A. Cooreman 56 DBP Breuken 2 Techniek en bewerkingen Leerjaar Groep Breukenschema Voor alle bewerkingen 1. breuk per breuk vereenvoudigen 2. gehele getallen op noemer 1 3. decimale getallen op noemer 10, 100 of 1000 4. kijken welke bewerking het is optellen + en aftrekken - vermenigvuldigen x delen : 5. gelijke noemers zoeken 5. gekruist vereenvoudigen 5. A x 6. tellers optellen/aftrekken 6. teller x teller 6. verder zoals x 7. noemers behouden 7. noemer x noemer 8. uitkomst vereenvoudigen Remediëring Unieke techniek met groot effect! kk 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 7 6 8 A digitaal D/2015/13280/34 ISBN 9 789462 561359 Naam: Klas: i.s.m
Legende iconen Leer dit vanbuiten. Werk schriftelijk en mondeling. Maak deze oefening met losse getalkaarten. Leg deze oefening met geld. Deze info is voor de coach. Het geeft verdere uitleg over de opbouw van RekenTrapperS. Maak deze oefening met je handen. Gebruik je lintmeter bij deze oefeningen. Deze oefening moet in kleur afgedrukt worden om de oefeningen te kunnen uitvoeren. Herhaal deze oefening. Per keer je de oefening maakt, kleur je een deel in. Auteurs: Anny Cooreman Ontwerp en opmaak: Lucas Hermans Illustraties: Shutterstock, medewerkers Eureka Expert Gebruik je vaste getalkaart bij deze oefening. Gebruik je rekenmachine om de oefening op te lossen. Los de oefeningen op met speelkaarten. Knip uit. Je hebt het nodig in dit boek NUR: 192 Gepubliceerd door Eureka Expert, Diestsesteenweg 722, 3010 Kessel-Lo (België) www.eurekaexpert.be Alle rechten voorbehouden. Behalve in geval van wettelijke uitzonderingen is elke reproductie, publieke mededeling, beschikbaarstelling of verspreiding van dit boek, in papieren en digitale vorm, verboden zonder de voorafgaande schriftelijke toestemming van de rechtenhouders. 2016 by Eureka Expert
Inhoud 1 Info coach... 5 2 Basisbewerkingen verdieping... 7 2.1 Onthoud: de eerste stappen van het breukenschema... 7 2.2 Oefen in... 9 2.3 Breuken ordenen en vergelijken... 12 3 Breuken en 4 hoofdbewerkingen...17 3.1 Regels... 17 3.2 Breuken optellen en aftrekken... 19 3.3 Breuken vermenigvuldigen... 22 3.4 Breuken delen... 25 4 Evaluatie basisbegrippen en hoofdbewerkingen...31 4.1 Toetsen... 31 4.2 Oplossingen voor zelfcontrole... 35 5 Basisbewerkingen breuken verdieping...36 5.1 Onthoud: de eerste stappen van het breukenschema... 36 5.2 Uitbreiding breuken 6... 41 6 Evaluatie en toetsen breuken verdieping...46 7 Breuken, procenten en decimalen in verband...54 7.1 Onthoud de gelijkwaardigheden... 54 7.2 Handig rekenen met decimalen via breuken... 60 7.3 Oefen het hoofdrekenen met decimalen via breuken... 63 7.4 Toetsen procenten niveau 5 de en 6 de lj... 67 8 Problemen met breuken en procenten...69 9 Evaluatie breuken en procenten...73 9.1 Toetsen... 73 9.2 Oplossingen... 77 2018 Eureka Expert 3 3
4 2018 Eureka Expert 4
1. Breuken en hoofdbewerkingen 1 Info coach Breukenschema, volgorde van deelhandelingen bij breuken Voor alle bewerkingen 1. breuk per breuk vereenvoudigen 2. gehele getallen op noemer 1 3. decimale getallen op noemer 10, 100 of 1000 4. kijken welke bewerking het is optellen + en aftrekken - vermenigvuldigen x delen : 5. gelijke noemers zoeken 5. gekruist vereenvoudigen 5. x 6. tellers optellen of aftrekken 6. teller x teller 6. verder zoals x 7. noemers behouden 7. noemer x noemer 8. uitkomst vereenvoudigen Werkwijze Studeer het breukenschema samen zo dat