UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN EN ARCHITECTUUR VAKGROEP MATERIALEN, TEXTIEL EN CHEMISCHE PROCESKUNDE (EA11) Mechanica van Materialen Academiejaar 217-218 Verantwoordelijk lesgever en auteur: Prof. dr. ir. Wim VAN PAEPEGEM Medelesgever: Prof. dr. ir. Wim DE WAELE Universiteit Gent Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur Vakgroep Materialen, Textiel en Chemische Proceskunde (EA11) Technologiepark-Zwijnaarde 93 952 Zwijnaarde Tel. : 9/331.4.32 Fax : 9/264.58.33
Hoofdstuk 1 Krachten, momenten, spanningen en rekken Statica van constructies 1.1 Bepaal de grootte en de positie van de resultante van volgende krachten: 1.2 Bepaal de reactiekrachten van de eenvoudig opgelegde balk ABCD. 1
1.3 Bepaal de reactiekrachten van de ingeklemde balk ABC. 1.4 Bepaal de krachten in de vakwerkstaven, als alle individuele staven verbonden zijn door scharnieren. Er kan dus geen moment worden overgedragen van de ene staaf naar de andere. 1.5 Bepaal de resulterende inwendige belastingen die op de dwarsdoorsnede in het punt C van de machine-as werken. De as wordt in A en B ondersteund door lagers die alleen verticale krachten op de as uitoefenen. De rotatie van de as wordt niet verhinderd. 2
1.6 Het hijstoestel in onderstaande figuur bestaat uit de balk AB en de daaraan bevestigde katrollen, de kabel en de motor. Bepaal de resulterende inwendige belastingen die op de dwarsdoorsnede in het punt C werken als de motor de vracht W van 5 N met constante snelheid ophijst. Negeer het gewicht van de katrollen en de balk. 1.7 Bepaal de resulterende inwendige belastingen die in het punt G op de dwarsdoorsnede van de houten balk werken. Neem aan dat de verbindingen bij A, B, C, D en E met scharnieren zijn uitgevoerd, zodat geen moment kan overgedragen worden. 1.8 Gegeven is onderstaande auto met aanhangwagen. Het gewicht van de auto FG1 is 25 N. Het gewicht van de aanhangwagen FG2 is 12 N en grijpt aan net boven de wielen van de aanhangwagen. De afmetingen zijn a = 2 m, b =.5 m en L = 2 m. In de aanhangwagen wordt nu een massa geplaatst met gewicht Fm = 1 N. Bepaal de uiterste posities (x) ten opzichte van de trekhaak opdat de wagen steeds met vier wielen op de grond blijft. 3
1.9 Gegeven is de volgende constructie: E 1 kn F 5 kn/m G 2 m C D 6 6 2 m A B 6 m Gevraagd zijn de snedekrachten en momenten in het punt G (halverwege de verticale staaf met lengte 2 m). (Examen 1 ste zittijd AJ 23-24. Voorziene tijd: 5 minuten) 1.1 Gegeven is de volgende constructie. De rechtstaande kolom CF heeft een massa per lopende meter van 25 kg/m. Ter hoogte van A wordt een horizontale ligger AB scharnierend verbonden met de kolom. Deze ligger heeft een massa per lopende meter van 15 kg/m. Vanuit C vertrekken twee trekkabels naar punten B en G. In F en G wordt de horizontale en verticale verplaatsing van de constructie verhinderd. Bereken de snedekrachten in E, als het eigengewicht de enige inwerkende belasting is op de constructie (g = 9,81 m/s 2 ). 4
(Examen 2 de zittijd AJ 24-25. Voorziene tijd: 4 minuten) Spanningen 1.11 De onderstaande staaf heeft een constante breedte van 35 mm en een dikte van 1 mm. Bepaal de maximale gemiddelde trekspanning (= Fn/A) in de staaf voor de aangegeven belasting. De belastingen van 9 kn en 4 kn werken niet op de volledige omtrek van de schijven, maar zijn twee afzonderlijke puntlasten op de boven- en onderzijde van de schijven. 1.12 De onderstaande lamp van 8 kg wordt ondersteund door twee stangen AB en BC. De stang AB heeft een diameter van 1 mm en de stang BC een diameter van 8 mm. Bepaal welke stang de grootste gemiddelde trekspanning (= Fn/A) heeft. 5
1.13 Het onderstaande gietstuk is gemaakt van staal dat een soortelijk massa heeft van st = 799 kg/m 3. Bepaal de gemiddelde drukspanning (= Fn/A) die op de punten A en B werkt. 1.14 Onderdeel AC in onderstaande figuur wordt belast door een verticale kracht van 3 kn. Bepaal de positie x van deze kracht, zodanig dat de drukspanning in het punt C gelijk is aan de trekspanning in de trekstang AB. De stang heeft een dwarsdoorsnede met oppervlakte 4 mm 2, en de contactoppervlakte bij C is 65 mm 2. In het punt C is de balk gewoon opgelegd op de ondergrond. 6
1.15 De onderstaande staaf heeft een vierkante dwarsdoorsnede waarvan breedte en hoogte beide 4 mm bedragen. Langs de zwaartepuntsas van de dwarsdoorsnede van de staaf werkt een axiale kracht van 8 N. Bepaal de gemiddelde normaalspanning (= Fn/A) en de gemiddelde schuifspanning (= Ft/A) op het materiaal langs (i) het doorsnedevlak a-a en (ii) het doorsnedevlak b-b. 1.16 Het hellende onderdeel in onderstaande figuur ondervindt een drukkracht van 6 N. Bepaal de gemiddelde drukspanning (= Fn/A) op de contactvlakken die door AB en BC worden gedefinieerd, en de gemiddelde schuifspanning (= Ft/A) langs het horizontale vlak dat door EDB wordt gedefinieerd. De wrijving tussen beide houten balken mag verwaarloosd worden. 7
1.17 Twee onderdelen zijn in B met een scharnier aan elkaar bevestigd. De figuur toont ook bovenaanzichten van de penverbindingen bij A en B. Als de pennen een toelaatbare schuifspanning toel = 125 MPa hebben en de staaf CB een toelaatbare trekspanning toel = 162 MPa, bepaal dan de kleinste diameter van de pennen A en B en de diameter van de staaf CB, nodig om de belastingen te ondersteunen, tot op de dichtstbijzijnde hele millimeter. 1.18 Een hangende staaf wordt aan het bovenuiteinde ondersteund door een vast bevestigde schijf. Als de staaf door een gat van 4 mm diameter gaat, bepaal dan de minimaal vereiste diameter van de staaf en de minimale dikte van de schijf, nodig om de belasting van 2 kn te ondersteunen. De toelaatbare trekspanning voor de staaf is toel = 6 MPa en de toelaatbare schuifspanning voor de schijf is toel = 35 MPa. 8
1.19 Een axiale belasting op de onderstaande as wordt opgevangen door de kraag bij C, die op de as bevestigd is en zich op de rechterkant van het lager bij B bevindt. Bepaal de grootste waarde van P voor de twee axiale krachten bij F en E, zodanig dat de spanning in de kraag niet groter wordt dan de toelaatbare vlaktedruk toel = 75 MPa, en de trekspanning in de as de toelaatbare waarde van toel = 55 MPa niet overschrijdt. 1.2 De starre, onvervormbare staaf AB wordt ondersteund door een stalen staaf AC met een diameter van 2 mm en een aluminium blok dat een dwarsdoorsnede heeft met oppervlakte 18 mm 2. De pennen van 18 mm diameter bij A en C ondervinden een zuivere afschuiving. Als de bezwijkspanning voor staal st = 68 MPa bedraagt en voor aluminium alu = 7 MPa, en de bezwijkschuifspanning voor elke pen pen = 9 MPa, bepaal dan de grootste belasting P die op de staaf kan worden uitgeoefend. Gebruik een veiligheidsfactor VF = 2, voor de gegeven materiaaleigenschappen. 9
