TER INFO: IMAGINAIRE NOTATIES De algemene frmule kan men herschrijven in een cmbinatie van twee cmpnenten; namelijk in cmplexe vrm bestaat er een reëel deel en een imaginair deel. Het reële deel van de tensr valt samen met de hrizntale as, daarm k de reële as genemd. Het imaginaire deel van de tensr valt samen met de verticale as, daarm vaak de imaginaire as genemd. Algemene frmule: U(t) = 2. U. sin (2. π. f. t + φ) Algemene frmule als t = 0s? U(t = 0) = 2. U. sin (φ) Merk het gebruik van de effectieve waarde p vanaf nu! Algemene cmplexe frmule: U = a + b. i = U. cs φ + i. U. sin φ Om verwarring met de strm te vermijden gebruikt men j ipv i. U = U. ( cs φ + j. sin φ) pag. 48
De frmule van Euler laat te m de gnimetrische vrm anders te nteren: U = U. e De vereenvudigde ntatie bij de methde van Euler: U = U / pag. 49
OEFENINGEN OP VECTORIËLE NOTATIE 1. De spanning u(t) wrdt vrgesteld dr de vectr (200 + j 300). a. Bereken de effectieve waarde van deze spanning. b. Bereken de faseverschuiving. 2. De spanning wrdt dr de nderstaande sinus vrgesteld. U(t) = 2. 400. sin (2. π. f. t + 30 ) a. Bepaal de effectieve waarde van deze spanning. b. Bepaal de amplitude van deze spanning. c. Als de frequentie niet gegeven is in efeningen, welke frequentie met u dan gebruiken? (tip: netfrequentie) f =.. Hz. d. Bepaal de faseverschuiving van de spanning. e. Bepaal de vectriële vrstelling van de spanning. f. Bepaal de cmplexe ntatie van de spanning. g. Nteer k de spanning in de vrm van de frmule van Euler. 3. De spanning heeft de vlgende ntatie: U = 230 /60 V. a. Bepaal de effectieve waarde van de spanning. b. Bepaald de amplitude van deze spanning. c. Bepaal de faseverschuiving van de spanning. d. Bepaal de cmplexe ntatie van de spanning. 4. De spanning wrdt vrgesteld p het schema als u(t) = 140. sin (314. t + 20 ) a. Bepaal de effectieve waarde van de spanning. b. Bepaald de amplitude van deze spanning. c. Bepaal de faseverschuiving van de spanning. d. Bepaal de cmplexe ntatie van de spanning. pag. 50
BEREKENINGEN: COMPLEX OF VEREENVOUDIGDE NOTATIE? Men kan delen, vermenigvuldigen, ptellen en aftrekken met cmplexe getallen: - Dezelfde grtheden (bijvrbeeld spanning) zal men vaak ptellen f aftrekken. In deze gevallen is de gewne cmplexe ntatie interessant. - Verschillende grtheden met men delen f vermenigvuldigen bij de wet van Ohm. In deze gevallen is de vereenvudigde ntatie interessanter. Bijvrbeeld 1: In een seriekring zijn er twee impedanties. Over de eerste weerstand staat er een spanning van 17 /28 V. De tweede gemeten spanning is 15 + j.8 V. He grt is de aangelegde spanning? Bijvrbeeld 2. Er is een parallelkring. De ttale strm is 1 /-36.9 V. He grt is de strm dr de eerste impedantie als de strm dr de tweede impedantie gelijk is aan 0.2 j.0,2 A pag. 51
Bijvrbeeld 3: De gegeven spanning is gelijk aan 40 + j 30 V. De strm is 20 /0 A. Bereken de impedantie. Bijvrbeeld 4: De impedantie die gemeten werd, is 120 + j.90 Ohm. De spanning is 15 + j 20 V. He grt is de strm? pag. 52
HET GEDRAG VAN DE VERSCHILLENDE BELASTINGEN BIJ EEN AC-SINUSGOLF. INLEIDING De tt nu te bestudeerde belastingen (R, L en C) werden belast dr een gelijkspanning. Gelijkspanning kmt veel vr maar in het net gebruikt men wisselspanning met een sinusvrm. In het vrige hfdstuk werd de spanning als sinusvrm besprken. De sinus is wiskundig een elegante en interessante functie. Vlgens de furieranalyse kan men elke willekeurige sinus immers als een sinusglf herschrijven. De vraag in dit hfdstuk is: he gedragen de weerstand, spel en cndensatr zich bij een sinusspanning? DE WEERSTAND ALS BELASTING De weerstand werd reeds in een eerder hfdstuk aangehaald in deze cursus. Er bestaan verschillende srten weerstanden. Daarnaast kunnen de weerstanden p verschillende manieren geschakeld wrden; serie, parallel en gemengde kringen. De berekeningen p strm, spanning en resistantie veranderen niet mdat de aangelegde brn een wisselspanningsbrn f wisselstrmbrn is. Wisseltherie bij een Weerstand: Weet wel dat de faseverschuiving tussen de strm dr een weerstand, en de spanning ver een weerstand 0 is! Oefening: Een weerstand van 200 Ohm wrdt belast dr een spanningsbrn van 20 /0 V. Bereken de strm en nteer in de snelst mgelijke ntatie. Dr een weerstand van 50 Ohm vleit er een gemeten strm van 0,25 /-73.7 A. He grt is de spanning? pag. 53
