VIJE UNIVESITEIT USSE UTEIT TOEGEPSTE WETENSHPPEN NYTISHE MEHNI I Tentamen 1ste Kandidatuur urgerlijk Ingenieur cademiejaar 001-00 9 januari 00 Vraag 1: (Theorie) Stel de algemene uitdrukking voor het evenwicht van een star lichaam op in geval van de methode van de virtuele arbeid. Druk vervolgens deze evenwichtsvoorwaarde uit in veralgemeende agrangecoördinaten. (Geef duidelijk aan welke onderstellingen/beperkingen er gelden. Voorzie vectoren van vectorstrepen!)
Vraag : s1 s D 1 In bovenstaande figuur is een homogene boog D weergegeven. Deze boog bestaat uit volgende drie delen: het stuk, waarvan de vorm conform is aan de figuur het stuk is een kwart cirkelboog het stuk D, waarvan de vorm eveneens conform is aan de figuur ereken de lengte van de boog D a.d.h.v. volgende gegevens: S D : het omwentelingsoppervlak dat men verkrijgt door boog D te omwentelen rond de vertikale s1 V D : het omwentelingsvolume dat men verkrijgt door boog D te omwentelen rond de vertikale s1 S : het omwentelingsoppervlak dat men verkrijgt door boog te omwentelen rond de vertikale s V D : het omwentelingsvolume dat men verkrijgt door boog D te omwentelen rond de vertikale s : de straal van de kwart cirkelboog 1 : de horizontale afstand tussen beide assen : de horizontale afstand tussen s en het massamiddelpunt van boog Het massamiddelpunt van boog D ligt op de vertikale s
Vraag (oplossing) Eerst zoeken we de horizontale component van het massamiddelpunt van de kwart cirkel 45 /π = π /π engte boog bekomt men uit het omwentelingsoppervlak S van boog rond S : S S = π = (stelling van guldin) π Omwentelingsoppervlak S D van boog D rond S 1 wordt: S D π = π( + D + ) (stelling van guldin) G Met G het totale massamiddelpunt van boog D t.o.v. S 1 : G = 1 + π + π + + D D.0 De drie vergelijkingen gecombineerd geeft: D = = 1 1 1 1 S π S D D π S π 1 ( 1 π ( 1 π ) ( 1 ) ( π 1 ))
Vraag 3: g ovenstaand stelsel bestaat uit: een homogene gladde halve cirkel met straal een lijnstuk met lengte, dat in tangentiaal verbonden is met de halve cirkel eide delen hebben dezelfde soortelijke massa ρ (kg/m). Dit geheel wordt in het zwaarteveld (g) opgehangen aan een gladde ronde staaf. De staaf staat loodrecht op het vlak waarin het stelsel zich bevindt. lle bindingen zijn glad! beschrijft de hoek tussen enerzijds de rechte gaande door het contactpunt van de halve cirkel met de staaf en het middelpunt van de projectie van de staaf in het vlak van en anderzijds de vertikale. beschrijft de hoek tussen en de vertikale. epaal met het uitdrukken van de evenwichtsvoorwaarden (, ) zowel de evenwichtswaarden van de hoeken en, als de grootte van de reaktiekracht in de staaf en dit in functie van en.
Vraag 3 (oplossing): d D /π Mcg E g / Mg De reaktiekracht D gaat door het middelpunt E van de halve cirkel vanwege de gladde binding. En: M = πρg M = ρg Uitdrukken van het evenwicht geeft: : D D sin cos + πρg + ρg (t.o.v. E) : π ρg sin ρg( sin cos) π hieruit volgt : D = ρg( π + ) tg = ( ) sin + cos 4
Vraag 4: Mg ovenstaand mechanisme bestaat uit twee massaloze staven en, beide met lengte. In het punt zijn de staven onderling verbonden door middel van een scharnier. Het punt van de staaf wordt door een gladde roloplegging gedwongen op een horizontale rechte te blijven terwijl het punt van de staaf op dezelfde manier gedwongen wordt op een rechte onder een hoek van 45 met de vertikale te blijven. Zowel in als werkt een kracht met dezelfde grootte en telkens gericht volgens de rechte waar de respectievelijke punten worden gedwongen op te blijven. In punt hangt een massa M die in het zwaarteveld een kracht Mg veroorzaakt. beschrijft de hoek tussen staaf en de vertikale. beschrijft de hoek tussen en de horizontale. Gevraagd: 1. epaal het aantal vrijheidsgraden van het systeem.. Duidt de reaktiekrachten aan in en. 3. epaal met de methode van de virtuele arbeid de evenwichtswaarden van de hoeken en in functie van, M en g. 4. epaal met de methode van de virtuele arbeid de reaktiekrachten in en bij evenwicht. Hint: Extra lagrangecoördinaten invoeren kan nuttig zijn.
Vraag 4 (oplossing): Y l1 a l ' b δ δ ' ' Mg 1 antal vrijheidsgraden: 6--1-1= vrijheidsgraden eaktiekrachten: zie tekening 3 Evenwichtspositie: We voeren een virtuele verplaatsing uit die de bindingen respecteert (zie tekening) De arbveidvergelijking bij evenwicht wordt dan:. ' +. ' + M g. ' We voeren twee extra lagrangecoördinaten in : l1 en l En: OY = cos ' = δoy = sin Uitwerking van de scalaire producten geeft: δl1 + δl Mg sin indingen: l = cos sin l1 = l + cos + sin = cos + sin + cos + sin We krijgen dus: ( sin + cos δ sin δ + cos ) + ( sin cos δ ) Mg sin Groeperen volgens δ en δ geeft: ( (1 ) Mg) sin + cos). + ((1 )cos sin). δ δ en δ zijn willekeurig klein dus geldt: δ
((1 ) ) (1 Mg sin + cos )cos sin tg = ( 1) + Mg tg = 1 4 waarden van de reaktie krachten: : laat staaf draaien rond punt a ' b δ Mg rbeidsvergelijking bij evenwicht wordt:.' +.' In de limiet staat loodrecht op, zodat de uitwerking (volgens de definitie) van de scalaire producten hetvolgende geeft: sin + cos = cot g = (1 ) Mg : horizontale verschuiving van het stelsel a ' b δv ' ' Mg δv rbeidsvergelijking bij evenwicht wordt:.' +.' +.' δv
Uitwerking van de scalaire producten geeft: δv + = δv δv