Rekenen met complexe getallen In dt hoofdstuk leer je rekenen met complexe getallen. Ze vormen een getallensysteem dat een utbredng s van het bekende systeem van de reële getallen. Je leert ook hoe je complexe getallen kunt voorstellen als punten n het vlak. Maar voor complexe getallen gebruken we net de gewone vlakke coördnaten (x, y) maar een neuwe notatevorm: z = x + y. Met deze neuwe notate wordt rekenen met complexe getallen een eenvoudge zaak. Je leert hoe je daarmee complexe getallen moet optellen, aftrekken, vermengvuldgen en delen.
Rekenen. Bereken: a. (3 ) b. ( 3 ) c. (4 ) d. ( ) 3 e. 4 met complexe getallen. Bereken: a. ( ) b. ( 3 6 ) c. ( 4 ) d. ( 3 3 ) e. ( 3 ) Schrjf de volgende wortels n de vorm r waarbj r een postef reëel getal s. Voorbeeld: 5 = 5. Geef exacte antwoorden en vereenvoudg daarbj de wortels zo veel mogeljk (schrjf bjvoorbeeld 3 3 n plaats van 7)..3 a. b. c. d. e. 3 9 8 5 5.4 a. b. c. d. e. 33 49 48 45 75 Los de volgende verkantsvergeljkngen op. Geef ook her exacte antwoorden en vereenvoudg de wortels..5 a. x x + = 0 b. x + 4x + 5 = 0 c. x + x + 0 = 0 d. x 6x + 0 = 0 e. x 4x + 8 = 0.6 a. x x + 40 = 0 b. x 4x + 6 = 0 c. x + x + 4 = 0 d. x 6x + = 0 e. x + 8x + 0 = 0 De volgende opgave s een echte puzzelsom. Kom je er net ut, dan kun je achtern de oplossng bekjken. Maar eerst zelf proberen!.7 Bj het rekenen met wortels ut negateve getallen moet je oppassen zoals bljkt ut de volgende paradoxale afledng : = ( ) = ( ) = = Probeer de vnger te leggen op de wonde plek! Met andere woorden, welk van de ver geljktekens s (of zjn) ten onrechte gezet, en waarom? 4 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
Wortels ut negateve getallen Wortels ut negateve getallen Op school leer je dat er geen getal x bestaat waarvoor x =. Kwadraten zjn mmers noot negatef. Maar wat als we ons nu eens ndenken dat er wél zo n getal zou bestaan? Een getal, we noemen het (van magnar, dat wl zeggen denkbeeldg) waarvoor dus geldt dat = Je zou dat getal dan een wortel ut kunnen noemen: =. Ook ut andere negateve getallen kun je dan een wortel trekken als je de gewone rekenregels toepast. Zo s 6 een wortel ut 36 want (6 ) = 6 6 = 36 = 36 ( ) = 36. Net zo kun je laten zen dat 3 = 3, of dat = = 3 (bedenk daarbj dat = 4 3 = 3). Wat we egenljk hebben gedaan, s het bepalen van een oplossng van de vergeljkng x = a, waarbj a een postef getal s. We vonden a als oplossng, maar natuurljk s a dan ook een oplossng: ( a ) = ( ) ( a) = a ( ) = a. De volledge oplossng van de vergeljkng x = a s dus x = ± a. De abc-formule Als je een getal hebt waarvoor =, kun je ook elke verkantsvergeljkng oplossen, zelfs als de dscrmnant negatef s. Bjvoorbeeld x + x + 5 = 0. Kjk maar: x + x + 5 = 0 (x + ) + 4 = 0 (x + ) = 4 Dt geeft x + = ± oftewel x = + of x =. Waar het op neer komt, s dat je gewoon de bekende abc-formule kunt toepassen. De oplossngen van de verkantsvergeljkng ax + bx + c = 0 worden daarbj gegeven door x, = b ± b 4ac a Als de dscrmnant b 4ac negatef s, s 4ac b postef, en dan geldt dus b 4ac = (4ac b )( ) = 4ac b. In het voorbeeld herboven was a =, b =, c = 5 en b 4ac = 4 5 = 6, en dus geldt nderdaad x, = ± 4 = ±. 5 bron: www.scence.uva.nl/ craats
Rekenen met complexe getallen Bereken de volgende complexe getallen, teken ze n n het complexe vlak en bereken hun absolute waarde..8 a. ( ) + (3 4 ) b. (4 ) c. ( ) + ( + ) d. (4 6 ) ( 3 ) e. ( ) + (3 ).0 a. 3 b. 4 c. 5 d. 0 e. 006.9 a. ( )(3 4 ) b. (4 ) c. ( )( + ) d. ( 3 ) e. ( ). a. ( ) 5 b. ( ) 3 c. ( ) 7 d. ( + ) 3 e. ( ) 3 Alle complexe getallen z waarvoor geldt dat Re(z) = 5 vormen samen de vertcale ljn x = 5 n het complexe vlak. Teken de volgende ljnen n het complexe vlak.. a. Re(z) = 4 b. Re(z) = 3 c. Im(z) = d. Im(z) = e. Im(z) = Re(z).3 a. Re(z) + Im(z) = b. Re(z) = Im(z) c. Re(z) Im(z) = d. Re(z) + Im(z) = 5 e. Re(z) + Im(z) = Re(z) Im(z) Alle complexe getallen z waarvoor geldt dat z = 5 vormen samen de crkel met straal 5 en mddelpunt 0. Ga zelf na dat alle complexe getallen z waarvoor geldt dat z = 5 samen de crkel vormen met straal 5 en mddelpunt. Teken nu de volgende crkels n het complexe vlak en geef bj elke crkel het mddelpunt en de straal..4 a. z = 4 b. z = 3 c. z = d. z 3 = e. z + = 5.5 a. z + 3 = 4 b. z = 5 c. z + = d. z = 3 e. z + 3 = 6 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
Het complexe vlak Het complexe vlak Bj het oplossen van verkantsvergeljkngen zjn we nu ook getallen van de vorm a + b tegengekomen. Ze heten complexe getallen. Bjvoorbeeld + of 3 5. Je kunt zulke getallen bj elkaar optellen: ( + ) + (3 5 ) = 3. Of van elkaar aftrekken: ( + ) (3 5 ) = 4 + 7. Of met elkaar vermengvuldgen: ( + )(3 5 ) = 3 + 5 + 6 0 = 3 + + 0 = 7 +. Gewoon haakjes utwerken dus, en gebruken dat =. Een complex getal a + b lgt helemaal vast door de twee reële getallen a en b. Reële getallen kun je voorstellen als punten op een ljn, de reële getallenljn. Op net zo n maner kun je complexe getallen voorstellen als punten n het vlak, het complexe vlak. Daarn moet dan eerst een coördnatenstelsel gekozen zjn. Het complexe getal a + b hoort dan bj het punt met de coördnaten (a, b): 6 5 + 5 b α = a + b -4 + α - 6-5 - 4-3 - -5-3 - 0 3 a 5 6-3 - - -3 Voor de punten op de x-as s b = 0. In plaats van a + 0 schrjven we dan gewoon a. En voor de punten op de y-as geldt a = 0. De schrjven we dan net als 0 + b maar gewoon als b. En voor schrjven we natuurljk gewoon. De x-as noemen we voortaan de reële as en de getallen daarop de reële getallen. De y-as heet de magnare as en de getallen daarop heten de magnare getallen. Complexe getallen worden vaak aangegeven met de letter z of met Grekse letters zoals α (alfa). We schrjven dan z = x + y of α = a + b. Als α = a + b een complex getal s, heet a het reële deel, notate a = Re(α), en b het magnare deel, notate b = Im(α). Het magnare deel s dus een reëel getal! Het getal a + b heet de absolute waarde van α, notate α. In plaats van absolute waarde wordt ook vaak het woord modulus gebrukt. De absolute waarde van α s de afstand van α tot de oorsprong (stellng van Pythagoras). (Als α een reëel getal s, s α dus de gewone absolute waarde van α.) 7 bron: www.scence.uva.nl/ craats