Hoofdspanningen en hoofdrichtingen 1.21 Beschouw de volgende spanningstoestand in een bepaald punt P: 7 56 56 5 8 MPa ij 32 8 32 16 Bepaal de hoofdspanningen en hoofdrichtingen in dit punt. 1.22 Beschouw de volgende spanningstoestand in een bepaald punt P: 18 12 MPa ij 6 6 2 Bereken de grootste normaalspanning voor de verzameling van alle vlakjes door het punt P. Rekken 1.23 De dunne staaf in onderstaande figuur ondervindt een temperatuurverhoging die een functie is van de afstand z en die in de staaf een verlenging veroorzaakt van: 41 3 z met z in meter. Bepaal (i) de verplaatsing van uiteinde B van de staaf als gevolg van de temperatuursverhoging, en (ii) de gemiddelde verlenging van de staaf. 1
1.24 Een kracht grijpt aan op de handgreep van de hefboom en zorgt ervoor dat de arm van de hefboom in uurwijzerzin roteert over een hoek van =,2 rad. Bepaal de gemiddelde rek die in de draad BC ontstaat. 1.25 Onderstaande plaat wordt vervormd tot de gestippelde vorm. Als in deze vervormde toestand horizontale lijnen op de plaat horizontaal zijn gebleven en niet van lengte zijn veranderd, bepaal dan (i) de gemiddelde rek langs de zijde AB, en (ii) de gemiddelde afschuifhoek in de plaat ten opzichte van de x- en de y-as. 1.26 De getoonde plaat zit aan de bovenzijde AD en onderzijde BC vast aan starre horizontale geleiders. Als de rechterzijde CD een gelijkmatige horizontale verplaatsing van 2 mm ondergaat, bepaal dan (i) de gemiddelde rek langs de diagonaal AC, en (ii) de afschuifhoek bij E t.o.v. de x- en y-as. 11
Wet van Hooke 1.27 Een staaf gemaakt van staal heeft de in onderstaande figuur aangegeven afmetingen. Als een axiale kracht P = 8 kn op de staaf wordt uitgeoefend, bereken dan de verandering in lengte en de verandering in de afmetingen van de dwarsdoorsnede nadat de belasting is aangebracht. Het materiaal gedraagt zich lineair elastisch, met E = 2 GPa en =,32. 1.28 Een aluminium proefstaaf heeft een diameter d = 25 mm en een meetlengte L = 25 mm. Als een kracht van 165 kn de meetlengte vergroot met 1,2 mm, bepaal dan de elasticiteitsmodulus. Bepaal tevens de dwarscontractie van de proefstaaf ten gevolge van de kracht. De glijdingsmodulus van aluminium bedraagt Galu = 26 GPa en de elasticiteitsgrens v = 44 MPa. 12
1.29 Een samengestelde stalen staaf (E = 2 GPa) bestaat uit twee segmenten AB en BD, die dwarsdoorsnedes hebben met oppervlakte AAB = 1 mm 2, respectievelijk ABD = 2 mm 2. In de figuur is te zien dat 5 geïsoleerde puntbelastingen worden uitgeoefend. Bepaal de verticale verplaatsing van uiteinde A en de verplaatsing van B t.o.v. C. 1.3 De getoonde constructie bestaat uit een holle aluminium buis AB met Ealu = 7 GPa. De dragende oppervlakte van de holle cilinder bedraagt 4 mm 2. Binnenin de buis bevindt zich een stalen staaf met een diameter van 1 mm en Est = 2 GPa, die aan een starre kraag in B is bevestigd. De stalen staaf kan horizontaal vrij verplaatsen ter hoogte van de doorgang in A. Er wordt een trekbelasting van 8 kn op de staaf uitgeoefend. Bereken de verplaatsing van uiteinde C van de staaf. 13
1.31 Een onvervormbare balk rust op twee korte palen. De paal AC is van staal (Est = 2 GPa) en heeft een diameter van 2 mm. De paal BD is van aluminium (Ealu = 7 GPa) en heeft een diameter van 4 mm. Bepaal de verplaatsing van het punt F op de balk AB als dit punt een verticale belasting van 9 kn ondervindt. 1.32 Een onderdeel is gemaakt van een materiaal dat een soortelijke massa [kg/m 3 ] en een elasticiteitsmodulus E [N/m 2 ] heeft. Als dit materiaal wordt gevormd tot een kegel met de in de figuur getoonde afmetingen, bepaal dan hoe ver het uiteinde van de kegel verplaatst als gevolg van de zwaartekracht, wanneer het in een verticale positie wordt opgehangen. 14
1.33 Een rechthoekig rubberblok ondervindt een gelijkmatige druk p = 15 MPa op alle zijden. Bepaal de volumerek en de lengteverandering van elke zijde. Neem Erub = 4 GPa en rub =,45. 1.34 Een ronde proefstaaf met diameter 2,5 cm wordt in zijn langsrichting belast met een trekkracht van 2 kn. Als het materiaal zich elastisch gedraagt en een E-modulus heeft van 7 GPa, bereken dan de procentuele verlenging. 1.35 De zuiger van een hydraulische pers heeft een diameter van 4 cm, terwijl de zuigerstang een diameter heeft van 6 cm. De lengte van de zuigerstang is 1 meter en de waterdruk bedraagt 1 MPa. Bereken de spanning in de zuigerstang en de verlenging van de zuigerstang als de waterdruk langs de kant van de zuigerstang aangrijpt. De elasticiteitsmodulus van de zuiger en zuigerstang is 2 GPa. 1.36 Een stalen transmissiekabel (E = 2 GPa) van 75 m lengte en,5 cm diameter wordt door een lange rechte leiding getrokken. Als het ene uiteinde van de kabel 17,5 cm in de leiding wordt getrokken, hoeveel verplaatst het andere uiteinde dan als de trekkracht in de kabel 1,5 kn bedraagt? 1.37 Een ronde metalen proefstaaf met diameter 1 cm is belast in trek. Als de treklast 5 kn bedraagt en de meetlengte van 25 cm een verlenging van,227 cm ondergaat, bereken dan de E-modulus van het materiaal. 15
1.38 Een rechte staaf met dwarsdoorsnede A, lengte L, soortelijke massa en elasticiteitsmodulus E draait met een constante hoeksnelheid rond één van zijn eindpunten om een as die loodrecht staat op zijn lengte-as. Bereken de maximale trekspanning in de staaf en de verlenging van het vrije eindpunt van de staaf. 1.39 Een horizontale balk met een gewicht van 5 N is opgehangen aan drie kabels, twee aan de uiteinden van de balk en één in het midden. The twee buitenste kabels met diameter,125 cm zijn vervaardigd uit messing (E = 85 GPa), de middenste kabel met diameter,625 cm uit staal (E = 2 GPa). Als de horizontale balk onvervormbaar ondersteld wordt en alle kabels hebben dezelfde lengte, bereken dan de spanningen in de kabels. 1.4 Een stalen bout met diameter 2,5 cm wordt in een stalen huls gebracht met 5 cm interne diameter en 6,25 cm externe diameter. De bout wordt via een moer (rechts) voorgespannen tussen de starre eindblokken van de huls tot de trekkracht in de bout 4 kn bedraagt. Na voorspanning is de lengte van de huls tussen de starre eindblokken 4 cm en de afstand tussen de kop van de bout (links) en de moer (rechts) is 5 cm. Als nu een externe trekkracht van 3 kn wordt aangebracht op de starre eindblokken, bereken dan de trekkracht in de bout. 16
1.41 Een dunne rechthoekige aluminium plaat heeft de onderstaande afmetingen. De elastische constanten van het materiaal zijn E = 77,5 GPa en G = 29,5 GPa. Ze is onderworpen aan de spanningstoestand: 1 2 2 115 MPa ij Bepaal de lengteverandering van de diagonaal AC. 1.42 Gegeven is de volgende belastingstoestand: De balk AB is bij A met een pen bevestigd en wordt opgehangen aan twee aluminium staven, elk met een diameter van 25 mm en een elasticiteitsmodulus Ealu = 7 GPa. Als de balk AB als onvervormbaar mag beschouwd worden en in het begin horizontaal staat, bepaal dan de kracht in elke verticale staaf wanneer de belasting van 22 kn wordt aangebracht. (Examen 2 de zittijd AJ 22-23. Voorziene tijd: 4 minuten) 17
