Integraal Meetkunde Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Leerwerkboek (incl. online ICT) Plantyn
De site www.knooppunt.net geeft je toegang tot het digitale lesmateriaal bij dit boek. ctiveer jouw licentie aan de hand van de onderstaande code. Tijdens de activatie accepteer je de gebruiksvoorwaarden. Zo krijg je voor de duur van de licentie toegang tot het digitale lesmateriaal. www.knooppunt.net Code PT-NTEG-RZJ7-Y95-UU Dit symbool in de marge duidt aan dat er specifiek digitaal lesmateriaal beschikbaar is op www.knooppunt.net. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Ontwerp en opmaak binnenwerk: Crius Group Ontwerp en opmaak omslag: The Line Omslagillustratie: Fotolia Illustratieverantwoording: aleksvf - Fotolia.com, CUKMEN - Fotolia.com, diversphoto89 - Fotolia.com, elemental imaging - Fotolia.com, Gabriele Giorgetti - Fotolia. com, Nina - Fotolia.com, rocter - Fotolia.com, sinaappel - Fotolia.com lexey Kljatov, Corbis, Fotopedia/Johan Doe, istockphoto, Stefaan Provijn, Wikipedia/Stefan Kühn onder GNU-licentie voor vrije documentatie, Wikipedia/Thesupermat Plantyn Motstraat, 800 Mechelen T 05 6 6 6 F 05 6 6 7 klantendienst@plantyn.com www.plantyn.com Dit boek werd gedrukt op papier van verantwoorde herkomst. NUR 6 Plantyn nv, Mechelen, elgië lle rechten voorbehouden. ehoudens de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, op welke wijze dan ook, zonder de uitdrukkelijke voorafgaande en schriftelijke toestemming van de uitgever. Uitgeverij Plantyn heeft alle redelijke inspanningen geleverd om de houders van intellectuele rechten op het materiaal dat in dit leermiddel wordt gebruikt, te identificeren, te contacteren en te honoreren. Mocht u ondanks de zorg die daaraan is besteed, van oordeel zijn toch rechten op dit materiaal te kunnen laten gelden, dan kunt u contact opnemen met uitgeverij Plantyn. ISN 978-90-0-7-0 0/0 D0/00/00
Inhoud Deel I Vlakke figuren 5 Hoofdstuk. Hoofdstuk. Hoofdstuk. Hoofdstuk. Vlakke figuren Rechten Lijnstukken Hoeken 6 0 9 57 Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Deel II Spiegelingen Hoofdstuk. Spiegelingen Deel III Veelhoeken en cirkels Hoofdstuk. Hoofdstuk. Hoofdstuk. Hoofdstuk. Driehoeken Merkwaardige lijnen in een driehoek Veelhoeken en cirkels Omtrek en oppervlakte 87 88 6 55 90 Deel IV Voorstellen van lichamen Hoofdstuk. Voorstellen van lichamen
Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken
Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken DEEL I Vlakke figuren Hoofdstuk. Hoofdstuk. Hoofdstuk. Hoofdstuk. Vlakke figuren Rechten Lijnstukken Hoeken 6 0 9 57
Vlakke figuren OP VERKENNING! Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Sneeuwvlokjes zijn een mooi voorbeeld van meetkunde in de natuur. De hierboven afgebeelde vlokjes werden gefotografeerd door een microscoop. Hoewel er wel eens wordt beweerd dat er geen twee dezelfde vlokjes bestaan, bewijzen de afbeeldingen toch dat sneeuwvlokjes heel wat gemeenschappelijke kenmerken hebben: ze zijn niet alleen allemaal zeshoekige figuren maar ze zijn ook convex en ze hebben even lange zijden en even grote hoeken. Het zijn dus regelmatige zeshoeken. 6 Vlakke figuren
. Ruimte In je schooltas heb je ruimte om je boeken en schriften op te bergen. In je kamer heb je ruimte voor een bed, een kast en je eigen spulletjes. We hebben ruimte nodig om te bouwen: huizen, fabrieken, scholen, kantoren lle dingen waarvoor ruimte nodig is, noem je ruimtefiguren of lichamen. Tekeningen zijn geen ruimtefiguren. Het zijn vlakke figuren. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Lichamen kun je dus proberen af te beelden in een plat vlak door een tekening, een foto, een film Dit is niet gemakkelijk en kan leiden tot gezichtsbedrog, wat je merkt bij de trap die nooit ophoudt te dalen.. Ruimte 7
. In het vlak p De kleinst mogelijke tekening die je kunt maken is een punt. Op een blad kun je oneindig veel punten tekenen. In de vlakke meetkunde werken we in een vlak, dat voorgesteld wordt door de Griekse letter π (pi). In tegenstelling tot ons blad, is het vlak π onbegrensd; het is een oneindige verzameling van punten. Je gebruikt de letter π om het volgende aan te duiden: het vlak π het getal π =,5 Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Punten worden aangeduid met hoofdletters:,, C, Elk punt is een element van een vlak π. Notatie Î π Î π C Î π Je leest het punt is een element van het vlak π. π C π a Een rechte lijn door twee punten en noem je kort een rechte. Een rechte is ook een oneindige verzameling van punten. Je moet je voorstellen dat een rechte aan beide kanten onbegrensd verder loopt. Notatie a = = Een rechte is een deelverzameling van het vlak π. Notatie a Ì π of Ì π 8 Vlakke figuren
Dit is geen rechte, want er is een grenspunt. Je noemt het een halfrechte. π a Notatie [ of a ˉ Deze halfrechte heeft als oorsprong. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken π a π Dit is geen rechte en geen halfrechte, want er zijn twee grenspunten. Het is een lijnstuk. Notatie [ ] Dit lijnstuk heeft de punten en als eindpunten. De halfrechte [ met oorsprong ligt op de rechte a. De rechte a noem je de drager van de halfrechte [. Merk op dat en ook [ Ì a [ Ì π a π Het lijnstuk [ ] heeft als grenspunten (eindpunten) de punten en. Het lijnstuk [ ] ligt op de rechte a. a noem je de drager van het lijnstuk [ ]. Merk op dat [ ] Ì a en ook [ ] Ì π. in het vlak p 9
Oefeningen Noteer de naam van volgende rechten, halfrechten en lijnstukken. D E F C L M Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken G H Maak volgende tekeningen in het vlak p. Het vlak π. De punten,, C, D en E liggen in het vlak π. π π De rechte a en de punten F, G, K en L, zodat F Î a ; G Î a K Ï a ; L Ï a Noteer de rechte a op een andere manier: 0 Vlakke figuren
Het lijnstuk [ ]. π Het lijnstuk [ CD ] met drager b. π Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken π π De halfrechte ˉ b met oorsprong. De halfrechte [ CD met drager b. Teken een willekeurig trapezium en noem de hoekpunten,, C en D. De zijden van een trapezium zijn lijnstukken. Noteer ze: Teken de diagonalen en noteer ze: π Teken de dragers van de diagonalen en noteer ze:. in het vlak p
