OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige coördinaten van het getal ( i) 5. a. Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking y 4y + 5y =. b. Los het volgende beginwaardenprobleem op: { y 4y + 5y = y() =, y () =. 4. Voor welke c R is de functie f c gegeven door f c () = { + c voor > voor continu op R? En voor welke c is f c differentieerbaar op R? 5. Bepaal de vergelijking van de lijn die de grafiek van y = e raakt en door het punt (, ) gaat. 6. Bereken de hoek waaronder de kromme K met vergelijking ( ) + y = 6 de positieve y-as snijdt. 7. Bereken a. lim c. lim +. b. lim + + e. lim ln + 6. + +.. d. lim + 4 + +. f. lim sin ln.
8. Bewijs m.b.v. de middelwaardestelling dat e > + als. 9a. Leg uit dat de functie f() = ln + op [/, ) inverteerbaar is. b. Bereken (f ) ().. Bewijs m.b.v. volledige inductie dat voor n een positief geheel getal d n d n = (n)! 5 n n! (5 ) n 5.. Bereken de richtingscoëfficiënt van de lijn die de grafiek van y = ln sinh in het punt A met A = ln loodrecht snijdt. a. Toon aan dat voor < / ( + ) arctan = arctan + C voor een zekere constante C en bepaal C. b. Toon aan dat voor > / ( + ) arctan = arctan + D voor een zekere constante D en bepaal D.
a. Onderzoek en schets de grafiek van f() = ++ +4. (Bepaal snijpunten met de assen, etremen, asymptoten, gedrag in de randpunten van het domein). b. Onderzoek en schets de grafiek van g() = ln. Geef ook de coördinaten van eventuele buigpunten. 4a. Bepaal het Taylorpolynoom P () van orde voor tan rond = π/4. b. Benader tan 7 π m.b.v. P. c. Toon aan dat tan 7 π P ( 7 π) 8 ( π 6 ). 5. Bereken de volgende limieten: sin a. lim. b. lim cos + (sin ). 6. Het gebied V wordt ingesloten door de grafiek van f() = en de -as. De lijn l : y = ( a) verdeelt V in twee delen met gelijke oppervlakte. Bepaal a. 7. W is het gebied ingesloten door de grafiek van f() = e, de -as en de y-as. π a. Toon aan dat de oppervlakte van W gelijk is aan. (Gebruik partieel integreren. Je mag ook π gebruiken dat e d =.) b. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door W om de -as te wentelen. c. Bereken de y-coördinaat van het zwaartepunt (de centroïde ) van W. 8. Bereken van de volgende volgende functies de primitieven: a. f () = ln. b. f () = arcsin. c. f () = 4+. d. f 4 () = ++ (+) ( +). e. f 5 () = sin 4. 9. Laat I n = aan de hand hiervan I 4. sin n tdt zijn. Gebruik partieel integreren om I n in I n uit te drukken en bepaal. Bereken de lengte van de kromme y = 4 tussen de punten (, ) en (, 6).. Het (tentvormige) vijfvlak ABCD.EF heeft als grondvlak de rechthoek ABCD met zijden AB =, AD =. De ribbe EF is evenwijdig aan AB, heeft lengte en ligt op een afstand boven het grondvlak. De overige ribben zijn AE, BF, CF en DE.
a. Toon aan dat de verticale doorsnede op een hoogte h vanaf het grondvlak (met < h < ) een rechthoek is met oppervlakte ( h)( h). b. Bereken de inhoud van het vijfvlak.. Los de volgende beginwaardeproblemen op: a. y y = cos, y(π) = π. b. y = y, y() =.. Bereken d e t dt. d 4a. Bepaal de Taylorreeks van e rond =. b. Bepaal de coëfficiënt van 6 in de Taylorreeks van van deze Taylorreeks? rond =. Wat is de convergentiestraal 9 4
Antwoorden.. De vier oplossingen zijn dus z = i + (cos π/4 + i sin π/4), i + (cos π/4 + i sin π/4), i + (cos 5π/4 + i sin 5π/4), i + (cos 7π/4 + i sin 7π/4), z = i + ( + i), i + ( + i), i + ( i), i + ( i). a. i = 4(cos( π/) + i sin( π/)). b. i heeft modulus en argument π/4, dus ( i) 5 = 5.. y() = Ae cos + Be sin. b. Invullen geeft A =, B = dus y() = e cos. 4. Voor c > is f c continu, voor c > is f c differentieerbaar. Merk op dat f c voor alle c differentieerbaar is buiten =. 5. De vergelijking is y = e 5 ( ). 6. Differentiëren geeft ( ) + 4yy =. =, y = invullen geeft y = dus de hoek is 45. 7. 8; ; /; -; ln(/5);. Voor f gebruik de insluitstelling: < sin < voor < < π dus 8. Laat f() = e, dan is = lim ln lim sin ln lim =. f() f() { = f (c) = e c > voor > < voor <, waarbij c tussen en ligt. Conclusie: f() > voor. 9. f () = + ln dus f () > als > /. f is stijgend op [/, ) en dus inverteerbaar. b. (f ) () = /(f (y)) y=f () = /f () =.. Doen. Vergeet niet om ook het geval n = (of n = ) na te gaan.. Voor < is y = ln( sinh ) en dus is y ( ln ) = cosh( ln ) sinh( ln ) = 5/4 /4 = 5/. De richtingscoëfficiënt van de loodlijn op de grafiek is dus /5.. Voor < /, resp. voor > / ( zijn arctan en arctan + ) differentieerbare functies en hebben dezelfde afgeleide (nagaan), dus ze zijn op een constante na gelijk. Door een geschikte waarde in te vullen vind je C = π/ en D = π/. 5