pag. 54
DE SPOEL ALS BELASTING INLEIDING Een spel werd in de tweede graad uitgebreid besprken. In deze bundel wrdt enkel het gedrag van de spel p AC- en DC-niveau besprken. Figuur 7: spel in een schema WAT IS EEN INDUCTIEVE BELASTING? Rnd een geleider waar strm drvleit (AC f DC) ntstaat er een magnetisch veld. Wanneer de strm verandert in een geleider, dan ntstaat er in die geleider een elektrmagnetische kracht die de verandering qua strm en/f qua magnetisch veld prbeert tegen te werken. In de geleider ntstaat er een inductiespanning, afhankelijk van de grtte van de verandering van de strm en afhankelijk van het zelfinductie-cëfficiënt. u (t) = L. di (t) dt In deze basisfrmule staan de vlgende zaken: u (t): de zelfinductiespanning L: zelfinductiecëfficiënt () : de verandering van de strm in de tijd pag. 55
In de meeste geleiders is de zelfinductiecëfficiënt bij lage frequenties verwaarlsbaar. Wanneer men de geleiders tt een spel wikkelt en er een weekijzeren kern in plaatst, dan krijgt men een véél grtere zelfinductiecëfficiënt. De tegenwerkende spanning zal duidelijk meetbaar zijn. De invled van een spel in een kring is bij nrmale frequenties véél grter dan van de geleider p zich. De zelfinductiecëfficiënt van een gewne draad wrdt verwaarlsd. VORM VAN DE ZELFINDUCTIESPANNING OVER DE SPOEL BIJ EEN SINUSVORMIGE STROOM? Wanneer de strm een sinusvrm heeft, dan zal de geïnduceerde spanning de afgeleide vrm hebben van de sinus. Bijvrbeeld: I = 2. I. sin (2. π. f. t) Met u (t) = L. di (t) dt Dit geeft een spanning met de vlgende functie: u (t) = L. d( 2. I. sin (2. π. f. t)) dt d(sin (2. π. f. t)) u (t) = 2. I. L. dt 2. π. f u (t) = 2. I. L. 2. π. f. d(sin (2. π. f. t)) dt d(sin (2. π. f. t)) u (t) = 2. I. L. 2. π. f. d(2. π. f. t) Met x = 2. π. f u (t) = 2. I. L. 2. π. f. d(sin (x)) dx pag. 56
Met (()) = cs (x); de afgeleide van een sinus is een csinus. u (t) = 2. I. L. 2. π. f. cs (2. π. f. t) Met cs(x) = sin ( x) u (t) = 2. I. L. 2. π. f. sin ( π 2. π. f. t) 2 Met sin(x) = sin ( x) u (t) = 2. I. L. 2. π. f. sin (2. π. f. t + π 2 ) Met = 90 De nrmale vrm van de spanning in vergelijking met een sinusvrmige strm wrdt als vlgt geschreven: u (t) = 2. U. sin (2. π. f. t + 90 ) Merk p dat de spanning eigenlijk een csinusglf is; en dat de strm 90 naijlt! pag. 57
Uit de afgeleide spanning kan beslten wrden dat: De Wet van Ohm bij een spel ng steeds geldt: Er werd bewezen: u (t) = 2. I. L. 2. π. f. sin (2. π. f. t + ) De ntatie vanuit de effectieve waarde: U = I. L. 2. π. f De impedantie kan uit de bvenstaande vergelijking gehaald wrden: X = L. 2. π. f = ω. L Eenheid: Ohm Merk p dat de impedantie (vr een zuivere spel k INDUCTANTIE genemd) geen infrmatie geeft ver de faseverschuiving tussen spanning en strm. De ntatie kan pnieuw gebeuren via Ofwel de cmplexe ntatie Ofwel de vereenvudigde ntatie Ofwel de gnimetrische ntatie Zals eerder bekeken in vrbeelden is de manier van vrstellen afhankelijk van de berekening(en) die men wenst te maken. pag. 58
Men kan de spanning en strm p verschillende manieren nteren: In de gnimetrische ntatie (met de spanning als referentie): u (t) = 2. U. sin (2. π. f. t) i (t) = 2. I. sin (2. π. f. t π 2 ) Merk de verschuiving tussen de strm en de spanning p bij een spel! De spanning ijlt 90 vr; fwel een vierde van de peride. Een tijdsverschuiving tussen de spanning ver en de strm dr de spel is bij 50Hz dus een vierde van de peride; nl. 0.005 secnden. Als cmplexe getallen bij het uitgangspunt van de spanning als een ideale sinus: U = U. e Vereenvudigd: U =U. /0 I = I. e. = I. e. Vereenvudigd: I = I /-90 Als vectren bij een spanning die de ideale sinusvrm aanneemt. Spanning: U = U. (cs 0 + j. sin 0 ) U = U ( 1 + j. 0) = U Strm: I = I. (cs (-90 ) + j. sin(-90 )) I = I. (0 -j) I = - j. I Vrstelling als vectr: pag. 59