Rekenen met complexe getallen Bereken de volgende quotënten van complexe getallen, dat wl zeggen schrjf elk quotënt n de vorm a + b met a en b reëel..6 a. b. c. d. e. 3 4 3 4 + 4 6 3 3.7 a. b. c. d. e. 3 + 4 3 +.8 a. b. c. d. e. 3 4 + 3 3 + + + +.9 a. b. c. d. e. 4 3 + + 4 + 3 3 8 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
Vermengvuldgen en delen Vermengvuldgen en delen Vermengvuldgen van complexe getallen s een kweste van haakjes utwerken en gebruk maken van =. Je hebt er n de vorge paragraaf al mee geoefend. Dat gaat altjd als volgt: (a + b )(a + b ) = a a + a b + a b + b b = (a a b b ) + (a b + a b ) Delen s het omgekeerde van vermengvuldgen. We zullen je een rekentruc leren om het quotënt van twee complexe getallen snel en eenvoudg te berekenen. Eerst met een voorbeeld: + 3 ( )( 3 ) = ( + 3 )( 3 ) = 4 7 4 6 + 6 9 = 4 7 3 = 4 3 7 3 We hebben bj de derde stap n de noemer het reële getal 3 gekregen, en daarmee konden we vervolgens het quotënt utrekenen, dat wl zeggen schrjven n de vorm a + b. De truc bestaat bljkbaar ut het vermengvuldgen van teller en noemer met hetzelfde complexe getal (daardoor verandert het quotënt net). Dat getal s de zogenaamde geconjugeerde van de noemer. De geconjugeerde van een b α complex getal α = a + b s het getal a b, notate α. Je krjgt α door het teken van het magnare deel van α om te α klappen. In plaats van het geconjugeerde complexe getal zegt men ook wel het toegevoegd complexe getal (dat s de letterljke vertalng). De bovenstaande truc werkt omdat daardoor n de noemer een getal komt van de vorm 0 a αα = (a + b )(a b ) = a ab + ab b = a + b Dat s altjd een postef reëel getal (behalve als a = b = 0, maar dan s α = 0, en ook bj complexe getallen kun je net door 0 delen). In de vorge paragraaf s de absolute waarde α van α gedefneerd als α = a + b. Je zet dus dat αα = α en ook dat α = α. Wat je van het bovenstaande moet onthouden, s egenljk alleen maar dt: Bj vermengvuldgen moet je haakjes utwerken en gebruken dat =. Bj delen moet je teller en noemer vermengvuldgen met de geconjugeerde van de noemer. -b α _ _ α 9 bron: www.scence.uva.nl/ craats
Rekenen met complexe getallen Samenvattng Complexe getallen zjn getallen van de vorm α = a + b, waarbj a en b reële getallen zjn. Je kunt ze voorstellen als punten n het vlak waarn een coördnatenstelsel gekozen s. Het complexe getal α = a + b s dan het punt met coördnaten (a, b). Termnologe en notates: Als α = a + b dan heet a het reële deel en b het magnare deel van α. Als α = a + b dan heet α = a b de complex geconjugeerde van α. Als α = a + b dan heet α = a + b de absolute waarde of modulus van α. Dt s een net-negatef reëel getal. Het s de afstand van het punt α tot de oorsprong. In plaats van α = a + b schrjft men soms ook α = a + b. Het magnare deel staat dan net vóór de, maar achter de. Rekenregels: Optellen en aftrekken (coördnaatsgewjs): α + α = (a + b ) + (a + b ) = (a + a ) + (b + b ) α α = (a + b ) (a + b ) = (a a ) + (b b ) Vermengvuldgen: α α = (a + b )(a + b ) = (a a b b ) + (a b + a b ) Dt s gemakkeljk te onthouden: haakjes utwerken en gebruken dat =. Bjzonder geval: αα = (a + b )(a b ) = a + b. Gevolg: αα = α. Delen: α α = α α α α = (a + b )(a b ) (a + b )(a b ) = (a a + b b ) + ( a b + a b ) a + b = a a + b b a + b + a b + a b a + b Ook dt s gemakkeljk te onthouden: teller en noemer vermengvuldgen met de complex geconjugeerde van de noemer en vervolgens haakjes utwerken. Voor reële getallen (dat wl zeggen complexe getallen a + b met b = 0) komen de rekenregels overeen met de gewone regels voor optellen, aftrekken, vermengvuldgen en delen. De complexe getallen vormen zo dus een utbredng van het systeem van de reële getallen met behoud van de gewone rekenregels. Je vndt de reële getallen op de horzontale as, de daarom ook de reële as heet. De vertcale as heet de magnare as. De getallen daarop heten de magnare getallen. 0 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
De meetkunde van het complexe rekenen In de eerste paragraaf van dt hoofdstuk leer je hoe je complexe getallen kunt zen als vectoren. De som en het verschl van twee complexe getallen zjn daarmee gemakkeljk meetkundg voor te stellen. Ook kun je zo op een eenvoudge maner crkels beschrjven. Vervolgens leer je een neuwe notate voor complexe getallen, de (r, ϕ)-notate, de verwant s aan poolcoördnaten. Met deze notate worden ook de rekenregels voor vermengvuldgen, delen en machtsverheffen meetkundg voorstelbaar. Daarbj speelt een beroemde formule van Leonhard Euler een belangrjke rol. We sluten dt hoofdstuk af met de behandelng van de complexe e-machtfuncte, de complexe snus en de complexe cosnus.