. Elementen en deelverzamelingen van p Op de tekening zie je het vlak π, de punten,, C, D, E, F, G en K, de rechte a, de halfrechte [ FG en het lijnstuk [ DE ]. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken π E a D F C Punten zijn elementen van π. Rechten, halfrechten en lijnstukken zijn deelverzamelingen van π. Het punt ligt niet op het lijnstuk [ DE ]. Het punt K ligt op de halfrechte [ FG. Het lijnstuk [ GK ] ligt volledig op de halfrechte [ FG ; het is een deel van [ FG. [ GK ] is een deelverzameling van [ FG. Het lijnstuk [ DE ] ligt niet op de rechte a. [ DE ] is geen deelverzameling van de rechte a. Î π, G Î π K a Ì π, [ FG Ì π, [ DE ] Ì π Ï [ DE ] K Î [ FG [ GK ] Ì [ FG [ DE ] Ë a Oefeningen Maak volgende tekening in het vlak p. De rechte a en [ ] Ì a. De rechte b met Î b en [ ] Ë b. De rechte c met [ D ] Ë b ; D Î b ; D Î c en D. π Vlakke figuren
5 ekijk de figuur en vul in met Î, Ï, Ì of Ë. b d a c C F G E H Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 6 π G D [ EC [ E ] π [ E b [ E H c [ CF π [ F ] [ F ] [ ] D [ C ] d [ F ] [ F CD G π [ HF [ F a E [ FC ] [ HC Drie of meer punten heten collineair als ze op één rechte liggen. Drie of meer rechten heten concurrent als ze een gemeenschappelijk snijpunt hebben. Maak volgende tekeningen in het vlak p. F CH Vier collineaire punten,, C en D. π Vier concurrente rechten a, b, c en d. π. elementen en deelverzamelingen van p
7 Maak volgende tekeningen in het vlak p. π Twee verschillende punten bepalen één rechte. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken π π Drie niet-collineaire punten bepalen drie rechten. Hoeveel rechten worden er bepaald door vier verschillende punten waarvan er geen drie collineair zijn? Hoeveel rechten worden er bepaald door vijf verschillende punten waarvan er geen drie collineair zijn? π Tracht nu, aan de hand van deze voorbeelden, op te schrijven hoeveel rechten er worden bepaald door tien verschillende punten waarvan geen drie collineair zijn. Vlakke figuren
. Convexe en concave figuren X Y X Y Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Neem je binnen de figuur twee punten X en Y die je verbindt door een lijnstuk, dan ligt dat lijnstuk steeds binnen de figuur. Zo n figuur noem je een convexe figuur. In figuur kun je twee punten X en Y nemen zodat het lijnstuk [ XY ] gedeeltelijk buiten de figuur valt. Dergelijke figuur noem je een concave figuur. Oefeningen 8 Zijn de volgende figuren convex of concaaf? Indien de figuur concaaf is: toon dit aan met een lijnstuk. 9 Maak volgende tekeningen in het vlak p. Een convexe vierhoek. π Een concave vijfhoek. π. Convexe en concave figuren 5
.5 Vlakke figuren en lichamen 5 Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 8 6 7 9 0 5 6 8 9 7 6 Vlakke figuren
Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Op de vorige bladzijde zijn er lichamen en vlakke figuren getekend. Een ruimtefiguur of lichaam is een figuur waarvoor ruimte nodig is en dus niet in één vlak ligt. Een vlakke figuur is een figuur die in één vlak ligt. Een lichaam dat uitsluitend begrensd is door veelhoeken noem je een veelvlak. Vlakke figuren kun je indelen in: veelhoeken; figuren die geen veelhoek zijn. Een veelhoek is een gesloten vlakke figuur die bestaat uit minstens drie verschillende lijnstukken. Een veelhoek wordt genoemd naar het aantal hoekpunten en aantal zijden. Je kunt veelhoeken indelen in driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, Je kunt veelhoeken ook indelen in: convexe veelhoeken; concave veelhoeken. Convexe veelhoeken kun je indelen in: regelmatige veelhoeken; onregelmatige veelhoeken. Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot zijn. Oefeningen 0 Noteer alle nummers van lichamen of vlakke figuren. Tekeningen van lichamen zijn: De lichamen die veelvlakken zijn: Deze vlakke figuren zijn geen veelhoeken: Deze vlakke figuren zijn veelhoeken: Volgende veelhoeken zijn concaaf: Volgende veelhoeken zijn convex: Volgende veelhoeken zijn driehoeken: Volgende veelhoeken zijn vierhoeken: Volgende veelhoeken zijn zeshoeken: Volgende veelhoeken zijn achthoeken: De onregelmatige veelhoeken zijn: De regelmatige veelhoeken zijn:.5 Vlakke figuren en lichamen 7
Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken auke staat in het punt bij een gebouw. Kleur het gebied waarin alle punten liggen die ze niet kan zien. Welke personen kan auke zien? Enes (E), Julie (J) of Warre (W)? ntwoord: J W E GEOUW Welke personen (C, D, E of F) kunnen tegelijk gezien worden door en door? ntwoord: E C GEOUW F D 8 Vlakke figuren
Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken SMENVTTING π a D C E b Je werkt in het vlak π. is een punt. a is een rechte. a Ì π en Î a [ C of ˉ b is een halfrechte. [ DE ] is een lijnstuk. lichaam veelvlak geen veelhoek 5 5 6 5 6 7 convexe veelhoek concave veelhoek regelmatige veelhoek 6 7 7 8 9 9 8 0 0 0 9 0 8 5 5 5 6 6 6 5 Samenvatting 9
Rechten OP VERKENNING! Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Spelregels ls je met je vrienden een spel speelt (sport, gezelschapsspel ), ben je natuurlijk gebonden aan bepaalde spelregels. Dat is ook zo voor de meetkunde. In het eerste hoofdstuk maakte je al kennis met enkele regels en afspraken. Zo heb je geleerd dat er bepaalde begrippen bestaan (een punt, een rechte, een vlak ) en dat je met deze begrippen kunt werken. Het vlak π is een oneindige verzameling van punten. Een rechte is een deelverzameling van het vlak π. Door twee verschillende punten van π gaat juist één rechte. In de volgende hoofdstukken zul je ontdekken dat er verbanden bestaan tussen deze begrippen. Zo leer je dat twee rechten evenwijdig zijn als ze elkaar niet snijden. 0 Rechten