1.43 Gegeven is het volgende probleem: A B C 1 kn 2 knm,5 m 1 m 1 m 2 m,5 m Een starre, onvervormbare balk is opgehangen aan drie vervormbare staven met volgende dwarsdoorsnede: 25 mm 25 mm De wanddikte van de kokers is 3 mm. Bereken de maximale normaalspanning en geef aan in welke verticale staaf ze optreedt. (Examen 2 de zittijd AJ 23-24. Voorziene tijd: 5 minuten) 1.44 Een kracht F wordt aangelegd aan een constructie van starre balken, verbonden door veren met veerconstante ki (i = 1...3), zoals aangegeven in bovenstaande figuur. Bepaal het verband tussen de aangelegde kracht F en de gerealiseerde verplaatsing u. 18
1.45 Gegeven is een schematische voorstelling van een drukknop. De veer rechts onderaan heeft een vrije lengte l en is voorgespannen tot lengte a (in P steunt de hefboom immers tegen de behuizing van de drukknop). Bepaal de kracht F zodat de opening met breedte t opgeheven wordt en er dus elektrisch contact gemaakt wordt om het licht aan te steken. Gezien de beperkte verplaatsingen, mag men aannemen dat F tijdens belasting verticaal blijft aangrijpen, en de hefboomsarm gelijk blijft aan de afstand b. 1.46 Gegeven is het volgende probleem: Een veer heeft een stijfheid k = 4 kn/m en in ongerekte toestand een lengte van 25 mm. De veer wordt ingedrukt, over het 2 mm lange gedeelte AC van de aluminium staaf AB geplaatst, en vervolgens losgelaten. Bepaal de kracht die de staaf bij A op de muur uitoefent. Voordat de belasting wordt aangebracht, is er een ruimte van,1 mm tussen de staaf en de muur bij B. De staaf is bij A in de muur ingeklemd. Verwaarloos de dikte van de onvervormbare plaat bij C. De stijfheid van het aluminium is 7 GPa. Thermische spanningen 1.47 Gegeven zij een trimetaal, dat opgebouwd is uit een centrale strip van staal (1), waaraan aan beide zijden twee identische aluminium strippen (2a) en (2b) vast zijn verbonden. De lengte en de breedte van elke strip zijn gelijk. 19
Verdere gegevens zijn: staal: h E b 1 L 1 1 1 3 mm 6 mm 1 mm 26 GPa,3 11,1-6 / C aluminium: h E b 2 L 2 2 2 3 mm 8 mm 1 mm 72 GPa,3 23,1-6 / C Het trimetaal, spanningsvrij ondersteld bij 2 C, wordt homogeen opgewarmd tot 1 C. Gevraagd: a) bereken in elke strip de optredende thermische spanning. Er dient enkel rekening gehouden te worden met de spanningen xx in de langsrichting, b) bepaal de uiteindelijke afmetingen van het trimetaal (opnieuw enkel in de langsrichting). 1.48 Het te analyseren systeem bestaat uit: - twee starre eindblokken, die vrij kunnen bewegen in de horizontale richting, - vier stalen buizen A, symmetrisch opgesteld, - één aluminium strip B. De buizen én de strip zijn gelast aan beide eindblokken. De dwarsdoorsnede van de stalen buizen A en de aluminium strip B zijn hieronder getoond: De eigenschappen van materialen A en B zijn: 2
staal: r E r i u L a a a 11,1 7 mm 1 mm 4 mm 2 GPa,3-6 / C aluminium: E b h L b b b 21,1 3 mm 4 mm 4 mm 7 GPa,25-6 / C Bereken de thermische spanning in de materialen A en B, als het geheel een gelijkmatige temperatuurstijging van 1 C ondergaat. 1.49 Een bout met moer steekt in een gat in een blok. Bij omgevingstemperatuur is er een speling van,1 mm tussen de bout en het blok. De bout wordt 1 C afgekoeld, terwijl het blok geen verandering van temperatuur of lengte ondergaat. De eigenschappen van het materiaal van bout en moer zijn: staal: E 11,1 2 GPa,3 / -6 C Gevraagd: a) wat is dan de thermische spanning in deze bout? b) wat is de verandering van de diameter van de bout? 1.5 Een stalen staaf (E = 2 GPa) is zodanig gekrompen dat hij precies tussen twee starre ondersteuningen past als de temperatuur T1 = 15 C. Als de temperatuur wordt verhoogd tot T2 = 5 C, bepaal dan de gemiddelde thermische drukspanning die in de staaf ontstaat. 21
1.51 Een buis van aluminium (Ealu = 73,1 GPa, alu = 231-6 m/mc) met een dwarsdoorsnede-oppervlakte van 6 mm 2 wordt gebruikt als bus voor een bout van staal (Est = 2 GPa, st = 121-6 m/mc) met een dwarsdoorsnede-oppervlakte van 4 mm 2. Als de temperatuur T1 = 15 C is, houdt de moer de constructie zodanig in positie dat de axiale kracht in de bout mag worden verwaarloosd. Als de temperatuur oploopt tot T2 = 8 C, bepaal dan de gemiddelde spanning in de bout en in de bus. 1.52 Een messing plaat (E = 12 GPa, =,33 en = 161-6 m/mc) met afmetingen 2 mm x 3 mm x 2 mm is gevat in een star frame met een verwaarloosbare thermische uitzettingscoëfficiënt. De vier randen van de plaat zijn star met het frame verbonden. Als de temperatuur daalt met 1 C, bereken dan de resulterende spanningen in de plaat. 22
1.53 Een aluminium bout (Ealu = 7 GPa, alu = 231-6 m/mc) met diameter 2,2 cm wordt in een stalen bus (Est = 2 GPa, st = 121-6 m/mc) geplaatst met binnendiameter 2,5 cm en wanddikte,3 cm. Beide worden op een temperatuur van 14 C gebracht en bij deze temperatuur wordt de aluminium bout lichtjes aangeschroefd in de stalen bus. Als de temperatuur nu met 2 C daalt, bereken dan de spanningen in de aluminium bout. Arbeid en elastische energie 1.54 Een dunwandig vat heeft de vorm van een bol. De gemiddelde diameter van de bol is D en de wanddikte e (waarbij e << D). Dit sferisch vat is onderworpen aan een inwendige druk p. e D p Een goede benadering voor de spanningstoestand is, in bolcoördinaten: [ ] r r rr r r p D 4e p D 4e waarbij: D = 2 m e = 8 mm p =,5 MPa E = 21 GPa =,3 Gevraagd: a) bereken de elastische energie in de wand van het vat, b) verifieer het resultaat door de arbeid van de inwendige druk te berekenen. 23
Orthotrope materialen 1.55 Men heeft een multiplex-plaat opgebouwd door achtereenvolgens veel dunne lagen van eenzelfde houtsoort en dezelfde dikte op elkaar te lijmen, met afwisselend een laag waarin de vezels volgens de x-as liggen en een laag waarin de vezels volgens de y-as liggen. De aldus opgebouwde plaat wordt beschouwd als een homogeen materiaal. Men heeft in het laboratorium volgende proeven verricht, telkens in vlakspanning (33 = 13 = 23 = ): - een trekproef in de x-richting met: 11 22 12 1 MPa Daarbij werden volgende waarden gemeten voor de rek: 11 22 33 1, 1,2 1,4 1 3 3 3 - een proef in afschuiving met: 11 22 12 1 MPa Daarbij werden volgende waarden gemeten voor de rek: 3 12 5, 1 Bepaal, met behulp van alle beschikbare inlichtingen, zoveel mogelijk elasticiteitsconstanten en schrijf de gevonden waarden in een matrix [S], zodat [ S]. Zet een vraagteken voor de onbekende waarden. 1.56 Een plaat is vervaardigd uit boron/epoxy composiet. 24
Dit transversaal isotroop materiaal telt vijf onafhankelijke elasticiteitsconstanten, zodat: 29, 24,6 24,6 [C] 24,6 29,4 13,7 24,6 13,7 29,4 8,14 8,14 5,9 GPa De plaat wordt belast in vlakspanning (33 = 13 = 23 = ), met de spanningen 11 en 22 uniform verdeeld over de randen, zodat 11 = 6,5621-4 en 22 = -59,551-4. Gevraagd: a) bepaal de waarde van de aangelegde spanningen 11 en 22 en de dikteverandering, b) bereken de rekverhouding 11/22 in twee gevallen: - de plaat wordt belast met 11 = 75 MPa, - de plaat wordt belast met 22 = 75 MPa. 25
Hoofdstuk 2 Geometrische eigenschappen Structureel gedrag 2.1 Bepaal voor de getekende vlakke doorsnede: a) de juiste ligging van het zwaartepunt O, b) het traagheidsmoment Iyy om de horizontale as door O. 2.2 Bepaal voor de getekende vlakke doorsnede het traagheidsmoment om een horizontale as door het zwaartepunt. 2.3 Bepaal voor de gegeven dwarsdoorsnede van het T-profiel de ligging van het zwaartepunt en het traagheidsmoment om een horizontale as door het zwaartepunt. 26
