Het kassaprobleem. Bachelorproject (2J008) Ellen Weerts ( ) 2 juli Technische Universiteit Eindhoven Stochastische Besliskunde

Transcriptie

1 Het kassaprobleem Bachelorproject (2J008) Ellen Weerts ( ) 2 juli 2007 Technische Universiteit Eindhoven Stochastische Besliskunde Begeleiders: O.J. Boxma en J.S.H. van Leeuwaarden.

2 2

3 Samenvatting Mijn bachelorproject bestaat uit een literatuuronderzoek en uit een eigen onderzoek. Voor het literatuuronderzoek heb ik het rapport Performance Analysis of Cash Registers [1] en het artikel Dimensioning large call centers [2] samengevat. Voor het eigen onderzoek heb ik gekeken of het wortelprincipe uit het artikel toegepast kan worden op het kassaprobleem uit het rapport. Rapport Performance Analysis of Cash Registers Metro Cash & Carry is een bedrijf dat veel winkels bezit. Zij zijn geïnteresseerd in de mogelijkheid om het proces van de afhandeling van klanten bij de kassa s te verbeteren. Ze willen graag de klassieke methode van gecombineerd scannen en betalen vergelijken met de nieuwe methode waarin scannen en betalen apart is. In Krefeld is het scannen en betalen gecombineerd. Om de gemiddelde wachttijd van klanten te analyseren zijn er verschillende wachtrijmodellen bekeken. Het bleek dat het G/G/s model een goede benadering is. In Düsseldorf is het scannen en betalen gescheiden. Na het scannen kan een klant betalen met een credit card, bij een betaalautomaat of bij een betaalbalie. De credit card machine is gelinkt aan de scanner, maar de betaalautomaat en de betaalbalie niet. Daar komen de klanten van verschillende scanners dus samen. De afgeleide benaderingen voor de gemiddelde wachttijd en voor de wachtkans zijn vervolgens vergeleken met de simulaties die gedaan zijn. De resultaten van de benaderingen en van de simulatie kwamen erg goed overeen. Artikel Dimensioning large call centers In dit artikel wordt een raamwerk ontwikkeld voor de asymptotische optimalisering van het aantal personeelsleden in een callcenter. De motivatie hiervoor is enerzijds de afweging tussen de personeelskosten en efficiëntie en anderzijds de bedieningskwaliteit. Beiden zijn namelijk erg belangrijk. In het raamwerk bepalen ze een asymptotisch optimaal personeelsniveau N dat zowel van personeelskosten als van bedieningskwaliteit afhangt door middel van een factor y. Dit principe om het aantal personeelsleden te bepalen heet het wortelprincipe. Numerieke experimenten vertoonden een goede nauwkeurigheid van hun asymptotische benaderingen. N was namelijk steeds optimaal of het verschilde 1 personeelslid van het optimale aantal. Eigen onderzoek Allereerst is het M/M/s model uitgelegd en is de kans afgeleid dat een klant moet wachten. Verder zijn 2 benaderingen voor deze wachtkans opgesteld. Vervolgens is de factor y berekend door met de aankomstintensiteit van klanten bij Metro en een opgelegde wachtkans < 5% het aantal benodigde kassa s te berekenen. Daarna zijn 3 tabellen gemaakt waarin voor een oplopend aantal kassa s (ofwel aantal personeelsleden), de verschillende benaderingen en de bijbehorende afwijking te zien zijn. In elk van de tabellen is een andere vaste waarde voor y gebruikt. Tot slot zijn er grafieken gemaakt van de afwijking uitgezet tegen y voor verschillende waarden van het aantal kassa s. Het blijkt dat het wortelprincipe uit [2] inderdaad te gebruiken is om het aantal kassa s in een supermarkt te bepalen.

4 4

5 Inhoudsopgave Inleiding 7 I Literatuuronderzoek 9 1 Samenvatting Metro verslag Situatie in Krefeld Verschillende wachtrijmodellen Situatie in Düsseldorf Data analyse Tussenaankomsttijden Bedieningstijden Benaderingen Samenvatting artikel Borst et al Het wortelprincipe voor het aantal personeelsleden Modelbeschrijving Numerieke experimenten II Eigen Onderzoek 23 3 Het wortelprincipe toegepast op Metro Het M/M/s model Benaderingen voor de wachtkans Numerieke resultaten Conclusie 33 Bijlagen 37 A Moment fitting 37 B Benaderingen 39 B.1 Allen-Cunneen benadering B.2 Benaderingen voor de wachttijdkans B.3 Benaderingen voor de wachttijdverdeling C Wachtrijnetwerken 43

6 6 INHOUDSOPGAVE D Artikel Borst et al. 45 D.1 Constraint satisfaction D.2 Faalintensiteit D.3 Asymptotische optimaliteit D.4 Wachttijdverdeling Bibliografie 47