De basis van onze meetkunde werd gelegd door Euclides van lexandrië. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Oefening Euclides was een Grieks wiskundige, die rond het jaar 00 v. Chr. in de bibliotheek van lexandrië werkte. Euclides wordt vaak vader van de meetkunde genoemd. Zijn Elementen is het meest succesvolle handboek en een van de invloedrijkste werken in de geschiedenis van de wiskunde. Euclides heeft in dit boek de grondslag van onze meetkunde gelegd met vijf axioma s. xioma s zijn stellingen (beweringen) die je niet kunt (moet) bewijzen, maar die je gewoon aanvaardt. De meest bekende zijn de axioma s, en 5. Illustreer de axioma s, en 5 van Euclides met een tekening. π. Twee punten kunnen verbonden worden door een rechte lijn. π. Elke rechte lijn kan eindeloos als rechte lijn uitgebreid worden. π 5. Door een punt buiten een rechte lijn gaat precies één rechte lijn die de eerste niet snijdt. Rechten
. Rechten a b De rechten a en b liggen in één vlak. Ze hebben precies één gemeenschappelijk punt. Het zijn snijdende rechten. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken a a b b De rechten a en b liggen in één vlak. Ze hebben geen enkel gemeenschappelijk punt. Het zijn strikt evenwijdige rechten. De rechten a en b liggen in één vlak. l hun punten zijn gemeenschappelijk. Het zijn samenvallende rechten. Ook samenvallende rechten noem je evenwijdige rechten. a b De rechten a en b liggen niet in één vlak. Ze hebben geen enkel gemeenschappelijk punt. Het zijn kruisende rechten. Rechten
. Evenwijdige rechten In de volgende gevallen spreek je over evenwijdige rechten. a b a is evenwijdig met b. a en b hebben geen snijpunt. Notatie a // b π a Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken π b a en b vallen samen. Je noemt ze ook evenwijdig. Notatie a = b Evenwijdige lijnen kom je overal tegen. De bekendste, maar tegelijkertijd ook de meest raadselachtige, vind je in Zuid-Peru. Kilometers ver zijn er in het landschap enorme tekeningen gemaakt van allerlei dieren en zeer veel lijnen in allerlei richtingen. Deze tekeningen werden gemaakt door de Nazca-indianen, meer dan 500 jaar geleden. Sommige lijnen zijn zeer recht getekend, maar niemand weet waarom ze er staan.. evenwijdige rechten
. Snijdende rechten en loodlijnen b P a en b zijn niet evenwijdig. Het zijn snijdende rechten. P is het snijpunt. π a Notatie a // b Je zegt a snijdt b. k De snijdende rechten k en m vormen in het snijpunt P vier rechte hoeken. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken π P m Notatie k ^ m Je zegt k staat loodrecht op m of m staat loodrecht op k. Een rechte hoek duid je aan met het merkteken. Rechten
Oefeningen Sommige van deze vierhoeken hebben evenwijdige zijden of zijden die loodrecht op elkaar staan. Duid de loodrechte stand aan met het merkteken. Markeer de evenwijdige zijden in dezelfde kleur. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 5 7 8 Vul in met //, ^ of //. 6 b r a s d t s e Welke rechten zijn evenwijdig met b? g f t t f e d s g a r s t b e d Welke rechten zijn strikt evenwijdig met a? f. Snijdende rechten en loodlijnen 5
0 60. Evenwijdige rechten tekenen met een geodriehoek Opdracht Teken de rechte m, door het punt P en evenwijdig met de rechte k. P De rechte k en het punt P. k Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken k Oefening 70 0 60 0 7 6 5 0 5 6 7 50 0 0 0 P 0 50 0 60 0 70 00 80 90 80 00 70 60 0 0 0 70 0 0 0 50 0 50 m Leg je geodriehoek zoals op de figuur. De evenwijdige lijnen op de geodriehoek moeten evenwijdig zijn met k. Teken m door P. Teken door de evenwijdige met de rechte a en door T de evenwijdige met de rechte t. Maak gebruik van je geodriehoek. a T t 6 Rechten
0 70 0 70 7 0 90 00 80 90.5 Een loodlijn tekenen met een geodriehoek Opdracht Teken de rechte m door het punt P en loodrecht op de rechte k. k P Het punt P ligt op de rechte k. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken k P P 5 6 7 0 60 7 6 5 0 m 0 50 70 0 0 0 60 0 50 0 50 0 6 0 0 0 0 70 0 80 00 0 50 0 70 0 60 Leg de geodriehoek zoals op de figuur. Teken de rechte m door P. De rechte m noemt men de loodlijn door het punt P op de rechte k. Het punt P ligt niet op de rechte k. k P m 5 6 7 0 60 0 50 0 0 50 0 60 0 0 80 00 00 80 Leg de geodriehoek zoals op de figuur. k 5 0 7 6 70 0 60 0 50 0 0 0 0 50 0 70 0 60 Teken de rechte m door P..5 een loodlijn tekenen met een geodriehoek 7
Oefeningen 5 Teken door C de loodlijn op de rechte c en door M de loodlijn op de rechte m. Maak gebruik van je geodriehoek. C M Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 6 Teken door H de loodlijn op de rechte h en door K de loodlijn op de rechte k. Maak gebruik van je geodriehoek. h c K m H k 8 Rechten
7 Teken door P de loodlijn op de rechte p; door Q de loodlijn op de rechte q. Maak gebruik van je geodriehoek. P Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 8 Q p Teken door het punt P de rechte x zodat x ^ a en de rechte y zodat y // d. a q d S P.5 een loodlijn tekenen met een geodriehoek 9
.6 Evenwijdige rechten tekenen met passer en lat Opdracht Construeer de rechte m, door het punt P en evenwijdig met de rechte k. P k Rechte k en P Ï k Neem twee punten en op k. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken k k P P Neem als passeropening de afstand van tot. Zet het passerpunt in P. Pas vanuit P de afstand van tot af (eerste boogje). Neem als passeropening de afstand van tot P. Zet het passerpunt in. Pas vanuit de afstand van tot P af (tweede boogje). P m Trek m. k 0 Rechten
Oefeningen 9 Construeer de rechte a, door en evenwijdig met de rechte b. Maak gebruik van je passer en lat. b Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 0 Construeer de rechte p, door Q en evenwijdig met de rechte q. Maak gebruik van je passer en lat. Q q.6 evenwijdige rechten tekenen met passer en lat
.7 Een loodlijn tekenen met passer en lat Opdracht Construeer de rechte m, door het punt P en loodrecht op de rechte k. Rechte k en P Î k P k Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken S P P k k Zet het passerpunt in P. Trek met dezelfde passeropening twee boogjes die k snijden in en. Zet het passerpunt in en in. Trek met dezelfde passeropening twee boogjes die elkaar snijden in S. S m Trek m = SP. P k Rechten
