DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "DE GONIOMETRISCHE CIRKEL"

Arthur van de Velden
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 robleemstelling DE GONIOMETRISCHE CIRKEL Tijdens de lessen wiskunde worden verschillende verbanden aangeleerd tussen de goniometrische grootheden us, inus en gens. Het is niet eenvoudig om deze allemaal te kunnen onthouden. De goniometrische cirkel DEFINITIE Gelukkig is het niet nodig om al die verbanden uit het hoofd te leren aangezien de goniometrische een oplosg biedt. Allereerst moeten we eerst wel weten wat er precies bedoeld wordt met deze cirkel. y 1 O (0,0) 1 x Figuur 1: Definitie van de goniometrische cirkel. Zoals te zien op figuur 1 is de goniometrische cirkel een cirkel met een straal gelijk aan 1 waarvan het middelpunt in de oorsprong ligt. GEBRUIK We kunnen de voerstraal (lijnstuk [O]) projecteren op de x-as respectievelijk de y-as. Op die manier verschijnt er een rechthoekige driehoek zoals op figuur 2. O x Figuur 2: rojecties van [O] op de x-as en de y-as. Aangezien de driehoek O een rechthoekige driehoek is, kunnen we eenvoudig een uitdrukking voor de us en de inus van de hoek vinden. m1

De goniometrische cirkel DEFINITIE Gelukkig is het niet nodig om al die verbanden uit het hoofd te leren aangezien de goniometrische een oplosg biedt.

2 Immers, de definitie van de us van een hoek luidt als volgt: overstaande rechthoekszijde = (1) schuine zijde Deze betrekking kunnen we invullen met de gegevens op figuur 2. Merk op dat de schuine zijde ( O ) gelijk is aan de straal van de goniometrische cirkel: ' ' = = = ' (2) O 1 De projectie op de y-as van de voerstraal (lijnstuk [O]) verdraaid over een hoek t.o.v. de x-as, is gelijk aan de us van de hoek. Voor de inus gaan we analoog te werk: aanliggende rechthoekszijde = (3) schuine zijde Opnieuw halen we onze gegevens uit figuur 2. Denk eraan dat O gelijk is aan de straal van de cirkel en dus 1: O ' O ' = = = O ' (4) O 1 De projectie op de x-as van de voerstraal (lijnstuk [O]) verdraaid over een hoek t.o.v. de x-as, is gelijk aan de inus van de hoek. Nu zijn onze assen opgebruikt en zou je dus kunnen denken dat het niet mogelijk is om de gens af te lezen, laat staan de cogens. Toch is dit mogelijk. Hiervoor moeten we figuur 1 toch lichtjes uitbreiden. De (volledige) figuur is te zien op figuur 4. cot O Figuur 4: Goniometrische cirkel voor us, inus, gens en cogens. m2

Voor de inus gaan we analoog te werk: aanliggende rechthoekszijde = (3) schuine zijde Opnieuw halen we onze gegevens uit figuur 2.

3 Je weet al dat je de (co)us van een hoek kunt vinden door [O] op de rode of de oranje as te projecteren. Om de (co)gens van een hoek te vinden, moet je lijnstuk [O] verlengen tot je op de juiste as bent (de groene of de blauwe). De (co)gens van de gegeven hoek is dan gelijk aan de projectie van dit verlengde lijnstuk op deze as (zie figuur 5). Q x O Q Figuur 5: Aflezen van de gens van een gegeven hoek. Op figuur 5 stelt QQ de gens van de hoek voor. Om dit aan te tonen, kijken we naar de twee driehoeken die op figuur 5 gevormd worden. Omdat de rechten O en OQ samenvallen, maken zij eenzelfde hoek met de x-as. Beide driehoeken hebben dus al één hoek gemeenschappelijk (vgl. (5)). De punten en Q worden loodrecht geprojecteerd op de x-as. Daarom zijn beide driehoeken rechthoekig (vgl. (6)). Gelukkig maar! Aangezien beide driehoeken alvast twee gelijke hoeken hebben, moet hun derde hoek ook even groot zijn want de som van de hoeken van een driehoek is steeds gelijk aan 180 (vgl. (7))! O ˆ ' = = QOQ ˆ ' (5) ˆ ' O = 90 = QQ ˆ ' O (6) ˆ ' O = = 90 = QQ ˆ ' O (7) Verder maken we ook gebruik van de definitie van de gens (vgl. (8)). overstaande rechthoekszijde = (8) aanliggende rechthoekszijde Via de gegevens op figuur 5 kunnen we vergelijking (8) op twee manieren formuleren. Enerzijds door naar QOQ' te kijken: QQ' QQ' = = = QQ' (9) OQ' 1 De lengte OQ is gelijk aan de straal van de cirkel (en dus gelijk aan 1). Daarom kun je de gens van de hoek aflezen op de groene as! Voor de cogens werkt dit analoog. Maar omdat deze grootheid minder wordt gebruikt, gaan we hier niet dieper op in. m3

De (co)gens van de gegeven hoek is dan gelijk aan de projectie van dit verlengde lijnstuk op deze as (zie figuur 5). Q x O Q Figuur 5: Aflezen van de gens van een gegeven hoek.