iedereen alle stappen kan. 1 zeggen in volgorde 2 opschrijven in schemavorm 3 toepassen. Start met stap 1-4. Leg uit met voorbeelden. Pas toe in oefeningen. Vereenvoudigen is ALTIJD een eerste stap bij breuken. Gehele getallen behandelen als breuken beperkt het aantal verschillende regels. Decimalen omzetten in breuken legt een sterke basis voor het secundair onderwijs. Je kan alle decimalen oplossen via breuken, wat maakt dat je minder verschillende regels moet onthouden. Start met de 3 bewerkingen. Toon met voorbeelden naast elkaar dat je telkens verschillende stappen gebruikt om breuken op te lossen. Werk samen stapsgewijs voldoende voorbeelden uit. Oefen elke bewerking afzonderlijk. Dit schema kunnen leerlingen verder gebruiken tot in de hoogste klassen van het secundair onderwijs. Het legt ook de basis van algebra waar je kijkt welke bewerking er is en dan telkens verschillende regels toepast. Basistechnieken exploreren of beheersen? Kies voor beheersen en schenk voldoende aandacht aan het maken en kennen van regels. RTS kiest voor een sterke technische onderbouw voor de onderdelen die ook in de verdere studies aan bod komen. Het secundair onderwijs bouwt verder op de kennis van de breuken van het basisonderwijs. De breuken krijgen voorrang op het rekenen met decimalen. Breuken komen frequent voor in het dagelijks leven van de volwassene. Schenk voldoende aandacht aan de stappenplannen om breuken te begrijpen en verbanden te leggen met procenten en decimalen. Deel 1 behandelt het inzicht in breuken, de visuele voorstellingen en contextuele voorstellingen en veelvouden en delers. Deel 2 oefent grondig op bewerkingen met breuken op basis van het breukenschema. Deel 1 en 2 van Breuken mag je verwisselen in volgorde of naast elkaar gelijktijdig doorwerken In deze module ga je zeer technisch te werk, waarbij deel 1 meer focust op inzicht en visuele toepassingen. De beide modules vormen één geheel maar leggen de focus op een ander domein binnen breuken. Verbanden leren zien tussen procenten, breuken en decimalen Leg een grote nadruk op het verband tussen procenten enerzijds en breuken en decimalen anderzijds. De verschillende voorstellingsvormen betekenen eigenlijk hetzelfde. Toon dit aan door talrijke voorbeelden. Herhaal ook dikwijls. Start met de euro als geheel en exploreer procenten als delen van 1. Leg het verband tussen het woord cent en procent. = 100 cent = 50 cent = 50 procent = 50 % = 0, 50 = ½ = de helft 2018 Eureka Expert 5 5
2. Zelfstandig leren en studeren Onthoudfiches en zelfstandig leren stimuleren De leerlingen die er nood aan hebben, maken onthoudfiches. Die mogen ze steeds gebruiken. Stimuleer hen om die fiches zelf te maken en te personaliseren met tekeningen en kleuren. Na elk onderdeel volgt een toets met oplossingen. De leerlingen maken de toets zelfstandig en verbeteren zelfstandig. Ze duiden hun fouten aan en vragen meer uitleg of coaching bij de leerkracht of bij een medeleerling. Daarna maken ze de toets opnieuw tot ze 9/10 of 10/10 hebben. De leerkracht voorziet varianten voor leerlingen die hun uitkomsten van buiten leren zonder inzicht. K-oefeningen geven regels. De leerlingen leren de regel en vragen aan een medeleerling of volwassene om de regel te ondervragen. Toetsen gebruiken als leertool In deze module vind je van elke toets een A- en B-reeks. Werk als volgt met de leerlingen: 1) Maak toets-versie A 2) Laat ze de toets zelf verbeteren met de correctiesleutel. 