Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Blok 3 - Vaarigheen lazije 19 1a 1, 3 3000 = 8900 = 8310, 0, 07 000000 = 8000 = 810, 300 1700 = 6870000 = 6910, 8 0, 000 0, 007 = 0, 000001 = 1, 10 6 e 6344, 1 781, 98 = 496104, 336 = 49610, 6 9 6 f, 10 + 4 10 = 74000000 =, 74 10 9 g 0, 003 : 407 = 66610, 8 h 0, 00007 0, 098 = 68610, 6 a H = 34 m 117,, H =, 34 3, 117, 9, 9 117, 117, 117,, H = 34, m, =, 34 m m = m = 34,, 34, 1 117, 1, 08 117, 117, 117, 34, = 7 = 7 = 7 34, m m m 34,, De grafiek van H is stijgen us H < 7 gelt voor m= 1en m=. Nee e grafiek heeft geen asymptoot. 3a ( a 3) + ( a+ 31) = a 6+ a+ 1 = 7a + 149 7m( 3m ) = 1m 3m k 3k+ 7 ( k+ 3) = k 3k+ 14k+ 1 = 13k + 1 7 ( p ) p( 0, p+ 6) = 14p 3 0, p 6p= 0, p + 8p 3 e 7k+ k( 3k+ ) = 7k+ 3k + k = 3k + 9k f 4a 8m( m+ 9) = 8 ( m + 9) = 16m + 7 voor m 0 m 1 48 0 Inhou is N(0, ), us: TI: P( I < 48) = Normalf( E99, 48, 0, ) 0,3446 Casio: N: Lower = EXP99; Upper = 48; σ = ; µ = 0 geeft P(I < 48) 0,3446 Dus 34,% van e flesen evat miner an 48 ml. 44 0 TI: P( 44< I <) = Normalf (44,, 0, ) 0,763 Casio: N: Lower = 44; Upper = ; σ = ; µ = 0 geeft P( 44< I <) 0,763 Dus 7,6% van e flessen evat tussen e 44 en ml. 1
Blok 3 - Vaarigheen Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel 0 4 TI: P(I > 4) = Normalf(4, E99, 0, ) = 0,119 Casio: N: Lower = 4; Upper = EXP99; σ = ; µ = 0 geeft P(I > 4) 0,119 Dus in 1,% van e flessen zit meer an 4 ml. 10% g 0 P( I < g ) = 0,10. TI: Invnorm(0,10 ; 0 ; ) = 43,6. Casio: Stat-Dist Norm InvN Area = 0,10; σ= ; µ=0 geeft 43,6 Dus in e 10% flessen met e minste inhou zit miner an 43,6 ml. a Er zijn 11 spelers, eze kunnen op 11! = 39 916 800 volgoren staan. 10 Met keer kop en keer munt zijn er = mogelijke rijtjes. Met een, een 3 en een 4 kun je 3! = 6 vershillene getallen maken. 30 Zij kunnen op 86 493 1 = manieren in e klas gaan zitten. 6a Voer in: Y1 = 78, + /( X 93, ) en Y = 1. Kies Winow X min = 7 ; X max = 1 en Y min = 0 en Y max = 4 (want je snijt met e lijn y = 1), plot eie grafieken. Met e funtie Cal- interset (snijen) (TI-84) of G-Solv-ISCT (Casio) vin je e oörinaten van het snijpunt. De x-oörinaat is e oplossing van e vergelijking. De oplossing is: n = 9, Voer in: Y1 = 78, * ^ X en Y = 036,. Kies Winow X min = ; X max = en Y min = 0 en Y max = 1 (want je snijt met e lijn y = 0,36), plot eie grafieken. Met e funtie Cal- interset (snijen) (TI-84) of G-Solv-ISCT (Casio) vin je e oörinaten van het snijpunt. De x-oörinaat is e oplossing van e vergelijking. De oplossing is: m = 434, Voer in: Y1 = 3, 0X + 74, en Y = 0, 3X + 103,. Kies Winow X min = 10 ; X max = 10 en Y min = 10 en Y max = 10, plot eie grafieken. Met e funtie Cal- interset (snijen) (TI-84) of G-Solv-ISCT (Casio) vin je e x-oörinaat, e oplossing van e vergelijking. De oplossing is: y = 197, Voer in: Y1 = 1/( X 8) +, en Y = 1,. Kies Winow X min = ; X max = en Y min = 0 en Y max = 1 (want je snijt met e lijn y = 0,36), plot eie 16
Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Blok 3 - Vaarigheen grafieken. Met e funtie Cal- interset (snijen) (TI-84) of G-Solv-ISCT (Casio) vin je e x-oörinaat, e oplossing van e vergelijking. De oplossing is: m = 434, lazije 193 7a Instellingen: X min = ; X max = en Y min = en Y max = 10 Je ziet aan het funtievoorshrift en aan e plot at er een vertiale asymptoot is als 3t = 0 3t = t = = 1 3 3 Plot ook e grafiek van e funtie Y = 4 8a Het snijpunt vin je voor t = 199, De oplossing van e ongelijkhei S > 4 wort an: 1 < t < 1, 99. 3 Ja, zoals je ij opraht a al zag is t = 1 vertiale asymptoot. 3 Je moet erekenen P(G < 4,0) voor een normale vereling met gemiele 4,03 kg en stanaarafwijking 0,09 kg. 0,09 4,03 4,0 TI: P(G < 4,0) = Normalf( E99, 4,0, 4,03, 0,09) 0,879. Casio: N: Lower = EXP99; Upper = 4,0; σ=0, 09 ; µ=403, geeft P(G < 4,0) 0,879. Dus 8,8% van e pakken heeft een gewiht van miner an 4,0 kg. 17
Blok 3 - Vaarigheen Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel 0,09 4,03 4,0 TI: P(G > 4,0) = Normalf(4,0, E99, 4,0, 0,09) 0,09 Casio: N: Lower = 4,0; Upper = EXP99; σ=0, 09 ; µ=403, geeft P( G > 4,0) 0,09 Dus het perentage pakken met een gewiht van meer an 4,0 kg is,9%. 0,09 4,03 4,13 TI: P( 4,03< G < 4,13) = Normalf (4,03, 4,13, 4,03, 0,09) 0,3667 Casio: N: Lower = 4,03; Upper = 4,13; σ=009, ; µ=403, geeft P( 4,03 < G < 4,13) 0,3667 Dus 36,7% van e pakken heeft een gewiht tussen 4,03 kg en 4,13 kg. Op e verpakking staat 4 kg. Te weinig waspoeer etekent us miner an 4 kg. 0,09 44,03 TI: P( G < 4) = Normalf ( E99, 4, 4,03, 0,09) 0,3694 Casio: N: Lower = EXP99; Upper = 4; σ=009, ; µ=403, geeft P( G < 4) 0,3694 Dus in 36,9% van e pakken zit te weinig waspoeer. 9a De formule wort an: K = 49 + 1 r. met De instelling zijn: X = 0, X = 60, Y = 0, Y = 1000 min max min max Plot ook e grafiek van e kosten zoner kortingskaart, eze zijn K = 0 r. zoner Met e rekenmahine epaal je het snijpunt van eie grafieken, it wort r = 6, 1. Dus vanaf 7 retourtjes is e kortingskaart vooreliger. De formule voor e kosten met kortingskaart wort: K = 49 + 1r = 4 + 1 r. met Weer snijen met K = 0 r geeft r = 3. Dus nu is het al vanaf 3 retourtjes zoner vooreliger. 18
Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Blok 3 - Vaarigheen 10a Een afname tot 30% in 4 uur, geeft een groeifator 0,30 per 4 uur. 1 4 De groeifator per uur is an 030, 0, 91. De groeifator per uur is 0,91, us er verwijnt per uur 4,9% van het meiijn. Opgelost moet woren 0, 91 t = 0, met t in uren. Voer eie formules in op e rekenmahine en epaal e oplossing. Je vint t = 13,796. Dus na 13 uur en 0, 796 60 48 minuten is e hoeveelhei gehalveer. 19
Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Blok 3 - Door elkaar lazije 194 1a Het aantal ateriën neemt exponentieel, us erg snel, toe en zo kun je erg grote, maar ook erg kleine aantallen in één figuur weergeven. Op t = 0 zijn er 100 ateriën, op t = 8 zijn er 1 000 000. De groeifator per 8 uur is 1000 000 us = 10 000 = 10 4. 100 1 8 De groeifator per 8 uur is 10 000, us is e groeifator per uur 10 000 316,. De horizontale oörinaat van A is 3. De vertiale oörinaat is een maht van 10, namelijk 10 3, 3,. Dus A(, 310 ) of A( 3, 316). a Voor elke positie in het getal gooit hij met een oelsteen. Voor elke positie zijn er us stees 6 mogelijkheen. Hij kan us 6 = 7776 vershillene getallen maken. Wanneer alle ijfers vershillen zijn, an zijn er 6 4 3= 360 getallen mogelijk. Met alleen enen of zessen op elke plaats, he je us voor elke plaats mogelijkheen. Totaal zijn er an 7 = 18 mogelijkheen. 