Lijnen door de oorsrong en een cirkel maimumscore 5 Een vergelijking van c is ( ) ( y ) Voor de snijunten geldt + 7 = 5 ( t ) + (t 7) = 5 Herleiden tot 5t 30t+ 5 = 0 Een eacte berekening waaruit volgt t = t = 5 De snijunten zijn (, ) en (5,0) Een vergelijking van c is ( ) ( y ) + 7 = 5 Voor de snijunten geldt (omdat = y een vergelijking van k is) ( y ) ( y ) + 7 = 5 5 Herleiden tot y 5y+ 5 = 0 Een eacte berekening waaruit volgt y = y = 0 De snijunten zijn (, ) en (5,0) Rechts van het snijunt maimumscore 5 De -coördinaat van A is,5 De afgeleide van f is f' ( ) = 6sin( ) Beschrijven hoe uit de vergelijking 6sin( ) = 0 de -coördinaat van B gevonden kan worden Deze -coördinaat is,7...( >,5 ), dus B ligt rechts van A Omerking Als de kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet niet correct heeft toegeast, voor deze vraag maimaal 3 scoreunten toekennen.
Altijd raak 3 maimumscore 5 f' ( ) = In het raakunt moet gelden = Hieruit volgt = + ( ) f + = + + = + = + invullen in de vergelijking van k geeft y = + + = +, dus lijn k raakt de grafiek van f voor elke toegestane waarde van Bekijk g ( ) =, dan g' ( ) = In het raakunt moet gelden =, dus = g ( ) = en = invullen in de vergelijking van k geeft y = + =, dus lijn k raakt de grafiek van g De grafiek van f ontstaat uit de grafiek van g door deze naar rechts en omhoog te verschuiven (Deze verschuiving komt overeen met de vector en) dat is de richtingsvector van lijn k, dus lijn k raakt de grafiek van f voor elke toegestane waarde van maimumscore 3 De -coördinaat van het randunt van de grafiek van f is f ( ) = + + f ( ) = = f ( ) (, dus het randunt van de grafiek van f ligt o de grafiek van f ) 5 maimumscore 5 Een vergelijking van lijn l is y = De oervlakte is gelijk aan ( + ) d Een rimitieve van + is ( ) 3 + 3 De oervlakte is gelijk aan 6 Omerking Voor het derde antwoordelement mogen 0, scoreunten worden toegekend.
Slingshot 6 maimumscore 3 L = 0 + 7 L =,8... ( L 8 = 3,8... ) F k = 7,9 (kn) 7 maimumscore 6 L= + 9 cos( α) = L Fkv = 0,6 + 9 8 + 9 De vergelijking 0, 6 ( + 9 8) =, 8 moet worden + 9 ogelost Beschrijven hoe deze vergelijking wordt ogelost = 7,5..., dus het antwoord is 3 (m) Een logaritmische functie en haar afgeleide 8 maimumscore 5 g ( ) = ln( ) + Uit f( ) = g ( ) volgt ln ( ) ln ( ) Hieruit volgt ( ) ln ( ) + = = Hieruit volgt = 0 ln( ) = Dus = = e 3
9 maimumscore 7 g ( )d= f( ) f( ) f ( ) f ( ) ln( ) ( ln( ) ) Uit = + + g ( )d= 0 volgt ln( ) ln( ) = ln( ) ln( ) = ( = 0 voldoet niet) ( ) Het linkerlid is gelijk aan ln = ln( ), dus de vergelijking ln( ) = moet worden ogelost Hieruit volgt = e g ( )d= f( ) f( ) f ( ) f ( ) ln( ) ( ln( ) ) Uit = + + g ( )d= 0 volgt ln( ) ln( ) = ln( ) ln( ) = ( = 0 voldoet niet) Het linkerlid is gelijk aan (ln() + ln( )) ln( ) = ln() + ln( ), dus de vergelijking ln( ) = ln() moet worden ogelost Een eacte berekening waaruit volgt = e De oervlaktes van de vlakdelen moeten gelijk zijn en het snijunt van de grafiek met de -as ligt bij =, dus de vergelijking moet worden ogelost g ( )d = g ( )d Hieruit volgt de vergelijking ( ) f() f( ) = f( ) f() Dit geeft ln( ) + = ln( ) + ln( ) ln( ) = ( = 0 voldoet niet) ( ) Het linkerlid is gelijk aan ln = ln( ), dus de vergelijking ln( ) = moet worden ogelost Hieruit volgt = e Omerking Voor het vijfde antwoordelement van het eerste, tweede en derde antwoordalternatief mogen 0, scoreunten worden toegekend.