3) Stel vragen bij de fouten 4) Toets nadien de B-reeks. Bevraag ook de regels. Laat verbeteren. Door leerlingen zichzelf te laten verbeteren leer je hen vele vaardigheden aan die belangrijk zijn om het leereffect te vergroten. Ze krijgen meer inzicht in de leerstof, maar ook in hun eigen kunnen. Leren uit je fouten en foutenanalyse Bij breuken kunnen er veel fouten in de rekenhandelingen van de leerling sluipen. Belangrijk hierbij is ze te begeleiden in het leerproces. Fouten leren onderzoeken De leerlingen schrijven bij elke fout: A aandachtsfout B fout omdat ik het niet begrijp R ik ken de regel, maar ik pas de regel fout toe T ik pas de techniek niet juist toe. Zo leren ze uit hun fouten. Stel vragen bij de fouten: - Heb je een rekenfout? Gebruik je een tafelvierkant? Gebruik je je rekenmachine? - Is het een verstrooidheidsfout? Hoe kan je jezelf controleren? - Fout tegen de regel? Ken je de stappen nog? - Ken je de techniek? Waar kan je informatie terugvinden? Coöperatief leren stimuleren Stimuleer hierbij het coöperatief leren waarbij de leerlingen in overleg gaan met elkaar over hun werkwijze en oplossingen. Waar het kan, verbeteren ze met en bij elkaar en sturen ze elkaar zelf bij. Stimuleer de leerlingen om bij elkaar uitleg te vragen. De leerkracht coacht dit proces. Coach het proces waarbij de leerlingen samen studeren en elkaar over hun regelkennis ondervragen. Ze leggen de technieken aan elkaar uit en verbeteren elkaar. Zelfstandig leerstof verwerken en toetsen op eigen tempo verwerken Bied de leerstof aan in zelfstandig werk. Laat leerlingen vorderen op eigen tempo. Bespreek klassikaal de belangrijkste zaken en markeer deze ook met de leerlingen. Leer onthoudfiches maken en regels terugvinden in het werkboek. De leerling bereidt de toets voor en vraagt een toets aan als hij of zij denkt dat hij alles juist zal hebben. De leerling maakt de toets en verbetert zelf. Hij of zij laat zich voor de leerstof ondervragen door een coach-leerling die aangeeft of hij de vragen voldoende juist verwoordt. De coach-leerling geeft tips. Elke leerling werkt het leerboek door op eigen tempo. Wie snel klaar is, biedt hulp aan andere leerlingen. Op het einde van de module staat een B-variant van elke toets zonder oplossingen. Dit laat toe te onderzoeken of de leerlingen de doelstellingen hebben bereikt. 2018 Eureka Expert 6 6
2 Basisbewerkingen verdieping 2.1 Onthoud: de eerste stappen van het breukenschema 1. K Breukenschema bewerkingen met breuken Studeer dit schema tot je het helemaal foutloos kan opschrijven. Oefen deel per deel tot het geheel lukt. Oefen eerst mondeling. Begrijp wat je zegt, zoek telkens voorbeelden. Herhaal opnieuw en opnieuw tot het hele stappenplan helder in je hoofd zit. voor alle bewerkingen 1. breuk per breuk vereenvoudigen 2. gehele getallen op noemer 1 3. decimale getallen op noemer 10, 100 of 1000 4. kijken welke bewerking het is optellen + en aftrekken - vermenigvuldigen x delen : 5. gelijke noemers zoeken 5. gekruist vereenvoudigen 5. x 6. tellers optellen of aftrekken 6. teller x teller 6. verder zoals x 7. noemers behouden 7. noemer x noemer 8. uitkomst vereenvoudigen 2. Voorbeeld breuk per breuk vereenvoudigen Om breuken te vereenvoudigen moet je teller en noemer delen door hetzelfde getal. 130 13 1 = = 2600 260 20 16 16 :8 2 :2 1 = = = 48 48 :8 6 :2 3 1. Deel teller en noemer door eenzelfde getal. 2. Vereenvoudig tot je een priemgetal bekomt in teller of noemer. 3. Gebruik bij grote getallen de methode van de GGD = grootste gelijke deler. Probeer nullen te schrappen in teller en noemer. Vereenvoudig dan verder. Deel teller en noemer door hetzelfde getal. Begin liever met een grotere deler, dan moet je minder delen. Zoek tot je een priemgetal bekomt in de teller of de noemer, dus 1, 2, 3, 5, 7, 11 2018 Eureka Expert 7 7