7 7 Wanneer je rie enen en vier vijven gooit krijg je 3 3 = 4 = vershillene getallen. e De ene vijf kan op zeven plaatsen staan. 6 De twee vieren kunnen nu op 1 = vershillene manieren op e zes nog open plaatsen gezet woren. De resterene zessen kunnen nog maar op één manier op e open plaatsen. Totaal kun je 7 1 1= 10 getallen vormen. lazije 19 3a Stel at e vaste meewerkers elk a aressen krijgen. De stuenten krijgen er an elk a 30. Er moet gelen: 4a+ 16( a 30) = 1400 4a+ 16a 480 = 1400 0a 480 = 1400 0a= 1880 a = 94. De vaste meewerkers krijgen us elk 94 aressen en e stuenten elk 64. P (alle vijf aressen ij stuenten) = P (s, s, s, s, s)= 16 1 14 13 1 0, 817 0 19 18 17 16 P (pas ij ere ezoek ieman thuis) = P (niet thuis, niet thuis, thuis) = 010, 0, 0 040, = 0, 008 90% van e 1400 krijgt één ezoek, us 160 aressen Van e overige 140 krijgt 80% twee ezoeken, us 11 aressen. De laatste 8 aressen krijgen nog een ere ezoek. In totaal woren er us 1 160 + 11 + 3 8 = 168 ezoeken afgeleg. 130
Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Blok 3 - ICT Optimaliseren lazije 196 1a In el B staat e formule 1000 + 70 A 0, 036 (( A)^ 3) Blijkaar staat in el A het aantal te maken mp3-spelers en an staat in el B e totale kosten voor at aantal. Typ in e ellen A17 t/m A1 e getallen 16 t/m 0 in. In el B1 staat an at e proutie van 0 mp3-spelers 611 euro kost. In el C3 vershijnt het getal 69,748. Dit getal etekent at e extra kosten wanneer e proutie toeneemt van naar 3 mp3-spelers 69,7 euro zijn. Breit het werkla uit tot en met 31 en kopieer e formule uit C3 naar eneen. In el C31 staan e extra kosten als e proutie toeneemt van 30 naar 31. Dit is 169, euro. a Neem een nieuw werkla en vul in el A1: Aantal verkoht el B1: Oprengst, el C1 Extra oprengst. Vul in el A het getal 1 in. Maak e volgene formules: In el A3: =A+1 en kopieer naar oner tot en met el A1 ijvooreel. In el B: =48*A-0,006*((A)^) en kopieer naar oner tot en met el B1 In el C3: =B3 B en kopieer naar oner tot en met el C1 Om e oprengst ij 000 stuks te vinen, veraner je el A1 in 000. De telling gaat an lopen vanaf 000, 001 enz. Je ziet at e oprengst ij 000 verkohte artikelen ineraa 7000 euro is. De extra oprengst ij een toename van 000 naar 001 staat in el C3, namelijk 3, 994 euro. Veraner el A1 in 1900 en je ziet at vanaf 1917 stuks e extra oprengst kleiner is an. 3a In één maan 00 stoelen verkoht. Dan gelt: TK = 0, 16 00 + 100 000 = 140 000 euro. TO = 10 00 0, 00 = 6 00 euro. De winst ereken je met TW = TO TK = 6 00 140 000 = 4 00 euro. De grafiek van TK is ij q = 00 miner steil als e grafiek van TO, en at etekent at e marginale kosten kleiner zijn an e marginale oprengst. Omat e marginale kosten kleiner zijn an e marginale oprengst, is e winst us nog aan het toenemen en us kun je eter meer stoelen proeren te verkopen. In één maan 000 stoelen verkoht. Dan gelt: TK = 0, 16 000 + 100 000 = 740 000 euro. TO = 10 000 0, 000 = 100 000 euro. De winst is an TO TW = 100 000 740 000 = 760 000 euro. De winst is us groter. lazije 197 4a In kolom A staat het aantal. De kolom kosten wort gemaakt met e formule in el B: = 016, A ^ + 100000, us e formule van e totale kosten. In kolom C staat e oprengst met in el C e formule voor e totale oprengst: = 10 A 0, A^. 131