2.4 Bepaal voor de gegeven dwarsdoorsnede de ligging van het zwaartepunt, de traagheidsmomenten Iyy, Izz en Iyz om de horizontale en verticale as door het zwaartepunt, de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de hoofdtraagheidsmomenten. 2.5 Een hoekprofiel met uniforme dikte,5 cm heeft twee benen van 6 cm en 4 cm. Bereken de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de hoofdtraagheidsmomenten. 27
2.6 Een Z-profiel heeft een dwarsdoorsnede zoals aangegeven in onderstaande figuur. Bereken de traagheidsmomenten om de assen y en z, evenals de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de hoofdtraagheidsmomenten. Dwarskracht- en momentenlijnen bepalen 2.7 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk: z F y A x B C L a 28
2.8 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk: z F y x A B a L 2.9 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk: z K y x A B L 2.1 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk: y A z x B K L 2.11 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk: z q y A x B L 29
2.12 Een éénzijdig ingeklemde balk met lengte L = 3 m wordt belast met een verdeelde belasting q(x) = q(1-x/l), met q = 2 N/m. Bereken en teken de V-lijn en M-lijn. 2.13 Een balk op twee steunpunten wordt belast met een verdeelde belasting q(x) = q[x/(l1+l2)], met q = 7 N/m, L1 = 9 m en L2 = 3 m. Bereken en teken de V-lijn en M-lijn. Normaalspanningen t.g.v. N 2.14 Een ingeklemde balk met een T-vormige sectie wordt op het uiteinde belast met een axiale kracht Q. Bepaal het aangrijpingspunt van Q zodanig dat de spanning in elke sectie gelijkmatig verdeeld is. Duid het aangrijpingspunt van Q aan op de figuur. 3
2.15 De balken AB en BC worden gesteund in de scharnieren A en C en zijn onderling verbonden in B met een scharnier. Het gedeelte AD wordt belast met q(x) = q(1-x/3), met x in meter. De balk BC heeft een ronde sectie met diameter 1 mm. Bepaal q zodanig dat de spanning in de staaf BC 15 MPa bedraagt. Normaalspanningen t.g.v. M 2.16 Een balk op twee steunpunten, met lengte 3 m, wordt belast met twee tegengestelde puntkrachten Q = 1 kn, aangrijpend op x = 1 m en x = 2 m. De pijlen in de figuur geven de fysische zin van de krachten weer. Gevraagd: a) bereken en teken de V-lijn en M-lijn door het schrijven van de evenwichtsvergelijkingen voor een afgezonderde moot, b) zoek een I-profiel (zie tabel in cursus) zó dat de maximale normaalspanning xx niet meer dan 2 MPa bedraagt, c) vergelijk het gewicht van het gevonden I-profiel met het gewicht van een balk met volle rechthoekige sectie, met dezelfde hoogte en dezelfde maximale normaalspanning onder deze belasting. 2.17 Een éénzijdig ingeklemde balk met lengte L = 2 m wordt belast met een kracht Q = 1 N, aangrijpend in x = 2 m, en met een koppel K = 5 Nm, aangrijpend op x = 1,3 m. 31
Gevraagd: a) bereken en teken de V-lijn en M-lijn, b) zoek de maximale normaalspanning xx als de balk een volle rechthoekige doorsnede heeft. 2.18 De hieronder geschetste balk heeft een volle ronde sectie met diameter 15 mm. Bepaal het verloop van de normaalspanningen over de sectie in het punt A. 2.19 Een portiek is opgebouwd uit staven met vierkante doorsnede 1 x 1 mm. De grootste normaalspanning mag niet meer bedragen dan 1 MPa. 32
Hoeveel mag de kracht Q dan bedragen? 2.2 Een stalen I-profiel met totale hoogte 1 cm heeft flenzen met een breedte van 5 cm en een dikte van,625 cm. De dikte van de lijfplaat is,475 cm. Als de normaalspanningen in buiging niet hoger mogen zijn dan 15 MPa, zowel in trek als in druk, bereken dan het grootste buigend moment dat men mag aanbrengen op dit I-profiel. 2.21 Een stalen buis met een externe diameter van 5 cm en een wanddikte van,5 cm wordt gedimensioneerd voor een toelaatbare spanning van 1 MPa. Bereken het maximaal buigend moment. 33
2.22 Een stalen T-profiel met totale hoogte 1 cm heeft een flens met een breedte van 1 cm. De dikte is overal 1 cm. Als de normaalspanningen in buiging niet hoger mogen zijn dan 15 MPa, zowel in trek als in druk, bereken dan het grootste buigend moment dat men mag aanbrengen op dit T-profiel. 2.23 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 21 GPa, =,3): 1 kn 2 kn/m x A 2 m B 5 knm 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m Op de balk grijpt links (x = ) een neerwaartse puntkracht aan van 1 kn, tussen x = 3 m en x = 5 m een verdeelde belasting van 2 kn/m en op het rechteruiteinde (x = 9 m) een koppel van 5 knm met de getekende zin. Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven: z 3 cm y 25 cm Het U-profiel heeft een constante wanddikte van 2 cm en wordt geplaatst met de twee benen naar beneden. Eigenschappen van het profiel worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel. Bereken en teken de dwarskrachten- en momentenlijn voor deze balk. U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen. Waar (welke doorsnede + positie binnen doorsnede) treedt de grootste normaalspanning xx in de balk op? Maak een duidelijke tekening van het spanningsverloop in deze dwarsdoorsnede. 2 cm (Examen 1 ste zittijd AJ 24-25. Voorziene tijd: 7 minuten) 34
2.24 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 21 GPa, =,3): x 2 kn/m 2 m A B 3 m 1 m 1 m Op de balk grijpt een verdeelde belasting aan van 2 kn/m tussen x = 3 m en x = 4 m. In het punt B (x = 5 m) is de balk opgehangen aan een verticale staaf van 2 m. Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven: z 5 mm y 15 mm 8 mm 3 mm 4 mm De dwarsdoorsnede bestaat in elk segment van de balk uit een massieve doorsnede, waaruit onderaan een rechthoekig stuk is weggenomen. Eigenschappen van het profiel worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel. Bereken de maximale normaalspanning (in absolute waarde) die optreedt over de volledige balk. Geef met een figuur duidelijk aan waar deze spanning precies optreedt. U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen. (Examen 2 de zittijd AJ 24-25. Voorziene tijd: 7 minuten) Schuifspanningen t.g.v. V (formule Jourawski) 2.25 Bepaal de verdeling van de schuifspanningen xz in het cirkelvormig profiel: 35
z x R y 2.26 Een balk met ruitvormige sectie wordt in een bepaalde doorsnede belast met de dwarskracht Vz = -1 kn. Bereken de schuifspanning xz in het punt A (ya = 7,5 mm; za = -22,5 mm). 2.27 Een balk die aan één zijde is ingeklemd, wordt belast met een kracht Q = 12 kn op de top, zoals op de figuur aangeduid. Q ligt in het vlak x-z en is evenwijdig met de z-as. De doorsnede is een T-profiel. Bereken de grootste schuifspanning die in deze balk veroorzaakt wordt door de dwarskracht. 36
