boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging 30 0 delen machtsverheffen 40 3 all alle 4 6 allen alle 43 7 neutral neutraal 3 Tellen 5-3 zullen we te noteren zullen we 53-0 verzamelingen verzameling 64 7 f(a b ) = b. f(a b ) = b. We hebben zo een afbeelding g : n m, b a b. 67 3 Propositie 3.4 Propositie 3.4 69 0 graad.) graad. 69 t(x, y) = (x +, y + ) en u(z) = z. t(x, y) = (x, y ) en u(z) = z +. 69 - χ U (a) + χ V (a) χ U (a) + χ V (a) χ U (a)χ V (a) 4 Iteratie 75 9 f n + f n f n + f n+ 75-5 (b n+, a n+ + b n+ ) (b n, a n + b n ) 79-6 Omdat hij Omdat 80-5 om wille omwille
5 De gehele getallen 85-7 equivalentierelatie een partitie 96 gedefinieerd gedefinieerd door 96 a 0 a 0 = 96 4 nachten machten 99 4 alle G alle g G 99-6 (a + b)c = ac + ba (a + b)c = ac + bc 00,3 ring commutatieve commutatieve ring 00-3 N 4 N 5 00 - N 4 N 5 03 3 inductieaaname inductieaanname 07 - opgaven 3 en 4 en opgaven 3 en 4 07-4 regenregels rekenregels 6 Talstelsels 0 4 rest a rest r 0 veelvouden met b veelvouden van b te -8 associative associatieve -4 is rij is een rij -6 (En En 5-9 alle n N. alle n N. 5-5 alle n N.) alle n N). 5-4 a N q N 6 g-tallige schrijwijze Laat Laat 6 9 0 0 + 7 +4 0 0 0 + 7 0 + 4 0 6 6. (6.) 7 4 6. (6.) 7 [..., a, a, a 0 ] [..., a, a, a 0 ] g 7 6.3 (6.3) 7 9 r g ([..., c, c, c 0 ] g ) = c r g ([..., c, c, c 0 ] g ) = c 0-6 rechtsreeks rechtstreeks 4-3 in in in 5-9 door door door 6 bepalen. bepalen? 6 3 etc. etc.?
7 De rationale getallen 9 - n Z n N 3 7 r a r b = r a r b r a r b = r a+b 36-0 = 0 = 0. 37 4 Het getal d Het gehele getal d 38 4 n a 38-6 yx = yx =. 39 7 ±,±3 ±, ±3 43 U = V = 44-7 r = a m met m N r = a b met b N 47 3 het bewijs van Stelling 7.30 Lemma 7.7 48 - x, x, x 3,..., x n x, x, x 3,..., x n... 53-6 procédé procedé 8 De hoofdstelling van de rekenkunde 63 - Vermenigvuldigen in N Vermenigvuldigen in N 63-6 p vpa(a)+vp(b) p vp(a)+vp(b) p 66 0 natuurlijk rationaal 66-5 v p (s) v p (a) 69 7 Figuur 8. Figuur 8.. 73 9 f(d d ) f(d d ) 73 0 g( m d ) g( n d ) 73 g( m d ) g( n d ) 77 - (p k )p (p k )p 78 9 00 000 p 3
9 Combinaties 8 3 #(A) #(B) #(A) #(B) 90 s = a a + a a 3 + a a 3 + a a 3 + a a 4 + a 3 a 4 s = a a + a a 3 + a a 4 + a a 3 + a a 4 + a 3 a 4 94 0 < k < n 0 < k n 94 4 0 < ( k < n ) 0 < ( k n ) n n 95 = + n n 96 0 0 < k < 0 < k 99 5 n n S m (n) = n m. S m (n) = k m. 99-9 naar n. Voor n = 0 naar m. Voor m = 0 99-3 n m+ n m+ n m+ 99 - (S m+ ) (S m+ (n)) 00 S n (m) S m (n) 00-8 n m ( m + j j=0 m ( ) n m + j=0 j ) n j = n j n m ( m + j j=0 m ( ) n m + j=0 j ) k j = 0 7 Ofwel b k = b k+ en Σb k+ = b k. Ofwel b k+ = b k en Σb k = b k+. 05 3 machten van machten van n 07-0 Stelling 9.34 Stelling 9.33 6 temple Temple 7 5 met geldt geldt k j 0 Permutaties 5 - zijn van van 5-0 de deelverzameling van de deelverzameling A j van 6-4 worden.. worden. 4