Opdracht Construeer de rechte m, door het punt P en loodrecht op de rechte k. P Rechte k en P Ï k k Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken P P S k k Zet het passerpunt in P. Trek een boog die k in twee punten en snijdt. Zet het passerpunt in en in. Trek met dezelfde passeropening twee boogjes die elkaar snijden in S. P m S k Trek m = PS..7 een loodlijn tekenen met passer en lat
Oefeningen Construeer in D de loodlijn op de rechte d; door S de loodlijn op de rechte s. Maak gebruik van je passer en lat. D Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken d s Construeer uit F een loodlijn op de rechte w; uit M een loodlijn op de rechte t. Maak gebruik van je passer en lat. S F M w t Rechten
.8 Evenwijdige rechten tekenen met lat en tekendriehoek Vooral om grote tekeningen te maken (als bijv. je geodriehoek te klein is) kun je gebruik maken van een lat en een tekendriehoek. Opdracht Teken de rechte m, door het punt P en evenwijdig met de rechte k. P m Leg je tekendriehoek op de rechte k en leg er een lat langs. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken k Oefening Teken de rechte b met Î b en b // a. Teken de rechte c met C Î c en c ^ a. Maak gebruik van de ruitjes. Verschuif je tekendriehoek langs de lat en teken de rechte m door P. a C.8 evenwijdige rechten tekenen met lat en tekendriehoek 5
.9 Eigenschappen i.v.m. evenwijdigheid en loodrechte stand We onderzoeken deze eigenschappen in onderstaande oefeningen. Oefeningen Maak volgende tekeningen met je geodriehoek en vul dan in. Teken de rechte b door het punt K evenwijdig met de rechte a. Teken de rechte c door het punt M evenwijdig met de rechte b. Vul in. K Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Hoe liggen a en c? ls de rechte a evenwijdig is met de rechte b en de rechte b evenwijdig is met de rechte c, dan a // b en b // c Þ a c Teken de rechte b door het punt P loodrecht op de rechte a. Teken de rechte c door het punt R loodrecht op de rechte b. Vul in. a P M Hoe liggen a en c? ls de rechte a loodrecht staat op de rechte b en de rechte b loodrecht staat op de rechte c, dan a R a ^ b en b ^ c Þ a c 6 Rechten
Teken de rechte b door het punt S evenwijdig met de rechte a. Teken de rechte c door het punt Q loodrecht op de rechte b. Vul in. Hoe liggen a en c? ls de rechte a evenwijdig is met de rechte b en de rechte b loodrecht staat op de rechte c, dan Q Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 5 a a // b en b ^ c Þ a c Maak volgende tekeningen met je geodriehoek en vul dan in. S a, b, c, d, e zijn rechten op de linkertekening. f, g, k, m, n, p zijn rechten op de rechtertekening. a // b en b ^ c en c // d en d ^ e Þ a e f // g en g ^ k en k // m en m ^ n en n ^ p Þ f Staat er een even aantal keer het symbool ^, dan is het resultaat Staat er een oneven aantal keer het symbool ^, dan is het resultaat p.9 eigenschappen i.v.m. evenwijdigheid en loodrechte stand 7
SMENVTTING d c a b e Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken a a a P c e b a en b zijn snijdende rechten. a // b Hun snijpunt is het punt P. a en c zijn evenwijdige rechten. a // c Ze hebben geen enkel gemeenschappelijk punt. a en e zijn samenvallende rechten. a = e l hun punten zijn gemeenschappelijk. a en e zijn evenwijdig. a // e Kruisende rechten kun je niet in een vlak tekenen. b en d zijn kruisende rechten. Ze liggen niet in één vlak. Ze hebben geen enkel gemeenschappelijk punt. c b b en c staan loodrecht op elkaar. b ^ c Het zijn snijdende rechten die vier rechte hoeken vormen in hun snijpunt. 8 Rechten
Lijnstukken Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken OP VERKENNING! Gezichtsbedrog Eerst zien, dan geloven zeggen mensen soms. Daarmee bedoelen ze dat ze iets niet geloven, voordat ze het met hun eigen ogen hebben gezien. Maar zien we wel altijd wat we zien? Kunnen onze ogen ons ook bedriegen? Dat je lijnstukken maar beter kunt meten in plaats van je ogen te geloven, merk je aan de volgende voorbeelden. Langer of korter? Wat denk je van de lengte van de twee lijnstukken tussen de pijlen? Welk lijnstuk is langer? De pijlen werken hier erg misleidend! Recht of krom? De rechte lijnen door de cirkels lijken krom te lopen! Je kunt dit eenvoudig controleren door er een lat langs te leggen. Langer of korter? De horizontale lijnstukjes lijken niet even lang. Is dat werkelijk zo? Meet maar na. Lijnstukken 9
. Meten van lijnstukken E C D F Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Lijnstukken kun je meten. De lengte wordt aangegeven door een getal en een lengte-eenheid. Je noteert = cm CD = 6 cm EF = 5 cm Je leest : de lengte van het lijnstuk [ ]. Het getal noem je het maatgetal van de lengte van het lijnstuk. Je noteert = Je leest : het maatgetal van de lengte van het lijnstuk [ ]. Een lijnstuk heeft maar één lengte, maar meer dan één maatgetal. = (gemeten in cm) = 0 (gemeten in mm) Oefening Onderzoek de volgende figuren. Plaats eenzelfde merkteken op de even lange lijnstukken. K L P D J C E N Q T R M G F W V H S 0 Lijnstukken
. ewerkingen met lijnstukken De lengte van lijnstukken kun je optellen, aftrekken of vermenigvuldigen met een getal. We gebruik de lijnstukken van de vorige bladzijde. Optellen + CD + EF = cm + 6 cm + 5 cm = cm ftrekken CD = 6 cm cm = cm Vermenigvuldigen met een getal CD = = cm = 6 cm Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Oefeningen Teken telkens het lijnstuk [ EF ] als de lijnstukken [ ] en [ CD ] gegeven zijn. Gebruik je passer. C EF = + CD E EF = CD E D EF = E EF = CD E. ewerkingen met lijnstukken
Teken de omtrek van de driehoek en van de vierhoek op de halfrechten. Gebruik je passer. Meet daarna de omtrek. C E F H G Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Driehoek De omtrek van de driehoek meet Vierhoek E De omtrek van de vierhoek meet De omtrek van een driehoek en van een vierhoek zijn gegeven. Driehoek C Vierhoek E F G K E Teken een driehoek C als één van zijn zijden [ ] reeds getekend is. Teken een vierhoek EFGK als [ EF ] reeds getekend is. E F Lijnstukken
