Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011)
Inhoudsopgave 1 Poolcoördinaten 1 2 Poolvergelijkingen 3 21 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten 3 22 Poolvergelijking 3 3 Transformatie formules 5 31 Van poolcoördinaten naar cartesiaanse coördinaten 5 32 Van cartesiaanse coördinaten naar poolcoördinaten 5 4 Etra Oefening 7 5 Oplossingen 7
7-1 1 Poolcoördinaten Y y p 1 o 1 θ r X fig 1 In fig1 worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste manier zijn de gebruikelijke cartesiaanse coördinaten (, y) De getallen en y zijn hier afstanden (met een teken), respectievelijk op de X-as en de Y -as Het andere koppel coördinaten (r,θ) zijn ook twee getallen die het punt p eenduidig bepalen Met eenduidig bedoelen we dat je slechts 1 punt kan aanduiden op de figuur als de coördinaten gegeven zijn r is de afstand van de oorsprong o tot p r is dus een positief reëel getal θ is het maatgetal van de georiënteerde hoek tussen de positieve X-as en het lijnstuk op, uitgedrukt in radialen (r,θ) wordt een koppel poolcoördinaten van p genoemd Oefening 1 Geef een koppel poolcoördinaten voor de punten a,b,c en d uit de onderstaande figuur Teken op onderstaande figuur de punten p 1 tot en met p 9
7-2 b c o 1 a X d a (,) p 3 (2, 13π 6 ) b (,) p 4 (3, 27π) c (,) p 5 (1, 1) d (,) p 6 (2, 11π 6 ) p 7 (0, 0) p 1 (2, π 6 ) p 8 (0, 1) p 2 (2, 7π 6 ) p 9 (0, 10π) In deze oefening stelde je vast dat één punt verschillende koppels poolcoördinaten kan hebben Dit is niet het geval bij cartesiaanse coördinaten Bv elk koppel van de vorm (2, π 6 +2kπ) met k Z is een stel poolcoördinaten van het punt p 1 Meer algemeen zijn de koppels (r, θ + 2kπ) met k Z verschillende stellen poolcoördinaten van hetzelfde punt Voor de oorsprong o is er nog meer vrijheid Elk koppel (0,θ) met θ R is een stel poolcoördinaten van o Dus als een koppel poolcoördinaten gegeven is kan je juist één punt tekenen met die coördinaten, maar als een punt in het vlak gegeven is, kan je verschillende koppels poolcoördinaten geven voor dat punt Indien θ [0, 2π[ en r R + 0, noemt men (r,θ) de poolcoördinaten van een punt p Oefening 2 Geef alle koppels poolcoördinaten van het punt met gegeven poolcoördinaten (2, 12) Oefening 3 Geef van de volgende punten gegeven in poolcoördinaten het stel poolcoördinaten met θ [0, 2π[ :
7-3 1 p(5, 7π 2 ) 2 q(3, 15π 4 ) 2 Poolvergelijkingen 21 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten Oefening 4 Teken in onderstaand cartesiaans assenstelsel de punten (,y) waarvoor 2 + y 2 = 4 Geef de vergelijkingen van deze figuur in poolcoördinaten Y 1 o 1 X Het nut van poolcoördinaten is onder andere dat sommige vergelijkingen eenvoudiger worden in poolcoördinaten dan in cartesiaanse coördinaten Een duidelijk voorbeeld hiervan is een cirkel met centrum in de oorsprong Dit is een tweedegraadsvergelijking in cartesiaanse coördinaten en een eerstegraadsvergelijking in poolcoördinaten Omgekeerd zijn er ook vergelijkingen die eenvoudiger zijn in cartesiaanse coördinaten Bv de rechte = 2, een rechte die niet door de oorsprong gaat We zullen later zien wat de vergelijking hiervan is in poolcoördinaten 22 Poolvergelijking Oefening 5 In de figuur hieronder zijn de punten getekend die voldoen aan de 1ste graadsvergelijking 2r = θ met r 0 Deze kromme noemt men een Archimedische spiraal
7-4 Het punt met poolcoördinaten (5, 10) voldoet aan de vergelijking Duid het aan op de figuur Voldoet het koppel (5, 10 2π) aan de vergelijking? Ligt het punt met poolcoördinaten (5, 10 2π) op de kromme? Een vergelijking van een kromme in poolcoördinaten wordt een poolvergelijking van die kromme genoemd Een punt p behoort tot een kromme met gegeven poolvergelijking als en slechts als een stel poolcoördinaten van p voldoet aan de poolvergelijking Deze zijn niet noodzakelijk de poolcoördinaten van het punt p Merk op dat θ steeds uitgedrukt wordt in radialen! Oefening 6 Maak een tabel om bij enkele waarden van θ de bijhorende waarde van r te berekenen en maak een schets van de volgende krommen : 1 r = 1 θ voor θ > 0 (hyperbolische spiraal) 2 r = cos 2θ (rozet) 3 r = θ sin θ voor 0 < θ < π