Modulorekenen 40 = ab ac = = ab + ac = 46 5 vergelijking. vergelijking (.) 46 #(Zm) #(Z m) 47-8 de orde van een deler is de orde een deler is 48 5 getal in N behoeft te zijn zo dat a m 50 getal k in N behoeft te zijn zo dat a k 4 4 4 5 5 - f(a a ) = f(a ) + f(a ) f(a a ) = f(a )f(a ) 5-0 o(a k ) = o m (a k ) = 53 gelijk aan gelijk is aan 53 5 o m (a l ) n o m (a l ) n 53-5 de maximale orde modulo m. de maximale orde modulo m zijn. 53 - er primitieve er een primitieve 54-6 o n (a) n o n (a) k 56 M = a ϕ(m) N M = a ϕ(m) N. 3 6 Kwadraatresten 59-6 k + + k m k + + k n 60-5 (ii) (i) (ii) (i) 60 - een priemgetal een een priemgetal p een 6 6 ven van 65 73-5 priemfactorontbinding de priemfactorontbinding 77 modulo 9 modulo 89 75 9 getalen getallen 8 7 x + 3y = p x 3y = p 8 8 x + 3y = p x 3y = p 8-8 is een kwadraat is is een kwadraat 5
3 Priemtesten en factorisatie 83 3 het gesteld is het samengesteld is n 84 d > d n d < d 84 3 n pq 85-5 procédé procedé 87 7 priemgetallen heb priemgetallen hebt 87 - of het na of het 88 3,4 namelijk alle even getallen 4 bijvoorbeeld alle producten van twee oneven priemgetallen 88-4,-3 Fermatpseudop-riemgetallen Fermatpseudo-priemgetallen 89 3 a 560 (mod 3), a 560 (mod ) en a 560 (mod 7) a 56 a (mod 3), a 56 a (mod ) en a 56 a (mod 7) 89 4 (ii) (iii) (ii) (iii) 90 5,6 Fermatpseudop-riemgetal Fermatpseudo-priemgetal 90 8,9 Fermatpseudop-riemgetal Fermatpseudo-priemgetal 9 6 pseudopriemgetal Eulerpseudopriemgetal 9 6,7 Eulerpseudop-riemgetal Eulerpseudo-priemgetal 93-5 zonodig zo nodig 94 0 preudopriem- pseudopriem- 94 - vermoedens vermoeden 96 4 000000) 000000,0) 96 8 444444,50) 444444,50,0) 96 0 555555,50) ( ) 555555,50,0) ( ) 3 3 98 5 (mod F m ) F m 99 6 deler k deler k van n 30 8 niet-tiviale niet-triviale 30 7 verloop van algoritme verloop van het algoritme 30 7 675634056807L >>> p 30 8 >>> p 63789765676L 30 63789765676L 675634056807L 30-5 factorizeren factoriseren 303 7 algoritme 3 algoritme 303-5 397489854407894075648308673577L 9595704309944534009660L 304 8 397489854407894075648308673577 9595704309944534009660 306 5 (l, m, a) (l, m, e) F m 6
4 Limieten 3 3 x + bijvoorbeeld niet x + = 0 bijvoorbeeld niet 33 - tiendelinge tiendelige 34 - eeuwen lang eeuwenlang 35 - ɛ ε 36 3 wiksundige wiskundige 30 a n a n+ (resp. a n a n+ ) a n+ a n (resp. a n+ a n ) 30 6 a n a > a m a a n a a m a 30-8 a a i(m) a a n a a i(m ) a a i(m ) a a n a a i(m) 37 - We hebben Omdat a n a m = a na m a m a n. Omdat 37 - a m a n < C ε. a m a n < C ε voor alle m, n K. 37 7 m, n N m, n N 37 7 b n b m < ε C b n b m < ε C voor alle m, n N 37 - max(m, N) max(k, N) 38 0 Cauchrij Cauchyrij 38 a n a m < C. a n a m < C voor alle m, n K. 39 - v(a + b) v p (a + b) 33 8 een een een 33-3 a a p 33-0 uit uit uit 333-6 Z (p) p Z (p) 335 - p_adic(-3,87,6) p_adic(-3,87,7) 335 - [[], [4,0,8,7,,8,]] [[], [, 0, 8, ]] 336 3 Cauchrij Cauchyrij 338 7 a N < a n < a N+ a N a n a N+ 338-7 Zie opgave 5. Zie opgave 5 van hoofdstuk. 7
