handleiding formules

handleiding formules

inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen voor een klassengesprek 7 1 gereedschappen 7 2 vragen 7 3 hoofdzaken 8 4 samenhang 8 5 leerlingopgaven 8 15 september 2009 handleiding formules 2

de grote lijn hoofdlijn Kwadraten als vierkantsgetallen Notatie: ( ) 2 Terminologie: is kwadraat van is het kwadraat van aan de zijlijn Het laatste cijfer van kwadraten Formules voorbeelden formules als korte schrijfwijze het begrip "variabele" een formule voor iets De voorrangsregels in het rekenen Gebruik van haakjes Rekenflippo's Rekensommen met variabelen Notatie: in plaats van Afspraak: 3 a in plaats van a 3 a b = b a, a (b c) = (a b) c a+b = b+a, a+(b+c) = (a+b)+c Handig rekenen Formules maken door iets op twee manieren te berekenen Driehoeksgetallen De truc van Gauss De distributiewetten in context met oppervlakte en formeel Toepassing op omtrek en oppervlakte van een rechthoek handleiding formules 3

bespreking per paragraaf applets FlippoApplet van het FI (Utrecht) bij opgave 15 van paragraaf 1: 24 maken met de vier hoofdbewerkinge, eventueel door gebruik te maken van haakjes. StippelApplet van het FI (Utrecht) bij opgave 4 van paragraaf 2: het maken van formules bij gegeven stippenpatronen. TrucGaussApplet bij opgave 13 en 14 van paragraaf 2: voor de som van een rekenkundige rij (constant verschil tussen de opvolgende termen). 1 rekenen en formules Kwadraten zijn vierhoeksgetallen. We zeggen: "81 is het kwadraat van 9" en "9-kwadraat is 81". We noteren: 81 = 9 2 en 9 2 = 81. Zoeken waarvan een getal het kwadraat is, door grof te rekenen en daarna te letten op het laatste cijfer. Aan de hand van bekende formules wordt het begrip "formule" uitgelegd. De daarin voorkomende letters zijn "variabelen". Terminologie: " is een formule voor ". Een formule is een korte schrijfwijze hoe je iets in het algemeen kunt berekenen. (Vergelijk dit met: "4 z is een formule voor de omtrek van een vierkant met zijde z".) Vermenigvuldigen en delen gaan vóór optellen en aftrekken. Verder rekenen we van links naar rechts. Als de bewerkingen in een volgorde moet worden uitgevoerd die afwijkt van bovenstaande regel, moeten haakjes worden gebruikt. De volgorderegels worden toegepast in reken-24-flippo's. Het vermenigvuldigkruis wordt ingewisseld voor de vermenigvuldigpunt. We spreken af dat in een product het bekende getal vóór de variabele wordt geschreven. In contexten wordt de associatiewet voor de vermenigvuldiging toepgepast (zonder deze expliciet te noemen). De commutatie- en associatiewetten worden geformuleerd. Ze geven aanleiding tot handig rekenen. 2 formules maken Door iets op twee manieren te berekenen (of te tellen) krijg je twee formules (uitdrukkingen in de variabele). Die twee zijn gelijk: zodoende heb je een formule gemaakt. Merk op dat het woord formule op twee manieren gebruikt wordt: 1) 4 (n 1) is een formule voor het aantal randhokjes in een vierkant van n nij n, 4 n 4 is daar ook een formule voor. 2) 4 (n 1) = 4 n 4 is een formule (een gelijkheid) Er worden formules opgesteld door aantallen hokjes in een vierkant op twee manieren te tellen. In het bijzonder wordt een formule opgesteld voor het driehoeksgetal met basis n. Eerst met een plaatje, dan zonder (de truc van Gauss). Ook toepasbaar op elke reeks met constant verschil tussen de opvolgende termen. handleiding formules 4

