Extra opgaven bij Functies en Reeksen

Extra opgaven bij Functies en Reeksen E.P. van den Ban Najaar 2011 Opgave 1 We beschouwen de functie f W R 2! R gedefinieerd door f.0; 0/ D 0 en door f.x; y/ D p jxjxy als.x; y/.0; 0/: x 2 C y 2 (a) Toon aan dat D 1 f.0; y/ bestaat voor alle y 2 R en bepaal de functie y D 1 f.0; y/: (b) Toon aan dat D 2 f.x; 0/ bestaat voor voor alle x 2 R en bepaal de functie x D 2 f.x; 0/: (c) Toon aan dat D 2 D 1 f.0; 0/ en D 1 D 2 f.0; 0/ bestaan maar niet gelijk zijn aan elkaar. 1

Extra opgaven bij Hoofdstuk 5. Opgave 2 Voor k 1 beschouwen we de functie f k W x sin.x=k/: Toon aan dat f k! 0 uniform op Œ R; R voor iedere R > 0: Opgave 3 Zij V een verzameling. Een functie f W V! C heet begrensd indien er een M > 0 bestaat zo dat jf.x/j M voor alle x 2 V: Zij B.V; C/ de lineaire ruimte van begrensde functies f W V! C: Voor f 2 B.V; C/ definiëren we kf k V D sup jf.x/j D supfjf.x/j j x 2 V g: x2v Dit getal heet ook wel de sup-norm van de functie f op V: (a) Toon aan dat door k k V inderdaad een norm op V gedefinieerd wordt. Als gevolg hiervan wordt door d V.f; g/ WD kf gk een afstand op V gedefinieerd. (b) Toon aan dat voor een rij.f k / k2n in B.V; C/ en een functie f 2 B.V; C/ geldt dat de volgende uitspraken gelijkwaardig zijn: De rij f k convergeert op V uniform naar f: In de metrische ruimte.b.v; C/; d/ geldt lim f k D f: (c) Veronderstel nu dat V R n ; en zij C b.v; C/ de ruimte van begrensde continue functies f W V! C: Toon aan dat C b.v; C/ een gesloten deelverzameling van B.V; C/ is. Opgave 4 Het doel van deze opgave is de volgende verscherping van Lemma 5.3 te bewijzen. Zij I D Œa; b een gesloten en begrensd interval, en.f k / k2n een rij Riemann-integreerbare functies I! R: Veronderstel dat de rij f k op I uniform convergeert naar een functie f W I! R: Dan is f Riemann-integreerbaar en Bewijs: Z b a Z b f.x/ dx D lim f k.x/ dx: a (a) Per definitie van Riemann-integreerbaarheid geldt dat iedere functie f k begrensd is. Toon aan dat f begrensd is. (b) Zij V D fa D x 0 < : : : < x n D bg een verdeling van I: Toon aan dat voor de bovensommen van f en f k ten aanzien van V geldt dat js.f; V / S.f k ; V /j kf f k k V.b a/: (c) Geef een soortgelijke schatting voor de ondersommen. 2

(d) Toon aan dat bij iedere > 0 een k 2 N bestaat zo dat voor elke verdeling V van Œa; b geldt dat: S.f; V / S.f; V / S.f k ; V / S.f k ; V / C 2 : (e) Toon aan dat f Riemann-integreerbaar op Œa; b is. Opgave 5 Zij I D Œa; 1Œ; met a 2 R: Zij g W I! R een niet-negatieve oneigenlijk Riemann-integreerbare functie en zij voor iedere k 2 N een lokaal Riemannintegreerbare functie f k W I! R gegeven met jf k j g op I: Veronderstel tenslotte dat f W I! R een functie is zodat f k! f uniform op ieder deelinterval Œa; ˇ I: (a) Toon aan dat de functie f lokaal Riemann integreerbaar op I is. Hint: gebruik de vorige opgave. (b) Toon aan dat jf j g: Waarom mag u nu concluderen dat f oneigenlijk Riemannintegreerbaar op I is? (c) Toon aan dat er voor iedere > 0 een element ˇ0 2 I bestaat zo dat dat 0 Z 1 ˇ0 g.t/ dt < =4 (d) Toon aan dat voor alle ˇ 2 Œˇ0; 1Œ geldt dat Z 1 Z 1 ˇ f.t/ dt ˇ ˇˇˇˇ < =4; en f k.t/ dt ˇ < =4; ˇ ˇ.k 2 N/: (e) Toon aan dat Z 1 a f.t/ dt D lim Z 1 a f k.t/ dt: Opgave 6 (a) Toon aan dat door 1X f.x/ D 2 k sin kx kd1 een continue functie f W R! R gedefinieerd wordt. (b) Toon aan dat door 1X 1 1 g.x/ D kš x 2k C 1 kd1 een continue functie R! R gedefinieerd wordt. 3

