Hoofdstuk 1 Meetkunde en Lineaire Algebra Vraag 1.1 Zij p en q twee veeltermfuncties met reële coëfficiënten en A een reële vierkante matrix. Dan is p(a) diagonaliseerbaar over R als en slechts dan als q(a) diagonaliseerbaar is over R. vals Vraag 1.2 Zij A een reële, antisymmetrische matrix (verschillend van de nulmatrix). Dan kan A nooit diagonaliseerbaar zijn over R. Vraag 1.3 Een n n orthogonale projectiematrix is steeds diagonaliseerbaar. Vraag 1.4 Als een matrix A C n n diagonaliseerbaar is, dan bestaat er van die matrix een orthonormale basis van eigenvectoren voor C n 1. vals 1
Vraag 1.5 Elke orthogonale matrix in R n n is diagonaliseerbaar over R. vals Vraag 1.6 Zij x,y R n 1. Dan bezit de matrix xy T twee verschillende eigenden als en slechts dan als x en y niet onderling orthogonaal zijn. Vraag 1.7 Als het spectrum van een reële vierkante matrix een complexe eigende bevat, dan bevat het ook de complex toegevoegde van deze eigende. Vraag 1.8 Als Q een unitaire matrix is, en λ σ(q), dan geldt er dat λ 1 σ(q ). Vraag 1.9 Elke reëelsymmetrische, positief definiete matrix A kan worden geschreven als BB T met B een inverteerbare matrix. Vraag 1.10 Voor een vierkante matrix A wordt bij definitie A exp(a) = k k=0 k! gesteld. Zij nu A diagonaliseerbaar, dan geldt er dat det(exp(a)) = exp(tr(a)) 2
3
Hoofdstuk 2 Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek Vraag 2.1 De Fisher-informatie I(p) voor een steekproef met grootte n = 1 uit een geometrische verdeling met f ( p) = Geo( p) is gegeven door: 1 p 2 q Vraag 2.2 We doen een opiniepeiling om het percentage mensen in een populatie te vinden dat een Mac boven een PC verkiest. We herhalen daarbij 10 keer het volgende experiment: we selecteren telkens opnieuw op aselecte wijze een computergebruiker uit de populatie, tot we er een vinden die een Mac boven een PC verkiest. We noteren dan het aantal PC-liefhebbers dat aan die eerste Mac-liefhebber voorafging: 1, 0, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 0, 2. Geef een maximale-likelihoodschatting voor het gezochte percentage. 38,5% Vraag 2.3 We beschouwen de maximale-likelihoodschatter ˆM ML (X 1,...,X n ) van de gemiddelde de van een toevallige steekproef uit een normale verdeling. Welke van de onderstaande uitspraken is on? Ten minste een van de bovenstaande uitspraken is on. 4
Vraag 2.4 Veronderstel dat ˆΘ de maximale-likelihoodschatter is van de reëeldige parameter θ. Welke van de volgende uitspraken is dan niet noodzakelijk juist? ˆΘ is de meest efficiënte schatter. Vraag 2.5 Beschouw een toevallige steekproef X 1,X 2,...,X n uit een verdeling f ( θ). De steekproefstatistieken A(X 1,X 2,...,X n ) en B(X 1,X 2,...,X n ) zijn zo gekozen dat voor elke werkelijke neming x 1,x 2,...,x n, het interval (A(x 1,x 2,...,x n ),B(x 1,x 2,...,x n )) een corresponderend betrouwbaarheidsinterval is voor de parameter θ met betrouwbaarheidsdrempel α in [0, 1]. Dan geldt: P(θ [A(X 1,X 2,...,X n ),B(X 1,X 2,...,X n )]) = 1 α Vraag 2.6 We doen een hypothesetest over de verwachtingsde µ van een normaal verdeelde veranderlijke X, van we weten dat var(x) = 1. We weten ook dat de verwachtingsde µ van X ofwel gelijk is aan µ 0, ofwel gelijk is aan µ 1 (met µ 1 > µ 0, zie de onderstaande figuur), ofwel gelijk is aan µ 2 := µ 0+2µ 1 3. De nulhypothese H 0 en de alternatieve hypothese H 1 zien er als volgt uit: H 0 : µ = µ 2, H 1 : µ {µ 0, µ 1 }. In de figuur zijn ook drie verschillende kritieke gebieden KG1, KG2 en KG3 getekend, die overeenkomen met de respectieve testen δ 1, δ 2 en δ 3. Elk van die drie testen δ i hebben een minimale sterkte m i en een maximale sterkte M i let erop dat met elk element van Ω 1 = {µ 0, µ 1 } een sterkte overeenkomt. Welke van de volgende uitspraken geldt dan zeker voor alle den van µ 0 en µ 1 (zo dat µ 1 > µ 0 )? 5
KG1 µ 0 µ 2 µ 1 KG2 KG2 KG3 M 3 < M 1 < M 2 Vraag 2.7 Met MATLAB werden er enkele plots van een dataset gemaakt: 8 x 1025 8 x 1025 10 40 6 4 2 6 4 2 10 20 10 0 0 0 5 10 15 x 10 6 0 10 10 10 0 10 10 10 20 0 5 10 15 x 10 6 Noem X de toevallige veranderlijke uitgezet in abscis, en Y de toevallige veranderlijke uitgezet in ordinaat. Wat is het meest geschikte, intrinsiek lineaire, regressiemodel voor deze dataset? Een machtwet Y = αx β Vraag 2.8 Gegeven is een ongedocumenteerd MATLAB m-bestand, en de bij uitvoering ervan resulterende figuur: clear all; close all; n = 1000; 6
m = 10000; p =.3; X = rand(n,m); Y = X>1-p; Z =... stap =.5; hist(z,-3:stap:3) h = findobj(gca, Type, patch ); set(h, FaceColor,[.4.4.4], EdgeColor, w ) hold on t = -3:.1:3; plot(t,stap*m*normpdf(t), k, LineWidth,2) 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 De definitie van Z is echter weggelaten. Welke van de volgende definities werd gebruikt om de figuur te krijgen? Z = (sum(y)-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)); Vraag 2.9 Wat geldt algemeen voor de maximale-likelihoodschattingen ˆB 0,ML (Y 1,...,Y n ) en ˆB 1,ML (Y 1,...,Y n ) van de regressiecoëfficienten bij een enkelvoudige lineare regressie van de vorm Y = β 0 + β 1 X, voor de data zo liggen dat x n > 0? Ze zijn negatief gecorreleerd. 7
Vraag 2.10 Transportfirma Ossewa wantrouwt de bewering van bandenproducent Tiresome dat de gemiddelde levensduur van diens banden ten minste 28000 km is. Om deze nulhypothese te toetsen, worden 40 zulke banden onder de trucks van Ossewa bevestigd, wat leidt tot een steekproefgemiddelde voor de levensduur van 27463 km. Je mag aannemen dat de standaardafwijking op de levensduur 1350 km is. Dan is de corresponderende (benaderde) p-de van de steekproef gegeven door: 0,0059 8