7 Inleiding Ik heb besloten mijn bachelorproject bij de leerstoel Stochastische Besliskunde te doen. Als project heb ik het volgende gekozen. Beschouw de kassa-afhandeling bij een supermarkt of Makro-winkel. Onderscheid twee manieren om de klanten te bedienen: De Krefeldvariant, waarin scannen van items en betalen wordt gecombineerd, en de Düsseldorfvariant, waarin deze twee operaties worden gescheiden. De opdracht bevat de volgende deelvragen: 1. Vat het rapport van Adan et al. [1] samen waarin een uitgebreide studie betreffende de wachttijden bij beide varianten wordt gedaan 2. Vat het artikel van Borst et al. [2] samen waarin een goede benadering wordt gegeven voor het aantal werknemers in een call center 3. Is de methode van Borst et al. ook bruikbaar om goede vuistregels te geven voor het aantal te openen kassa s in een grote winkel (met in de orde van 10 kassa s)? Aangezien de opdracht bestaat uit literatuuronderzoek en eigen onderzoek, zal dit verslag ook uit die twee delen bestaan. Het eerste deel zijn de samenvattingen en het tweede deel de antwoorden op de vragen.

8 8 INHOUDSOPGAVE

9 Deel I Literatuuronderzoek

10

11 Hoofdstuk 1 Samenvatting Metro verslag Dit hoofdstuk is een samenvatting van het Metro Cash & Carry verslag [1]. Metro Cash & Carry is een bedrijf dat veel winkels bezit. Zij zijn geïnteresseerd in de mogelijkheid om het proces van de afhandeling van klanten bij de kassa s te verbeteren. Ze willen graag de klassieke methode van gecombineerd scannen en betalen vergelijken met de nieuwe methode waarin scannen en betalen apart is. Paragraaf 1.1 is gewijd aan de situatie in Krefeld en paragraaf 1.2 aan de situatie in Düsseldorf. Verder zal in dit verslag niet meer gesproken worden over de situatie in Krefeld, maar alleen nog over de situatie in Düsseldorf. Deze situatie is namelijk een stuk complexer en dus interessanter om te bespreken. In paragraaf 1.3 wordt uitgelegd hoe de verdeling van de tussenaankomsttijden en de verdeling van de bedieningstijden kan worden bepaald. In paragraaf 1.4 wordt besproken hoe je een benadering voor de wachttijd kan vinden en wat die benadering is bij elk type betaling. 1.1 Situatie in Krefeld In Krefeld is het scannen van de producten en het betalen ervan gecombineerd. Deze winkel heeft kassa s voor gewone klanten en voor gold card klanten. Aangenomen is dat geen interferentie optreedt in de zin dat gold card klanten niet naar gewone kassa s gaan en gewone klanten niet naar gold card kassa s. Daarom kun je je beperken tot het bestuderen van één type klant die bediend wordt bij een bepaald aantal kassa s Verschillende wachtrijmodellen Om de gemiddelde wachttijd van klanten te analyseren kun je verschillende wachtrijmodellen bekijken. Zo bestaat er bijvoorbeeld het Join Shortest Queue (JSQ) model. Hierbij gaat de klant in de kortste rij staan. Maar in werkelijkheid, als er bijvoorbeeld een kassa met een kleinere wachtrij of zelfs zonder wachtrij komt, dan gaat de klant daarheen en blijft hij niet bij zijn eerst gekozen kassa wachten. Het JSQ model is dus niet het meest realistische model. Daarom bestaat er ook het JSQ Hopping model. Hierbij is aangenomen dat alleen de laatste klant in de rij hopt. De tijd die het duurt om van de ene naar de andere rij te gaan wordt genegeerd. In dit model wordt ook aangenomen dat de klant maar 1 of 2 kassa s naar links of rechts gaat, want van de andere kassa s kan hij bijna niet zien of de wachtrij daar minder lang is. In dit model komt het dus veel minder vaak voor dat een kassa geen klanten meer heeft, terwijl bij andere kassa s nog mensen staan te wachten. Dit zal dus de gemiddelde wachttijd