Gebroken goniometrische functie 0 maimumscore 6 cos( ) De vergelijking sin ( ) = moet worden ogelost cos( ) = cos ( ) Hieruit volgt cos ( ) cos( ) = 0 Beschrijven hoe deze vergelijking eact ogelost kan worden Dit geeft cos( ) = ( cos( ) = heeft geen olossingen) Hieruit volgt dat de -coördinaten van A en B 3 π en 5 π zijn maimumscore 6 De teller en de noemer moeten (voor dezelfde waarde van ) gelijk zijn aan 0 De teller is 0 als = π+ k π Voor al deze waarden van geldt: sin ( ) = (Voor al deze waarden van geldt:) de noemer is 0 als = cos( ) cos( ) f( ) = = = sin ( ) cos ( ) cos( ) lim f ( ) (en de limiet voor de andere waarden van ) bestaat niet, dus π de grafiek van f heeft geen erforatie (dus er is geen waarde van waarvoor de grafiek van f een erforatie heeft) De teller en de noemer moeten (voor dezelfde waarde van ) gelijk zijn aan 0 De teller is 0 als = π+ k π Voor al deze waarden van geldt: sin ( ) = (Voor al deze waarden van geldt:) de noemer is 0 als = De onderbouwde constatering dat de grafiek van = π (en voor de andere waarden van ) een verticale asymtoot heeft Dus de grafiek van f heeft geen erforatie (dus er is geen waarde van waarvoor de grafiek van f een erforatie heeft) 5
De teller en de noemer moeten (voor dezelfde waarde van ) gelijk zijn aan 0 De noemer is 0 als sin ( ) = ; dan geldt cos ( ) =, dus cos( ) =± De teller is voor zo n waarde van gelijk aan 0 als = cos( ) cos( ) f( ) = = = sin ( ) cos ( ) cos( ) cos( ) = 0 als = π+ k π π lim f ( ) (en de limiet voor de andere waarden van ) bestaat niet, dus de grafiek van f heeft geen erforatie (dus er is geen waarde van waarvoor de grafiek van f een erforatie heeft) Omerking Als de kandidaat de functies f niet o hun hele domein beschouwt en bij het olossen van cos( ) = 0 bijvoorbeeld alleen de olossing = π gebruikt, voor deze vraag hoogstens 5 scoreunten toekennen. 6
maimumscore De unten zijn P ( 0, ), Q ( π, ) en R (, ) π De richtingscoëfficiënt van PQ is en van QR π π PQ en QR staan loodrecht o elkaar als = π π π = Hieruit volgt = = π π De unten zijn P ( 0, ), Q ( π, ) en R (, ) PQ PQ en QR Hieruit volgt π π π = en QR = π π staan loodrecht o elkaar als =π = 0 = π De unten zijn P ( 0, ), Q ( π, ) en R (, ) = π π Omdat driehoek PQR symmetrisch is ten ozichte van de verticale lijn door Q en Q P =π, staan PQ en QR loodrecht o elkaar als ook y y =π P Q Dus als ( =) = π Hieruit volgt = π De unten zijn P ( 0, ), Q ( π, ) en R (, ) De lengte van PQ en van QR is ( ) ( ) = π π π + ( het kwadraat is π + ) PQ en QR staan loodrecht o elkaar als ( ) ( ) ( ) π + +π + = π, dus als π = Hieruit volgt = = π π 7
Driehoek met bewegend hoekunt 3 maimumscore 5 Als P o lijn k ligt, vormen A, B en P niet de hoekunten van een driehoek Een vergelijking van k is y = 0 P ligt o k als 30 3t = 0 (8+ 5 t) Dit geeft t = De coördinaten van P zijn dan (88, ) Als P o lijn k ligt, vormen A, B en P niet de hoekunten van een driehoek Een vergelijking van k is y = 0 Een vergelijking van m is 3 y = + 0 5 5 P ligt o k als 3 + 0 = 0 5 5 Dit geeft = 88, waaruit volgt dat de coördinaten van P dan (88, ) zijn 8
