Dus 9,7 +, = 1,9%
7e G&R vwo A deel C von Schwartzenberg 9/1 In 00 in 11% de buurten 0,11 11190 11 buurten In 019 in 0,0% (zie 7d) de buurten 0, 11190 8 buurten Dat zijn 8 11 = 1007 buurten meer 7f Bereken eerst m11, m, m, m en m55, M Je vindt: m11 + m 1 + m 6 + m 1 + m55 15 57,8% zit in dezelfde klasse n 7g Voor grote n verandert M niet meer Dit betekent bijvoorbeeld dat op den duur in 6,% de buurten 5 tot 50 procent allochtoon is en dat in 61,0% de buurten meer dan 50 procent allochtoon is 8a klasse IV is tot jaar en er is geen klasse V er loopt een pijl klasse IV klasse I en hierbij staat de factor 1000 er loopt alleen een pijl IV I en niet I, II of III I 8b lke klasse duurt één jaar 8c Op 1 juni 007 in III: 0,6 500 = 00 Op 1 juni 008 in IV: 0,8 00 = 0 Het jaar erna: 0 1000 = 0 000 nakomelingen 0, 9a Zie de graaf hiernaast I 0,7 9b I II III IV II 0,9 III 0,8 IV I 0 0 0, II 0,7 0 0 0 L = III 0 0,9 0 0 IV 0 0 0,8 0 9cd t = 0 t = 1 I 1000 I 111 t = I 156 t = I 196 II 60 II P = 700 L P II 79 = L P II 879 L P III 510 III 567 III 60 III 71 IV 70 IV 08 IV 5 IV 50 510 1,118 806 1,116 1 1,115 9 De groeifactoren zijn ongeveer gelijk de totale populatie neemt bij benadering exponentieel toe 9e xponentiële groei t t N = b g met b = 510 en g 1,1 N = 510 1,1 9f Los op: 510 1,1 t = 10 000 (intersect) t 1, Dus na ruim 1 jaar 50a r zijn 7 leeftijdsklassen de afmeting de Lesliematrix L is 7 7 50b 50c 50d 50e 50f Het element l 1 (betekenis: de kans om I II te gaan) in de Lesliematrix L is zeker niet nul l 5 (betekenis: de kans om IV V te gaan) in de Lesliematrix L is zeker niet nul l 11 (betekenis: de kans om I I te gaan) in de Lesliematrix L hoeft niet nul te zijn Het zou kunnen dat exemplaren uit I voor nakomelingen kunnen zorgen De andere elementen op de hoofddiagonaal moeten wel nul zijn omdat de exemplaren na een periode 5 jaar de volgende klasse gaan De getallen in de eerste rij geven het gemideelde aantal nakomelingen per individu uit een leeftijdsklasse De andere getallen (die niet in de eerste rij staan) zijn kansen 51a l is de kans om in een periode 5 jaar uit de tweede in de derde leeftijdsklasse te komen l 1 is het gemiddelde aantal nakomelingen in een periode 5 jaar per individu uit de tweede leeftijdsklasse l 1 is de kans om in een periode 5 jaar uit de eerste in de tweede leeftijdsklasse te komen l 11 is het gemiddelde aantal nakomelingen in een periode 5 jaar per individu uit de eerste leeftijdsklasse 51b t = 0 I t = 1 I 890 t = 1100 I 70 II 680 II 550 L P = II 5 P = ; ; L P = III 0 III 0 III 75 IV 8 IV 100 IV 68 Totaal: 00 186 1508
