Computerrekenpakket Maple zesde jaar M
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid. Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beïnvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. De morele rechten van de auteur. De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/. Tekstzetsysteem: L A TEX Royalty percentage: 0% c 2008 Koen De Naeghel Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 Druk 4 maart 208
MAPLE LES 2 INTEGRALEN 2. Bepaalde integralen Voorbeeld. Bereken met Maple de bepaalde integraal Oplossing. Een bepaalde integraal b a 0 + x 2 dx. f(x) dx geeft Maple weer met het commando Int(f(x),x=a..b). Om de waarde van deze integraal te berekenen gebruik je value, de vorige regel oproepen kan via %. > Int(/(+x^2),x=0..); > value(%); 0 + x 2 dx Wil je Maple meteen het antwoord laten geven, dan gebruik je het commando int. > int(/(+x^2),x=0..); π 4 π 4 Merk op dat Maple de exacte waarde weergeeft. Als je toch een decimale voorstelling wil dan gebruik je het commando evalf. > evalf(%); 0.785398635 Voorbeeld 2. Bereken met Maple de bepaalde integraal 2 x x dx. Oplossing. Wanneer de bepaalde integraal niet exact kan worden bepaald geeft Maple de opgave terug. De numerieke benadering vinden we opnieuw met evalf. > int(x^x,x=..2); > evalf(%); 2 x x dx 2.050446235 Voorbeeld 3. Bereken met Maple de bepaalde integraal Oplossing. > int(/sqrt(-x^2),x=a..b); b arcsin(b) arcsin(a) a dx, en dit voor elke waarde van a, b R. x 2 M-8
2.2 Primitieve van een functie en onbepaalde integralen Voorbeeld. Bereken met Maple een primitieve van de functie f(x) = x 3 5x 2 + 7. Oplossing. Met het commando int bereken je een primitieve van een functie. We proberen > int(x^3-5*x^2+7); Error, (in int) wrong number (or type) of arguments Blijkbaar voeren we het commando verkeerd uit. Om informatie omtrent het commando int op te roepen selecteren we in de menubalk Help > Topic Search en voeren we int in, gevolgd door OK. Scrollen we naar de voorbeelden beneden dan zien we meteen dat we het commando int moeten voorzien van een letter naar waar Maple moet integreren. Een betere poging om ons voorbeeld op te lossen is dus > int(x^3-5*x^2+7,x); 4 x4 5 3 x3 + 7 x Merk op dat Maple maar één primitieve berekent. Om alle primitieve functies (en dus de onbepaalde integraal) te kennen plaatsen we +c bij het antwoord. M-9
2.3 Toepassingen Toepassing - Riemann-sommen Voorbeeld. Bepaal met Maple de rij van linker Riemann-sommen die hoort bij de bepaalde integraal Oplossing. Met het commando leftbox tekent Maple de benaderde (georiënteerde) oppervlakte die hoort bij een linker Riemann-som. Het commando maakt wel gebruik van een pakket student dat we eerst moeten inladen. 0 x 2 dx. De waarde van deze 0-de linker Riemann-som vinden we met het commando leftsum. > leftsum(x^2,x=0..,0); ( 9 ) ( i2 0 00 ) > evalf(%); i=0 0.2850000000 M-0
De eerste termen van de rij van linker Riemann-sommen vinden we door telkens het command leftsum te herhalen. > evalf(leftsum(x^2,x=0..,));evalf(leftsum(x^2,x=0..,2)); 0. 0.250000000 Het is daarom handig om een programma (ook wel procedure genoemd) te schrijven met als input: functie f, integratiegrenzen a, b en een natuurlijk getal n output: de n-de term in de rij van linker Riemann-sommen We noemen het programma Riemannterm. Je schrijft het programma best eerst in kladblok en kopieert het daarna naar Maple. > termlinkerriemann:=proc(f,a,b,n) local R; R:=evalf(leftsum(f,x=a..b,n)); return(r); end: > termlinkerriemann(x^2,0,,0); 0.2850000000 Met een iteratie kunnen we de eerste termen van de rij van linker-riemannsommen vlotter berekenen > for i from to 7 do termlinkerriemann(x^2,0,,i) od; 0. 0.250000000 0.8585852 0.287500000 0.2400000000 0.2546296297 0.265306225 Ten slotte, Maple kan ook de n-de term in de rij van Riemann-sommen detecteren door in het commando leftsum de verdeling in het aantal intervallen onbekend te laten. Door de limiet van deze rij te nemen leren we dat inderdaad de rij van de linker Riemann-sommen convergeert, de waarde is dan de bepaalde integraal. M-
Voorbeeld 2. Gegeven is de functie f(x) = x 2 +x en het interval [, 2]. Teken en bereken de bijhorende 5-ste term van de rij van rechter Riemann-sommen, en vergelijk deze waarde met de bepaalde integraal Oplossing. 2 f(x) dx. Toepassing 2 - Inhoud van omwentelingslichamen XI-46 Voorbeeld. Beschouw het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door de grafiek van de functie f(x) = 3x 2, beperkt over [, 2], te wentelen om de x-as. (a) Plot met Maple het omwentelingslichaam. (b) Bereken met Maple de inhoud van het omwentelingslichaam. Oplossing. Met het commando VolumeOfRevolution kun je een omwentelingslichaam plotten. Merk op dat je de plot kan vastnemen en bewegen met de muis. We laden wel eerst het pakket Student[Calculus] in. M-2
