Eact periode 4.? Tweedegraads vergelijkingen Destilleren t-test boplot! 1
act periode 4. 4 Op zoek naar de onbekende 4.1 Wat wiskundigen willen. In veel problemen bij chemie of natuurkunde gaat het om het berekenen van een onbekende waarde. Er is een formule waarin alle waarden zijn gegeven behalve één: de onbekende. voorbeeld: m V m 1 m1 = 3,00 kg =998 kg.m -3 V = 0,001 m 3 m= onbekend In de wiskunde houdt men ervan om de onbekende te noemen. Dat maakt het oefenen met formules makkelijker. 3 998 0,001
4. Eerstegraads-formules Eerstegraads-formules zijn formules waarin alleen voorkomt als 1 en niet of 3 of. Je lost ze op door alle termen waar in voorkomt naar links van het =teken te brengen en alle getallen naar rechts (weegschaalmethode) voorbeeld: Los op uit 3-4 = +8 3-4 = +8 3- = 8+4 = 1 = 6 controle: = 6 invullen in de opgave: 14 = 14 klopt! 3
4 Oefenen: 4. Los op uit 3 8. 3 15 7. 1) ( 4) 3(. 6. 5 1) 3( 5. 3 15 4. 6 1 3 3. 6. 18 3 1.
4.3 Tweedegraads-formules. Tweedegraads-formules zijn formules waarin voorkomt als en vaak ook nog als 1 voorbeeld: 3 = +1 Een etra moeilijkheid is dat er soms geen oplossing is. In veel gevallen zijn er twee oplossingen en soms maar één! 5
4.3.1 Eerst simpel. We beginnen met de meest simpele vorm: De twee oplossingen zijn : getal en - getal = getal ( : wortel) voorbeelden: = 16 = 16 = 4 en = - 16 = -4 = 7 =,65 en = -,65 4 = + 4 - = 3 = = 0,67 = 0,8 en = - 0,8 Als het getal in = getal negatief is, zal er geen oplossing zijn omdat de wortels van negatieve getallen niet bestaan. Er is één oplossing als het getal nul is: = 0 = 0 6
Oefenen: 4.3.1 1. 1. 5 3. 4. 3 1 4 5. 5 6. 0 7
4.3. Iets moeilijker + c= 0 Je werkt nu niet met maar je splitst het probleem in tweeën. Je gaat met haakjes factoren maken en dan pas je de factorenregel toe Factorenregel: Als het product van twee factoren nul is, dan is één van de factoren nul (of allebei). voorbeeld (-3)(+1) = 0 (-3) = 0 en (+1) =0 de oplossingen zijn: = 3 en = -1 In het volgende voorbeeld moet je eerst zelf factoren maken! 5 = 0 (-5) = 0 (nu heb je factoren) = 0 en (-5) = 0 = 5 8
9 Oefenen: 4.3. 4 0 4 0 1) )( ( 0 1) ( 0 1) 3)( ( 0 ) (
4.3.3 Vet moeilijk! 3 5 = 0 In het voorbeeld hierboven zie je een term met, een term met en een term met alleen een getal. Dit type sommen is het lastigst. De methodes van 4.3.1 en 4.3. werken niet. De algemene vorm van dit soort problemen is : a b c 0 De factor voor noemen we dus a. De factor voor noemen we b en het getal noemen we c. zie voorbeeld hierboven: a 3 We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit: D b c 5 formule: D b 4ac De term discriminant komt van discrimineren: onderscheid maken. Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn. Als D positief is zijn er twee oplossingen Als D nul is, is er één oplossing Als D negatief is zijn er geen oplossingen. 10
11 De oplossingen, 1 en vind je met: a D b a D b 1 De waarde van a, b en c haal je uit de formule: 0 c b a Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat!