Blok 3 - ICT Optimaliseren Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel e De formule voor e Winst in el D: =C-B In el E3 e marginale kosten: =B3 B In el F3 e marginale oprengst: = C3 C Alles naar eneen gekopieer. Tussen 1400 en 1600 is e marginale oprengst al aan het alen, us op it stuk moet e winst maximaal zijn. De winst is maximaal tussen 110 en 130 verkohte stoelen. Door het werkla uit te reien in stapjes van één vanaf 110 zie je at e winst maximaal is ij een aantal van 14 of 1 stoelen. De marginale oprengst ij 14 stoelen en e marginale kosten ij 14 stoelen zijn ongeveer gelijk. Daarvoor waren e marginale kosten kleiner an e marginale oprengst, er kwam us winst ij, aarna zijn e marginale kosten groter an e marginale oprengst, e winst aalt us. 0, Voor e winst gelt: TW = TO TK = 1000q 001, q. Met e rekenmahine kun je hiervan het maximum epalen. De maximale winst is 1 930 euro ij een proutie van 8 stuks. 6a De kosten voor e mahine zijn vast. Het maakt us niet uit of je 100 of 101 heipalen verwerkt, e kosten veraneren aaroor niet. Bij 100 heipalen zijn e gemiele kosten per heipaal 3000 100 = 30 euro. Bij 00 heipalen zijn e gemiele kosten per heipaal 3000 = 1 euro. 00 a 1 0 100 10 00 GK 3000 60 30 0 1 GK in euro s 3000 00 000 100 1000 00 0 0 0 100 10 aantal 00 De formule is GK = 3000 a lazije 198 7a Een formule voor e gemiele kosten is : GK TK 3 0, 00q 01, q + 4q + 63 = = = 0, 00q 01, q+ 4 + 63 q q q Voor q= 3 GK = 0, 00 3 0, 1 3+ 4+ 63 43, euro. 3 De lijn gaat oor (0, 0) en (3,TK( 3 )) = (3 ; 99,984). 99, 984 De helling van eze lijn is 43, 3 Dus zijn e gemiele kosten ij een proutie van 3 artikelen gelijk aan e helling van e lijn oor O en het punt voor q = 3. 13
Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Blok 3 - ICT Optimaliseren De lijn moet us gaan oor het punt ij q = 30. Je vint een helling van ongeveer 3,4. De gemiele kosten ij een proutie van 30 artikelen zijn us 3,40 euro. De lijn ie hoort ij q = 0 is steiler an e lijn ie hoort ij q = 0, us zijn e gemiele kosten ij q = 0 groter an ie ij q = 0. e De gemiele kosten zijn het kleinst als e lijn zo vlak mogelijk ligt en nog net e grafiek raakt. Dit is het geval voor q 4. De gemiele kosten zijn an ongeveer,70 euro. 8a Druk op e startutton en ga oor tot q = 3. Je ziet an at TO = 1,. De oprengst neemt us toe met 100 euro. Dit is niet e marginale oprengst omat het niet e toename van e oprengst etreft ij een proutietoename van één, maar e gemiele toename op het interval van 40 miljoen, naar 41 miljoen. De helling van e lijn wort. De marginale oprengst voor q = 40 is us 0,00 euro. De marginale oprengst voor q = 0 is 0 e De oprengst is het hoogst als q = 0. De marginale oprengst is an 0. 9 Bij q = zie je at e grafiek van TO oven e grafiek van TK ligt. Er wort us winst gemaakt. Bereken e snijpunten van eie grafieken. Je vint q = 0 en q = 60. Er wort us geen winst of verlies gemaakt ij 0 miljoen of miner verkohte ritten en ij 60 miljoen of meer verkohte ritten. MK = MO wanneer e raaklijnen aan eie grafieken ezelfe helling heen. De afstan tussen eie grafieken is an maximaal, us e winst is maximaal. Dit is het geval als q = 40, us ij 40 miljoen ritten. e TW = TO TK = ( 01, q + 10q) ( 0, 0q + 10) = 0, 1q + 10q 0, 0q 10 = 0, 1q + 10q 10 f Invoeren van TW in e rekenmahine geeft een maximale winst van 0 miljoen ij 40 miljoen ritten. 133