. fstanden De kortste weg Een zwemmer wil langs de kortste weg naar de kust. De lengte van de kortste weg noem je de loodrechte afstand of afstand. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken De afstand tussen twee punten Om de kortste weg te vinden van het punt K tot het punt M verbind je deze punten met een lijnstuk. esluit K De afstand van het punt K tot het punt M is KM, de lengte van het lijnstuk [ KM ]. De afstand tussen een punt en een rechte Om de kortste weg te vinden van het punt P tot de rechte k, trek je de loodlijn uit P op k. M P k S esluit De afstand van het punt P tot de rechte k is PS.. fstanden
De afstand tussen twee strikt evenwijdige rechten Om de kortste weg te vinden tussen de rechte a en de rechte b, trek je ook hier een loodlijn. C a Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken D esluit De afstand tussen a en b is E. Merk op De lijnstukken [ D ] en [ CF ] zijn langer dan het lijnstuk [ E ]. E < D < CF Oefeningen 5 Teken 5 punten die op cm van de rechte a liggen. E F Teken alle punten die op cm van de rechte a liggen. b a a Hoeveel punten kun je tekenen die op cm van de rechte a liggen? ntwoord: Lijnstukken
6 Teken 5 punten die op,5 cm van het punt liggen. Teken alle punten die op,5 cm van het punt liggen. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 7 Hoeveel punten kun je tekenen die op,5 cm van het punt liggen? ntwoord: Hoe noem je de afstand,5 cm? Hoe noem je het punt? Tracht nu de definitie van een cirkel te geven. (Dus: tracht nauwkeurig te formuleren wat een cirkel is). Teken alle punten die op,5 cm van liggen. Teken ook alle punten die op cm van liggen.. fstanden 5
8 Teken alle punten die op cm van en tegelijk op,5 cm van liggen. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 9 Hoeveel punten heb je gevonden? ntwoord: Teken alle punten die op cm van a en tegelijk op,5 cm van b liggen. b a Hoeveel punten heb je gevonden? ntwoord: 6 Lijnstukken
0 Teken alle punten die op cm van a en tegelijk op cm van liggen. a Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Hoeveel punten heb je gevonden? ntwoord: Teken 5 punten die even ver van als van liggen. Teken alle punten die even ver van als van liggen. Hoeveel punten kun je tekenen die even ver van als van liggen? ntwoord:. fstanden 7
. Midden van een lijnstuk DEFINITIE Het midden van een lijnstuk is het punt van dit lijnstuk dat even ver van de eindpunten van dit lijnstuk ligt. Het punt M van het lijnstuk [ ] is het midden van dit lijnstuk want M = M. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken M.5 Middelloodlijn van een lijnstuk DEFINITIE Om aan te duiden dat twee lijnstukken even lang zijn zetten we er hetzelfde merkteken op. De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van het lijnstuk loodrecht op dit lijnstuk wordt getrokken. m M m is de middelloodlijn van het lijnstuk [ ] met midden M want M = M en m [ ] 8 Lijnstukken
.6 De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen met passer en lat Opdracht Teken de middelloodlijn m van het lijnstuk [ ]. Zet het passerpunt in. Neem een passeropening groter dan de helft van. Zet een boogje onder en boven [ ] met dezelfde passeropening. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken ehoud de passeropening. Zet het passerpunt in en gebruik dezelfde passeropening. Zet een boogje onder en boven [ ]. Teken de rechte door de twee snijpunten. m m is de middelloodlijn van [ ]..6 De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen met passer en lat 9
Oefeningen Construeer de middelloodlijnen van [ CD ] en [ EF ]. Zet merktekens. F D C Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Construeer de middelloodlijnen van de zijden [ ], [ C ] en [ C ] van de driehoek C. E C Wat stel je vast? 50 Lijnstukken
Zoek het midden van volgende voorwerpen. Gebruik je passer. C Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 5 Een bal ligt even ver van speler en speler en tegelijkertijd op meter voor de doellijn. Plaats de bal op het speelveld. (Laat cm op je tekening overeenkomen met m.) D.6 De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen met passer en lat 5
.7 Kenmerkende eigenschap van de middelloodlijn Opdracht De rechte m is de middelloodlijn van het lijnstuk [ ]. Neem enkele punten op de rechte m. m Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Neem een willekeurig punt P op m. Teken [ P ] en [ P ]. Meet P = P = Neem een willekeurig punt K op m. Teken [ K ] en [ K ]. Meet K = K = Wat stel je vast? EIGENSCHP Elk punt van de middelloodlijn van een lijnstuk ligt op gelijke afstand van de eindpunten van dit lijnstuk. 5 Lijnstukken
Opdracht Het lijnstuk [ ] is gegeven. Construeer enkele punten zoals aangegeven. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Construeer een punt M zodat M = M = cm Construeer een punt R zodat R = R = 5 cm Construeer een punt S zodat S = S = 6 cm Teken met je geodriehoek de middelloodlijn m van [ ]. Wat stel je vast? OMGEKEERDE EIGENSCHP Ligt een punt op gelijke afstand van de eindpunten van een lijnstuk, dan ligt dit punt op de middelloodlijn van dit lijnstuk. Het is deze eigenschap die we toepassen bij de constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk. Omdat de eigenschap van de middelloodlijn ook een omgekeerde eigenschap heeft, noemen we ze een kenmerkende eigenschap..7 kenmerkende eigenschap van de middelloodlijn 5
Oefeningen 6 CD is een vierhoek. Teken de afstand van het punt tot de drager van b, van het punt tot de drager van c, van het punt C tot de drager van d en van het punt D tot de drager van a. a C Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 7 b d D c Teken alle punten die even ver van de evenwijdige rechten a en b liggen. a b 5 Lijnstukken
8 De rechte m is de middelloodlijn van het lijnstuk [ C ]. Construeer het punt met passer en lat. m C Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 9 Teken twee cirkels met middelpunten O en M en met verschillende stralen. Zorg ervoor dat de twee cirkels elkaar snijden in de punten en. Teken de rechte OM. Wat is OM van het lijnstuk [ ]? Verklaar waarom:.7 kenmerkende eigenschap van de middelloodlijn 55