Opgave 7 Het eerste onderdeel dient als voorbereiding voor de rest van de opgave. (a) Zij x > 0: Toon aan dat lim x 1=k D 1: Hint: schrijf x als een e-macht. We beschouwen nu een rij.a n / n2n van positieve reële getallen zo dat lim sup n!1 a nc1 a n D S; Hierbij is S 2 Œ0; 1 : We veronderstellen eerst dat S < 1: (b) Zij > 0: Toon dat er een N bestaat zo dat n N ) a nc1 a n S C : (c) Toon aan dat voor alle k N geldt dat a k a N.S C / k N (d) Toon aan dat lim sup.a k / 1=k S C : Concludeer dat geldt Dit geldt uiteraard ook als S D 1: (e) Toon aan dat lim sup.a k / 1=k S: lim sup.a k / 1=k a kc1 lim sup : a k Op soortgelijke wijze kan men een ongelijkheid voor liminf bewijzen. Dit leidt tot de volgende schattingen: lim inf a kc1 a k lim inf.a k / 1=k lim sup.a k / 1=k lim sup a kc1 a k : (f) Bewijs het volgende. Laat P k0 a kz k een complexe machtreeks zijn. Veronderstel dat lim a kc1 ˇ a ˇ D L: k Dan is de convergentiestraal van de machtreeks gelijk aan 1=L: (Merk op dat deze uitspraak ook te interpreteren is als L D 0 of als L D 1). Opgave 8 (a) P k0 k2 z k Bepaal de convergentiestralen van de volgende machtreeksen: (b) P k0. 1/k k.k i/z k (c) P k0 zk k 3 (d) P k0.z i/ k kš (e) P k0 kšzk 2 (f) P k0. 1/ k.2k/š z2k (pas hier op: a k D 0 voor k oneven). 4

Opgave 9 Toon aan dat als f; g W C! C partieel differentieerbaar zijn en aan de Cauchy-Riemann vergelijkingen voldoen, dan voldoet ook de productfunctie h D fg aan de Cauchy-Riemann vergelijkingen. Opgave 10 Gegeven is een open deel U C; een punt a 2 U en een functie f W U! C die complex differentieerbaar is in a: (a) Toon aan dat u Df.a/ D v v u voor zekere u; v 2 R: (b) Toon aan dat jf 0.a/j D p u 2 C v 2 : (c) Toon aan dat Df.a/ het produkt is van een scalarvermenigvuldiging en een rotatie. In het bijzonder is Df.a/ hoekbehoudend. De afbeelding f W R 2! R 2 heet daarom wel conform in a: Opgave 11 (a) We beschouwen een machtreeks P n0 c nz n die convergent is op de open schijf D.0I r/ voor een r > 0; en definiëren de functie f W D.0I r/! C door f.z/ D X n0 c n z n : Veronderstel dat f.x/ 2 R voor alle x 2 D.0I r/\r: Toon aan dat c n 2 R voor alle n 2 N: (b) Toon aan dat voor alle z 2 D.0I r/ geldt dat (c) Toon aan dat voor alle t 2 R geldt dat f.z/ D f.nz/: je it j D 1: Opmerking: het is niet de bedoeling dat u gebruik maakt van de bekende eigenschappen van sin en cos : (d) Toon aan dat voor alle t 2 R geldt dat cos 2 t C sin 2 t D 1: 5

