De MEETKUNDE BOEK 2 Over de natuur van de kroe lijnen. [p. 315] De ouden (d.w.. de Grieken) hebben eer juist opgeerkt dat soige eetkundige probleen vlak ijn, andere lichaelijk & weer andere lijnachtig, dat wil eggen dat soige geconstrueerd kunnen worden door alleen rechten en cirkels te trekken, en andere alleen et teninste een kegelsnede; en de rest alleen als en een nog gecopliceerdere (kroe) lijn gebruikt. Maar ik verbaas e erover dat ij niet verschillende graden onderscheiden hebben in die eer gecopliceerde (kroe) lijnen, & ik kan niet begrijpen waaro ij dee (eer gecopliceerde) lijnen echanisch genoed hebben in plaats van geoetrisch. Want als de reden was dat e een of andere achine nodig hadden o e te beschrijven, dan ou en o deelfde reden de cirkels en de rechte lijnen oeten verwerpen. Iers en kan dee alleen op het papier beschrijven et een passer & en een lineaal, die en ook achines kan noeen. Het kot ook niet odat de instruenten die nodig ijn o e te trekken, en die gecopliceerder ijn dan de lineaal en de passer, niet net o nauwkeurig ijn. Want o die reden ou en e (juist) uit de Mechanica oeten verwijderen, waarin en waarde legt op nauwkeurigheid van de werkstukken die tot stand koen. (Men ou e) niet uit de Meetkunde (oeten verwijderen), waar en alleen de juistheid van de redenering oekt, & die [p. 316] onder twijfel voor dee (kroe) lijnen even perfect kan ijn als voor de andere (d.w.. lijnen en cirkels)....... Maar het volgende schijnt ij eer helder te ijn: Als we als Meetkundig aanneen wat precies en exact is, en als Mechanisch wat dat niet is, en als we de Meetkunde opvatten als een wetenschap die algeeen onderwijst het kennen van de afetingen van alle lichaen, dan ag en eer gecopliceerde lijnen net o in uitsluiten als eenvoudige lijnen, op voorwaarde dat en ich (die eer gecopliceerde lijnen) kan voorstellen als beschreven door een continue beweging, of door verschillende continue bewegingen die elkaar opvolgen en waarvan de latere geheel bepaald worden door degenen die eraan vooraf gaan. Want op dee anier kan en altijd een preciee kennis van hun afeting hebben.... 1
Descartes behandelt nu eerst allerlei instruenten en dan het eenvoudigste geval van het problee van de locus van 3 en 4 lijnen van Pappus Maar het is nu in het bijonder nodig dat ik de geochte (kroe) lijn [p. 324] bepaal, en de anier geef o haar te vinden, in alle gevallen wanner er slechts 3 of 4 rechte lijnen (in het locus-problee) gegeven ijn, & en al hierdoor [p. 325] ien dat de eerste soort 1 van kroe lijnen alleen de drie kegelsneden en de cirkel bevat. Laten we de 4 (rechte) lijnen AB, AD, EF, &GH herhalen die hiervoor gegeven waren, en laat gevraagd ijn een andere (kroe) lijn te vinden, waarop een oneindigheid van punten oals C liggen, odat wanneer 4 lijnen CB, CD, CF, &CH onder gegeven hoeken getrokken ijn, CB verenigvuldigd et CF een totaal (d.w.. product) produceert dat gelijk aan CD verenigvuldigd et CH. Dat wil eggen, nadat we CB o y, CD o cy+bcx CH o gy+fgl fgx gesteld hebben, is de vergelijking, CF o ey+dek+dex } dex dek y cf gx +bcfglx } y +cf gl bcf gxx +bcgx yy o, [p. 326] e cg teninste als we e groter dan eg veronderstellen. Want als hij inder is, oeten we alle tekens + en verwisselen. En als de grootheid y nul ou ijn, of inder dan niets in dee vergelijking, wanneer en het punt C in de hoek DAG veronderstelt, dan ou en het ook in de hoek DAE oeten veronderstellen, of EAR of RAG, en de tekens 2 veranderen oals daarvoor noodakelijk is. En als de waarde van y nul ou ijn in al dee 4 posities, ou het problee onogelijk ijn in het gestelde geval. Maar laten we het hier ogelijk veronderstellen, & o de teren ervan af te korten, laten we in plaats van de grootheden cfgl dek schrijven 2, & in plaats e 3 cg van de+cfg bcg schrijven 2n ; & o ullen we hebben e 3 cg yy o 2y 2n +bcfglx bcfgxx xy, waarvan de wortel is e 3 cg y o nx + 2nx + nnxx +bcfgl bcfgxx. 2 e 3 cg Opnieuw, o af te korten, in plaats van 2n + bcfgl e 3 cg & schrijven we o, 1 Descartes heeft eerder een klassificatie van kroen gegeven naar de graad van hun vergelijkingen. De eerste soort ijn de kroen et vergelijkingen tot graad 2. 2 Drukfout: lignes oet ijn signes. 2