De meetkunde van het complexe rekenen. Heronder s steeds een tweetal complexe getallen α en β gegeven. Bereken telkens het complexe getal dat hoort bj de vector met α als begnpunt en β als endpunt. Maak voor jezelf ter controle ook steeds een tekenng. a. α =, β = b. α =, β = c. α = + 3, β = d. α = 4, β = 4 e. α = 8, β = 8. Teken bj elk van de onderdelen van de vorge opgave de vector de hoort bj het complexe getal α + β. Neem daarbj de oorsprong als begnpunt..3 Bepaal de vergeljkng van de volgende crkels en schrjf ze n de vorm zz αz αz + αα r = 0 Voorbeeld: de crkel met mddelpunt + en straal heeft als vergeljkng (z ( + ))(z ( )) = 4 en dt geeft na utwerken zz ( )z ( + )z = 0 a. De crkel met mddelpunt en straal 3 b. De crkel met mddelpunt en straal c. De crkel met mddelpunt en straal d. De crkel met mddelpunt + en straal e. De crkel met mddelpunt en straal Net elke vergeljkng de er op het eerste gezcht utzet als een crkelvergeljkng, stelt ook echt een crkel voor. Neem bjvoorbeeld zz =. Dat s geen crkelvergeljkng, want het lnkerld s voor elk complex getal z groter dan of geljk aan nul. Er zjn dus geen complexe getallen z de heraan voldoen..4 Ga na of de volgende vergeljkngen crkels voorstellen. Zo ja, bepaal dan het mddelpunt en de straal. a. zz z + z = 0 b. zz + ( + )z + ( )z = c. zz + z z + 4 = 0 d. zz + z + z + 5 = 0 e. zz + ( )z + ( + )z = 0 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
Complexe getallen als vectoren Complexe getallen als vectoren Een vector n het vlak kun je je voorstellen als een pjl de van een begnpunt naar een endpunt loopt. Evenwjdge pjlen met dezelfde rchtng en dezelfde grootte stellen dezelfde vector voor. In het complexe vlak kun je bj elk complex getal α een vector maken door de pjl te tekenen de van de oorsprong naar het punt α loopt. De vector kan dan ook worden voorgesteld door de pjl de van een wllekeurg punt β naar het punt α + β loopt, want het punt α + β vormt samen met de punten 0, α en β een parallellogram (parallellogramconstructe van α + β). β 0 α + β α De vectorvoorstellng s handg als je het verschl β α van twee complexe getallen α en β n beeld wlt brengen: β α s de vector (pjl) de van α naar β loopt. Let op: om het complexe getal β α te vnden, moet je de pjl dus n de oorsprong laten begnnen. Voorbeeld: α = +, β = + dus β α =. De vectorvoorstellng s ook handg bj het werken met crkels. Als C een crkel s met mddelpunt α en straal r dan geldt dus voor elk punt z op C dat z β α β 0 α C z α = r Je kunt je z α voorstellen als de pjl de van α naar z loopt, en de moet dus lengte r hebben. In de fguur herboven s α = + genomen en r = 3. De crkel wordt dus gegeven door z ( + ) = 3, oftewel z + = 3. Soms s het ook handg om net met de absolute waarde te werken, maar gebruk te maken van w = ww (ze bladzjde 9) met w = z α. Dan kun je de vergeljkng van de crkel C met mddelpunt α en straal r dus schrjven als (z α)(z α) = r Bj de crkel herboven wordt dt dus (z + )(z + + ) = 9, ofwel, na haakjes utwerken, zz + ( )z + ( + )z 8 = 0 De eenhedscrkel, de crkel met mddelpunt 0 en straal, wordt gegeven door zz = α 0 3 bron: www.scence.uva.nl/ craats
De meetkunde van het complexe rekenen Van sommge hoeken hebben de snus en de cosnus bekende exacte waarden. Zo geldt bjvoorbeeld dat cos 6 π = 3, sn 6 π = en cos 4 π = sn 4 π = (ze bladzjde 66). Dat betekent dat de punten α en β n de tekenng hernaast ook mooe exacte rechthoekge coördnaten hebben, nameljk α = ( 3, ) en β = (, ). Wanneer je α en β als complexe getallen schrjft, krjg je dus β α π 6 π 4 0 α = 3 + en β = + De punten n de volgende opgaven lggen ook allemaal op de eenhedscrkel. Teken ze en geef hun argument (n radalen) n de vorm ϕ + kπ (waarbj k een wllekeurg geheel getal s). Voorbeeld: arg = π + kπ..5 a. b. c. d. + e. + 3.6 a. b. 3 c. d. 3 + e. 3 Vermengvuldgen of delen van complexe getallen op de eenhedscrkel doe je door de argumenten bj elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken (ze de toelchtng op de tegenoverlggende bladzjde). Gebruk dt bj de volgende opgaven. Maak ze dus op een meetkundge maner; werk geen haakjes ut!.7 a. ( + ) b. ( ) 3 c. ( 3 + ) 3 d. ( 3 ) 5 e. ( 3 )( ).8 a. ( )/( 3 + ) b. ( ) /( 3 + ) c. ( )/( 3+ ) 3 d. ( 3 ) 6 /( 3 + ) e. ( + 3 ) 3 /( ) 3 4 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
Complexe getallen op de eenhedscrkel Complexe getallen op de eenhedscrkel Elk punt op de eenhedscrkel (de crkel met straal en de oorsprong als mddelpunt) heeft n rechthoekge coördnaten utgedrukt de vorm (cos ϕ, sn ϕ). Herbj s ϕ de hoek de de voerstraal (de verbndngsljn met de oorsprong) maakt met de posteve x-as (ϕ s de Grekse letter ph ). We meten ϕ n radalen, tegen de klok n (80 s geljk aan π radalen). De hoek s dan tot op gehele veelvouden van π na bepaald. Als complex getal geschreven, s een punt op de eenhedscrkel dus altjd van de vorm z = cos ϕ + sn ϕ sn ϕ cos ϕ + sn ϕ Inderdaad geldt voor zo n getal dat cos ϕ+ sn ϕ = cos ϕ + sn ϕ = = ϕ 0 cos ϕ De hoek ϕ heet het argument van z, met als notate ϕ = arg(z). Het argument s tot op gehele veelvouden van π na bepaald. Wat gebeurt er als je twee van zulke getallen, bjvoorbeeld z = cos ϕ + sn ϕ en z = cos ϕ + sn ϕ met elkaar vermengvuldgt? Dan s z z = (cos ϕ + sn ϕ )(cos ϕ + sn ϕ ) = (cos ϕ cos ϕ sn ϕ sn ϕ ) + (cos ϕ sn ϕ + sn ϕ cos ϕ ) Maar volgens bekende gonoregels (ze bladzjde 67) s en dus s cos ϕ cos ϕ sn ϕ sn ϕ = cos(ϕ + ϕ ) en cos ϕ sn ϕ + sn ϕ cos ϕ = sn(ϕ + ϕ ) z z = cos(ϕ + ϕ ) + sn(ϕ + ϕ ) Dt s dus weer een getal op de eenhedscrkel met als argument de som ϕ + ϕ van de argumenten van z en z. Met andere woorden: Het product z z van twee complexe getallen op de eenhedscrkel s weer een getal op de eenhedscrkel, en wel het getal dat als argument de som van de argumenten van z en z heeft. Voor het quotënt van twee van zulke complexe getallen geldt: Het quotënt z z van twee complexe getallen op de eenhedscrkel s weer een getal op de eenhedscrkel, en wel het getal dat als argument het verschl van de argumenten van z en z heeft. 5 bron: www.scence.uva.nl/ craats