7-5 3 Transformatie formules 31 Van poolcoördinaten naar cartesiaanse coördinaten Veronderstel dat p een punt is met poolcoördinaten (r,θ) (zie fig 1) De cartesiaanse coördinaten (,y) worden dan gegeven door { = r cos θ y = r sin θ Merk op dat een ander stel poolcoördinaten van p hetzelfde koppel (, y) oplevert We kunnen dus besluiten dat indien een stel poolcoördinaten (r, θ) van een punt p gegeven is, dan worden de cartesiaanse coördinaten gegeven door { = r cos θ (1) y = r sin θ Oefening 7 Geef de cartesiaanse coördinaten van de volgende punten met gegeven poolcoördinaten: 1 p(2, 17π 6 ) 2 q(5, 5π 4 ) 32 Van cartesiaanse coördinaten naar poolcoördinaten Stel nu dat de cartesiaanse coördinaten (,y) van een punt p gegeven zijn We zoeken nu een stel poolcoördinaten (r,θ) Uit (1) leiden we af dat 2 + y 2 = r 2, dus r = 2 + y 2 Substitueren we r = 2 + y 2 in (1), dan krijgen we : cos θ = sin θ = Dit stelsel bepaalt ondubbelzinnig de hoek θ 2 +y 2 y 2 +y 2 Voorbeeld 31 Geef een koppel poolcoördinaten van het punt p met als cartesische coördinaten ( 2, 6): r = 2 + 6 = 8 = 2 2 Uit cos θ = 1 volgt θ = 2π of θ = 4π 2 3 3 Uit sin θ = 3 volgt θ = π of θ = 2π 2 3 3 Antwoord : (2 2, 2π) 3
7-6 Oefening 8 Geef een koppel poolcoördinaten van de volgende punten met gegeven cartesische coördinaten: 1 p( 1, 1) 2 q( 1 2, 3 2 ) Oefening 9 Stel met behulp van de transformatieformules een poolvergelijking op voor de rechte met vergelijking = 2 Oefening 10 Geef de cartesiaanse vergelijking van de kromme met poolvergelijking 1 r = 2 2 r = 1 cos θ We geven nog een andere omschrijving van hoe we θ kunnen vinden, gegeven de cartesiaanse coördinaten en y Hiervoor herhalen we eerst de definitie van de functie boogtangens De tangensfunctie op R heeft geen inverse functie Er zijn bijvoorbeeld oneindig veel hoeken θ waarden waarvoor tan θ = 1 Om een inverse functie van de tangensfunctie te kunnen definiëren zullen we het definitiegebied beperken tot ] π 2, π 2 [ tangensfunctie op R bgtan 4 tan 4 atan 3 3 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 We noteren de inverse functie van de tangensfunctie beperkt tot ] π, π [ met bgtan of 2 2 arctan Het bereik van deze functie is bijgevolg ] π, π[ 2 2 Voor θ ] π, π[ geldt dan: y = tanθ θ = arctany Bijvoorbeeld tan π = 1 en 2 2 4 arctan 1 = π 4 Oefening 11 Bereken arctan(tan π 4 )
7-7 Vermits arctan niet de inverse is van de tangensfunctie op R geldt niet altijd dat arctan(tanθ) = θ Dit geldt enkel voor hoeken θ in het 1ste en het 4de kwadrant Voor hoeken in het 2de en 3de kwadrant kunnen we schrijven dat θ = arctan(tanθ) + π Keren we nu terug naar het zoeken van θ gegeven en y θ vinden we door het stelsel cos θ = sin θ = 2 +y 2 y 2 +y 2 op te lossen Dus als 0 is tanθ = y Als > 0 dan ligt θ in het 1ste of het 4de kwadrant, als < 0 dan ligt θ in het 2de of het 3de kwadrant We kunnen dus besluiten dat θ = arctan y > 0 = arctan y + π < 0 = π = 0,y > 0 2 = π = 0,y < 0 2 Voorbeeld 32 We nemen weer het punt p met als cartesische coördinaten ( 2, 6) en zoeken de poolcoördinaten van dit punt: r = 2 + 6 = 8 = 2 2 < 0 dus θ = arctan y + π = arctan 6 2 + π = arctan( 3) + π = π 3 + π = 2π 3 Antwoord : (2 2, 2π 3 ) 4 Etra Oefening Oefening 12 Stel de poolvergelijking op van een cirkel met straal a en centrum (0,a) 5 Oplossingen 2 (2, 12 + 2kπ) 3 (a) p(5, 3π 2 ) (b) q(3, 7π 4 ) 7 (a) p( 3, 1) (b) q( 5 2 2, 5 2 2 ) 8 (a) r = 2 en θ = 5π 4
7-8 (b) r = 1 en θ = π 3 10 (a) 2 + y 2 = 4 (b) = 1 12 r = 2a sin θ