G&R vwo A deel C von Schwartzenberg 10/1 51c Totalen: in het begin: na 5 jaar: na10jaar: na 15 jaar: na 0 jaar: na 5 jaar: 00 186 1508 11 987 799 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81 51d De groeifactoren zijn ongeveer gelijk t N = 00 0,81 ( t gemeten in perioden 5 jaar) de totale populatie neemt elke 5 jaar met ongeveer 19% af t 51e N = 00 0, 81 = 00 (intersect) t 8, (perioden 5 jaar) t N = 00 0, 81 < 00 (zie een plot) voor het eerst na (ongeveer) jaar 5a Omdat er -jarige (klasse ) zijn die nog 5 jaar (ook klasse ) worden is l 55 0 0 1 r is gegeven dat 80% klasse binnen één jaar sterft l 55 = 0, 0 0 0 1,5 0 Haal verder uit beide bevolkingspiramiden: 1 P (0 1) = l 5 + 5 60 (1 ) 0 6 1 0,6; P l + 0,6 0 0 0 0 = = = = 8 5 100 = = = 0,8; + 8 + 80 L = 0 0,8 0 0 0 17 18 5 10 + 10 0, (9 + 11) P ( ) l + = ( ) 16 = = = 0,5 en P = l 5 5 70 5 = = = 0, 0 0 0,5 0 0 + 17 + 0 0 0 0 0, 0, Verder staat in de tekst: P ( 0) = l 1 = 1,5 en P ( 0) = l 1 = De andere elementen zijn 0 Hieruit volgt dan de Lesliematrix L hiernaast 5b t = t = 0 100 0 01 0 100 0 168 1 80 1 15 1 80 1 11 L 70 8 = en L 70 108 0 0 0 18 0 16 5ab 5b I II III IV I II III IV I 0 0 0 d I 0 0 cd 0 II a 0 0 0 II III b 0 0 = L 0 0 0 ad 0 III 0 0 0 = L ab IV 0 c 0 0 IV bc 0 0 0 I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I 0 0 0 d I 0 0 cd 0 I 0 0 cd 0 I abcd 0 cd 0 II a 0 0 0 L = II 0 0 0 ad II 0 0 0 ad III 0 b 0 0 L III 0 0 0 = L II = 0 abcd 0 0 ab IIIab 0 0 0 III 0 abcd 0 = L 0 IV 0 0 c 0 IV bc 0 0 0 IV 0 bc 0 0 IV bc 0 abcd 0 Je kunt in vier stappen alleen een klasse diezelfde klasse (bestudeer de graaf) a b c d abcd I II III V I I I in L is l in stappen 11= abcd b c d a bcda II III IV I II I I in L is l in stappen = abcd c d a b cdab III IV I II III I I in L is l in stappen = abcd d a b c dabc IV I II III IV I I in L is l in stappen = abcd 5c In elke klasse wordt het aantal dieren in vier jaar tijd vermenigvuldigd met abcd 5a 5b 5c Maak eitje a larve b insect eerst c de graaf (zie hierboven) Maak met behulp deze graaf de Lesliematrix L (zie hiernaast) Maak met behulp de driestapswegen in de graaf de matrix L (zie hiernaast) abc = 1 ( L is de eenheidsmatrix) 5d 1, 55a P (pasgeboren dier wordt één jaar) = 0,8 0,6 = 0,8 55b Op 1 juli 008, anderhalf jaar na 1 januari 007, is t = De samenstelling op t = bereken je met L P (zie de berekening en het antwoord hiernaast) e l i e 0 0 c L = l a 0 0 i 0 b 0 e l i e abc 0 0 L = l 0 abc 0 i 0 0 abc abc = 5e abc < 1 t = I 500 I 0 II 160 II 10 L III 60 = III0 IV 50 IV 60
G&R vwo A deel C von Schwartzenberg 11/1 55c 55d 55e 55f Op 1 juli 006, een half jaar voor 1 januari 007, is t = 1 1 De samenstelling op t 1 bereken je met L t = 1 = P I 500 I 00 (zie de berekening en het antwoord hiernaast) 1 II 160 II 100 L III 60 = III00 I II III IV IV 50 IV I 1, 0 0 0 50 II 0 1, 0 0 Dit betekent dat de hoeveelheid elke L = III 0 0 1, 0 jaar (vier halve jaren) met 0% toeneemt IV 0 0 0 1, lke twee jaar wordt de hoeveelheid met 1,0 vermenigvuldigd Op 1-1-015 ( jaar na 1-1-007) zijn er 770 1,0 1597 dieren Over een periode twee jaar ( halve jaren) geen groei L is de eenheidsmatrix