12 12 Samenvatting Metro verslag verminderen. Nog een ander model is de Multi-server Queue G/G/s. Hierbij zijn er s kassa s en maar 1 wachtrij. Als een kassa klaar is dan is de eerste in de rij van wachtenden aan de beurt. Aangezien het meest bekend is over dit G/G/s model, is het aantrekkelijk deze te gebruiken bij een gering verschil met het JSQ Hopping model. Daarom zijn deze twee modellen met elkaar vergeleken. Het JSQ Hopping model blijkt goed benaderbaar met een G/G/s model. In een G/G/s model komt het namelijk nooit voor dat een kassa zonder klant komt, terwijl er nog klanten wachten. Daarom is de gemiddelde wachttijd minimaal. Als er geen beperkingen worden opgelegd wat betreft het hoppen zijn JSQ Hopping en G/G/s aan elkaar gelijk. De gemiddelde wachttijd in een G/G/s model is dus altijd kleiner of gelijk aan de gemiddelde wachttijd in een JSQ Hopping model. Dit kan ook numeriek onderbouwd worden door het uitvoeren van simulaties. Ook uit deze simulaties blijkt dat het JSQ Hopping model goed benaderd kan worden met een G/G/s model. 1.2 Situatie in Düsseldorf In Düsseldorf is het scannen van producten en het betalen ervan gescheiden. In deze winkels zijn er kassa s voor gewone klanten en kassa s voor gold card klanten. Ook hier wordt aangenomen dat er geen interferentie optreedt in de zin dat gold card klanten niet naar gewone kassa s gaan en gewone klanten niet naar gold card kassa s. Na het scannen kan een klant betalen met een credit card, bij een betaalautomaat of bij een betaalbalie. Aangezien de credit card machine gelinkt is aan de scanner, vindt hier geen interferentie plaats. Als de klant echter ervoor kiest te betalen bij de betaalautomaat of de betaalbalie dan treedt wel interferentie op tussen gold card klanten en gewone klanten. Een model van de situatie ziet er als volgt uit: 5? = A * A J A A A L A J K A A A J + H E J? = > A J = A * A J = = = K J = = J - N E J * A J = = > = E A Figuur 1.1: De situatie in Düsseldorf Zoals te zien is in figuur 1.1 krijg je na het scannen een bonnetje. Je kan dan of direct met je credit card betalen of met het bonnetje naar de betaalautomaat of betaalbalie gaan. Bij het printen van de bon kan natuurlijk wel eens een storing optreden waardoor je de volgende klant blokkeert. Maar Metro heeft de tijd gemeten tussen het begin van het scannen en het printen van de bon. De storing is dus al opgenomen in de metingen. Daarom kun je de situatie modelleren in de scan fasen, namelijk die van de Gold card klant en van de gewone klant en de betaal fasen, namelijk de Credit Card (CC), Betaalautomaat (PM) en Betaalbalie (PD). Met kans g i kiest de Gold card klant voor optie i en met kans r i kiest een gewone (regular) klant voor optie i. Natuurlijk geldt hierbij: g CC + g P M + g P D = 1 en r CC + r P M + r P D = 1. Bij elke optie nemen we niets speciaals aan wat betreft de bedieningstijden en daarom kunnen alle mogelijke opties gemodelleerd worden als een G/G/s model. Een klant mag pas worden

13 1.3 Data analyse 13 bediend als de vorige klant een bonnetje heeft gekregen. Daarom hoeft een klant bij de credit card machine nooit meer op andere klanten te wachten. Aangezien er dus geen wachttijd is bij de credit card machine kun je deze optie modelleren als een multi server model met oneindig veel bedienden. Dit model ziet er als volgt uit: + H E J + = + + 5? = A + = = J * A J = = = K J = = J 2 5? = A / A M A = J * A J = = > = E A 2, + H E J + = + + Figuur 1.2: Het model voor Düsseldorf 1.3 Data analyse In de winkel in Düsseldorf zijn op verschillende dagen metingen gedaan betreffende het aantal gold card klanten, het aantal gewone klanten en waar de klanten betalen. Na data analyse blijkt dat het percentage gold card klanten 16.87% is en het percentage gewone klanten 83.13%. Het percentage klanten dat met een credit card betaalt is 50.27%, het percentage klanten dat bij een betaalautomaat betaalt is 8.56% en het percentage klanten dat bij een betaalbalie betaalt is 41.17%. Aangezien er te weinig informatie is om hierbij een verschil te maken tussen gold card klanten en gewone klanten is aangenomen dat de overgangskansen niet afhangen van het type klant Tussenaankomsttijden De data set waaruit de verdeling van de tussenaankomsttijden van de klanten afgeleid kan worden, bestaat uit 288 aankomsttijden in 1 uur in een winkel in Düsseldorf. Uit de data zijn de volgende gegevens verkregen: Gem. tussenaankomsttijd : E[A] = seconden, Standaarddeviatie : σ a = seconden, Variatiecoëfficiënt : c a = σ a E[A] = Er komen dus λ = 4.73 klanten per minuut aan. De standaarddeviatie is σ a = minuten. Met behulp van de variatiecoëfficiënt is de verdeling van de tussenaankomsttijden te berekenen. Als de variatiecoëfficiënt 1 is, dan zijn de tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld.