maimumscore 8 8+ 5t AP = 0 3t + 5t BP = 30 3t APB = 90, dus ( AP BP = 0, dus) (8+ 5 t)( + 5 t) + (0 3 t)(30 3 t) = 0 Herleiden tot t 5t+ 6= 0 ( 3t 70t+ 0 = 0) 5 ± ( 5) 6 Dit geeft ( t 3)( t ) = 0 ( t = ) t = geeft P (8, ) en t = 3 geeft P (33, ) Berekenen van de lengtes van AP en BP (voor beide gevallen) AP BP, dus driehoek ABP is dan niet gelijkbenig (dus zo n unt P is er niet) AB is de diagonaal van het vierkant met hoekunten A, B en P, dus P moet liggen o de andere diagonaal (de middelloodlijn van AB) o afstand AB van het midden van het vierkant M (0, 5) is het midden van lijnstuk AB (en van het vierkant) AM 0 = 5 0 5 5 Voor P moet gelden: OP = OM + AM L = + = waarbij 5 0 5 AM L de vector is die je krijgt als je vector AM 90º linksom draait Een berekening die aantoont dat het unt (5, 5) niet o lijn m ligt De conclusie dat driehoek ABP dan niet gelijkbenig is (dus zo n unt P is er niet) APB = 90, dus P ligt o de cirkel met middellijn AB De cirkel met middellijn AB heeft vergelijking ( 0) + ( y 5) = 5 Snijden met lijn m geeft (8+ 5t 0) + (30 3t 5) = 5 Herleiden tot t 5t+ 6= 0 ( 3t 70t+ 0 = 0) 5 ± ( 5) 6 Dit geeft ( t 3)( t ) = 0 ( t = ) t = geeft P (8, ) en t = 3 geeft P (33, ) Berekenen van de lengtes van AP en BP (voor beide gevallen) AP BP, dus driehoek ABP is dan niet gelijkbenig (dus zo n unt P is er niet) 9
APB = 90, dus AP + BP = AB (8+ 5 t) + (0 3 t) + ( + 5 t) + (30 3 t) = 0 + 0 = 700 Herleiden tot t 5t+ 6= 0 ( 68t 30t+ 08 = 0 ) 5 ± ( 5) 6 Dit geeft ( t 3)( t ) = 0 ( t = ) t = geeft P (8, ) en t = 3 geeft P (33, ) Berekenen van de lengtes van AP en BP (voor beide gevallen) AP BP, dus driehoek ABP is dan niet gelijkbenig (dus zo n unt P is er niet) Dan geldt AP = BP AP = BP geeft (8+ 5 t) + (0 3 t) = ( + 5 t) + (30 3 t) Herleiden tot 60t+ 7 = 00t+ 38 33 Dit geeft t = ( =,3... ) 3 P 6 (5, 5 ) ( = (5,7...; 5,69...) ) 3 3 3 3 59 AP (= BP) = 6 ( ) ( ) 5 + 5 = 880 ( = 9,66... ) AB = 700 ( =,3... ) AB AP, dus hoek P is dan niet recht (dus zo n unt P is er niet) Dan ligt P o de middelloodlijn van AB (want PA en PB zijn dan even lang) Een vergelijking van deze middelloodlijn is y 5 = ( 0) ( y = 75) Snijden met lijn m geeft 30 3t 5 = ( 8+ 5t 0) 33 Dit geeft t = ( =,3... ) 3 Dus P 6 (5, 5 ) ( = (5,7...; 5,69...) ) 3 3 6 5 5 880 3 3 59 ( ) ( ) AP = + = ( = 880,07... ) AB = 0 + 0 = 700 700 880 59, dus hoek P is dan niet recht (dus zo n unt P is er niet) Omerkingen Voor het vierde en vijfde antwoordelement van het tweede antwoordalternatief mogen 0, scoreunten worden toegekend. Voor het tweede antwoordelement van het vierde antwoordalternatief mogen 0, scoreunten worden toegekend. 0
Afgeknotte araboloïde 5 maimumscore 7 ( ) d b V = π a Een rimitieve van ( ) ( = ) is Dus V =π( b a ) m= ( a+ b) ( ) A = π m = π m = π ( + b) h= b a h A= ( b a) π ( a+ b) = π ( b a ) = π( b a ) ( = V ) b ( ) d V a = π Een rimitieve van ( ) ( = ) is a = m h en b= m+ h V = π ( m+ h) ( m h) V = π mh =π mh Dus ( ) ( ) ( ) A= π m = πm Dus h A= h π m ( = V )