SMENVTTING DEFINITIES Het midden van een lijnstuk is het punt van dit lijnstuk dat even ver van de eindpunten van dit lijnstuk ligt. De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van het lijnstuk loodrecht op dit lijnstuk wordt getrokken. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken EIGENSCHP Elk punt van de middelloodlijn van een lijnstuk ligt op gelijke afstand van de eindpunten van dit lijnstuk. OMGEKEERDE EIGENSCHP Ligt een punt op gelijke afstand van de eindpunten van een lijnstuk, dan ligt dit punt op de middelloodlijn van dit lijnstuk. C D [ ] en [ CD ] zijn lijnstukken. is de lengte van het lijnstuk [ ]. = cm is het maatgetal van de lengte van het lijnstuk [ ]. = m De afstand van het punt tot het punt is. P De afstand van het punt P tot de rechte a is de loodrechte afstand PM. Het punt M is het midden van het lijnstuk [ ] want M = M. De rechte m is de middelloodlijn van het lijnstuk [ ] want M = M en m [ ] a M Het punt P ligt op de middelloodlijn m van het lijnstuk [ ] en dus is P = P. 56 Lijnstukken
Hoeken OP VERKENNING! Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Een deltavlieger Een populair type zweefvlieger is de Rogallo. Hij is genoemd naar een ingenieur van de NS die hem ontwierp in zijn vrije tijd op het einde van de jaren 90. Hij wilde een luchtvaartuig dat goedkoop was en geschikt was voor sportieve doeleinden. Hij werkte een systeem uit van vleugels die hun vorm behouden onder de druk van de lucht. De eerste Rogallo werd in augustus 958 uitgetest. Rogallo s uitvinding lag aan de basis van het deltavliegen. Hoeken spelen een zeer grote rol bij de Rogallo-zwever: de zeilen van de zwever bestaan uit twee even grote driehoeken, waarvan de zijden en hoeken twee aan twee gelijk zijn. Hoeken 57
. Hoeken DEFINITIE Een hoek is een deel van een vlak begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 5 Een hoek is dus een deelverzameling van het vlak p. Notatie Lees ^ Ì π de hoek ^ is een deelverzameling van het vlak π. De twee halfrechten zijn de benen van de hoek, het gemeenschappelijk punt is het hoekpunt. Hoeken kun je meten in graden. We spreken af dat een rechte hoek 90 graden is. ls je die hoek in 90 even grote hoekjes verdeelt, dan meet elk hoekje graad ( ). Notatie Lees ^ = 5 ^ = 90 ^ < ^ de grootte van de hoek ^ is kleiner dan de grootte van de hoek ^. 90 Het 60 ste deel van een graad noem je minuut: Het 60 ste deel van een minuut noem je seconde: Dus rechte hoek is 90 = 60 = 60 58 Hoeken
70 0 70 0 70 0 60 0 60 0 60 0. Hoeken meten Opdracht Meet de hoek ^. Gebruik een gradenboog of een geodriehoek. Hoe meet je de hoek ^? Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 0 70 0 60 0 0 50 0 60 0 7 6 5 0 5 6 7 5 7 0 70 0 60 0 50 0 50 0 0 50 0 60 0 80 00 80 00 90 90 00 80 00 80 0 70 0 70 0 60 0 60 0 50 0 50 0 0 50 0 0 0 70 0 50 0 Leg de geodriehoek op de hoek ^. 0 komt precies op. De langste zijde van je geodriehoek valt samen met een been van de hoek. Loop vanaf dat been langs de boog met de getallen 0, 0, 0 5 6 0 70 0 7 6 0 70 0 60 0 50 0 0 50 0 60 0 7 6 5 0 5 6 7 80 00 90 00 80 0 70 0 60 0 50 0 0 50 0 70 0 6 Het andere been duidt op de geodriehoek de grootte van de hoek aan. ^ = 6. Hoeken meten 59
90 90 60 0 0 70 0 70 0. Hoeken tekenen Opdracht Teken met een gradenboog of een geodriehoek een hoek van 0. P Teken het hoekpunt P en een been van de hoek. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 0 60 0 70 0 50 0 0 50 0 60 0 70 0 80 00 7 6 5 0 5 6 7 0 0 70 0 50 0 60 0 0 50 0 60 0 70 0 80 00 P 7 6 5 0 5 6 7 P 00 80 00 80 0 70 0 70 0 60 0 60 0 50 0 50 0 0 0 0 50 0 50 0 60 Leg je geodriehoek langs dat ene been. 0 van de meetlat komt precies op P. Loop vanaf dat been langs de boog met de getallen 0, 0, 0 tot 0. Zet daar een punt. 0 Teken het tweede been van de hoek. P P ^ = 0 60 Hoeken
Oefeningen Meet de hoeken ^, ^ en ^C. Vul in. ^ = ^ = ^ C = C Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Teken de hoeken ^D, ^E en ^F zodat ^D = ; ^E = 5 en ^F = 50. D F E. Hoeken tekenen 6
Het schip Tornado vaart in de richting van de haven. De hoek tussen het noorden en de vaarrichting (in wijzerzin) noem je de koers van het schip. Meet de koers van de Tornado. ntwoord: NOORDEN Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Meet nu ook de volgende koersen op en noteer ze op de tekening. NOORDEN VRRICHTING N V N V In de controletoren van een vliegveld wordt de positie van de vliegtuigen bepaald. Op de radar stelt elk lichtpuntje een vliegtuig voor. N E D C 6 Hoeken
Meet de koersen op. Vul de tabel in. N vliegtuig koers E D C C D E Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 5 Een robot kan geprogrammeerd worden om een vast traject af te leggen. De bewegingsrichting en dus ook de kijkrichting van de robot wordt gewijzigd door het ingeven van een hoek. Dit gebeurt steeds in wijzerzin. Door het ingeven van de afstand weet de robot hoe ver hij moet stappen. Teken het traject dat deze robot aflegt. Houd rekening met deze instructies.. Verander de kijkrichting met een hoek van 50 en loop cm vooruit.. Verander de kijkrichting met een hoek van 5 en loop cm vooruit.. Verander de kijkrichting met een hoek van 75 en loop 5 cm vooruit.. Verander de kijkrichting met een hoek van 90 en loop cm vooruit. egin in het startpunt S. kijkrichting bij start S. Hoeken tekenen 6
. Soorten hoeken Nulhoek ^ = 0 Scherpe hoek ^ < 90 Rechte hoek ^ C = 90 Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Stompe hoek 90 < ^ D < 80 D C Gestrekte hoek ^ E = 80 E Inspringende hoek 80 < F ^ < 60 Volle hoek ^ G = 60 F G 6 Hoeken
anliggende hoeken De hoeken ^ en ^ zijn aanliggende hoeken.. Ze hebben een gemeenschappelijk hoekpunt.. Ze hebben een gemeenschappelijk been.. De andere benen liggen aan weerszijden van het gemeenschappelijk been. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Nevenhoeken Overstaande hoeken De hoeken ^ en ^ zijn nevenhoeken.. Het zijn aanliggende hoeken.. Ze vormen samen een gestrekte hoek. De hoeken ^ C en C ^ zijn overstaande hoeken. Ook C ^ en C ^ zijn overstaande hoeken. C Merk op dat C ^ + C ^ = 80 C ^ + C ^ = 80 Dus is C ^ = C ^ en dus ook C ^ = C ^ esluit Overstaande hoeken zijn even groot.. Soorten hoeken 65