3. Voorbeeld gehele getallen op noemer 1 (breuken en gehele getallen door elkaar) 4 2 4 10 4 6 2- = - = - = 5 1 5 5 5 5 4 2 4 2x4 8 2x = x = = 5 1 5 1x5 5 Zet gehele getallen om in een breuk op noemer 1. Tip: op die manier moet je minder regels onthouden. 4. Voorbeeld: decimale getallen op noemer 10, 100, 1000 4 18 4 18 8 10 1, 8 - = - = - = = 1 5 10 5 10 10 10 4 5 4 4 0, 5 x = x = = 0, 4 5 10 5 10 5. Voorbeeld: gelijknamig maken en 1 3 2 3 en 4 8 8 8 Zet decimalen om in een breuk op noemer 10, 100 of 1000 en vereenvoudig niet meer. Tip: op die manier moet je minder regels onthouden bij het rekenen met decimalen. Zet de uitkomst om in een decimaal getal als in de vraag staat dat je een decimaal getal moet bekomen. 1. Zoek een gelijke noemer voor beide noemers. 2. Kijk of de kleinste noemer past in de grootste noemer. Zo ja, dan heb je de gelijke noemer. 3. Gebruik bij grote getallen de methode van het KGV (kleinste gelijk veelvoud). 6. Hoe maak je breuken gelijknamig als je niet vlot kan rekenen? Deel beide noemers zo ver mogelijk. Gebruik je productenblad en kenmerken van deelbaarheid. Schrijf de getallen die je bekomt onder de breuken. Vermenigvuldig teller en noemer van de andere breuk met het kleinste getal dat je bekwam. Doe zoals in het model. bv. 3 14 en :2 :2 7 6 5 = 12 3x6 5x7 18 35 en 14x6 12x7 84 84 7. K Waarom maken we breuken gelijknamig? We maken breuken en decimalen gelijknamig 1. om te vergelijken 2. om op te tellen en af te trekken 2018 Eureka Expert 8 8
8. K Hoe vul je aan tot een geheel en hoe trek je af van een geheel? In een geheel is teller = noemer. één geheel = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1= = = = = = = = = = =100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 % = alles 3 6 1= = 3 6 2.2 Oefen in 2 + =1 5 3 5 5 5 1. Schrijf de ontbrekende stappen van het breukenschema op 1. 2. 3. 4. optellen + en aftrekken - vermenigvuldigen x delen : 5. gelijke noemers zoeken 5. gekruist vereenvoudigen 5. x 6. tellers optellen/aftrekken 6. teller x teller 6. verder zoals x 7. noemers behouden 7. noemer x noemer 8. 2. Zeg met eigen woorden en geef telkens een voorbeeld Hoe moet je breuken vereenvoudigen? Hoe moet je decimalen op noemer 10 of 100 zetten? Waar staan de teller en de noemer in een breuk? 3. Geef 2 soorten oefeningen waarin we breuken gelijknamig maken 3 1 - = 4 4 1 4 4 2018 Eureka Expert 9 9
4. Vereenvoudig elke breuk tot de kleinst mogelijke breuk 18 = 54 36 = 63 36 = 72 45 = 54 9 = 12 27 = 72 18 = 45 12 = 42 27 = 45 24 = 48 63 = 90 54 = 45 5. K Hoe maak je breuken gelijknamig? 18 = 24 18 = 30 54 = 60 1. Je zoekt voor alle noemers de kleinste gelijke noemer. 2. Je vermenigvuldigt de teller met hetzelfde getal als de noemer. of Je zoekt het KGV. Voorbeeld: 3 1 2 en en 8 3 6 6. Maak de volgende breuken gelijknamig 1 4 4 5 3 1 5 3 9 8 8 en en 24 24 24 3 5 6 8 5 3 3 4 7. Eerst vereenvoudigen en dan gelijknamig maken 5 1 15 2 1 6 5 8 4 5 20 25 9 1 12 4 3 1 15 2 12 1 16 3 2018 Eureka Expert 10 10