De meetkunde van het complexe rekenen Door ϕ = π n te vullen n Eulers formule op de tegenoverlggende bladzjde krjg je e π = cos π + sn π = + 0 = dus e π + = 0 Ook dt s een beroemde formule van Euler. De vjf belangrjkste constanten ut de wskunde, e, π,, en 0 worden ern verengd. Bereken nu.9 a. e π b. e π c. e π d. e 3π e. e 4π.0 a. e 3 π b. e 3 π c. e 5 π d. e 3 6 π e. e 006π. a. e π e 3 π b. e 3π e π. a. b. e 4 3 π e 4 3 π e 3 π e 6 π c. e 3 π e π c. e 5 π e 3π d. e. e π e 3 π e 4 π e 3 4 π d. e. e 7 6 π e 3 π e π e 4π 6 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
De formules van Euler De formules van Euler Halverwege de achttende eeuw bewees de grote wskundge Leonhard Euler de formule e ϕ = cos ϕ + sn ϕ Wj gaan her net op Eulers argumenten n, maar presenteren deze formule op dt moment gewoon als een defnte, of, zo je wlt, als een verkorte notate. In plaats van cos ϕ + sn ϕ schrjven we voortaan e ϕ (of e ϕ ). Let op: het s net de bekende, reële e-machtfuncte de her staat, want de exponent ϕ s geen reeel getal, maar een magnar getal. En natuurljk zt er meer achter: later zullen we e z voor wllekeurge complexe getallen z defnëren (bladzjde ). In de vorge paragraaf hebben we afgeled dat sn ϕ ϕ 0 cos ϕ e ϕ = cos ϕ + sn ϕ (cos ϕ + sn ϕ )(cos ϕ + sn ϕ ) = cos(ϕ + ϕ ) + sn(ϕ + ϕ ) In de neuwe notate zet dat er een stuk overzchteljker ut: e ϕ e ϕ = e (ϕ +ϕ ) Net als bj gewone e-machten geldt dus ook her: bj het vermengvuldgen van magnare e-machten worden de exponenten bj elkaar opgeteld. En natuurljk geldt ook: e ϕ e ϕ = e (ϕ ϕ ) Bj het delen van magnare e-machten worden de exponenten van elkaar afgetrokken. Als je n de eerste formule van deze paragraaf ϕ n plaats van ϕ nvult, krjg je e ϕ = cos( ϕ) + sn( ϕ) = cos ϕ sn ϕ Tel je de twee formules bj elkaar op, dan krjg je e ϕ + e ϕ = cos ϕ oftewel cos ϕ = e ϕ + e ϕ Trek je ze van elkaar af, dan krjg je e ϕ e ϕ = sn ϕ oftewel sn ϕ = e ϕ e ϕ Ook deze twee beroemde formules zjn van Euler afkomstg. 7 bron: www.scence.uva.nl/ craats
De meetkunde van het complexe rekenen Schrjf de volgende complexe getallen n de (r, ϕ)-notate. Gebruk daarbj de arctangensfuncte (nverse tangens) op een rekenmachne. Werk n radalen en geef je antwoord n 4 decmalen nauwkeurg..3 a. + b. 4 c. 3 d. 3 e. 3.5 Schrjf de volgende complexe getallen n de notate z = x + y. Gebruk daarbj een rekenmachne en geef je antwoord n 4 decmalen nauwkeurg. a. e b. 3e c. 0.e 0.3 d..e.5 e. e 3.45.4 a. + b. c. d. 5 + e. 3.6 In deze opgave s z = 3e. Geef nu ook de volgende getallen n de (r, ϕ)-notate: a. z b. z c. (z) 5 d. z e. z n (n geheel).7 Gegeven zjn de complexe getallen z = e 5 en z = 3e. Laat met behulp van de (r, ϕ)-notate zen dat a. z z = z z ( ) z b. = z z z.8 Toon nu algemeen met behulp van de (r, ϕ)-notate aan dat voor alle complexe getallen z = r e ϕ en z = r e ϕ geldt dat a. z z = z z ( ) z b. = z z z Hnt: ga op dezelfde maner te werk als bj de vorge opgave, maar laat nu letters staan n plaats van getallen. 8 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
De (r, ϕ)-notate voor complexe getallen De (r, ϕ)-notate voor complexe getallen Elk complex getal z = x + y kun je schrjven n de vorm z = r(cos ϕ + sn ϕ) waarn r = z = x + y de absolute waarde van z, en ϕ = arg(z) het argument van z s, dat wl zeggen de hoek de de voerstraal (de verbndngsljn van z met de oorsprong) met de posteve x-as maakt. Herbj geldt x = r cos ϕ en y = r sn ϕ. De verkorte notate ut de vorge paragraaf geeft z = r e ϕ Men noemt dt wel de (r, ϕ)-notate of polare notate (omdat ze verwant s met poolcoördnaten). De (r, ϕ)-notate s bjzonder handg bj het vermengvuldgen en delen: z z = r e ϕ r e ϕ = r r e (ϕ +ϕ ) z z = r e ϕ r e ϕ = r r e (ϕ ϕ ) y e ϕ ϕ z = x + y = r e ϕ r 0 Bj vermengvuldgen worden de absolute waarden met elkaar vermengvuldgd en de argumenten bj elkaar opgeteld. Bj delen worden de absolute waarden gedeeld en de argumenten van elkaar afgetrokken. Voor het verband tussen x, y, r en ϕ geldt x = r cos ϕ, y = r sn ϕ r = x + y, tan ϕ = y x Hermee kun je de gewone notate z = x + y van een complex getal z omzetten n de (r, ϕ)-notate z = r e ϕ en omgekeerd. Er ztten echter een paar addertjes onder het gras bj de berekenng van ϕ als je x en y kent. In de eerste plaats s ϕ net gedefneerd als x = y = 0. Verder geldt: als x = 0, y > 0 dan s ϕ = π, en als x = 0, y < 0 dan s ϕ = π. In alle andere gevallen kun je ϕ berekenen met behulp van de arctangens-functe (de nverse van de tangens). Maar let op: de arctangens geeft altjd een utkomst tussen π en π. Voor getallen z = x + y n het lnkerhalfvlak (dat wl zeggen met x < 0) moet je daar dan nog π bj optellen: ϕ = arctan y x + kπ als x > 0 en ϕ = arctan y + π + kπ als x < 0 x Bedenk dat het argument tot op gehele veelvouden van π na bepaald s. x 9 bron: www.scence.uva.nl/ craats