Formules D b 4ac 1 b a D b a D Het voorbeeld: 3 5 = 0 a 3 b c 5 D = (-) - 4.3.(-5) = 4 + 60 = 64 er zijn twee oplossingen 1 en want D is positief 1 64 8 1 6 6 64 8 1,67 6 6 Let op, dat je de waarden van a, b en c goed uit de formule haalt. Maak geen fouten met mintekens. Als je merkt dat D negatief is, schrijf je op: Geen oplossing 1
4.3.3 Hieronder zie je formules. Bepaal a, b en c. Bereken D. Bereken 1 en (indien mogelijk) Formule a b c D 1-6 + = 0 (voorbeeld) -6 0 0,38,6 3-1 = 0 - + 1 = 0 - - 8 + 1 = 0 - -3 + = 0 - + = 0-6 = 0 4 + 4 = 0 13
14 4.4 gemengde opgaven 0 1. 6 3. 45 6 3. 6 3. 3 3 3. 8 16. f e d c b a
g. 1 0 h. 3 8 i. 1 1 0 j. 1 7 0 15
Ecelopdracht. De abcd-formule. a. Zie hieronder. Overtypen wat niet vetgedrukt is. b. Geef de cellen in de B-kolom de namen a, b, c, en D c. Bereken cel B7, B9 en B10 met de formules die rechts staan A B C D 1 abc-formule 3 a 4 b 5 c -4 6 7 D 36 8 9 1-10 1 11 1 a D b d. Opslaan en bgeef D naam: abcd-formule 1 a b c 0 4ac b D a A B C D 1 abc-formule 3 a 1 4 b - 5 c 3 6 7 D -8 8 9 1 geen oplossing 10 geen oplossing 11 1 e. Verander cel B5 in 4 (ipv -4). Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt omdat D negatief is. De wortel van een negatief getal bestaat niet. Daarom gaan we het werkblad aanpassen. Zie opdracht f. en g. f. Verander cel B9 en B10. Bij negatieve D-waarde komt er te staan geen oplossing. Zie voorbeeld hieronder Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c. 16 g. Resultaat opslaan. Geef naam: jouwachternaam_abcd.ls Mail dit bestand naar dlos@scalda.nl
Destillatie 1. Principe Destillatie is een scheidingstechniek. Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste vloeistof het eerst verdampen. De damp wordt gekoeld met water en condenseert. De vloeistof wordt opgevangen in een opvangkolf. De minder vluchtige vloeistof blijft achter. 17
. Destillatieopstelling Laboratory distillation set-up using, without a fractionating column 1: Heat source : Still pot 3: Still head 4: Thermometer/Boiling point temperature 5: Condenser 6: Cooling water in 7: Cooling water out 8: Distillate/receiving flask 9: Vacuum/gas inlet 10: Still receiver 11: Heat control 1: Stirrer speed control 13: Stirrer/heat plate 14: Heating (Oil/sand) bath 15: Stirrer 18 bar/anti-bumping granules
3. Destillatie in drie stappen Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het mengsel gaat verdampen. In de damp boven de vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes). De minder vluchtige component (witte bolletjes) blijft voornamelijk in de vloeistof achter. stap. De verwarming gaat verder. De gecondenseerde damp komt in de opvangkolf terecht. Hierin zit voornamelijk de vluchtige component. Zie figuur rechts. stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door. Het destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna volledig uit de vluchtige stof. In de destillatiekolf is de minder vluchtige stof achtergebleven. Er is een zekere mate van scheiding bereikt. 19
4. Azeotroop mengsel damp vloeistof Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof. Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden. In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf. 0
De t-test 1. Doel van de t-test. Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( ) afwijkt van de "werkelijke waarde" of de algemeen geaccepteerde waarde: µ ( spreek uit: mu). Voorbeelden zijn: het testen van een meetmethode m.b.v. een gecertificeerde standaard, nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt. De t-test komt overeen met de vraag of de "werkelijke waarde" binnen het 95 % betrouwbaarheidsinterval ligt: t s n 1
. Het uitvoeren van de t-test Eerst wordt t berekend met de formule: t berekend s Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel. (zie rechts) Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is, is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout. Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde n vrijheidsgrad en 90% 95% 99% 1 6.31 1.71 63.7.9 4.30 9.9 3.35 3.18 5.84 4.13.78 4.60 5.0.57 4.03 6 1.94.45 3.71 7 1.90.36 3.50 8 1.86.31 3.36 9 1.83.6 3.5 10 1.81.0 3.11 11 1.80.0 3.11 1 1.78.18 3.06 13 1.77.16 3.01 14 1.76.14.98 1.64 1.96.58
Voorbeeld: Een referentiestandaard bevat 38,9 %(m/m) kwik. Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt, vindt men bij het meten van de standaard: 38,9 37,4 37,1 %(m/m) Geeft de methode een systematische fout? Het gemiddelde is: 37,8 %(m/m) De standaardafwijking: 0,964 %(m/m) Zou het verschil tussen en µ op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout? Berekening van t geeft: t berekend 37,8 38,9 0,964 3 1,98 Uit de tabel vindt men voor vrijheidsgraden: t = 4,30 ( 95 % betrouwbaarheid). Dus: t berekend< t tabel. Conclusie: het verschil tussen en µ kan op toeval berusten, er is niet aangetoond dat er een systematische fout is. Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is, is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout. Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is! Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is. 3
3. Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen in het 95 % betrouwbaarheidsinterval. Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval : t s n = 37,8 4,3 0,964/3 = 37,8,4 De waarde voor is 38,9 %(m/m). Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval. 4
opgaven: 1. Van een monster is bekend dat het 0,13 %(m/m) zwavel bevat. Met nieuwe snelle methode om snel het zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald. De verkregen resultaten zijn: 0,11 0,118 0,115 0,119 %(m/m) S. Zijn de verkregen waarden significant te laag?. Van een monster is bekend dat het 35,10 % Mn bevat. Men analyseert het monster op twee verschillende methoden. Men vindt de volgende waarden. vrijheidsgrad en 90% 95% 99% 1 6.31 1.71 63.7.9 4.30 9.9 3.35 3.18 5.84 4.13.78 4.60 5.0.57 4.03 6 1.94.45 3.71 7 1.90.36 3.50 8 1.86.31 3.36 9 1.83.6 3.5 10 1.81.0 3.11 11 1.80.0 3.11 1 1.78.18 3.06 13 1.77.16 3.01 14 1.76.14.98 1.64 1.96.58 methode 1: 35,30 % 35,70 % 35,40 % methode : 35,0 % 35,0 % 35,01 % Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden? 5
3. Bij een sporter wordt bloed afgenomen. Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald. 53 54 5 58 55 54 56 Bepaal mbv een t-test of de maimumnorm van 5 overschreden is. 4. Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie). De waarden staan hieronder. Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a? 1 3 4 5 0,40 0,35 0,30 0,7 0,8 6
5. Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A). Analist A 14.6 14.6 14.7 17.4 14.5. a. Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A. Zo ja, verwijder deze. b. Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 15,0? Q verdachte waarde naastliggende waarde spreiding tabel met Q-waarden aantal waarnemingen betrouwbaarheid 90% 95% 99% 4 0,76 0,83 0,93 5 0,64 0,7 0,8 6 0,56 0,6 0,74 7 0,51 0,57 0,68 8 0,47 0,5 0,63 9 0,44 0,49 0,60 10 0,41 0,46 0,57 7
PW4 Een automatische t-test in Ecel Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Ecel. De vraag is: Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 4,0?. 1. Geef D3 t/m D1 de naam de meetwaarden.. Geef de normwaarde In F de naam mu. 3. in D15 komt het gemiddelde van D3 t/m D1 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Ecel). Geef deze cel de naam gem 4. In D16 komt de standaarddeviatie van D3 t/m D1(gebruik de STDEV-functie van Ecel). Geef deze cel de naam s 5. In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Ecel). Geef deze cel de naam n. 6. In G15 bereken je t met de formule gem mu n t s (gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie) 7. In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERT.ZOEKEN-functie van Ecel) uit kolom B 8. In G 19 komt de conclusie er is overeenstemming of er is geen overeenstemming (gebruik de ALS-functie van Ecel) 9. Opslaan en geef naam: t-test 10. Voer als normwaarde in: 1,06 en de volgende meetwaarden: 1,08 1,04 1,10 1,07 1,08 1,11 1,04 1,0 1,0 Welke uitkomst geeft de t-test? Opslaan en geef naam: jouw_achternaam_ttest. 8
Mailen naar dlos@scalda.nl 9
Boplot Een boplot is een grafische manier van weergeven van meetwaarden. Eerst zet je alle waarden op volgorde van laag naar hoog. Hierna bepaal je de mediaan: de middelste waarde. Dan bepaal je de mediaan van de laagste helft waarden dit noem je mediaanlaag. Vervolgens bepaal je de mediaan van de hoogste helft waarden dit noem je mediaanhoog. Links en rechts van de bo komen horizontale strepen. De lengte van de strepen van de boplot kan je bereken door de formule: Lengte streep = 1,5 * (mediaan hoog - mediaanlaag) Dit getal tel je bij de mediaan hoog op en van de mediaan laag trek je dit getal af. 30
Nu kan je de boplot gaan tekenen. Je tekent de waarde van de mediaan een verticale streep. Mediaanlaag en mediaanhoog teken je ook in en je maakt hier een hokje van. Hier na teken je de horizontale strepen. Als er waarden links of rechts van de strepen zijn, dan zijn dit uitschieters. Je tekent de waarde van de uitschieter in door bij deze waarde op dezelfde hoogte als de strepen een * teken te zetten. Hieronder zie je een voorbeeld van een boplot. * * Waarom een boplot wordt toegepast: 31
Om uitschieters te bepalen Om te kijken waar de meeste waarden liggen Voorbeeld: Waarden 0, 6, 14, 1 15, 13, 16, 11, 14, 13 waarden op volgorde 6, 11, 1, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 0 de mediaan = 13,5 mediaan laag = 1 mediaan hoog = 15 lengte strepen = 1,5*(15-1) = 4,5 mediaan hoog + 4,5 = 19,5 mediaan laag 4,5 = 7,5 * * 5 10 15 0 6 en 0 zijn uitschieters. 3
vragen 1. wat is de formule voor het bepalen van de lengte van de strepen?. Wanneer heb je een uitschieter? 3. Waarom wordt een boplot toegepast? 4. Hier zie je acht meetwaarden: 8 5 6 5 4 1 6 7 a. bepaal van deze waarden de mediaan, mediaan laag, mediaan hoog en de lengte van de horizontale strepen b. teken hieronder de boplot met eventuele uitschieters. 33
34