Samengestelde belastingen 2.28 Op de rand van een kolom wordt een kracht van 15 N uitgeoefend. Verwaarloos het gewicht van het onderdeel en bepaal de spanningstoestand in de punten B en C. 2.29 Onderstaand constructie-onderdeel heeft een rechthoekige dwarsdoorsnede. Bepaal de spanningstoestand die in het punt C door de belasting wordt veroorzaakt. 2.3 Een rechthoekig blok heeft een te verwaarlozen gewicht en ondervindt een verticale kracht P. Bepaal het waardenbereik voor de excentriciteit ez van de belasting langs de z-as, zodanig dat deze geen trekspanning in het blok veroorzaakt. 37
2.31 Een balk met een dwarsdoorsnede 6 mm x 1 mm is onderworpen aan een axiale trekkracht van 6 kn. Als de vloeigrens van het materiaal in uni-axiale trek 15 MPa bedraagt, bereken dan de maximale dwarskracht die men bijkomend mag aanbrengen (parallel met de langste zijde van de rechthoek) vooraleer de balk begint te vloeien. Doorbuigingen 2.32 Bepaal de verplaatsing van het punt C voor de volgende balk: C F z b y A x B a 2.33 Een balk op twee steunpunten wordt met drie krachten belast, waarvan er twee bekend zijn. 38
Bepaal de grootte van de kracht Q zodanig dat de doorbuiging in het aangrijpingspunt van Q nul is. Maak gebruik van superpositie van gekende oplossingen. 2.34 Een balk AB is in A ingeklemd. In B zijn de balken AB en CD aan elkaar gelast, zodat de rechte hoek tussen deze twee balken behouden blijft tijdens de belasting. De zwaartepunten van alle dwarse doorsneden liggen in het vlak x-z. Dit vlak snijdt alle dwarse doorsneden volgens een hoofdtraagheidsas. De doorsnede van elke balk is een vierkant met zijde 4 mm. In D werkt een uitwendige kracht Qx = 1,5 kn. De elasticiteitsmodulus bedraagt 21 GPa. Bepaal de verplaatsing van het punt C. 2.35 Gegeven is de volgende stalen balk met E = 2 GPa: z y x F K De totale lengte van de balk is 3 meter. Op het vrije uiteinde van de balk grijpt een koppel K aan van 45 knm met de aangeduide zin. De balk heeft over zijn volledige lengte het volgende profiel in het y-z vlak (met een opening met diameter 1 mm): z 4 mm y 2 mm 39
Gevraagd: a) bepaal de zin en grootte van de kracht F zodat de totale verticale doorbuiging op het uiteinde van de balk onder de gezamenlijke belasting van F en K nul is. U bent verplicht de tekenconventies van Hoofdstuk 2 te gebruiken. b) bereken de plaats en de waarde van de maximale normaalspanning. De invloed van de dwarskracht mag verwaarloosd worden. (Examen 2 de zittijd AJ 22-23. Voorziene tijd: 6 minuten) 2.36 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 21 GPa, =,3): 1 knm 5 knm A B 1 m 4 m 2 m Op de balk grijpen links en rechts twee externe koppels aan, respectievelijk 1 knm en 5 knm groot. Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven: 3 cm z 1 cm y 15 cm 1 cm Bereken en teken de dwarskrachten- en momentenlijn voor deze balk. U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen. Bereken en teken op een verzorgde figuur de verdeling van de normaalspanning xx in de zwaarst belaste doorsnede. In welke doorsnede is de helling van de balk maximaal? (Examen 2 de zittijd AJ 23-24. Voorziene tijd: 6 minuten) Singulariteitsfuncties 2.37 Bepaal de vergelijking van de doorbuigingslijn voor de eenzijdig ingeklemde balk in onderstaande figuur. De buigstijfheid EI is constant. 4
2.38 Bepaal de maximale doorbuiging van de balk in onderstaande figuur. De buigstijfheid EI is constant. 2.39 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 21 GPa, =,3): 1 m z 1 kn/m y x B 2 m 2 kn Tussen x = 5 m en x = 1 m bevindt zich een verdeelde belasting van 1 kn/m en op het linkeruiteinde van de onderste ligger bevindt zich een neerwaartse kracht van 2 kn. Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven: 5 m 41
25 mm 1 mm 25 mm t = 5 mm 25 mm z y 5 mm Twee kokers met een vierkante sectie en een wanddikte van 5 mm zijn aan weerszijden van een massieve rechthoek gelast. In elk van de drie balksegmenten van de constructie bevinden de kokers zich aan de zijde waar de trekspanningen in de balk optreden. Welke is de meest beperkende voorwaarde: het feit dat de doorbuiging in het punt B moet beperkt blijven tot 25 mm, of het feit dat de maximale normaalspanning xx in de balk 21 MPa mag bedragen? Bereken ook de effectief optredende waarde van de doorbuiging in B en de maximale normaalspanning xx in de constructie. (Examen 1 ste zittijd AJ 23-24. Voorziene tijd: 5 minuten) 2.4 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 21 GPa, =,3): 5 m z A y C 1 kn/m x 3 m 4 m 3 m B 2 m 5 knm Op de balk grijpt een verdeelde belasting aan van 1 kn/m tussen x = 3 m en x = 7 m. In het punt B (x = 1 m) grijpt een koppel van 5 knm aan met de getekende zin. Het punt C bevindt zich aan het uiteinde van het kraagstuk op x = 5 m (horizontaal gemeten vanaf de linkerkant). Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven: 42
t = 1 mm z y 3 mm De dwarsdoorsnede bestaat in elk segment van de balk uit een holle zeshoekige koker met wanddikte 1 mm en binnenhoogte van 3 mm. Eigenschappen van het profiel worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel. Bereken de totale verplaatsing (in horizontale en verticale richting) van het punt C (waarbij u mag veronderstellen dat C op de hartlijn van de balk ligt. U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen. (Examen 1 ste zittijd AJ 24-25. Voorziene tijd: 7 minuten) 2.41 Gegeven zijn de volgende stalen balken ABC en CD (E = 2 GPa, =,3). De linkerbalk ABC steunt in zijn rechtersteunpunt C op het uiteinde van de ingeklemde balk CD. 3 kn/m A x B C D 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m Beide balken hebben onderstaande dwarsdoorsnede: 43
z 1 mm 8 mm y 5 mm 5 mm 1 mm 1 mm 18 mm 1 mm Bereken de helling van de balk ABC in het punt B. 2.42 Gegeven zijn de stalen balken AB en DC (E = 2 GPa, =,3). Het uiteinde B van de balk AB is door middel van een veer met veerconstante k = 5 kn/m verbonden met het uiteinde C van de balk DC. De dwarsdoorsnede van beide balken is een vierkant kokerprofiel met buitenafmetingen 2 mm x 2 mm en wanddikte 1 mm. Bereken de verticale verplaatsing van het punt B. 3 kn A x B L =,5 m D K = 5 knm C 1 m 1 m 44
2.43 Een stalen draagstructuur (E = 21 GPa) is opgebouwd uit twee cilindrische staven. Beide staven hebben een lengte van 1 m en zijn scharnierend met elkaar verbonden in het punt S. De structuur wordt aan de rechterkant (punt B) verbonden met een starre wand door middel van een vaste ondersteuning. Aan de linkerzijde (punt A) wordt de structuur ondersteund door middel van een rol. Op de linker staaf grijpt centraal een verdeelde belasting aan van 8N/m. Op de rechter staaf grijpt centraal een puntlast aan van 4N. A 8 N/m S 4 N B 25cm 5cm 25cm 5cm 5cm De doorsnede van de cylindrische staven waaruit de draagstructuur is opgebouwd, is getoond in onderstaande figuur. Het aangeduide YZ-assenstelsel ligt in het middelpunt van de cirkel. De z-as gaat door de middellijn van de gelijkbenige driehoek, de y-as gaat door het basis van de driehoek. Het massieve materiaal is gearceerd, de driehoek is de holte in het materiaal. z z y 15 mm 2 mm 6 mm Gevraagd: 1) Bereken en teken de V-lijn, N-lijn en M-lijn. 2) Bepaal de waarde van de grootste normaalspanning en duid de positie aan op beide bovenstaande figuren. 3) Bepaal de doorbuiging van het scharnierpunt S ten gevolge van de aangelegde belastingen. (Examen 1 ste zittijd AJ 214-215. Voorziene tijd: 6 minuten) 45
