Analyse van de voorwaarden van een curve Thomas Hilger Gymnasium Maria Königin, Lennestadt Duitsland (Vertaling: L. Sialino) HP WP1 WP2 SP TP Niveau De opgave is geschikt voor scholieren van de bovenbouw die de basiskennis en de vaardigheden van het thema machtsfuncties (polynomen) al kennen. In dit geval geldt: tekenen van de grafieken, omgang met de functietermen en tabellen, nulpunt kunnen bepalen, antwoorden kunnen afleiden met behulp van factoren en sommen. Hulpmiddelen Grafiek toepassingen Doel Als de scholieren de grafiek van de functie f samen met de grafieken van de eerste, tweede (en eventueel ook derde) afleiden van f vanuit de lokale extremen (omslagpunten), moeten ze de voorwaarden voor de karakteristieke punten herkennen. Overzicht De rekenmachine is geschikt om de voorwaarden voor de lokale extremen en omslagpunten uit de grafiek van een functie en hun afgeleide te herkennen, omdat alle belangrijke functies in deze opgave duidelijk te herkennen zijn. Ik heb positieve ervaringen met de werkvorm subgroepen. 1
Opgaven Opgave 1: Teken de grafiek van de machtsfunctie f 1 5 1 4 2 3 1 2 met f(x)= x - x - x + x -2. Initialiseer van te voren het coördinatensysteem. 60 48 9 2 (Bijvoorbeeld V-Window) met [SHIFT][F3][F1][EXE] zoals het afgebeeld staat. Lees op het overzichtsblad de beschrijvingen van de lokale hoogte- en dieptepunten, omslag- en inzinkingpunten en overleg op welke plek in de grafiek van f deze karakteristieke punten voorkomen. Bepaal de coördinaten van de punten zo precies mogelijk met de toetsencombinatie: [SHIFT][F1] en zet ze in de volgende tabel: karakteristieke punten hoogtepunt dieptepunt Omslagpunt Inzinkingpunt coördinaten Opgave 2: Bepaal de eerste, de twee en de derde afgeleide van f en vergelijk ze met de voorliggende oplossing. Tip: Men kan de eigen uitwerking controleren door deze te tekenen en daarna te vergelijken met de grafisch verkregen afgeleide van de rekenmachine. Toetsencombinatie: [OPTN][CALC][F1] Teken de grafieken van de functies f en f naast de grafiek van f in hetzelfde coördinatensysteem. Als je alles goed gedaan hebt, zie je de grafiek van f blauw, de grafiek van f rood en de grafiek van f groen zoals hiernaast is afgebeeld. 2
Opgave 3: Waarschijnlijk heeft men bij sommige van de bijzondere punten van f al gemerkt dat ook de grafieken van de afgeleiden bij deze punten bijzondere eigenschappen hebben. Onderzoek nu de grafieken van de afgeleiden van f in de buurt van de karakteristieke punten van f. Schets de ligging van de functiewaarde en de stijging van de grafiek in de overzichtstabel volgens de volgende criteria (men kan ook nog andere waarnemingen opschrijven.): De functiewaarde van f (of f ) is bij de waargenomen plek negatief (< 0), = 0, positief (>0); Stijging bij de waargenomen plek is negatief (de grafiek is dalend), = 0, positief (grafiek is stijgend). Overzichtstabel: Plekken bij f(x) f (x) Grafiek rood f (x) Grafiek groen HP bij x = -3 f (x) < 0 Grafiek van f (x) Stijgt WP1 bij x = -2 f (x) < 0 (lokaal TP bij f (x)) TP bij x = 0 WP2 bij x = 0,75 SP bij x = 2 Opgave 4: Stel voor alle karakteristieke punten de wiskundige voorwaarden vast. Zulke voorwaarden krijg je bijvoorbeeld door het zoeken naar de nulpunten van de grafiek ( de grafiek van f heeft op een bepaalde plek x een nulpunt, op dat punt moet gelden f(x) = 0.) Overleg of de gevonden voorwaarden voldoende zijn en of je ze duidelijk geformuleerd hebt. Je kunt hierbij ook nog de grafiek van f betrekken, maar misschien lukt het ook zonder. 3