. f () = + 8 9 ( + 4), f() = + 5. Snijpunt met de y-as is (, /4), geen snijpunt met de + 4 -as. Minimum f() = 5, maimum f( 9) = 5. Asymptoten: = 4 (verticaal) en y = (scheve as.). Immers is lim (f() + ) = lim 5 ± ± + 4 =. b. g () = ln + ln. Domein >, Minimum g() =, maimum g(/e ) = 4/e. Geen snijpunten met de y-as, met de -as (, ) (raakpunt). Geen asymptoten, gedrag in = : lim ln =, lim g () = lim ln (ln + ) =. De grafiek daalt dus naar het punt (, ) met verticale raaklijn als van rechts naar gaat. g () = ln + ; er is een buigpunt in (/e, /e). Immers g (/e) = en g () verandert in = /e van teken. 4a. Laat h() = tan. Dan is h () = tan +, h () = tan (tan + ), h () = (6 tan + )(tan + ). Het e-orde Taylorpolynoom rond = π/4 is P () = h( π 4 ) + h ( π 4 )( π 4 ) + h ( π 4 )( π 4 ) = + ( π 4 ) + ( π 4 ). b. Een benadering van tan 7π wordt gegeven door P ( 7π ) en is gelijk aan π + π. De fout 8 wordt gegeven door h (c)! ( 7π π 4 ) met 7π 6 < c < π 4. Een bovengrens voor de fout is dus (h (c) < h (π/4) = 6) h(7π ) P ( 7π ) h (c) ( π! 6 ) 6π 6 6. 5a. Gebuik de Taylorreeks rond = : lim sin cos + = lim ( /6 + O( 5 )) ( / + 4 /4 + O( 6 )) + = lim 4 /6 + O( 6 ) 4 / + O( 6 ) =. b. (sin ) = e ln sin. Nu is sin lim =, lim ln(sin ) = lim ln en dus is lim (sin ) = e =. 6. De inhoud van V is gelijk aan (, ) en (a, a a ). Dus moet gelden: = ( sin ) + ln = + = ( )d = 4. De snijpunten van l met de grafiek van f zijn a ( ( a))d = 6 a. 6
Dit geeft a = 4. 7a. De oppervlakte is gelijk aan t e t dt = e d. Na substitutie van = t wordt dit t[e t ] dt = lim a te t a + e t dt = π. b. De oppervlakte van het omwentelingslichaam is gelijk aan (gebruik partieel integreren) π e d = π lim a ( 4 )e a = 4 π. c. Volgens de regel van Pappos is de inhoud van het omwentelingslichaam gelijk aan πy Z maal de oppervlakte van W. Hierbij staat y Z voor de y-coördinaat van het zwaartepunt van W. Volgens a en b is dus πy z π = 4 π en dus is y Z = 4 π. 8a. 8 ln4. (Immers is = [ln ].) b. Partieel integreren geeft arcsin d = arcsin + + C. c. Substitutie van t = / geeft d = dt = arsinh t + C = ln(t + t + ) + C = ln( + + 4) + C. 4 + + t d. Breuksplitsen geeft dat f 4 () = ( + + ( + ) + + ). + Een primitieve is dus e. ln + + 4 ln( + ) + arctan + C. sin 4 = ( cos ) = 4 cos + 4 ( + cos 4). Een primitieve is dus 8 sin + sin 4 + C. 4 9. Voor n > is I n = sin n cos + (n ) cos t sin n tdt = sin n cos + (n )(I n I n ) 7
dus Daar I = volgt dat ni n = (n )I n sin n cos. I 4 = 4 I 4 sin cos = 8 8 sin cos 4 sin cos.. De booglengte is gelijk aan + t dt. Partieel integeren geeft + t dt = t + t dus 8 6 + y () d = + 64 d = 8 6 t t t + = t t + + dt + dt + t t + dt = 6 t t + + 6 arsinh t 6 = 57 + 6 ln(6 + 57), omdat arsinh t = ln(t + t + ). a. De doorsnede op hoogte h is een rechthoek (omdat evenwijdige vlakken een gegeven vlak snijden volgens evenwijdige lijnen) met zijden ( h) en h. b. De inhoud is nu ( h)( h)dh = 7. a. De oplossing van de homogene vergelijking y = y (met scheiden van variabelen [ln y ] = / is y h () = C met C een constante. Nu is een integrerende factor: y ( ) y = y = cos. Primitiveren geeft y() = sin + C met een constante C. Invullen van y(π) = π geeft C =. b. Scheiden van variabelen geeft y /y = [ln y ] = / dus y() = Ce / en uit de randvoorwaarde volgt dat C = e.. Laat F () = e t dt. Dan is d d e t dt d d (F ( ) F ()) = F ( ) F () = e 4 e 4. 4a. e = e (( )e +e ( ) n+ ( ) n ( ) ) = e +e = e+e ( ) n n! n! n! +. (n )! n= ( ) / b. Voor u < geldt (binomiaalreeks) ( + u) / = u n. Laat nu u = 9. Dan geldt n n= ( ) / voor 9 < (en dus voor < /) ( 9 ) / = ( 9 ) n. De coëfficiënt van 6 n n= is dus ( ) / ( 9) = 79! 5 = 645 6. n= n= 8