Hoofdstuk 3 Oplossingsmethodes Voor dit hoofdstuk worden geen oefeningen voorzien 46
Hoofdstuk 4 Tweedimensionale elastische problemen Vlakspanning 4.1 In het punt P bestaat de volgende vlakspanningstoestand in het assenstelsel (x,y,z): 5 3 3 1 MPa ij a) stel deze spanningen voor op de cirkel van Mohr, b) welke waarden nemen deze componenten van de spanning aan in het assenkruis (x,y ) dat = 6 in tegenuurwijzerzin gedraaid is t.o.v. (x,y). Stel ook deze spanningen voor op de cirkel van Mohr, c) bereken de corresponderende rekken in het assenkruis (x,y) als E = 1 GPa en =,3. 4.2 Een dunne rechthoekige schijf in messing (E = 91 GPa, = 1/3) wordt op de onderkant langs twee zijden gesteund zó dat: u(, y,) v(,,) w(, y,) w(1, y,) y 47
Deze schijf wordt in zijn vlak belast met spanningen (n) aangrijpend op de omtrek van de plaat zó dat de verplaatsingscomponenten in het vlak van de plaat gegeven zijn door: u v 81 4 481 x 161 6 x y 6 x 2 41 6 z 2 waarin u, v, x, y en z uitgedrukt zijn in millimeter. Gevraagd: a) bepaal de verplaatsingscomponent w zó dat in de plaat een vlakspanningstoestand heerst, (n) b) bereken en teken het verloop van de componenten (i x,y,z) van de spanningsvector (n) op het randoppervlak van de plaat, c) controleer het inwendig spanningsevenwicht, d) onderzoek de spanningstoestand in het punt A(x = 2, y = 3). Bereken de hoofdspanningen en hoofdrichtingen en teken de cirkel van Mohr. De plaat wordt nu samen met steunen en belasting op 3 km diepte onder het wateroppervlak gebracht, zodat een hydrostatische druk gesuperponeerd wordt op de reeds bestaande belasting. e) zoek het resulterende verplaatsingsveld, f) zoek de resulterende spanningstoestand en hoofdspanningen in het punt A. i 4.3 De zijden van een vierkante plaat ADBC zijn vastgelijmd aan de vier staven van een kader ADBC waarvan de eindpunten verbonden zijn door scharnieren. De staven zijn vervaardigd uit een veel stijver materiaal dan de plaat. De vier scharnierpunten liggen precies op de vier hoekpunten van de plaat. In de scharnieren A en C wordt een trekkracht F uitgeoefend volgens de richting AC, waardoor de staven op hun beurt (n) (n) spanningen uitoefenen op de plaat. De spanningsvector is langs elke zijde rakend aan die rand en is in elk punt ervan even groot. Daardoor is de spanningstoestand in elk punt van de plaat dezelfde. 48
De gegevens van de plaat zijn de volgende: zijde a = 1 mm dikte t = 1 mm E = 2 GPa =,3 Bepaal de equivalente veerconstante k, waarbij geldt: F k verlenging AC 4.4 Een dunne plaat wordt zó belast dat er een homogene vlakspanningstoestand heerst met hoofdspanningen I = 8 MPa en II = 11 MPa. De materiaalconstanten zijn: E = 13 GPa en =,26. Bepaal de totale volumeverandering van deze plaat onder de vermelde belasting. 4.5 Op het onderstaande infinitesimaal element wordt de vlakspanningstoestand in een punt weergegeven. 49
Bepaal de spanningstoestand in dit punt voor een element dat t.o.v. de aangegeven positie 3 in uurwijzerzin is gekanteld. 4.6 In onderstaande figuur wordt de vlakspanningstoestand in een bepaald punt getoond. Gevraagd: a) beschrijf de spanningstoestand in dit punt in functie van de hoofdspanningen, gebruik makend van de transformatieformules, b) bepaal de hoofdspanningen en hoofdrichtingen m.b.v. de cirkel van Mohr, c) beschrijf de spanningstoestand in functie van de maximale schuifspanning en de gemiddelde normaalspanning. 4.7 Als gevolg van de uitgeoefende belasting ondervindt het element in het punt A op de eenzijdig ingeklemde balk de aangegeven spanningstoestand. 5
Bepaal de hoofdspanningen in het punt A. 4.8 Bepaal voor de getekende vlakspanningstoestand de hoofdspanningen en de stand van het element in dat punt. 4.9 Op het onderstaande infinitesimaal element wordt de vlakspanningstoestand in een punt weergegeven. Bepaal de spanningstoestand in dit punt voor een element dat t.o.v. de aangegeven positie 3 in tegenuurwijzerzin is gekanteld. 51
4.1 Als gevolg van de uitgeoefende belasting ondervindt het punt A op het houten frame de aangegeven spanningstoestand. Bepaal de hoofdspanningen in het punt A en de maximale schuifspanning. 4.11 De spanningstoestand in een punt is gegeven. Bepaal m.b.v. de cirkel van Mohr de grootte en richting van de hoofdspanningen. Bepaal ook de maximum schuifspanning. 4.12 De spanningstoestand in een punt is gegeven. Bepaal m.b.v. de cirkel van Mohr de grootte en richting van de hoofdspanningen. Bepaal ook de maximum schuifspanning. 52
Vlakvervorming 4.13 Gegeven zijn de volgende verplaatsingen (u, v) in het vlak: 1 1 6 6 u v 653 x 882 x sin y 115 x 3 x cos y Bepaal de vervormingstoestand in het punt (x = 1, y = 1). Bereken m.b.v. de cirkel van Mohr de hoofdrichtingen en hoofdrekken. 4.14 Gegeven zijn de volgende verplaatsingen (u, v) in het vlak: u v w,3 x,28 y,6 x,25 y a) teken op de onvervormde rechthoek een vierkant rooster en ga na hoe dit rooster vervormt, b) bestudeer de vervorming in het punt O. Beschouw daartoe een infinitesimaal klein vierkantje met zijden u = v = 11-6 mm: 53
- teken het vervormde vierkant en bepaal de vervormingstensor in het punt O, - bepaal de hoofdrichtingen en de hoofdrekken in het punt O, - teken de bijhorende cirkel van Mohr. c) bepaal de componenten van de vervormingstensor in het punt O in het assenstelsel (x,y ) dat over 45 in tegenuurwijzerzin is geroteerd (zie figuur). Duid de beeldpunten van de assen x en y aan op de cirkel van Mohr, d) waar ligt het punt A in het vervormde blok? Bepaal de rektensor in A zoals voor het punt O, e) bepaal de spanningstensor in het punt O indien men een meer realistisch verplaatsingsveld beschouwt: u v w,3 x,28 y,6 x,25 y 1 2 1 2 De materiaalconstanten zijn: E = 56 GPa, =,25. Doe dit op twee manieren: - bepaal de spanningen in de gekende hoofdrichtingen en transformeer naar het assenstelsel (x, y), - gebruik de wet van Hooke in het assenstelsel (x, y). 4.15 Gegeven zijn de volgende verplaatsingen (u, v) in het vlak: u v w 51 81 3 3 x 2 x y a) teken het lichaam OBCD na vervorming, b) bestudeer de vervorming in het punt A (x = 2, y = 4). Beschouw daartoe een infinitesimaal klein vierkantje met zijden u = v = 11-6 mm. Bepaal de hoofdrekken en hoofdrichtingen. 54
4.16 De vlakke vervormingstoestand in een punt wordt vertegenwoordigd door de rektensor: 25 6 6 15 ij 1 6 Bepaal de hoofdrekken en hoofdrichtingen. Bepaal ook de waarde en richting van de maximale hoekvervormingen. 4.17 De vlakke vervormingstoestand in een punt wordt vertegenwoordigd door de rektensor: 3 6 5 1 ij 1 Bepaal de vervormingstoestand op een element dat over een hoek van 2 in uurwijzerzin is gedraaid. 5 Axiaalsymmetrische schijf 4.18 Binnen een dikwandige buis werkt een druk van 1 MPa. Opdat de buis haar oorspronkelijke lengte zou behouden, moet op beide uiteinden getrokken (of gedrukt?) worden met een kracht F in de langse richting. Bereken hoe groot die kracht moet zijn, als: a = 1 mm b = 2 mm L = 1 6 mm E = 2 GPa =,3 55