Overzicht en beschrijving: Extremen, buigpunten, zadelpunten. Bijzondere (karakteristieke) punten van de grafiek Je hebt al geleerd dat je met functies en deze grafieken verschillende samenhangen uit je eigen omgeving kunt beschrijven. Bepaalde punten van een grafiek hebben een bijzondere betekenis. Zo is het bijvoorbeeld voor bewoners in een hoog-water regio van belang de hoogste stand van het water al van te voren te weten. Een wielrenner die een rit in een berggebied plant moet van tevoren weten waar het steilste stuk is en hoe steil de grootste daling zal zijn. Als je de functievergelijking en de functionele samenhang kent, kun je dus bijzondere punten van de bijbehorende grafiek berekenen. Naast de snijpunten met de as, die je al kunt bepalen, onderzoek je ook: Maxima Met het begrip maximum wordt het hoogste punt van een grafiek in een bepaald bereik bepaald. Een absoluut (globaal) maximum is het hoogste punt van de hele grafiek. Een lokaal maximum is het hoogste punt in een klein gebied (binnen een bepaald bereik). Als men exact op een top van een berg staat dan bevinden alle anderen punten zich onder deze top. In een bepaalde omgeving is deze top de hoogste. Maar als je verder gaat dan je kunt zien, kun je weer andere bergen tegenkomen die hoger zijn. De hoogste top van alle bergen is dan het absolute (globale) maximum, en de andere zijn de lokale maxima. Minima Voor de minima geldt normaal gesproken het omgekeerde als voor de hoogtepunten: Met het begrip minima wordt het laagste punt van een grafiek in een bepaald bereik bedoeld. Een lokaal minimum is het laagste punt in een bepaald bereik. Een absoluut (globaal) minimum is het laagste punt van de hele grafiek. Houd een buitentemperatuurmeter de hele dag buiten, bij de laagste gemeten temperatuur geldt dat alle andere gemeten temperaturen die dag warmer waren of even warm. Maar omdat bij andere dagen de temperatuur waarschijnlijk nog wel lager wordt, is het een lokaal minimum. Als men het hele jaar metingen doet en hierbij de laagste temperatuur bepaalt, dan is dat het absolute (globale) minimum. Buigpunt Het begrip buigpunt bepaalt het punt in een grafiek waarin de richting van de kromming omslaat. De grafiek wisselt dan van hol naar bol, of andersom. Als men naar een grafiek van een wielrenparcours met veel bochten kijkt vanuit vogelperspectief, dan is het buigpunt daar waar de wielrenner zijn stuur van links naar rechts beweegt of omgekeerd. Op een buigpunt staat het stuur korte tijd recht. Zadelpunt Een zadelpunt is een omslagpunt dat een horizontale raaklijn heeft. 4
Tips en hulp bij opgave 4 Bij elk buigpunt verandert bij de grafiek de helling van de stijging. Of de stijging van de curve neemt voor een buigpunt toe en daarna weer af, of de stijging van de curve neemt voor het buigpunt af en daarna weer toe. Horizontale raaklijn van een punt betekent dat op dit punt de stijging van de grafiek gelijk is aan nul. Bij elk lokaal maximum of minimum verandert een grafiek zijn monotone gedrag. Dit is makkelijker voor te stellen als je kijkt naar een bergbeklimming. Voor een heuvel stijgt het landschap en daarachter daalt het weer. Voor een dal neemt het stijgingspercentage af en na het dal neemt het stijgingspercentage weer toe. Oplossing opgave 1: Punten hoogtepunt dieptepunt Omslagpunt Inzinkingspunt Coördinaten HP(-3 2,7625) HP(0-2) WP1(- 2 0,911111111); WP2(0,75-1.815136719) SP(2-1,577777778) Oplossing opgave 2: 1 4 1 3 2 2 f'(x)= x - x - x +x 12 12 3 1 3 1 2 4 f''(x)= x - x - x 3 4 3 2 1 4 f'''(x)=x - x- 2 3 5
Oplossing opgave 3: Plekken bij f(x) f (x) Grafiek rood f (x) Grafiek groen HP bij x = -3 f (x) = 0 Grafiek van f (x) daalt f (x) < 0 Grafiek van f (x) stijgt WP1 bij x = -2 TP bij x = 0 f (x) < 0 (lokaal TP bij f (x)) f (x) = 0 Grafiek van f (x) stijgend f (x) = 0 Grafiek van f (x) stijgt f (x) > 0 Grafiek van f (x) dalend WP2 bij x = 0,75 SP bij x = 2 f (x) > 0 (lokaal HP bij f (x)) f (x) = 0 (lokaal TP bij f (x)) f (x) = 0 Grafiek van f (x) dalend f (x) = 0 Grafiek van f (x) stijgend De oplossing van opgave 4 is afhankelijk van de onderwijsvorm maar leidt altijd tot de bekende formuleringen van extremen, buigpunten en zadelpunten die aan de criteria voldoen. Literatuur Eisenmann, Monika; Einstieg in die Funktionsuntersuchung - Arbeitsblätter zur selbständigen Erarbeitung der grundlegenden Begriffe. http://www.casioschulrechner.de/de/files/materialdatenbank/funktionsuntersuchung_eisenmann_fx9860.pdf 6