14 14 Samenvatting Metro verslag Dit is hier niet het geval, dus waarschijnlijk zijn de tussenaankomsttijden niet exponentieel verdeeld. Om deze conclusie te versterken is een Kolmogorov-Smirnov test uitgevoerd die geïmplementeerd is in Statgraphics. Deze test verwierp de nul-hypothese dat de tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld zijn. Dus de tussenaankomsttijden zijn niet exponentieel verdeeld. Door het gebruik van Moment fitting kan nu de juiste verdeling van de tussenaankomsttijden bepaald worden. In dit geval is c a = 0.86 < 1 en daarom wordt een E k 1,k gebruikt met k = 2. Met behulp van de formules uit bijlage A kunnen p en µ berekend worden. Er komt uit dat: p = 0.435, µ = De gefitte verdelingsfunctie van de tussenaankomsttijden heeft dichtheid: Bedieningstijden f(t) = 0.054e 0.123t te 0.123t. De volgende vijf verschillende soorten bediening moeten worden onderzocht: 1. Scannen van gold card klanten 2. Scannen van gewone klanten 3. Betalen bij een betaalbalie (PD) 4. Betalen bij een betaalautomaat (PM) 5. Betalen met credit card (CC). Voor de eerste drie soorten is een grote data set beschikbaar waaruit de variatiecoëfficiënt berekend kan worden. Het gemiddelde van deze data is te zien in de volgende tabel: E[B] σ b c b GC Reg PD GC Reg PD GC Reg PD Gemiddelde In deze tabel is te zien dat de variatiecoëfficiënten van de bedieningstijden, c b, weer bijna 1 zijn. Met behulp van moment fitting kan weer een passende verdeling worden gevonden. 1) Scanfase voor gold card klanten De gemiddelde scantijd voor gold card klanten is 1.79 minuten. In dit geval c b = 1.12 > 1, dus een H 2 -verdeling met parameters: p = , µ 1 = , µ 2 = Zie bijlage A. Dit resulteert in: f(t) = 0.50e 0.75t +0.12e 0.37t 2) Scanfase gewone klanten De gemiddelde scantijd voor gewone klanten is 1.13 minuten. In dit geval c b = 1.03 > 1, dus een H 2 -verdeling met parameters: p = , µ 1 = , µ 2 = Zie bijlage A. Dit resulteert in: f(t) = 0.61e 1.04t +0.30e 0.73t

15 1.4 Benaderingen 15 3) Betaalfase betaalbalie De gemiddelde bedieningstijd voor gewone klanten is 0.27 minuten. In dit geval c b = 0.86 < 1, dus een E k 1,k -verdeling met parameters k = 2, p = 0.425, µ = Zie bijlage A. Dit resulteert in: f(t) = 2.28e 5.24t te 5.24t 4) Betaalfase betaalautomaat Voor deze fase is te weinig data voorhanden. Daarom is aangenomen dat hiervan de bedieningstijd exponentieel verdeeld is met parameter µ = 1/E[B]. In dit geval E[B] = 1.31 minuten, dus µ = Zie bijlage A. De dichtheid is daarom f(t) = 0.76e 0.76t 5) Betaalfase credit card machine Ook voor deze fase is te weinig data voorhanden. Daarom is ook hiervan aangenomen dat de bedieningstijd exponentieel verdeeld is met parameter µ = 1/E[B]. In dit geval E[B] = 0.49 minuten, dus µ = Zie bijlage A. De dichtheid is daarom f(t) = 2.06e 2.06t 1.4 Benaderingen Er zijn drie verschillende methoden om de gemiddelde wachttijd te benaderen onderzocht, namelijk: De Allen-Cunneen benadering De Whitt benadering De Marchal benadering Alle drie de benaderingen drukken E[W ] uit in 5 parameters, namelijk de aankomstintensiteit λ, de gemiddelde bedieningstijd E[B], de variatiecoëfficiënt van de aankomsttijden c a, de variatiecoëfficiënt van de bedieningstijden c b en het aantal bedienden s. Voor alle drie de benaderingen zijn simulaties gedaan. Het blijkt dat ze alle drie een goede benadering zijn voor het G/G/s model. Aangezien de Allen-Cunneen benadering het eenvoudigst is, zal deze gebruikt worden om de gemiddelde wachttijd in een G/G/s model te benaderen. Voor uitleg hiervan zie bijlage B.1. Deze benadering is: E[W G/G/s ] = c2 a + c 2 b 2 Π W E[B] s 1 1 ρ, waarbij Π W de kans is dat een klant moet wachten in het M/M/s model en met λ en E[B] als in het G/G/s model.