5 De reële getallen 339 R 0 R >0 339-6 constueren construeren 34 8 rα / Q α / Q 343-3 α = α = 344 6 (toegepast op (e a m a n ) (toegepast op (e a m a n )) 346 (a n ) n (a n ) n met a n = n k= 346-9 Merk op dat er Merk op dat 347 9 kleinste grootste 348 +α k x n k + + α n +α k x m k + + α m 348 3 α,..., α n α,..., α m 348 3 n-de-graads m-de-graads 349 6 δ > δ > 0 350 3 Zij f(x) = x m + α x m + + a k x m k + + α m waarbij α..., α m c k g k Zij f(x) = x m +α x m + +α k x m k + +α m waarbij α,..., α m 353 3 a = x x 3 a = x x 53 7 (a + b )(a + b ) (a + b )(a + b ) z t z t 355 3 k!t! t! 355 9 getallen zijn getallen zijn met 355-0 < γ n < γ n. 357-3 procédé procedé 359 7 oneidige oneindige 36-5,466666...,46666... 36-3,4857...,4485... 36 -,40...,440... 36 -,456...,445... 365 3 overaftelbere overaftelbare 368 - rationale reële k(k+) 368 - n(n+) 369 9 laten Laten 369 0 U R x f(x) g(x) U R, x f(x) g(x) 8
6 De p-adische getallen 37-5 α 0 α = 0 373 4 m, n N m, n > N 373-3 Cauchrij Cauchyrij 377 6 c n p n c k p k 377 met hebben hebben 379 µ xn µ xn p 380 µ Z µ Z () 38 3 a ω(a) a ω(a) 38-5 n 5 n 38-0 ω(ab) = a b ω(ab) = ω(a)ω(b) 383-7 voor x Z p en voor 383-4 Z/p n+ Z/p n+ 383-3 Z/p n+ Z/p n+ 385 hieboven hiervoor 387 a 0.Bewijs a 0. Bewijs 7 De complexe getallen n z n n z k 395-6 n! k! 396 rij rij (γ n ) 396-3 z S z S 400 - φ R ϕ R 405 3 volgt de functie volgt dat de functie 406 4 coëfficienten coëfficiënten 407 7 in 98 in 88 408,3 Berlijn., Berlijn, 404 - maximaal minimaal 409 0 eenheidwortels eenheidswortels 409 homorfime homomorfisme 9
8 Kwadratische getallen 4 6 zijn.bij zijn. Bij 43-8 heeft, heeft en niet in K, 43-6 elementen niet-kwadraten 44 K K 44 K(α) K( a) 45 5 postief positief 47 b, c Z b, c Z 40-5 = + = 44 8 a,... a n a,..., a n 46 - alsvolgt als volgt 47 N N 47 - x dy = x 34y = ( q ) ( qm ) 48 8 p p 43 5 aan kwadraat een kwadraat ( 8t 4t 0 43 4 7t, 7t 40t + 5 ) ( 8t 4t 0 + 5 7t + 5 7t + 5 43 5 Figuur 8. Figuur 8.. 434-8 Propositie 8.0 Propositie 8.33 434-6 volgens () volgens (i) 434-5 Propositie 8.0 Propositie 8.33 434-3 Propositie 8.0 Propositie 8.33 434-3 α, β R α, β R 436 - Z Z 437 nemen de als nemen als 437 6 Propositie 8. Propositie 8.37 440 6 Propositie 8.0 Propositie 8.33 44-7 teits wet teitswet 44 7 t a c a 44-5 voor alle p.. 443 betekent betekent dat 443-4 de vergelijking de 443 - de vergelijking de, t 40t + 5 ) 7t + 5 0