Oefeningen 6 De wijzers van een klok vormen telkens een hoek. 9 9 9 9 9 8 6 6 6 C 6 D 6 E Welke soort hoek vormen de wijzers van deze klokken? klok ( ) klok D ( ) Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 7 8 klok klok C 0 9 8 7 5 6 ( ) ( ) klok E ( ) Hoe groot is de hoek die de kleine wijzer aflegt indien hij de volgende bewegingen maakt? Hij draait van u. naar 6 u. Hij draait van u. naar 6 u. Hij draait van u. naar 9 u. Hij draait van u. naar u. Teken alle hoeken met hoekpunt die 50 zijn en waarvan een been op de rechte a ligt. Hoeveel oplossingen zijn er? ntwoord: a 66 Hoeken
9 Welke hoeken zijn aanliggend? Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 0 ereken (niet meten) en verklaar de grootte van de hoeken ^, ^ en ^. ^ = ^ = 5 Verklaring: ^ = Verklaring: ^ = Verklaring:. Soorten hoeken 67
Teken twee aanliggende hoeken ^ en ^ zodat ^ = en ^ = 85. Teken twee nevenhoeken ^ en ^ zodat ^ = 76. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken ereken de gemarkeerde hoeken. 6 5 59 70 90 98 6 9 0 7 68 Hoeken
.5 Een hoek overtekenen Opdracht Teken de hoek ^ over. Gebruik de gradenboog of geodriehoek. Je meet de hoek ^ met de geodriehoek. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Oefening De hoek ^ is gegeven. Teken een even grote hoek ^C. epaal de grootte van de hoek met de gradenboog en teken de hoek dan opnieuw. C.5 een hoek overtekenen 69
Opdracht Teken de hoek ^ over. Gebruik de passer en lat. C Teken de hoek ^ over met passer en lat. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken D D E F Teken het hoekpunt D en een been van de hoek. Zet het passerpunt in D. Teken een boog zodat DE =. Neem als passeropening C. Zet het passerpunt in E. Teken een boog met EF = C. F is het snijpunt van beide boogjes. E F D De halfrechte [ DF is het tweede been van de hoek. E 70 Hoeken
Oefening Construeer telkens een hoek met dezelfde grootte. Gebruik je passer. ^ = ^ K K Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken ^ = ^ T T.5 een hoek overtekenen 7
.6 ewerkingen met hoeken De grootte van hoeken kun je optellen, aftrekken of vermenigvuldigen met een getal. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken ^ = 5 Lees Optellen ftrekken ^ = 0 ^ = 5 ^ = 0 ^ : de grootte van de hoek. ^ : het maatgetal van de grootte van de hoek. ^ + ^ = 5 + 0 = 5 ^ ^ = 0 5 = 75 Vermenigvuldigen met een getal Je kunt dit ook tekenen. ^ = 5 = 05 +. 7 Hoeken
Oefeningen 5 De hoeken ^ en ^ zijn gegeven. Construeer de hoeken ^D en ^E zoals aangegeven. Gebruik je passer. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken ^ D = ^ + ^ D ^ E = ^ ^ E.6 ewerkingen met hoeken 7
6 ^ = 6 ^ = 8 ereken (niet meten!) ^ = 6 ^ = 5 ^ 5 = Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 7 ^ 6 = ^ = ^ Toon aan dat ^ = ^ ntwoord: 8 ^ O = ^ O Toon aan dat ^ O = ^ O ntwoord: O 7 Hoeken
9 ereken. 6 ' 7" 7 ' 9" 8' 57" + 9 5' " + 6 7' 5" + 6 9' " = = 98 ' 6" ' 7" 7' 9" 5 ' 8" Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 0 57 ' 9" 5 8' 6" 7' 6" De hoeken ^, = = ^ en ^C zijn samen 80. 5 9' 7" 7 = = 6 ' 8" 5 ^ = ' 5" en ^C = 98 5' 7" ereken ^..6 ewerkingen met hoeken 75
.7 issectrice (deellijn) van een hoek DEFINITIE De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek verdeelt in twee hoeken met dezelfde grootte. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken.8 Een bissectrice tekenen P Q T d De rechte d is de bissectrice van de hoek ^ want ^ = ^. Je neemt de punten P en Q zodat P = Q. Je neemt het punt T zodat PT = QT. De rechte T is dan de bissectrice van de hoek ^. De figuur is een vlieger. Een vlieger is een vierhoek waarvan twee naast elkaar liggende zijden even lang zijn en de andere twee zijden ook even lang. Maak je zelf een vlieger, zorg er dan voor dat de rechte T de bissectrice is van de hoek ^. Zijn bij een vlieger de vier zijden even lang, dan krijg je een ruit. 76 Hoeken
.9 Een bissectrice tekenen met passer en lat Opdracht Teken de bissectrice d van de hoek ^. Gebruik je passer en lat. De hoek ^ is gegeven. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken C C Zet het passerpunt in. Pas dezelfde afstand af op beide benen van de hoek. Zo krijg je de snijpunten en C. Zet het passerpunt in en daarna in C. Trek met dezelfde passeropening twee boogjes die elkaar snijden. C d Trek de rechte door en het snijpunt. De rechte d is de bissectrice van de hoek ^.9 een bissectrice tekenen met passer en lat 77
Oefeningen Construeer de bissectrice van de hoeken ^ en ^C. C Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Verdeel de hoek ^D in vier even grote hoeken. Construeer de bissectrices van de hoeken ^ en ^. Vul in. De hoeken ^ en ^ D zijn Hun som is Hoe groot is de hoek die gevormd wordt door beide bissectrices? 78 Hoeken
Teken de bissectrices van de hoeken ^S en ^S. Hoe groot is de hoek die gevormd wordt door de bissectrices? S Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 5 Teken de bissectrices van de hoeken ^P en ^P. Wat merk je? P 6 Teken de bissectrices van hoeken ^T en ^T. Vul in. T ^ + T ^ = ereken de hoek die gevormd wordt door beide bissectrices. 0 T.9 een bissectrice tekenen met passer en lat 79
.0 Eigenschap van de bissectrice Opdracht De rechte b is de bissectrice van de hoek ^. Neem enkele punten op de rechte b. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken b R Teken de (loodrechte) afstand van het punt tot een been van de hoek ^. Noem die afstand E. Teken ook de (loodrechte) afstand van het punt tot het andere been van de hoek ^. Noem die afstand F. Meet E en F en vul in E = Wat stel je vast? F = Neem een willekeurig punt P op de bissectrice b binnen de gemarkeerde hoek ^. Teken de afstanden PG en PH tot de benen van de hoek. Meet PG en PH en vul in PG = Wat stel je vast? PH = Teken de afstanden RS en RT van het punt R tot de dragers van de benen van de hoek ^. Meet RS en RT en vul in RS = Wat stel je vast? RT = 80 Hoeken