16 16 Samenvatting Metro verslag Metro wil dat de kans dat een klant langer moet wachten dan een bepaalde tijd kleiner is dan bijvoorbeeld 5%. Daarom is de benadering voor de wachttijdkans, P(W > t), vergeleken met de resultaten van het simulatieprogramma. Deze benadering ziet er als volgt uit: P(W > t) = Π W e µt, waarbij 1/µ = c2 a + c 2 b 2 E[B] s 1 1 ρ. Deze benadering geeft ook de gemiddelde wachttijd die hierboven besproken is. Hieronder zal beschreven worden hoe je de gemiddelde wachttijd van een gold card klant bij een betaalfase kan benaderen en wat een benadering is voor de verdeling van de wachttijd voor een gold card klant. Voor de gewone klanten gaat dit analoog. Gold card klant betaalt met credit card Klanten komen bij de betaalfase aan met intensiteit λ en variatiecoëfficiënt c a. Een fractie P(Gold card) van de klanten is gold card klant en gaat dus naar de gold card scanfase. Met behulp van de formules in bijlage C geldt dat: λ GC = λp[gold card], c 2 a,gc = P[Gold card]c 2 a + (1 P[Gold card]). Verder is aangenomen dat E[B GC ], c b,gc and s GC bekend zijn. Om nu de gemiddelde wachttijd voor een gold card klant die met een credit card betaalt te benaderen, is de volgende formule gebruikt: E[W gold1 ] = E[W GC ] In deze formule is ρ GC = λ GC EB GC en Π GC W Π GC c 2 W a,gc + c2 b,gc E[B GC ]. 1 ρ GC 2 s GC is de wachttijdkans in een M/M/s wachtrij. Aangezien er geen wachttijd is bij de credit card machine is de verdeling voor de totale wachttijd van een gold card klant die met een credit card betaalt als volgt: { P[W gold1 > t] = Π GC 2s GC (1 ρ GC ) } W exp E[B GC ](c 2 a,gc + c2 b,gc )t, (1.1) met de parameters als hierboven beschreven. Gold card klant betaalt bij de betaalautomaat Bij de betaalautomaat kunnen zowel gold card klanten als gewone klanten betalen. Uit het model volgt dat een fractie g PM van de gold card klanten en een fractie r PM van de gewone klanten naar de betaalautomaat gaan. Hierbij komt dus het splitsen van een stroom voor. Uit de formules van bijlage C volgt: c 2 d,gc = 1 + (1 ρ 2 GC)(c 2 a,gc 1) + ρ2 GC sgc (c 2 b,gc 1), c 2 d,r = 1 + (1 ρ 2 R)(c 2 a,r 1) + ρ2 R sr (c 2 b,r 1).

17 1.4 Benaderingen 17 De aankomststroom van de gold card klanten bij de betaalautomaat kan als volgt omschreven worden: λ P M,gold = g PM λ GC = λg PM P[Gold card], c 2 a,p M,gold = g PM c 2 d,gc + 1 g PM = g PM (1 + (1 ρ 2 GC)(c 2 a,gc 1) + ρ2 GC sgc (c 2 b,gc 1)) + 1 g PM. De aankomststroom van de gewone klanten bij de betaalautomaat kan beschreven worden als: λ P M,reg = r PM λ R = λr PM (1 P[Gold card]), c 2 a,p M,reg = r PM c 2 d,r + 1 r PM = r PM (1 + (1 ρ 2 R)(c 2 a,r 1) + ρ2 R sr (c 2 b,r 1)) + 1 r PM. Als we nu de bovenstaande twee aankomststromen bij elkaar voegen dan krijgen we voor de totale aankomststroom bij de betaalautomaat het volgende: λ PM = λ P M,gold + λ P M,reg, ( λp c 2 M,gold c 2 a,p M,gold a,p M = w + λ P M,regc 2 ) a,p M,reg + 1 w, λ P M,gold + λ P M,reg waarbij w = (1 + 4(1 ρ PM ) 2 (ν 1)) 1, ν = (λ P M,gold+λ P M,reg ) 2 λ 2 P M,gold +λ2 P M,reg en ρ PM = λ PM E[B P M ]. Om nu de gemiddelde wachttijd voor een gold card klant die bij de betaalautomaat betaalt te benaderen, is de volgende formule gebruikt: E[W gold2 ] = E[W GC ] + E[W PM ] In deze formule is Π P M W Π GC c 2 W a,gc + c2 b,gc E[B GC ] + ΠP M W c 2 a,p M + c2 b,p M 1 ρ GC 2 s GC 1 ρ PM 2 de wachttijdkans in een M/M/s wachtrij. E[B PM ] s PM. Aangezien een gold card klant die betaalt bij de betaalautomaat twee wachtrijen moet doorlopen is de wachttijdverdeling als volgt: waarbij P[W gold2 > t] = φ 1 (1 φ 2 )e c2t + φ 2 (1 φ 1 )e c1t + ( c1 (1 φ 1 )(1 φ 2 ) e c2t c ) 2 e c 1t, c 1 c 2 c 1 c 2 φ 1 = 1 Π GC W, c 1 = φ 2 = 1 Π P M W, c 2 = 2s GC (1 ρ GC ) E[B GC ](c 2 a,gc + c2 b,gc ), 2s PM (1 ρ PM ) E[B PM ](c 2 a,p M + c2 b,p M ), met de parameters zoals hierboven. Voor de afleiding van deze formule zie bijlage B.3.