De integraal die de inhoud van dit omwentelingslichaam voorstelt vinden we met de optie output=integral, waarvan we Maple de waarde laten berekenen. M-3
Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek TAAK Wiskunde Leerkracht:............ Namen :.................... Voornamen :.................... Klas :.................... Richting :.................... Klasnrs. :.................... Datum:... /... / 20... Resultaat : Maple Les 2 Integralen Oefening. Bereken met Maple de exacte waarde van de bepaalde integraal gebruik je het commando exp(x). 2 0 x e x2 dx. Om e x in te geven, dan Antwoord. De exacte waarde is gelijk aan.......................................................................... Oefening 2. Bereken telkens de integraal met Maple. Noteer hieronder je antwoord. Let op de correcte schrijfwijze! (a) x r dx =................................................................................ (met r R \ { }) (b) k + x2 dx =.............................................................................................. (c) (d) (e) ( 3x + 4) x 2 + x + dx =.............................................................................. sin 3 x cos 2 x dx =........................................................................................... sin 6 x dx =................................................................................................ Oefening 3. Gegeven is de functie f(x) = x en het interval [0, ]. (a) Teken met Maple de (georiënteerde) oppervlakte die hoort bij de 20e rechter Riemann-som. Schrijf hieronder je commando op. De figuur hoef je niet over te nemen. Commando................................................................................................... (b) Bereken met Maple die 20e rechter Riemann-som. Antwoord. De 20e rechter Riemann-som is gelijk aan......................................................... (c) Bereken met Maple de eerste 20 termen van de rij van rechter Riemann-sommen. Schrijf hiervoor een geschikt programma. Noteer ook het commando waarmee je het programma laat uitvoeren om die eerste 20 termen te berekenen. Programma.................................................................................................. Programma.................................................................................................. Programma.................................................................................................. Programma.................................................................................................. Programma.................................................................................................. Commando................................................................................................... M-4 Zie ommezijde!
(d) Bereken met Maple de algemene term in de rij van rechter Riemann-sommen, en neem hiervan de limiet. Vergelijk met de waarde 0 x dx. Alle commando s en uitkomsten opschrijven. Commando s........................................ Commando s........................................ Commando s........................................ Commando s........................................ Commando s........................................ Uitkomsten.......................................... Uitkomsten.......................................... Uitkomsten.......................................... Uitkomsten.......................................... Uitkomsten.......................................... Oefening 4. Plot telkens met Maple het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door de grafiek van de gegeven functie, beperkt over het aangegeven interval, te wentelen om de x-as. Bereken ook de inhoud met Maple. Je hoeft enkel de uitkomst van de inhoud te noteren (waar mogelijk de exacte waarde, in andere gevallen een decimale voorstelling). (a) f(x) = + x 2 [ 2, 2] Inhoud omwentelingslichaam: I =............................................................................. (b) f(x) = x [0, 4] Inhoud omwentelingslichaam: I =............................................................................. (c) f(x) = sin x x [0, 0000; 2π] Inhoud omwentelingslichaam: I =............................................................................. Oefening 5. Bepaal met behulp van Maple de formule voor de inhoud van een bol met straal r. Noteer het commando en de uitkomst. Commando............................................. Commando............................................. Uitkomst............................................... Uitkomst............................................... M-5