De meetkunde van het complexe rekenen Schrjf de volgende complexe getallen n de notate z = x + y. Gebruk daarbj een rekenmachne en geef je antwoord n 4 decmalen nauwkeurg..9 a. e + b. e 3 c. e 0.+0.3 d. e.+.5 e. e 0.5+3.4.0 a. e 3+ b. e 3 0.5 c. e 3 d. e +5 e. e 0.8+3. a. cos( ) b. cos(π + ) c. sn( ) d. sn( 3 ) e. sn(4π 3 ) In de volgende opgave ga je de functe w = e z n kaart brengen aan de hand van de onderstaande fguur. Van zo n complexe functe kun je net gemakkeljk een grafek tekenen, want zowel de z-waarden (de orgnelen) als de w-waarden (de functewaarden) bevnden zch n een vlak. Voor een grafek zou je dus ets verdmensonaals moeten tekenen, en dat kunnen we net. In plaats daarvan tekenen we twee complexe vlakken naast elkaar, een z-vlak en een w-vlak, en we geven daarn aan welke w-waarden bj welke z-waarden horen. We hebben al een begn gemaakt. z-vlak w-vlak π w = e z 0 0. a. Ga na dat het vertcale deel 0 y π van de y-as n het z-vlak op de aangegeven wjze wordt afgebeeld op de eenhedscrkel n het w-vlak. b. De beelden van z = 0 en z = π zjn n het w-vlak net helemaal correct getekend. Wat s er ms, en waarom zjn ze toch zo getekend? c. In het z-vlak s n de blauwe strook een aantal horzontale ljnen getekend. Ga preces na waarop de terecht komen n het w-vlak. d. Is er een punt z dat afgebeeld wordt op de oorsprong n het w-vlak? Zo ja, welk punt, zo nee, waarom net? e. Bepaal de beelden van de vertcale ljnstukken x =, 0 y π en x =, 0 y π n het z-vlak. f. Wat s het beeld van de gehele y-as? g. Bereken alle z de afgebeeld worden op w = n het w-vlak. 0 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
De complexe functes e z, cos z en sn z De complexe functes e z, cos z en sn z Je kent de reële e-machtfuncte e x en je weet dat e y = cos y + sn y Daarmee ken je dus de functe e z voor alle z-waarden de zuver reëel zjn en alle z- waarden de zuver magnar zjn. Voor wllekeurge complexe getallen z = x + y defnëren we nu e z = e x e y Met deze defnte geldt voor alle complexe getallen z en z dat e z +z = e z e z want e z +z = e (x +x )+ (y +y ) = e x +x e (y +y ) = e x e x e y e y = e x e y e x e y = e x + y e x + y = e z e z Voor alle gehele getallen k geldt e kπ =, dus e z+kπ = e z e kπ = e z Met andere woorden: de functe e z s perodek met perode π. Verder ze je dat e z = e x en dat arg(e z ) = y + kπ want e x e y s nets anders dan de polare notate voor e z met r = e x. Met behulp van de formules van Euler kunnen we nu ook de cosnus en de snus voor wllekeurge complexe getallen z defnëren: cos z = e z + e z en sn z = e z e z Ut het fet dat de e-macht perodek s met perode π volgt dan drect dat de cosnus en de snus perodek zjn met perode π, preces zoals je verwacht: cos(z + kπ) = cos z en sn(z + kπ) = sn z voor alle gehele k Zonder bewjs of nadere toelchtng vermelden we nog dat de functes e z, cos z en sn z ook gedfferenteerd kunnen worden, en dat de bekende regels en formules ook n het complexe geval geldg bljven. Zo geldt d dz (e z ) = e z met andere woorden: de e -machtfuncte s geljk aan zjn egen afgelede. Herut kun je met behulp van de somregel en de kettngregel ook de geldghed afleden van de bekende formules d dz (cos z) = sn z en d (sn z) = cos z dz bron: www.scence.uva.nl/ craats
De meetkunde van het complexe rekenen Samenvattng Je kunt complexe getallen zen als vectoren: het complexe getal α hoort bj de vector (pjl) de van de oorsprong naar het punt α n het complexe vlak loopt. Pjlen met dezelfde grootte en rchtng stellen dezelfde vector voor. Optellen van complexe getallen correspondeert met de vectoroptellng (parallellogramconstructe). Het complexe getal β α hoort bj de vector de loopt van α naar β. De crkel met mddelpunt α en straal r wordt gegeven door de vergeljkng (z α)(z α) = r Formules van Euler: e ϕ = cos ϕ + sn ϕ cos ϕ = e ϕ + e ϕ sn ϕ = e ϕ e ϕ De (r, ϕ)-notate (polare notate) van een complex getal z = x + y s z = r e ϕ. Herbj s r = z = x + y en x = r cos ϕ, y = r sn ϕ. Het getal r heet de absolute waarde of modulus van z, en ϕ heet het argument van z, notate ϕ = arg(z). Het argument wordt gemeten n radalen. Het s tot op gehele veelvouden van π na bepaald. Als x = 0 dan s tan ϕ = y/x en dan kan ϕ als volgt ut x en y berekend worden als x > 0 dan s ϕ = arctan y x + kπ als x < 0 dan s ϕ = arctan y x + π + kπ Bj vermengvuldgen van complexe getallen worden de absolute waarden met elkaar vermengvuldgd en de argumenten bj elkaar opgeteld. Bj delen worden de absolute waarden gedeeld en de argumenten van elkaar afgetrokken. De complexe e -macht: e z = e x+ y = e x e y = e x (cos y + sn y) Er geldt e z = e x met perode π. en arg (e z ) = y + kπ. De complexe e-macht s perodek De complexe cosnus en de complexe snus: cos z = e z + e z sn z = e z e z De complexe cosnus en de complexe snus zjn perodek met perode π. Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
3 Wortels en polynomen In dt hoofdstuk maak je kenns met complexe wortels en complexe polynomen. Je leert dat elk complex getal preces n complexe n-demachtswortels heeft, en bovenden dat de wortels n het vlak de hoekpunten vormen van een regelmatge n-hoek met de oorsprong als mddelpunt. Je leert vervolgens wat complexe n-degraadspolynomen en complexe n-degraadsvergeljkngen zjn. De hoofdstellng van de algebra zegt dat elke complexe n-degraadsvergeljkng preces n oplossngen heeft, mts je ze op de juste maner telt. Tot slot leer je dat elk reëel n-degraadspolynoom gespltst kan worden n reële lneare factoren en reële kwadratsche factoren met een negateve dscrmnant.