18 18 Samenvatting Metro verslag Gold card klant betaalt bij de betaalbalie Bij de betaalbalie kunnen zowel gold card klanten als gewone klanten betalen. Uit het model volgt dat een fractie g PD van de gold card klanten en een fractie r PD van de gewone klanten naar de betaalbalie gaan. Hierbij komt dus het splitsen van een stroom voor (met c 2 d,gc en c2 d,r hetzelfde als bij de betaalautomaat). De formules die gebruikt worden om een benadering af te leiden voor de verwachte wachttijd voor gold card klanten die betalen bij de betaalbalie zijn analoog aan de formules bij de betaalautomaat. Ook de wachttijdverdeling is analoog aan die van de betaalautomaat.

19 Hoofdstuk 2 Samenvatting artikel Borst et al. In het artikel van Borst et al. [2] wordt een raamwerk ontwikkeld voor de asymptotische optimalisering van het aantal personeelsleden in een callcenter. De motivatie hiervoor is enerzijds de afweging tussen de personeelskosten en efficiëntie en anderzijds de bedieningskwaliteit die beide erg belangrijk zijn. De situatie is gemodelleerd als een M/M/N model, waarbij N (het aantal werknemers) erg groot is. In het raamwerk bepalen ze een asymptotisch optimaal personeelsniveau N dat zowel van personeelskosten als van bedieningskwaliteit afhangt. Nadat ze het raamwerk hebben opgezet stellen ze continue benaderingen voor de drie kosteneenheden op voor elk van de drie regimes. Deze regimes zijn: Kwaliteit (waarbij de focus op klantenservice ligt), Efficiëntie (waarbij de nadruk ligt op personeelskosten) en Rationaal (waarbij er een balans is tussen personeelskosten en klantenservice). Daarna leiden ze gelijke benaderingen af in de zin van constraint satisfaction. Bij constraint satisfaction wordt de kleinste N gekozen die voldoet aan een gegeven beperking voor de wachtkosten (zie bijlage D.1). Numerieke experimenten vertoonden een goede nauwkeurigheid van hun asymptotische benaderingen. N was namelijk steeds optimaal of het verschilde 1 personeelslid van het optimale aantal. De bruikbaarheid van hun benaderingen demonstreren ze aan de hand van het square-root safety staffing principe, dat in het vervolg met het wortelprincipe voor het aantal personeelsleden wordt aangeduid. 2.1 Het wortelprincipe voor het aantal personeelsleden Het wortelprincipe voor het aantal personeelsleden wordt gebruikt om een goede benadering voor het benodigde aantal personeelsleden te vinden. Het gaat als volgt: Veronderstel dat de aankomstintensiteit λ klanten per uur is en dat de bedieningsintensiteit µ is. De aangeboden belasting op het systeem is R = λ. Als de personeelskosten c euro per werknemer per uur zijn µ en de wachtkosten a euro per klant per uur zijn, dan is het aantal werknemers: N = R + y ( a c ) R waarbij y ( a) = arg min ap (y) 1 c y>0 (cy + ) met P (x) = en met h(x) de faalintensiteit y 1+(x/h( x)) (zie bijlage D.2). y is asymptotisch optimaal (zie bijlage D.3). Er geldt dat P (y ) y E[W ], want E[W ] P (y ) E[Bedieningstijd] y. R De waarde van y hangt af van de regimes. Bij Rationaal is y zoals hierboven beschreven, dus een functie van de kostengegevens die niet afhangt van λ.