r geldt dus 0,8 0, 6 0,5 v = 1 0,1v = 1 v = 5 8, Verg nu de 10 in de oorspronkelijk Lesliematrix door 5 (afronde n is niet nodig) 56a P (twee perioden 10 jaar 80+) = 0, 080 0, 080 = 0, 006 56b Per individu 0, 5 + 0, 69 + 0,1 = 1,7 kind per gezin 1,7,5 kind 56c 5 0 is 50 jaar (5 perioden 10 jaar) na 198 bereken L P 0-9 10-19 0-9 0-9 0-9 50-59 60-69 70-79 80+ 198 0 0-9 0 0,5 0,69 0,1 0 0 0 0 0 0-9 05 0-9 10-19 0,90 0 0 0 0 0 0 0 0 10-19 58 10-19 81 0-9 0 0,99 0 0 0 0 0 0 0 0-9 169 0-97 0-9 0 0 0,987 0 0 0 0 0 0 0-9 17 0-959 L = 0-9 5 0 0 0 0,981 0 0 0 0 0 L 0-9 99 0-9 50-59 0 0 0 0 0,96 0 0 0 0 50-59 7 50-59 176 60-69 0 0 0 0 0 0,907 0 0 0 60-69 8 60-69 16 70-79 0 0 0 0 0 0 0,761 0 0 70-79 70-79 109 80+ 0 0 0 0 0 0 0 0,510 0,080 80+ 5 80+ 5 1008 1879 56d 56f 197 56e 1 8 0 185 7 10 0 08 176 65 1 09 100 19 5 ( L*) P 18 ~ 5 ~ 10 ( L ) P 98 ( L ) P 5 176 176 5 16 16 0 109 109 5 5 6 197 897 9 De groei in 50 jaar is nu nog maar 8,6% Op den duur loopt de bevolking dramatisch terug 110 118 97 10 9 0 98 00 08 189 1 10 5 100 9 ~ ( L ) P 16 = P * ( L*) P * 98 8 ( L*) P * 109 10 176 10 86 16 79 51 109 91 0 5 6 1095 1098 807 Op deze manier groeit de bevolking eerst bescheiden en daarna is er een afname
G&R vwo A deel C von Schwartzenberg 1/1 57a r zijn klassen elk jaar en b = 0 een baars wordt maximaal 8 jaar P (eitje groeit tot een baars 6 jaar) = 0,005 0,6 0,7 = 0,001 57b I II III IV I,1 0 0 0 lke 8 jaar (vier perioden jaar) wordt de II 0,1 0 0 populatie,1 ( = 1000 0, 005 0, 6 0, 7) keer zo groot B = III 0 0,1 0 Dus de populatie neemt in acht jaar met 110% toe IV 0 0 0,1 57c Na jaar ( perioden 8 jaar) zijn er 500,1 60 baarzen (afgerond op tientallen) 57d 1-1-007 1-1-005 57e en lagere vruchtbaarheid betekent dat b1 kleiner wordt I 15000 I 8000 Stel dat b1 = v dan 1 II 0 II 5 B v 0,005 0,6 0,7 = 1 ( L is de eenheidsmatrix) III 00 = 00 III 00 v 0, 001 = 1 IV 10 IV 15 v = 1 76 0,001 Dus een baars legt dan gemiddeld 76 eitjes TI-8 1 Matrices 5 1 De matrix A = voer je als volgt op de GR in 0 8 Kies ù ( = `i ) en ga met > of < het menu DIT Kies 1: [A] en verander op de bovenste regel de afmeting in Na krijg je het vierde scherm hiernaast Tik in e 5e 1e e 0e en 8e Je hebt matrix A ingevoerd 1 0 Voer nu ook de matrix B = 1 0 op de GR in 1 5 8 Heb je een fout gemaakt bij het invoeren, dan ga je met de cursor de fout, waarna de fout te herstellen is 1a Zie de schermen hiernaast 1b 10 1c * 1d * a 1 18 0 78 C = en D = 1 88 55 9 19 6 78 55 b c 0 C = 1 11 A geeft een foutmelding, want A is geen vierkante matrix a b 8 1 B + D = 8 6 c 11 1 A + B geeft een foutmelding, want d A en B hebben niet dezelfde afmeting 5 6 5 C = 1 6 69 6 B D = 591 05 1 588 1785 1108 a b c d Zie de schermen hiernaast 8 B A = 18 6 6971 C D = 10065 C A geeft een foutmelding want A en B hebben niet dezelfde afmeting 1 7 C B = 0 5 55 161 8 55 C B + B = 8 9 655