3 Wortels en polynomen Bepaal alle heronder gegeven n-demachtswortels n de (r, ϕ)-notate (voor elke n-demachtswortel zjn er n mogeljkheden). Geef exacte antwoorden of antwoorden n ver decmalen nauwkeurg. Geef telkens ook met een tekenng aan hoe de n-demachtswortels de hoekpunten vormen van een regelmatge n-hoek met de oorsprong als centrum. Als voorbeeld zjn heronder de zeven zevendemachtswortels 7 α getekend voor α =.7 +.5. Hervoor geldt α.67 en arg(α) 0.730 + kπ zodat 7 α = 7 α.40 en arg( 7 α) = 7 kπ arg(α) 0.033 + 7 dus 7 α.40 e (0.033+ kπ 7 ) voor k = 0,,..., 6 α 0 3. a. b. c. d. e. 3 3 3 3 8 3 8 3. a. b. c. d. e. 3 + 3 7 3 7 3 3 4 3.3 a. b. c. d. e. 4 4 5 4 3 4 6 6 3.4 a. b. c. d. e. 4 5 3 4 8 7 3 3 + 3 4 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
Wat zjn complexe n-demachtswortels? Wat zjn complexe n-demachtswortels? We weten al dat = want =. Of egenljk zouden we beter kunnen zeggen dat = ± want ook ( ) =. Maar wat zou 3 zjn? Het moet een complex getal z zjn waarvoor geldt dat z 3 =. Kennen we zulke getallen? Jazeker, z = voldoet, want ( ) 3 =. Maar ook z = e 3 π voldoet, want ( ) z 3 = e 3 π 3 = e 3( 3 π ) = e π = En natuurljk voldoet ook z = e 3 π want daarvoor geldt dat z 3 = e π =. We vnden dus dre complexe getallen z waarvoor geldt dat z 3 =. Alledre kunnen ze aanspraak maken op de ttel 3. Anders dan bj de reële wortels maken we n de wskunde van de complexe getallen geen afspraken over een voorkeursbehandelng voor een van de dre wortels. Dat bljkt nameljk om allerle redenen net handg te zjn. Als we dus n het vervolg 3 opschrjven, moet ut de context dudeljk zjn welke van de dre wortels we bedoelen. - _ 3 π e _ 3 π 0 De voerstralen van de dre derdemachtswortels van maken onderlng hoeken van 3 π. De wortels zelf zjn de hoekpunten van een geljkzjdge drehoek met de oorsprong als centrum. Waarom dat zo s, wordt dudeljk als we de bepalng van 3 nog wat beter bekjken. We zoeken complexe getallen z = r e ϕ waarvoor z 3 =. Maar z 3 = ( r e ϕ) 3 = r 3 e 3 ϕ en dat moet geljk zjn aan. Omdat = en arg( ) = π + kπ moet r 3 = zjn en 3ϕ = π + kπ. Herut volgt r = (want r s een reëel getal dat net-negatef s) en ϕ = 3 π + 3 kπ. Voor k = 0, k = en k = krjgen we z = e 3 π, z = e π =, z = e 5 3 π = e 3 π Voor alle andere gehele waarden van k krjgen we ook weer één van deze dre wortels. Je zet dat het argument telkens met 3 π toeneemt, en na dre stappen ben je weer op je utgangspunt terug. Je kunt dt n het algemeen doen voor de derdemachtswortel ut een wllekeurg complex getal α = 0: n alle gevallen vnd je dre derdemachtswortels, en hun voerstralen maken onderlng hoeken van 3 π. Nog algemener, nu voor een wllekeurg postef geheel getal n: Elk complex getal α = r e ϕ met r = α > 0 heeft preces n n-demachtswortels, nameljk n α = n r e ( n ϕ+ kπ n ) voor k = 0,,..., n e - _ 3 π 5 bron: www.scence.uva.nl/ craats
3 Wortels en polynomen z-vlak w-vlak w = z - 0-0 z-vlak w-vlak 3 w = 3 z - 0-0 = 3 3 z-vlak w-vlak 3 w = 3 z - 0-0 = 3 3 6 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
Waarom wortels meerwaardg zjn Waarom wortels meerwaardg zjn In de vorge paragraaf hebben we de n-demachtswortel ut een complex getal α gedefneerd als n α = n r e ( n ϕ+ kπ n ) voor k = 0,,..., n waarbj er dus (tenzj α = 0) preces n verschllende mogeljkheden voor zo n wortel zjn. Bj de gewone verkantswortel ut een postef reëel getal, bjvoorbeeld 4, zjn er n prncpe ook mogeljkheden, nameljk en, maar bnnen de reële getallen hebben we de vaste afspraak dat we onder 4 altjd de posteve wortel verstaan, dus 4 =. Waarom doen we bj de complexe wortels net ook ets dergeljks? Je zou her toch ook heel goed een afspraak kunnen maken, bjvoorbeeld: kes altjd de wortel met een mnmaal net-negatef argument. De reden dat zoets net gedaan wordt, s dat de complexe wortels vaak gebrukt worden als functes of onderdelen van functes, en dat je bj het gebruk van zulke functes alleen maar last zou hebben van een dergeljke afspraak. Heronder lchten we dat toe aan de hand van enge voorbeelden. Neem eerst functe w = z. Een grafek van zo n functe kun je net zó maar maken, want zowel de z-waarden als de functewaarden bevnden zch n een vlak, dus voor een grafek zou je ver dmenses nodg hebben. In plaats daarvan werken we met een z-vlak en een w-vlak naast elkaar. Hernaast ze je n de bovenste fguur zo n llustrate. We bekjken de wortelfuncte w = z op een rnggebed om de eenhedscrkel n het z-vlak, waarbj we z laten begnnen n en vervolgens tegen de klok n langs de eenhedscrkel laten lopen. Als we = kezen n het begnpunt, loopt w vanaf w = ook langs de eenhedscrkel, maar met de halve snelhed want n dt geval s w = z = ( e ϕ = e ϕ) / = e ϕ Na één volledge omloop n het z-vlak s w = z n het w-vlak dus bj de andere wortel aangekomen, met andere woorden, nu geldt =. Zouden we nu een vaste afspraak voor de betekens van z hebben, dan zouden we onderweg ergens een sprong n de functewaarden moeten maken, en dat s gekunsteld. Hetzelfde doet zch voor bj eder pad n het z-vlak dat één maal rond de oorsprong loopt: je komt dan altjd van de ene tak van de wortel op de andere terecht. De oorsprong heet daarom een vertakkngspunt. Voor hogeremachtwortels geldt ets dergeljks. Hernaast s aangegeven hoe je bj de functe w = 3 z door n het z-vlak één maal om de oorsprong te lopen van 3 = bj 3 = e π /3 komt (tegen de klok n) of bj 3 = e π /3 (met de klok mee). Ook her zou een vaste afspraak voor 3 z alleen maar lastg zjn. 7 bron: www.scence.uva.nl/ craats