20 20 Samenvatting artikel Borst et al. Bij Efficiëntie geldt dat y = arg min y>0 C[y; F λ, 1, G λ ] als λ. De personeelskosten, F λ, domineren namelijk de wachtkosten, G λ, voor λ. Voor Kwaliteit geldt dat y = arg min y>0 C[y; F λ, Q λ, G λ ]. Hierin is Q(x) = φ(x). De personeelskosten zijn bij dit regime te verwaarlozen in vergelijking met de wachtkosten voor λ x. 2.2 Modelbeschrijving In het M/M/N model is er een personeelskostenfunctie F (N). Aangenomen wordt dat F (N) convex is en strikt stijgend. Lage kosten (dus kleine N) veroorzaken lange wachttijden voor de klanten, die we kwantificeren in termen van een vertragingskostenfunctie D(t) voor een klant die pas na t tijdeenheden geholpen wordt. Als de functie F de functie D domineert worden de laagste kosten bereikt met Efficiëntie. Omgedraaid worden de laagste kosten bereikt met Kwaliteit. Als F en D vergelijkbaar zijn dan leidt optimalisatie tot het rationale regime, dat robuust genoeg is om met de meeste omstandigheden om te gaan. De drie regimes komen dus voort uit de asymptotische analyse van het M/M/N model als λ en N beide naar oneindig gaan. Het basisidee voor het asymptotisch raamwerk is als volgt. De primitieven van dit call center model zijn λ, N en de gemiddelde bedieningstijd 1. De bedieningstijd zal vast gekozen µ worden, λ is het asymptotisch regime en N is de parameter waarover geoptimaliseerd wordt. Gegeven F (N) en D(t) zijn de totale kosten C(N, λ) per tijdeenheid uitgedrukt in drie eenheden, namelijk de personeelskosten, de wachtkosten en de kans dat een aankomende klant moet wachten. Dus C(N, λ) = F (N) + λe[d λ (W)] = F (N) + λπ(n, λ )G(N, λ), µ waarbij G(N, λ) = E[D λ (W) W > 0] en voor π(n, ρ) zie bijlage D.4. De doelen om het discrete optimaliseringsprobleem op te lossen zijn: 1. Bepaal een N zodat C(N, λ) minimaal is 2. Probeer het gedrag van N voor λ te begrijpen. Daarna moet het discrete probleem vertaald worden in een continu probleem dat makkelijker op te lossen is. Dit gebeurt door λ, N en 1 door continue benaderingen te vervangen. De µ optimale oplossing voor het continue probleem levert een benaderde optimale oplossing voor het oorspronkelijke discrete probleem. De benadering is asymptotisch optimaal in de zin dat als λ dan convergeert het quotiënt van de totale kosten naar één. 2.3 Numerieke experimenten Het doel van de numerieke experimenten is om de nauwkeurigheid van de benaderingen te testen die uit het asymptotische optimale personeelsniveau voortkwamen. De numerieke resultaten geven aan dat de rationale benadering voor alle drie de regimes goed te gebruiken is. De benadering van Rationaal is asymptotisch optimaal bij alle regimes. Verder zijn voor alle drie de regimes de benaderingen voor het optimale personeelsniveau vergeleken met het exacte optimale personeelsniveau. De conclusie is dus: De rationale benadering is het beste. Deze is namelijk meestal exact en geeft zelden een afwijking. Als er een afwijking is dan is dit meestal niet meer dan één personeelslid. De benadering gebaseerd op Kwaliteit is goed,

21 2.3 Numerieke experimenten 21 maar niet zo goed als Rationaal, zelfs niet als benadering voor het Kwaliteit gedreven regime zelf. De Efficiëntie gedreven benadering is het slechtste van de drie, want deze geeft te hoge personeelsaantallen. De numerieke experimenten zijn gedaan onder gunstige voorwaarden. De asymptotische schaling van de parameters is bekend en de benadering die gebruikt is, is diegene die verwant is met het regime dat overeenkomt met de parameterschaling. Verder geldt dat de resultaten ontzettend goed zijn. Het afronden van N naar het dichtstbijzijnde gehele getal is bijna altijd exact en wijkt nooit meer dan 1 af. Merk wel op dat deze testen waarden van λ bevatten die in werkelijkheid nooit zo hoog zullen voorkomen. Uiteraard moet er nog meer getest worden. Deze testen moeten dan op z n minst de volgende doelen bevatten, namelijk het vinden van de parameterwaarden die de benaderingen breken en het bepalen of de asymptotische benaderingen robuust genoeg zijn om buiten zijn regime ook goed te werken.

22 22 Samenvatting artikel Borst et al.

23 Deel II Eigen Onderzoek

24

25 Hoofdstuk 3 Het wortelprincipe toegepast op Metro In dit hoofdstuk kijken we of het wortelprincipe van Borst et al. [2] toegepast kan worden op het kassaprobleem van Metro [1]. In de eerste sectie wordt nog eens uitgelegd wat nu precies een M/M/s wachtrijmodel is. Daarna wordt uitgelegd hoe je aan benaderingen voor de wachtkans komt en wat de formules voor deze benaderingen zijn. En tot slot worden de numerieke resultaten besproken. 3.1 Het M/M/s model In het M/M/s model zijn de tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld met gemiddelde 1/λ. De bedieningstijden zijn exponentieel verdeeld met gemiddelde 1/µ. Het aantal kassa s wordt aangegeven met s. Klanten worden geholpen in volgorde van aankomst. De bezettingsgraad is ρ = λ < 1. Een toestand wordt gekarakteriseerd door het aantal klanten in het systeem. Laat sµ p n de limietkans zijn dat er n klanten is het systeem zijn. Het stroomdiagram voor het M/M/s model ziet er als volgt uit: I I I I I I Figuur 3.1: Het stroomdiagram voor het M/M/s model De limietkansen in dit systeem zijn: en p n = (sρ)n p 0 voor n = 0,..., s. n! p s+n = ρ n p s = ρ n (sρ)s p 0 voor n = 0, 1,... s! D.m.v. normalisatie volgt: s 1 p 0 = ( n=0 (sρ) n n! + (sρ)s s! 1 1 ρ ) 1.