bcfg & in plaats van 3 nn schrijven we p, want odat die grootheden alle e 3 cg gegeven ijn, kunnen we e noeen oals we willen. & o hebben we y o nx + + ox p xx, die de lengte van de lijn BC oet ijn, als we AB, oftewel x, onbepaald laten. En het is duidelijk dat als [p. 327] het problee slechts voor drie of vier lijnen gesteld wordt, en altijd ulke teren kan hebben, behalve dat soigen ervan nul kunnen ijn, & dat de tekens + en op verschillende anieren kunnen worden veranderd. Daarna aak ik KI gelijk en evenwijdig aan BA, odat ij van BC het gedeelte BK gelijk aan afsnijdt, odat ik hier + heb; & ik had he eraf gehaald door de lijn IK aan de andere kant (te trekken), als ik had gehad; & ik had he heleaal niet getrokken als nul was geweest. Daarna trek ik ook IL odat dat de lijn IK staat tot KL als Z tot n, dat wil eggen dat odat IK is x, KL is n x. En op dee anier ken ik ook de verhouding tussen KL en IL, die ik stel (de verhouding) tussen n en a, odat odat KL [p. 328] is nx, IL is a x. En ik aak dat het punt K tussen L & C ligt, odat ik hier nx heb; terwijl ik L tussen K & C geet ou hebben als ik + n x gehad ou hebben; & ik had die lijn heleaal niet getrokken als n x nul geweest was. Nu dit gedaan is, blijven er voor ij voor de lijn LC alleen dee teren over: LC o + ox p xx. Waaruit ik ie, dat als e nul ijn, dit punt C ich op de rechte lijn IL bevindt; & als e odanig ijn dat de wortel eruit getrokken kan worden, dat wil eggen dat & p xx et hetelfde teken + of gearkeerd ijn en oo gelijk is aan 4p, ofwel dat de teren & ox, of ox & p xx nul ijn, dit punt C ich op een andere rechte lijn al bevinden die niet oeilijker te vinden al ijn dan IL. Maar wanneer dit niet o is, is dit punt C alleen op één van de drie kegelsneden of op een cirkel, waarvan een van de iddellijnen de lijn IL is, & de lijn LC is een van de ordinaten voor die iddellijn; of LC is evenwijdig aan een iddellijn, waarvoor het (segent?) in IL een ordinaat is. 4 Dat wil eggen dat, als de ter p xx nul is, dee kegelsnede een parabool is, & als hij gearkeerd is et het teken + is het een Hyperbool, en tenslotte als hij et et teken gearkeerd is, is het een Ellips. Alleen behalve wanneer de grootheid aa gelijk is aan p en de hoek ILC recht is, dan heeft en een cirkel in plaats van een Ellips. [p. 329] En dat, als dee snede een Parabool is, is ijn rechte ijde gelijk aan o, a 3 Drukfout in de tekst: nn bcfg e 3 cg 4 Dee teren horen tot de leer van kegelsneden van Apollonius. 3
en ijn iddellijn altijd in de lijn IL. & o het punt N te vinden, die de top is, oet en IN gelijk aan a aken, & dat het punt I is tussen L & o N als de teren ijn + + ox, ofwel dat het punt L is tussen I & N, als e + ox ijn, ofwel N oet tussen I & l ijn als het + ox ou ijn. Maar en kan nooit hebben op de anier waarop de teren hier gesteld ijn. Tenslotte is het punt N hetelfde als het punt I als de grootheid nul is. Hieree is het geakkelijk de Parabool te vinden door het 1e Problee van het 1e Boek van Apollonius. [p. 330] T S R E A B M G F N I K L C H D...... [p. 333] En als en alle gegeven grootheden in getallen wil uitdrukken, en bijvoorbeeld aakt EA o 3, AG o 5, AB o BR, BS o 1 BE, GB o BT, CD o 2 3 CR, CF o 2CS, CH o 2 CT, & dat hoek ABR 60 graden is, en tenslotte 2 3 dat de rechthoek van de twee CB, & CF gelijk oet ijn aan de rechthoek van de twee anderen CD, & CH, want je oet alle dingen hebben opdat het problee heleaal bepaald is. Met dit alles, als en AB o x stelt en CB o y, vindt en op de anier die hierboven uitgelegd is yy o 2y xy + 5x xx & y o 1 1x + 1 + 4x 3 xx; Odat BK = 1 2 4 & KL de helft van KI oet ijn, en odat de hoek IKL of ABR 60 graden is, & KIL, die de helft van KIB of IKL, 30 (graden) is, is ILK recht. En odat IK of AB x genoed is, KL is 1x, & IL is x 3, & de grootheid 2 4 die daarna genoed was, is 1, degene die a was, is 3, degene die was 4 is 1, degene die o was is 4, & degene die p was is 3, odat en heeft 16 4 3 4