3 Wortels en polynomen Bepaal een tweedegraadspolynoom van de vorm p(z) = z + α z + α 0 dat de getallen z en z als nulpunten heeft, waarbj 3.5 a. z =, z = b. z =, z = 5 c. z =, z = d. z =, z = e. z = +, z = 3.6 a. z = 0, z = b. z =, z = c. z = 0, z = d. z = +, z = e. z = +, z = + Bepaal een derdegraadspolynoom van de vorm p(z) = z 3 + α z + α z + α 0 met z, z en z 3 als nulpunten waarbj 3.7 a. z =, z =, z 3 = 0 b. z =, z =, z 3 = 0 c. z =, z =, z 3 = d. z =, z =, z 3 = 3 e. z =, z =, z 3 = 3.8 a. z =, z =, z 3 = 3 b. z = +, z =, z 3 = c. z =, z = 0, z 3 = d. z =, z = 0, z 3 = e. z =, z =, z 3 = 8 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
Over n-demachtswortels en n-degraadspolynomen Over n-demachtswortels en n-degraadspolynomen We hebben gezen dat er dre derdemachtswortels ut zjn, nameljk, e 3 π en e 3 π. Voor het gemak schrjven we nu ρ = e 3 π en ρ = e 3 π (ρ s de Grekse letter rho ). De dre wortels zjn dan dus, ρ en ρ. De derdemachtswortels ut zjn de complexe getallen z waarvoor geldt dat z 3 =, met andere woorden, het zjn de oplossngen van de derdegraadsvergeljkng z 3 + = 0 ρ = e _ 3 π Nog weer anders gezegd, het zjn de nulpunten van het derdegraadspolynoom z 3 +. Maar bekjk nu eens de vergeljkng (z ( ))(z ρ)(z ρ) = 0 Het s dudeljk dat de oplossngen hervan ook geljk zjn aan, ρ en ρ. Zou het lnkerld msschen geljk zjn aan z 3 +? Werk de haakjes ut: - 0 ρ _ = e - _ 3 π (z ( ))(z ρ)(z ρ) = (z + )(z (ρ + ρ)z + ρρ) Maar ρ = + 3 dus ρ + ρ = en ρρ = (ga na!), zodat nderdaad (z + )(z (ρ + ρ)z + ρρ) = (z + )(z z + ) = z 3 z + z + z z + = z 3 + Wat we n dt bjzondere geval gezen hebben, bljkt n het algemeen te gelden: Als een n-degraadspolynoom p(z) = z n + α n z n + + α z + α 0 n verschllende nulpunten z, z,..., z n heeft, dan kan p(z) geschreven worden als p(z) = (z z )(z z ) (z z n ) In het bovenstaande voorbeeld was p(z) = z 3 + en z =, z = ρ, z 3 = ρ. In de vorge paragraaf hebben we telkens de n-demachtswortels van een getal α bepaald. Het bjbehorende polynoom was dan telkens van de vorm p(z) = z n α. We hebben gezen dat er dan nderdaad steeds n nulpunten (de n-demachtwortels) zjn, behalve n het flauwe geval dat α = 0. Hoe het n het algemeen zt bj een n-degraadspolynoom, behandelen we n de volgende paragraaf. 9 bron: www.scence.uva.nl/ craats
3 Wortels en polynomen 3.9 Heronder zjn telkens een polynoom p(z) en een getal α gegeven. Ga na dat steeds geldt dat p(α) = 0 en bepaal vervolgens het polynoom q(z) waarvoor geldt dat p(z) = (z α)q(z). a. p(z) = z 4 z 3 z, α = b. p(z) = z 4 z 3 + 3z 3z, α = c. p(z) = z 5 z 4 z +, α = d. p(z) = z 4 4z 3 + 5z 4z + 4, α = e. p(z) = z 4, α = f. p(z) = z 4 + z +, α = Hnt: Je kunt de bovenstaande opgaven gewoon oplossen door systematsch proberen, maar degenen de weten wat een staartdelng s, zullen merken dat het daarmee wel zo gemakkeljk gaat. Als voorbeeld geef k herbj de staartdelng de hoort bj het geval p(z) = 3z 4 7z 3 + 3z z en α =. Invullen laat zen dat α = een nulpunt s, dat wl zeggen dat p() = 0. De volgende staartdelng geeft je het quotëntpolynoom q(z) = 3z 3 z + z +. / z 3z 4 7z 3 + 3z z 3z 3 z + z + 3z 4 6z 3 z 3 + 3z z 3 + z z z z z z z 0 3.0 Onderzoek bj elk van de onderdelen van de vorge opgave de multplctet van het nulpunt α en bepaal vervolgens ook de andere nulpunten van het polynoom p(z). 30 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
De hoofdstellng van de algebra De hoofdstellng van de algebra Voordat we verder gaan, geven we eerst een formele defnte van de term polynoom en een aantal daarmee verband houdende veel gebrukte termen. Defnte: Een polynoom (Engels: polynomal) s een functe van de vorm p(z) = α n z n + α n z n + + α z + α 0. De complexe getallen α n, α n,..., α, α 0 heten de coëffcënten, en het complexe getal z heet de varabele. We veronderstellen altjd dat α n = 0 (want anders kun je de term α n z n beter weglaten). De andere coëffcënten kunnen wél nul zjn. Het getal n heet de graad van het polynoom. In plaats van polynoom wordt ook wel veelterm gebrukt. Bj elk complex getal z geeft zo n polynoom een complex getal p(z) als functewaarde. Als voor een zekere z 0 geldt dat p(z 0 ) = 0 dan heet z 0 een nulpunt van het polynoom. Het getal z 0 s dan een oplossng van de vergeljkng α n z n + α n z n + + α z + α 0 = 0 Zo n vergeljkng heet een n-degraadsvergeljkng. In plaats van een oplossng van de vergeljkng zegt men ook wel een wortel van de vergeljkng, zelfs al komen er n de schrjfwjze van zo n oplossng geen wortels voor. Voor elk n-degraadspolynoom p(z) met n > geldt de volgende stellng. Factorstellng: Als p(z) een nulpunt z 0 heeft, dan bestaat er een polynoom q(z) waarvoor geldt dat p(z) = (z z 0 )q(z). Je kunt dan dus een factor (z z 0 ) van p(z) afspltsen. Een eerstegraadspolynoom heet ook wel een lnear polynoom; de bjbehorende vergeljkng noemt men dan ook vaak een lneare vergeljkng. Een tweedegraadsvergeljkng heet ook wel een kwadratsche vergeljkng of verkantsvergeljkng. Verkantsvergeljkngen kun je oplossen met de abc-formule. Complexe verkantsvergeljkngen hebben altjd twee complexe oplossngen z en z. Het bjbehorende polynoom p(z) = α z + α z + α 0 kan dan geschreven worden als p(z) = α (z z )(z z ). Als de dscrmnant nul s, vallen z en z samen en dan geldt dus p(z) = α (z z ). In het algemeen geldt voor complexe n-degraadspolynomen de volgende stellng, de bekend staat als de hoofdstellng van de algebra en de voor het eerst bewezen s door C.F. Gauss n het begn van de negentende eeuw. Hoofdstellng van de algebra: Bj elk n-degraads polynoom p(z) = α n z n + α n z n + + α z + α 0 met n zjn er n complexe getallen z,..., z n zo, dat p(z) = α n (z z )... (z z n ). De getallen z,..., z n zjn de nulpunten van p(z). Ze hoeven net verschllend te zjn. Komt een nulpunt k maal voor, dan spreekt men van een k-voudg nulpunt; k heet de multplctet van het nulpunt. Elk n-degraadspolynoom met n heeft dus preces n complexe nulpunten als je ze elk met hun juste multplctet telt. 3 bron: www.scence.uva.nl/ craats