4 Nu komen we al bij een eerste nut van de goniometrische cirkel. Daarnet schreef ik immers al dat vergelijking (8) op twee manieren te herschrijven is. We doen dit nu door naar O ' te kijken: ' = (10) O ' Door nu vergelijkingen (2) en (4) in te vullen in vergelijking (10), vinden we een verband tussen us, inus en gens. = (11) Nu we weten hoe de goniometrische cirkel werkt, kunnen we kijken wat er gebeurt met de us, inus en gens van een hoek wanneer we zijn compliment, supplement bekijken. TEGENGESTELDE HOEKEN Hoeken waarvan de som gelijk is aan 0, noemen we tegengesteld. Op figuur 6 staat afgebeeld samen met zijn tegengestelde ( ). Figuur 6: De hoek op de goniometrische cirkel samen met zijn tegengestelde. We zien op figuur 6 dat de projecties op de -as (x-as) van de blauwe en de groene voerstraal samenvallen. Hieruit kunnen we besluiten dat: = (12) We zien ook dat de projecties op de -as (y-as) van de blauwe en de groene voerstraal even groot zijn, maar aan weerszijde van de -as. Ze zijn dus even groot, maar tegengesteld van teken. Dit kunnen formuleren als volgt: m4

= (11) Nu we weten hoe de goniometrische cirkel werkt, kunnen we kijken wat er gebeurt met de us, inus en gens van een hoek wanneer we zijn compliment, supplement bekijken.

5 = (13) Hetzelfde verschijnsel doet zich voor bij de gens van beide hoeken. Daarom kunnen we ook hier schrijven dat: = (14) Vergelijking (14) kun je ook vinden door gebruik te maken van vergelijkingen (11), (12) en (13). SULEMENTAIRE HOEKEN Hoeken waarvan de som gelijk is aan 180, noemen we supplementair. Op figuur 7 zien we een hoek afgebeeld samen met zijn supplement (180 ). 180 Figuur 7: De hoek op de goniometrische cirkel samen met zijn supplement. Op figuur 7 is te zien dat nu de projecties op de -as wel even groot zijn, maar tegengesteld van teken. We kunnen zeggen dat: = 180 (15) De projecties op de -as zijn even groot en hebben wel hetzelfde teken. Dus: = 180 (16) Let er op dat je bij het vinden van de gens de groene voerstraal doorstrekt naar de -as en niet louter projecteert! Anders riskeer je een tekenfout! Wanneer je correct werkt (zoals op figuur 7), zie je dat beide gensen even groot zijn, maar van teken verschillen waardoor we vergelijking (17) als volgt kunnen formuleren: = 180 (17) m5

SULEMENTAIRE HOEKEN Hoeken waarvan de som gelijk is aan 180, noemen we supplementair. Op figuur 7 zien we een hoek afgebeeld samen met zijn supplement (180 ).

6 ANTI-SULEMENTAIRE HOEKEN Hoeken waarvan het verschil gelijk is aan 180, noemen we antisupplementair. Op figuur 8 zien we een hoek afgebeeld samen met zijn anti-supplement (180 + ) Figuur 8: De hoek op de goniometrische cirkel samen met zijn anti-supplement. Uit figuur 8 volgt dat zowel de projecties op de -as als op de -as elkaars tegengestelde zijn. Dus: = (18) ( ) ( ) = (19) Wanneer we echter op zoek gaan naar de gens van beide hoeken (en dus beide voerstralen verlengen) zien dat beide rechten samenvallen. Of anders gezegd: = (20) COMLEMENTAIRE HOEKEN Hoeken waarvan de som gelijk is aan 90, noemen we complementair. Op figuur 9 zien we een hoek afgebeeld samen met zijn complement (90 ). Nu is het minder gemakkelijk te zien welke verbanden er nu tussen de goniometrische grootheden zijn aangezien de projecties niet mooi samenvallen. Maar je kunt bewijzen dat de korte geprojecteerde stukken aan elkaar gelijk zijn alsook de lange. (robeer zelf eens!) Op die manier kunnen we alsnog volgende vergelijkingen opstellen. = 90 (21) = 90 (22) m6

Dus: = 180 + (18) ( ) ( ) = 180 + (19) Wanneer we echter op zoek gaan naar de gens van beide hoeken (en dus beide voerstralen verlengen) zien dat beide rechten samenvallen.

7 90 Figuur 9: De hoek op de goniometrische cirkel samen met zijn complement. Ook wanneer we de gens van beide hoeken willen vergelijken, zitten we een beetje in de knoop. Grafisch zouden we een oplosg kunnen vinden wanneer we gebruik maken van de cogens, maar we gaan het op een andere manier doen en wel met behulp van vergelijking (11): = (23) Invullen van vergelijking (21) en (22) in vergelijking (23) geeft ons: 90 = 90 ( ) ( ) (24) Via vergelijking (11) kunnen we dan het uiteindelijke verband vinden: 1 1 = = ( ) 90 (25) Een eerste keer ziet dit alles er misschien wat omslachtig uit, maar als je eens vlot met de goniometrische cirkel kunt werken, moet je al de afgeleide verbanden niet meer van buiten leren. Een schets van de cirkel op een kladje volstaat! Opmerking Buiten us, inus, gens en cogens bestaan er ook nog andere goniometrische grootheden zoals secans en ecans. Hieronder volgt hun definitie, maar verder gaan we hier niet op in. sec ec = 1 (26) = 1 (27) m7

vergelijking (21) en (22) in vergelijking (23) geeft ons: 90 = 90 ( ) ( ) (24) Via vergelijking (11) kunnen we dan het uiteindelijke verband vinden: 1 1 = = 90 90 ( ) 90 (25) Een eerste keer ziet dit

Vergelijkbare documenten

Vl. M. Nadruk verboden 1

Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is