voor IM, & 19 voor NM, en odat aa die 3 is, hier gelijk is dan p, [p. 334] 3 4 en hoek ILC recht is, vindt en dat de kroe NC een cirkel is. En en kan geakkelijk alle andere gevallen op deelfde anier onderoeken.... Wanneer het problee uit de oudheid wordt gesteld voor vijf lijnen, die alle evenwijdig ijn, is het duidelijk dat het geochte punt altijd op een rechte lijn al liggen. Maar als het gesteld wordt voor vijf lijnen, waarvan vier evenwijdig ijn, & en de vijfde dee loodrecht snijdt, & en odat alle lijnen door het geochte punt e ook in rechte hoeken ontoeten, & tenslotte odat [p. 336] het parallelepipedu saengesteld uit drie van de lijnen, getrokken naar drie van de evenwijdige lijnen, gelijk is aan het parallelepipedu saengesteld uit twee van de getrokken lijnen, naelijk de ene naar de vierde evenwijdige lijn, en de andere naar de lijn die al die (vier) lijnen loodrecht snijdt, - hetgeen het eenvoudigste geval is dat en ich na het voorgaande 5 kan voorstellen, - al het geochte punt op een kroe lijn liggen die beschreven wordt door de beweging van een parabool, op de anier die hieronder wordt uitgelegd. [p. 337] Laten bijvoorbeeld de gegeven 6 lijnen AB, IH, ED, GF &GA ijn, & dat en het punt C vraagt, odanig dat als we CB, CF, CD, CH&CM trekken loodrecht op de gegeven lijnen, het parallelepipedu van de drie CF, CD, &CH gelijk is aan dat van de 2 anderen CB&CM, & een derde, laat die AI ijn. Ik stel CB o y. CM x. AI. ofwel AE, ofwel GE a, odat, als het punt C tussen de lijnen AB en DE is, k heb CF o 2a y, CD o a y, & CH o y + a. & als ik die drie et elkaar verenigvuldig heb k y 3 2ayy aay + 2a 3 gelijk aan het product van de drie anderen, dat axy is. Daarna beschouw ik de kroe lijn CEG, die ik ij voorstel beschreven te ijn door de doorsnijding van de parabool CKN, die en laat bewegen op o n anier dat ijn iddellijn (d.w.. as) KL altijd op de rechte lijn AB is, & de lineaal GL die o het punt G draait op o n anier dat hij in het vlak van de parabool altijd door het punt L gaat. En ik aak KL o a, & de voornaaste paraeter 7 dat is degene die betrekking heeft op de as van die parabool, ook gelijk aan 4a, & GA o 2a, & CB oftewel MA o y, & 5 Dit is het geval waarbij de vijf lijnen evenwijdig ijn. 6 Drukfout: er staat geochte. 7 Letterlijk: rechte ijde; Dit is de grootheid uit de theorie van kegelsneden van Apollonius, die overeenkot et p in de oderne vergelijking van de parabool y 2 = px in een rechthoekig coördinatensystee. 5
CM oftewel AB o x. Dan, vanwege de gelijkvorige driehoeken GMC & CBL, staat GM, die 2a y is, tot MC, die x is, als CB, die y is, tot BL, die daaro xy xy 2aa ay xy is. En odat LK a is, is BK a, oftewel. En 2a y 2a y 2a y odat dieelfde BK, een segent van de iddellijn van de Parabool, staat tot de ordinaat 8 BC, als die (BC) tot de rechte ijde a, laat de berekening ien dat y 3 2ayy aay + 2a gelijk is aan axy. & daaro is het punt C [p. 338] het punt dat gevraagd is. En het kan op elke willekeurige plaats op de lijn CEG gekoen worden, of ook op ijn toegevoegde (kroe) cegc die op deelfde anier beschreven wordt behalve dat de top van de parabool naar de andere kant gericht is, en tenslotte ook op hun tegengestelden NIo, nio die beschreven worden door de doorsnijding van de lijn GL et de andere kant van de parabool KN. 8 Letterlijk: die aan he geordend is aangepast 6
O N F D C L B H K G E M A I c c o n... [p. 413] Ik hoop dat het nageslacht ij dankbaar al ijn, niet alleen voor de dingen die ik hier heb uitgelegd, aar ook voor de dingen die ik et opet heb weggelaten o hen het pleier te gunnen e elf uit te vinden. 7