4.19 Een stalen cilinder is aan het rechteruiteinde afgesloten en steunt daarbij tegen een onwrikbare wand. Aan de linkerkant steekt er een plunjer in de cilinder, waarop een kracht van 1 kn wordt uitgeoefend. In het punt A, op de buitenwand van de cilinder, is er een rekstrookje gekleefd dat de langse rek zz meet. De materiaaleigenschappen van de cilinder zijn: E = 21 GPa =,3 Welke rek zz zal men meten? 4.2 Beschouw het getekende dikwandig vat onder inwendige druk. Dit volumetrisch vat is axiaalsymmetrisch rond de z-as en heeft de vorm van een capsule. p = o r p = 1 bar i A z 1 mm 2 mm De materiaaleigenschappen van het vat zijn: E = 21 GPa =,3 Gevraagd: a) bereken de spanningstoestand in een punt A op de binnenwand, dat zich voldoende ver van de uiteinden van het vat bevindt, b) schets het verloop van de spanningen voor 5 mm < r < 1 mm, c) bereken alle componenten van de rek in het punt A. 4.21 Een rubber cilinder wordt samengedrukt in een dunne, stalen buis door een axiale spanning zz. Bereken de druk tussen het rubber en de stalen buis in twee gevallen: a) de stalen buis gedraagt zich als een star lichaam, b) de stalen buis kan vervormen. De elastische constanten van het staal en het rubber zijn respectievelijk (ES, S) en (ER, R). Verwaarloos de wrijving tussen het staal en het rubber en onderstel dat zowel het rubber als het staal gehoorzamen aan de wet van Hooke. 56
ES = 21 GPa, S =,3 ER = 1 MPa, R =,5 a/b,99 4.22 Twee korte stalen cilinders (E = 21 GPa en =,3) zitten in elkaar geklemd. De oorspronkelijke afmetingen van de afzonderlijke schijven waren: Schijf 1: a b 1 1 dikte 8 mm 13 mm 1 1 mm Schijf 2: a b 2 2 dikte 13 mm 2 18 mm 1 mm 57
Door afkoeling van de cilinder 1 en opwarming van de cilinder 2 konden zij in elkaar geschoven worden. Vandaag kan men niet meer achterhalen hoe groot dit temperatuurverschil was, noch hoeveel 1 en 2 waren. Men weet alleen nog met stelligheid dat de drukspanning na afkoeling in het contactoppervlak tussen de twee cilinders 15 MPa bedroeg. Men wil nu de twee cilinders weer uit elkaar halen, door op de buitenste cilinder in axiale richting te drukken. Hierdoor zet deze cilinder immers uit in de radiale richting. Hoe groot moet de drukkracht N worden om de cilinders los van elkaar te maken? (Aanwijzingen: eventuele wrijving in het contactoppervlak mag verwaarloosd worden. Reken dat, zonder N, er vlakspanning is). 4.23 Een lange cilinder met dikke wand is ingevat in een starre wand en over zijn hele lengte vast verbonden met deze starre wand. De cilinder is onderworpen aan een uniforme interne druk pi. Bepaal de spanningen en verplaatsing in de cilinder voor ro/ri = 2,5 en = 1/3. Stel de resultaten grafisch voor. 4.24 Gegeven is het volgende probleem: 58
5 kn 1 mm 95 mm 1 m Een axiaalsymmetrische buis met een lengte van 1 meter past precies en zonder speling in een starre koker. De buis is echter op geen enkele manier vastgemaakt aan de koker. Op de bovenrand van de buis wordt nu een neerwaartse uniform verdeelde belasting geplaatst, zodat de resulterende kracht 5 kn bedraagt. De materiaalparameters zijn: staal: E v 2 GPa,3 21 MPa Gevraagd: a) wat is de zakking van de bovenrand van de buis? b) wat is de radiale verplaatsing van de binnenrand van de buis? c) treedt er ergens in de buis vloeien op? Zo ja, waar, en zo nee, welke is de reserve tot de vloeigrens? Gebruik het von Mises-criterium. (Examen 1 ste zittijd AJ 23-24. Voorziene tijd: 5 minuten) Axiaalsymmetrische schijf met thermische spanningen 4.25 Gegeven zij een aluminiumbuis die bij 2 C passend (zonder speling) in een stalen buis geschoven is. De geometrie en materiaaleigenschappen zijn: 59
aluminium: a b E 1 1 L 1 1 1 1 mm 13 mm 2 mm 72 GPa,3 23,1-6 / C staal: a b E 2 2 L 2 2 2 13 mm 145 mm 2 mm 26 GPa,3 11,1-6 / C Het geheel wordt opgewarmd van 2 C (spanningsvrije toestand) naar 1 C. Gevraagd: bereken de optredende thermische spanningen in beide buizen en schets hun verloop over de wanddikte. 4.26 Een dunne ronde schijf, bestaande uit twee aaneensluitende ringen uit verschillend materiaal, wordt thermisch belast. D o T b D t T a D i De twee materialen hebben echter eenzelfde thermische geleidingscoëfficiënt, zodat het temperatuurprofiel hetzelfde is als in een monolithische schijf: 6
T (r) (T a T ) T T b a 2r ln Di D o ln Di waarbij: Di = 3 mm Dt = 4 mm Do = 5 mm Ta = 52 C Tb = 2 C T = C De eigenschappen van materialen 1 en 2 zijn: materiaal 1: E 1 1 1 2 GPa,3 1, 1-6 / C materiaal 2: E 2 2 2 2 GPa,3 1,2 1-6 / C Gevraagd: a) welk materiaal (1 of 2) moet men aan de buitenkant gebruiken, teneinde de kleinste maximale trekspanning te bekomen? b) bepaal de contactdruk tussen de twee ringen, indien het materiaal 1 aan de binnenkant gebruikt wordt. 4.27 Gegeven zijn twee dunne concentrische buizen met volgende afmetingen: 25 mm 2 mm 15 mm staal aluminium Bij een omgevingstemperatuur van 2 C past de aluminium buis precies en zonder speling binnenin de stalen buis. De inklemmingen verhinderen de radiale verplaatsing niet. De materiaalparameters zijn: aluminium: E 1 1 1 23, 1 72 GPa,3-6 / C staal: E 2 2 2 11, 1 2 GPa,3-6 / C 61
Gevraagd: a) als men de temperatuur verhoogt van 2 C naar 7 C, wat is dan de contactspanning tussen de aluminium buis en de stalen buis? b) als de temperatuur gehandhaafd blijft op 7 C, welke bijkomende inwendige druk p mag men opleggen zodat de totale contactdruk tussen de aluminium en stalen buis beperkt blijft tot 2 MPa? (Examen 2 de zittijd AJ 22-23. Voorziene tijd: 5 minuten) 4.28 Gegeven is het volgende probleem: 2 mm A A 15 mm ez 7 mm er Aluminium Doorsnede A-A Staal Een aluminium schijf (E = 7 GPa; =,3; = 231-6 /C) past precies en zonder speling binnen een stalen schijf (E = 21 GPa; =,3; = 121-6 /C). Beide schijven worden tussen twee starre horizontale platen geschoven en passen precies en zonder speling tussen de twee starre platen. Alles is spanningsloos bij kamertemperatuur en de schijven zijn op geen enkele manier vastgelast aan de twee starre platen. De radiale verplaatsing wordt dus niet verhinderd en de wrijving mag u verwaarlozen. Als de temperatuur met 1 C wordt verhoogd, welke is dan de contactspanning tussen de aluminium en stalen schijf (op r = 15 mm)? (Examen 1 ste zittijd AJ 24-25. Voorziene tijd: 5 minuten) 4.29 Gegeven is het volgende probleem: A A = 1 m 2 mm e z 1 mm er t = 2 mm Doorsnede A-A 62