Opgave 12 We willen een kromme W R! C definiëren met startpunt 1; en zo dat.t/ de eenheidscirkel jzj D 1 eenparig met snelheid 1 doorloopt In formules vertaald betekent dit dat differentieerbaar moet zijn, en dat 1..0/ D 1; 2. j.t/j D 1; 3. j 0.t/j D 1; voor alle t 2 R: (a) Toon aan dat voor alle t 2 R geldt dat h.t/; 0.t/i D 1: Hierin stelt h ; i het Euclidische inproduct op C ' R 2 voor. (b) Toon aan dat ofwel 0.t/ D i.t/ ofwel 0.t/ D i.t/ voor alle t 2 R: In het vervolg eisen we bovendien dat.t/ op t D 0 de snelheidsvector i D.0; 1/ heeft, dus 0.0/ D i: (c) Toon aan dat in dit geval geldt: 0.t/ D i.t/ voor alle t 2 R: (d) Toon aan dat er een unieke differentieerbare kromme W R! C bestaat met de eigenschappen 1,2,3 en Im 0.0/ > 0: (e) Toon aan dat er een uniek paar differentieerbare functies f; g W R! C bestaat met f 0 D g; g 0 D f en f.0/ D 1; g.0/ D 0: We zien dus dat cos en sin als unieke oplossingen van een specifiek stelsel differentiaalvergelijkingen met beginwaarden geïntroduceerd kunnen worden. Opgave 13 (a) Toon aan dat de machtreeks P n1 n 1 z n convergentiestraal 1 heeft. Op de eenheidsschijf D D D.0I 1/ definiëren we de functie f door f.z/ D 1X nd1 z n n : (b) Toon aan dat f complex differentieerbaar is op D met afgeleide f 0.z/ D 1 1 z.z 2 D/: (c) Toon aan dat e f.z/ D 1 z voor alle z 2 D: (d) Toon aan dat er een complex differentieerbare functie L W D.1I 1/! C bestaat met L.1/ D 0 en e L.z/ D z;.z 2 D.1I 1//: 6

Hierna zullen we log z schrijven voor L.z/: In het vervolg mag u de bekende eigenschappen van sinus en cosinus gebruiken. (e) Toon aan dat voor alle z 2 D.1I 1/ geldt dat met 2 < arg.z/ < 2 : log z D log jzj C i arg.z/; 7

Opgave 14 In het vervolg noteren we met C.R=2Z/ de ruimte van continue functies f W R! C die periodiek zijn met periode 2; d.w.z., f.x C 2/ D f.x/; voor alle x 2 R: Voor f; g 2 C.R=2Z/ definiëren we de functie f g W R! C door f g.x/ D 1 2 Z f.x y/g.y/ dy: Deze functie heet de convolutie van f en g: Toon aan (a) f g 2 C.R=2Z/: (b) f g D g f: (c).f g/ h D f.g h/ voor alle h 2 C.R=2Z/: (d) Voor alle k 2 Z geldt: F.f g/ k D F.f / k F.g/ k : We noteren dit ook als F.f g/ D F.f /F.g/: We schrijven k voor de functie x e ikx : (e) Toon aan dat voor alle f 2 C.R=2Z/ en alle k 2 Z geldt dat f k F.f /.k/ k : D (f) Bekijk in het dictaat nog eens de definitie van de Dirichlet kern D n : Bewijs dat nx f D n D F.f / k k : kd n Opgave 15 Zelfde notatie als in de voorgaande opgave. Zij f 2 C.R=2Z/: We definiëren de functie f _ W R! C door f _.x/ D f. x/: Het is duidelijk dat f _ 2 C.R=2Z/: We schrijven g D f f _ : (a) Bewijs dat F.g/ k D j.ff / k j 2 voor alle k 2 Z: (b) Gebruik de ongelijkheid van Bessel voor f om te bewijzen dat voor alle x 2 R: g.x/ D X k2z (c) Bewijs de gelijkheid van Parseval: kf k 2 2 D jff.k/j 2 e ikx 1 X kd 1 jf.f / k j 2 : Hierin staat kf k 2 voor de kwadraatintegraalnorm, gedefinieerd door kf k 2 2 D hf; f i D 1 2 Z jf.x/j 2 dx: (d) Pas het bovenstaande toe op de functie f 2 C.R=2Z/ die op Œ ; gedefinieerd wordt door f.x/ D jxj; en leidt een interessante identiteit af. 8