EIGENSCHP Elk punt van de bissectrice van een hoek ligt op gelijke afstand van de dragers van de benen van die hoek. Oefeningen 7 De gemarkeerde hoek ^ C is gegeven. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Teken in die hoek alle punten die op cm van [ liggen. Teken in die hoek ook alle punten die op cm van [ C liggen. Noem het snijpunt H. Teken in die hoek alle punten die op,5 cm van [ liggen. Teken in die hoek ook alle punten die op,5 cm van [ C liggen. Noem het snijpunt R. Teken in die hoek alle punten die op 5,5 cm van [ liggen. Teken in die hoek ook alle punten die op 5,5 cm van [ C liggen. Noem het snijpunt S. Teken een rechte b door de punten H, R en S. C Wat stel je vast?.0 eigenschap van de bissectrice 8
8 Teken alle punten die even ver van de rechten a en b liggen. a Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 9 Hieronder zie je de benen van een hoek waarvan het hoekpunt buiten je blad ligt. Teken de bissectrice van de hoek. Denk hierbij aan de eigenschap. b 8 Hoeken
0 Construeer de bissectrices van de drie hoeken ^, Wat stel je vast? ^ en ^C van deze driehoek. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken a O P C b Q De rechte a heeft slechts één gemeenschappelijk punt met de cirkel: het punt P. lle andere punten van de rechte a liggen buiten de cirkel. Daarom noemt men de rechte a een raaklijn aan de cirkel met middelpunt O en straal OP. Ook de rechte b is een raaklijn aan de cirkel. OQ is een straal. [ OP ] a en [ OQ ] b. Waarom? Wat is de bissectrice van de hoek ^? Verklaar waarom..0 eigenschap van de bissectrice 8
Zoek de middelpunten van beide wielen. Gebruik hierbij de constructie van een bissectrice van een hoek. Steun op oefening en de constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Neem vier punten op de gegeven cirkel en construeer het middelpunt van de cirkel. 8 Hoeken
SMENVTTING DEFINITIES Een hoek is een deel van een vlak begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt. De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek verdeelt in twee hoeken met dezelfde grootte. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken EIGENSCHP Elk punt van de bissectrice van een hoek ligt op gelijke afstand van de dragers van de benen van die hoek. 0º 0º C 0º ^, ^ en ^ C zijn hoeken. ^ is de grootte van de hoek ^. ^ = 0 ^ is het maatgetal van de grootte van de hoek ^. ^ = 0 C P d d is de bissectrice van de hoek ^ want ^ = ^. P = PC. Samenvatting 85
Notities Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 86 Hoeken
Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken DEEL II Spiegelingen Hoofdstuk. Spiegelingen 88
Spiegelingen OP VERKENNING! Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Op de foto zie je een vis die uit het water springt. Op het wateroppervlak zie je zijn spiegelbeeld. Het lijkt onder het wateroppervlak te liggen. Elk deel van de vis ligt even ver van het wateroppervlak als het overeenstemmende deel van zijn spiegelbeeld. 88 Spiegelingen
s M Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken ' Op de tekening in het vlak π wordt het wateroppervlak voorgesteld door de rechte s. De rechte s noem je de spiegelas. Het spiegelbeeld ' ligt even ver van de rechte s als het punt. Het lijnstuk dat met ' verbindt staat loodrecht op de rechte s. Met symbolen M = M' en [ ' ] s esluit De rechte s is de middelloodlijn van het lijnstuk [']. Spiegelingen 89
Oefening Kun jij de tekst ontcijferen? ij een bezoek aan de oekenbeurs, kocht mber een bekend jeugdboek. Tot haar verbazing merkte ze thuis echter dat er iets mis was gegaan bij het drukken. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Op ziekenwagens wordt het woord ambulance op een eigenaardige manier geschreven. Weet jij waarom? ntwoord: Deze tekening is duidelijk verkeerd afgedrukt. Weet jij hoe laat het is? ntwoord: Naar welke windrichting keek de fotograaf? ntwoord: 90 Spiegelingen
. Het spiegelbeeld t.o.v. een rechte tekenen Opdracht Teken het spiegelbeeld ''C'D' van de vierhoek CD door de spiegeling t.o.v. de rechte s. C De vierhoek CD en de rechte s. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken D C D s s Teken loodlijnen uit de punten,, C en D op de rechte s. C Meet gelijke stukken af. D s ' C' C D s D' ' Teken het beeld ''C'D' van de vierhoek CD. ''C'D' is ook een vierhoek. Het punt C, dat op de spiegelas s ligt, heeft zichzelf als beeld.. Het spiegelbeeld t.o.v. een rechte tekenen 9
. De spiegeling van het vlak p Je kunt elk punt van het vlak p spiegelen t.o.v. een rechte. Op de tekening zie je dat het beeld van de vierhoek CD de vierhoek ''C'D' is. ' Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken Notatie De spiegeling t.o.v. de rechte a. Een punt wordt door de spiegeling afgebeeld in '. Lees D C C' Het beeld van door de spiegeling t.o.v. de rechte a is '. a D' ' s a s a () = ' Merk op Een punt C op a heeft zichzelf als spiegelbeeld. s a (C) = C' = C Een punt dat zichzelf als beeld heeft noem je een dekpunt.. Congruente figuren Op de tekening is het beeld van de vierhoek CD de vierhoek ''C'D'. Knip je ze uit en leg je ze op elkaar, dan merk je dat ze elkaar volkomen bedekken. Dergelijke figuren noem je congruente figuren. Notatie vierhoek CD @ vierhoek ''C'D' Lees De vierhoek CD is congruent met de vierhoek ''C'D'. 9 Spiegelingen
Oefeningen Teken het beeld van de volgende figuren door een spiegeling t.o.v. de spiegelas s. Tracht zoveel mogelijk gebruik te maken van de ruitjes. Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken s. Congruente figuren 9
Teken het beeld van deze lijnstukken, halfrechten en rechten door een spiegeling t.o.v. de spiegelas s. C s Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken a K L D s d R s S 9 Spiegelingen
Teken van volgende spiegelingen telkens de spiegelas s. Voor elke opgave werd een figuur en haar beeld door die spiegeling getekend. C = C' ' D = D' Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken E F E' F' a' a S b' S' T T' b. Congruente figuren 95
5 Teken het beeld D ''C' van D C door een spiegeling t.o.v. de spiegelas s. C Uitsluitend te gebruiken door Sean Cant (00--0) S.S..O.G.O. aken 6 Meet de lengte van [ ] en [ '' ]. Wat stel je vast? s = '' = Teken het beeld ^D ' van D ^ door een spiegeling t.o.v. de spiegelas s. Maak alleen gebruik van het hoekpunt en punten van de spiegelas (dekpunten). D s Meet de grootte van ^ D en ^ D '. ^ D = ^ D ' = Wat stel je vast? 96 Spiegelingen