Een dunne schijf uit aluminium (E = 7 GPa; =,3; = 231-6 /C) met dikte 2 mm wordt tussen twee starre horizontale platen geschoven. Als de schijf rust op de onderste starre plaat, is de speling tussen de aluminium schijf en de bovenste starre plaat precies 1 m. Alles is spanningsloos bij kamertemperatuur. De schijf wordt in geen enkel geval vastgelast aan de wanden en kan vrij uitzetten in radiale richting (wrijving mag u verwaarlozen). Men brengt nu de belasting aan in twee stappen: 1) eerst wordt de temperatuur uniform verhoogd met 1 C, 2) deze temperatuur wordt aangehouden en men brengt bijkomend een radiale druk van 1 bar aan op de buitenrand van de schijf. Bereken de totale radiale verplaatsing van de binnenrand (r = 1 mm) van de schijf, vanuit de begintoestand (alles spanningsloos) naar de eindtoestand (temperatuur + radiale druk). (Examen 1 ste zittijd AJ 24-25. Voorziene tijd: 5 minuten) Spanningsconcentraties 4.3 Een oneindig uitgestrekte plaat bevat een ronde opening met diameter 2a = 3 mm en wordt op een grote afstand van de opening belast met een gelijkmatig verdeelde schuifspanning xy = 1 MPa. Gevraagd: a) de spanningscomponenten in poolcoördinaten, b) de plaats en de waarde van de grootste schuifspanning op de rand van de opening. 4.31 Een dunne, grote plaat met dikte 2 mm, heeft een kleine ronde opening in het centrum. De plaat wordt in twee onderling loodrechte richtingen belast: xx = 2 en yy = -. De plaat heeft een vloeigrens in trek van 28 MPa, een vloeigrens in druk van 35 MPa, een elasticiteitsmodulus E = 2 GPa en Poisson-coëfficiënt =,3. 63
Gevraagd: a) leid een uitdrukking af voor de maximale spanning aan de rand van de opening, b) bepaal de maximale waarde van, zó dat op geen enkele plaats in de plaat vloeien optreedt, noch in trek noch in druk, c) wat is de dikte van de plaat op het moment dat het vloeien start? 4.32 Een dunne, grote plaat met een kleine ronde opening in het centrum wordt onderworpen aan zuivere afschuiving langs haar randen. Bereken de spanningsconcentratiefactor k (= max/). 64
Hoofdstuk 5 Mechanische eigenschappen en materiaalmodellen Trekproef 5.1 Een trekproef voor een staallegering levert het spanning-rek diagramma van onderstaande figuur op. De onderste curve is een uitvergroting van het eerste deel van de bovenste curve en de schaalverdeling voor de onderste curve staat onderaan op de -as aangegeven. Bereken de elasticiteitsmodulus en de vloeigrens op basis van,2 % blijvende rek. Geef in de grafiek de breukspanning en bezwijkspanning aan. 5.2 Onderstaande figuur toont het spanning-rek diagramma voor een aluminiumlegering. Een proefstaaf van dit materiaal wordt onderworpen aan een spanning van 6 MPa. Bepaal de permanente rek die na opheffen van de belasting in de proefstaaf achterblijft. 65
5.3 De aluminium staaf (Ealu = 7 GPa) in onderstaande figuur heeft een cirkelvormige dwarsdoorsnede en ondervindt een axiale trekbelasting van 1 kn. Bepaal m.b.v. het gegeven spanning-rek diagramma bij benadering de verlenging van de staaf wanneer de belasting wordt uitgeoefend. Keert de staaf terug als de belasting wordt opgeheven? 66
5.4 Een proefstaaf van een titaniumlegering wordt aan een torsieproef onderworpen. Het resulterende schuifspanning-glijding diagramma staat in onderstaande figuur. Bepaal de glijdingsmodulus G, de evenredigheidsgrens en de maximale schuifspanning. Als nu een blok van dit materiaal wordt belast met een schuifkracht D, bepaal dan de maximale afstand d, waarover de bovenkant van een blok van dit materiaal horizontaal kan worden verplaatst als het materiaal zich elastisch gedraagt. Hoe groot moet D zijn om deze verplaatsing te veroorzaken? 67
5.5 Een trekproef wordt uitgevoerd op een proefstaaf van zacht staal met diameter 2 cm. De staaf vloeit onder een last van 8 kn. Het bereikt een maximum last van 15 kn en breekt tenslotte bij een last van 7 kn. Gevraagd: a) de vloeigrens, b) de treksterkte, c) de gemiddelde spanning bij breuk, als de diameter van het ingesnoerde breukoppervlak 1 cm bedraagt. Vloei- en breukcriteria 5.6 Gegeven is een lange dunwandige cilinder belast met een inwendige druk p. Men kan aantonen dat er in de mantel van de cilinder een vlakspanningstoestand heerst, met volgende spanningen in het assenstelsel ( ): e x, e y, e z p D 2t p D 4t waarin t de wanddikte van de cilinder is, en D de gemiddelde diameter. Bepaal de maximaal toelaatbare inwendige druk voor een drukvat met: D = 16 mm 68
t = 8 mm E = 21 GPa =,3 en een veiligheidsfactor 2 op het bereiken van de elasticiteitsgrens v = 36 MPa. 5.7 De spanningstoestand in een constructie-onderdeel is tweedimensionaal en bedraagt: 14 6 7 MPa ij 6 Als de vloeigrens van het materiaal 225 MPa bedraagt, bepaal dan zowel met het von Mises criterium als met het Tresca criterium of er al dan niet vloeien optreedt. 5.8 Een stukje krijt is onderworpen aan een constante trekkracht P, die in elke dwarsdoorsnede van het krijtje een trekspanning van,51u veroorzaakt. De treksterkte u van het krijt werd bepaald uit een simpele trekproef. Nu wordt een bijkomend wringmoment T opgelegd dat geleidelijk toeneemt in waarde. Bepaal de grootte van de schuifspanning veroorzaakt door het wringmoment T bij breuk en bepaal de richting van het breukoppervlak. Let op de keuze van het assenstelsel: de x-as ligt in de axiale richting en raakt aan het oppervlak, de y-as raakt aan het oppervlak in de tangentiële richting en de z-as is de normale aan het buitenoppervlak. 5.9 Gegeven is het volgend probleem: xy = -5 MPa xx = 8 MPa 69
Een dunne plaat uit keramiek wordt belast met een trekspanning xx = 8 MPa en een schuifspanning xy = -5 MPa. Alle andere spanningscomponenten zijn nul. Als de uni-axiale breukspanning, gemeten in een conventionele trekproef, 15 MPa bedraagt, met welke factor mogen de twee spanningscomponenten dan nog aangroeien, voordat breuk optreedt, als beide spanningscomponenten proportioneel aangroeien? Onder welke hoek zal het breukvlak te zien zijn? Maak een duidelijke tekening en controleer met de cirkel van Mohr. (Examen 1 ste zittijd AJ 24-25. Voorziene tijd: 3 minuten) 5.1 Gegeven is het volgende probleem: staal 11 mm 1 mm L = 2 m Een stalen buis (E = 21 GPa; =,3) met wanddikte 1 mm wordt tussen twee starre verticale wanden bevestigd. De buis kan vrij uitzetten in de radiale richting, maar kan niet verplaatsen in de langsrichting. Wrijving mag u verwaarlozen. Bereken de maximale druk (in bar) die men binnenin de stalen buis mag aanbrengen, vooraleer de eerste zone in de stalen buis begint te vloeien. De vloeigrens van dit staal is 21 MPa, gemeten in een uni-axiale trekproef. (Examen 2 de zittijd AJ 24-25. Voorziene tijd: 4 minuten) Rekstrookjes 5.11 De rektoestand in het punt A op de hefboom wordt gemeten met de rekstrookrozet. 7
Als gevolg van de belastingen zijn de waarden: a b c 61 1351 264 1 Bepaal de hoofdrekken en hoofdrichtingen in dit punt. Als de hefboom gemaakt is van staal (Est = 2 GPa en st =,3), bepaal dan ook de hoofdspanningen in het punt A. 6 6 6 5.12 Gegeven is een dunne plaat, belast met een drukspanning xx = -1 MPa en een schuifspanning xy = -5 MPa. Alle andere spanningscomponenten zijn nul. Het materiaal is staal, met E = 21 GPa en =,3. xy = -5 MPa 11 65 C B A 2 xx = -1 MPa Op het oppervlak van de plaat worden drie rekstrookjes gekleefd, onder de hoeken 2, 65 en 11 met de horizontale richting. Welke rekwaarden A, B en C leest men uit voor deze drie rekstrookjes? Teken een cirkel van Mohr als controle. (Examen 1 ste zittijd AJ 24-25. Voorziene tijd: 3 minuten) 5.13 Gegeven is het volgend composietmateriaal: = 1 9 45 B C A 71