3 Wortels en polynomen 3. Splts de volgende reële polynomen n reële lneare factoren en reële kwadratsche factoren met een negateve dscrmnant. (Hnt: als je zo n ontbndng net drect zet, zoek dan eerst een nulpunt en gebruk de factorstellng.) a. z 3 + b. z 3 c. z 4 d. z 3 + 7 e. z 4 + z + f. z 4 z + 3. Stel dat n een oneven getal s en dat p(x) = x n + a n x n + + a x + a 0 een reëel n-degraadspolynoom s. Ook zonder gebruk te maken van complexe getallen kun je bewjzen dat p(x) mnstens één reëel nulpunt heeft, nameljk door p(x) te schrjven als p(x) = x n ( + a n x + + a x n + a 0 x n ) en het gedrag van p(x) voor grote posteve en grote negateve x-waarden met elkaar te vergeljken. Geef zo n bewjs. Over het oplossen van n-degraadsvergeljkngen Bj verkantsvergeljkngen kan men de oplossngen vnden met de abc-formule. Ook voor derdegraads- en verdegraadsvergeljkngen zjn er zulke exacte formules. De zjn echter een stuk ngewkkelder; we behandelen ze her net. Voor n-degraadsvergeljkngen met n 5 bestaan er geen vergeljkbare algebraïsche methodes om op een dergeljke maner alle oplossngen te vnden. In zulke gevallen zal men zjn toevlucht vaak nemen tot numereke methodes waarmee de nulpunten kunnen worden benaderd. De hoofdstellng van de algebra garandeert dus dat er altjd n oplossngen zjn (mts geteld met de juste multplctet), maar de stellng geeft geen algemene methode om ze te vnden! 3 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D
Reële polynomen Reële polynomen Wanneer alle coëffcënten van een polynoom reële getallen zjn, noemen we het een reëel polynoom. Het s dan van de vorm p(z) = a n z n + a n z n + + a z + a 0 voor zekere reële getallen a n,..., a 0. We veronderstellen weer dat a n = 0. Ook zo n reëel polynoom heeft n complexe nulpunten, maar de hoeven net reëel te zjn. Zo heeft p(z) = z + geen reële nulpunten. We kunnen wel drect zeggen dat er hoogstens n reële nulpunten zjn. Omdat reële polynomen natuurljk veel voorkomen, s het goed om er een aantal specale egenschappen van af te leden. De belangrjkste s de volgende stellng. Stellng: Als z 0 = x 0 + y 0 een net-reëel nulpunt s van het reële polynoom p(z) = a n z n + + a 0 dan s de geconjugeerde z 0 = x 0 y 0 ook een nulpunt van p(z). Het bewjs, dat heel eenvoudg s, berust op dre egenschappen de onmddelljk ut de defnte van geconjugeerde volgen:. Als a een reëel getal s, dan s a = a.. Voor elk tweetal complexe getallen α en β geldt α + β = α + β. 3. Voor elk tweetal complexe getallen α en β geldt αβ = α β. Ut de derde egenschap volgt n het bjzonder dat z k = (z) k voor elke k. Bewjs: Stel z 0 = x 0 + y 0 s een nulpunt van p(z), dus p(z 0 ) = 0. Dan geldt p(z 0 ) = a n (z 0 ) n + a n (z 0 ) n + + a z 0 + a 0 = a n z n 0 + a n z n 0 + + a z 0 + a 0 = a n z n 0 + a n z n 0 + + a z 0 + a 0 = p(z 0 ) = 0 = 0 Als er n de ontbndng p(z) = a n (z z )... (z z n ) een factor (z z k ) s waarvoor z k = x k + y k net reëel s, dan s er dus ook een factor (z z k ). We nemen ze samen en werken de haakjes ut: (z z k )(z z k ) = z (z k + z k )z + z k z k = z x k z + x k + y k Dt s een reëel kwadratsch polynoom met dscrmnant 4xk 4(x k + y k ) = 4y k. De s negatef, zoals verwacht. Afspltsen van de kwadratsche factor geeft een polynoom van graad n waarop we weer hetzelfde kunnen toepassen, enzovoort. We hebben hermee bewezen: Stellng: Elk reëel polynoom kan geschreven worden als een product van reële lneare polynomen en reële kwadratsche polynomen met een negateve dscrmnant. Een drect gevolg s dat de graad van een reëel polynoom zonder reële nulpunten altjd even s. Bjgevolg heeft elk reëel polynoom van oneven graad mnstens één reëel nulpunt. 33 bron: www.scence.uva.nl/ craats
3 Wortels en polynomen Samenvattng De n-demachtswortels van een complex getal α = r e ϕ zjn gedefneerd als n α = n r e ( n ϕ+ kπ n ) voor k = 0,,..., n waarbj er dus (tenzj α = 0) preces n verschllende mogeljkheden voor zo n wortel zjn. Ze vormen de hoekpunten van een regelmatge n-hoek met de oorsprong als mddelpunt. Een polynoom s een functe van de vorm p(z) = α n z n + α n z n + + α z + α 0 (met α n = 0) De complexe getallen α n, α n,..., α, α 0 heten de coëffcënten, en het complexe getal z heet de varabele. Het getal n heet de graad van het polynoom. Factorstellng: Als een polynoom p(z) van graad groter dan een nulpunt z 0 heeft, dan bestaat er een polynoom q(z) waarvoor geldt dat p(z) = (z z 0 )q(z). Je kunt dan dus een factor (z z 0 ) van p(z) afspltsen. Hoofdstellng van de algebra: Bj elk n-degraads polynoom p(z) = α n z n + α n z n + + α z + α 0 van graad groter dan of geljk aan zjn er n complexe getallen z,..., z n zo, dat p(z) = α n (z z )... (z z n ) De getallen z,..., z n zjn de nulpunten van p(z), met andere woorden, het zjn de oplossngen van de n-degraadsvergeljkng p(z) = 0. De nulpunten hoeven net verschllend te zjn. Komt een nulpunt n de bovenstaande ontbndng k maal voor, dan spreekt men van een k-voudg nulpunt; k heet de multplctet van het nulpunt. Elk n-degraadspolynoom met n heeft dus preces n complexe nulpunten als je ze elk met hun juste multplctet telt. Stellng: Elk reëel polynoom kan geschreven worden als een product van reële lneare polynomen en reële kwadratsche polynomen met een negateve dscrmnant. Gevolgen:. De graad van een reëel polynoom zonder reële nulpunten s altjd even.. Elk reëel polynoom van oneven graad heeft mnstens één reëel nulpunt. 34 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D