bespreking per paragraaf 3 de distributiewet We beginnen met contexten om op rekensommen te komen als 17 51 + 17 49 en 12 65 12 15. Dit is gelijk aan 17 100 en 12 50. Hiermee zijn de distributiewetten geïntroduceerd. Deze wetten volgen ook door een oppervlakte op twee manieren te berekenen. Een en ander wordt toegepast op rechthoekige vloerkleden. Als de afmetingen worden verdubbeld, wordt de omtrek twee keer zo groot en de oppervlakte wordt vier keer zo groot. Afspraak: de vermenigvuldigpunt wordt (vaak) weggelaten. 4 onderzoek Hier volgen de antwoorden van de opdrachten. Opdracht 1 Trappen a. trap 1: 25 trap 2: 45 trap 3: 16 trap 4: 30 b. trap 1: 49 trap 2: 91 trap 3: 24 trap 4: 46 c. trap 1: n 2 trap 2: 2n 2 n trap 3: 4n 4 trap 4: 8n 10 Opdracht 2 Zwarte diagonalen a. Als n even is: 2n zwarte hokjes ; als n oneven is: 2n 1 zwarte hokjes b. Als n even is: 4n zwarte hokjes ; als n oneven is: 4n 3 zwarte hokjes Opdracht 3 Zeshoeksgetallen b. 6(n 1) of 6n 6 c. 61 5 = 91 d. 1 7 8 3 1 2 3 = 19 1 10 11 3 1 3 4 = 46 e. 3n 2 ; n 1 f. 1 28 29 3 1 9 10 = 271 [Algemene formule voor het zeshoeksgetal met basis n: 3n 2 3n + 1] Opdracht 4 Hoeveel sommen a. 8 b. 2 c. 96 d. 2 e. 2 94 + 2 = 190 Opdracht 5 Vierkanten op een schaakbord a. 49 ; 36 ; (9 n) 2 b. 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204 c. 10 2 + 9 2 + 204 = 385 handleiding formules 5

tijdpad 1: rekenen en formules 4 lessen 2: formules maken 3 lessen 3: de distributiewet 3 lessen 4: onderzoek 2 lessen test jezelf 2 lessen handleiding formules 6

materialen voor een klassengesprek 1 gereedschappen 1 a b = a b = ab 2 a+(b+c) = a+b+c 3 a (b c) a b c 4 a (b c) = a b c 5 a / (b / c) a / b / c 6 a(b+c) = ab + ac 7 a(b c) = ab ac 8 1+2+3+ + n = 1 n (n+1) 2 vragen 37 3 = 111 37 6 = 222 37 9 = 333. 37 27 = 999 Deze mooie uitkomsten kun je - als je al weet dat 37 3 = 111 - goed begrijpen met behulp van de rekenwet: a (b c) = (a b) c. Leg dat uit. Hoe reken je handig uit: 24 + 23 + 22 + 21 + 20 + 19 14 13 12 11 10 9? Hierboven staan drie plaatjes met stippen. Hoe bereken je in elk van deze plaatjes het aantal stippen? Met welke rekenwetten heeft dat te maken? Neem een getal van vier cijfers, alle vier cijfers kleiner dan 5. Het dubbele van dat getal krijg je door alle vier de cijfers te verdubbelen. Met welke wet heeft dat te maken? Zeg de distributiewet in woorden. Begin zo: "als je een som van twee getallen wilt vermenigvuldigen met a, dan ". handleiding formules 7

materialen voor een klassengesprek Waar of niet waar? 7 (a b) = 7 a 7 b 7 + (a+b) = 7+a + 7+b 7 + (a b) = 7+a 7+b 7 (a+b) = 7 a + 7 b Als je met de truc van Gauss de getallen 1 tot en met 100 optelt, krijg je 100 keer 101 en daar moet je de helft van nemen. Wat krijg je als je met de truc van Gauss de getallen 0 tot en met 100 optelt? Iemand rekent twee sommen uit: 100 (n + 5) en 100 n + 5. Hoeveel verschillen de uitkomsten? Iemand rekent twee sommen uit: 100 + (n 5) en 100 + n 5. Hoeveel verschillen de uitkomsten? Iemand rekent twee sommen uit: 100 (n + 5) en 100 + (n 5). Hoeveel verschillen de uitkomsten? 3 hoofdzaken Zeg kort wat je weet over: - de volgorde waarin je berekenen moet uitvoeren. - het berekenen van driehoeksgetallen. - de distributiewetten. - hoe je formules maakt. Maak een lijstje van formules die je in dit hoofdstuk bent tegen gekomen. 4 samenhang Algemene techniek om formules te maken: iets op twee manie-ren berekenen. Speciale gevallen: Hoe maak je de formule voor de distributie-wet? Hoe maak je de formule voor 1 + 2 + 3 + + n? 5 leerlingopgaven Maak een rekenopgave waarin het belangrijk is dat de bere-keningen in de goede volgorde worden uitgevoerd. Tel iets op twee manieren en maak zodoende een formule. Maak een opgave over een driehoeksgetal. Maak een opgave over de distributiewet. handleiding formules 8