26 26 Het wortelprincipe toegepast op Metro De kans waar wij in geïnteresseerd zijn is de kans dat een klant moet wachten, bekend als de Erlang-C formule. Deze wordt verder aangeduid met Π W (s, ρ). Door PASTA volgt dat Π W (s, ρ) = p s + p s+1 + p s = p s 1 ρ = (sρ)s s 1 (sρ) n ((1 ρ) s! n! n=0 + (sρ)s ) 1. (3.1) s! 3.2 Benaderingen voor de wachtkans Aangezien men wil dat de klanten zo min mogelijk wachten is het Halfin-Whitt regime, ook wel bekend als het kwaliteit en efficiëntie gedreven regime, een goede optie. Hierin kan een systeem heel vol zijn (efficiëntie), terwijl de wachttijden relatief klein blijven (kwaliteit). Een andere naam voor het Halfin-Whitt regime is het wortelprincipe voor het aantal personeelsleden. Deze formule wordt beschreven in het artikel van Borst et al. [2] als: s = λ µ + β λ µ = a + β a. (3.2) Hierin is β een te kiezen constante die de verhouding tussen kosten en service aangeeft. Verder kun je s zien als het aantal kassa s in een supermarkt. Als het aantal kassa s gekozen wordt aan de hand van bovenstaande formule dan kan a gezien worden als de schalingsparameter. Neem verder zonder verlies van algemeenheid aan dat µ = 1. Nu kun je de bezettingsgraad schrijven als: ρ = λ sµ = a s = 1 β a a + β a. Als a dan gaat de bezettingsgraad ρ naar 1 volgens 1 O(1/ a). De limiet van de wachtkans die gebruikt kan worden als een benadering (Halfin-Whitt [4]) is: Π W (β) = lim a Π W (s, ρ) = (1 + βφ(β) φ(β) ) 1. Hierin is Φ(β) = 1(1 + Erf [ β 2 2 ]) de standaard cumulatieve verdelingsfunctie en φ(β) = 1 2π e β2 2 de dichtheid. Deze wachtkans is dezelfde als P (x) in bijlage D.2. Een andere benadering voor de wachtkans [5] is: Π W (α, γ, s) = (1 + γφ(α) φ(α) γ 3 s ) 1. Hierin is α = ( 2s(1 ρ + ln ρ)) en γ = s(1 ρ). Voor s geldt dat α β γ. De wachtkans kan worden begrensd door [5]: (1 + γφ(α) φ(α) γ 3 s + γ φ(α)(12s 1) ) 1 Π W (s, ρ) (ρ + γφ(α) φ(α) ) 1

27 2 > 3.3 Numerieke resultaten Numerieke resultaten Stel nu dat we aannemen dat µ = 1, dan geldt dat λ = a. We nemen nu λ = 4.73 zoals ook bij Metro het geval is. En stel als doel dat Π W = 0.05, m.a.w. de kans dat klanten moeten wachten moet 5% zijn. De vraag is nu om een geschikte β te vinden zodat het doel bereikt wordt. Dit kan als volgt: 1. Er geldt ρ = In de formule voor Π s W (s, ρ) kan dus de ρ worden vervangen, waardoor de vergelijking alleen nog van s afhangt. 2. Het doel Π W (s, 4.73 ) 0.05 wordt bereikt als s = s 3. M.b.v het resultaat van 2. krijgen we nu s = a + β a = β 4.73 = Hieruit volgt dat β = De gevonden β bij deze aankomstintensiteit is dus ongeveer 2. Alleen kun je natuurlijk geen kassa s ter beschikking stellen. Als je dan het aantal kassa s afrondt naar 9, dan β = en Π W = Als je het aantal kassa s afrondt naar 10, dan β = 2.42 en Π W = In dit geval is het dus beter om 9 kassa s te nemen. Hierbij is β = 2, zoals dus al voorspeld was. In de formule van Π W (α, γ, s) hangen α en γ beide van s en ρ = a af. Als je dus de a weet, s dan kun je deze invullen in de formule. Deze formule hangt dan alleen nog af van s. De wachtkans wil je zelf kunnen bepalen, dus die heeft ook een waarde. Op die manier kun je dan het aantal kassa s s bij de gegeven aankomstintensiteit en de gestelde wachtkans bepalen. Dus eigenlijk hetzelfde als bij bovenstaand voorbeeld, maar nu voor de formule van Π W (α, γ, s) i.p.v. Π W (s, ρ), want die formule is makkelijker te gebruiken dan die van Π W (s, ρ). Verderop in dit verslag blijkt deze formule ook een erg goede benadering te zijn voor Π W (s, ρ). In het vervolg noteren we Π W (α, γ, s) als Π W (s, ρ) omdat zowel α als γ afhangen van s en ρ. Om gevoel te krijgen voor hoe Π W (β) van β afhangt is de volgende grafiek gemaakt. & $ "! " Figuur 3.2: Grafiek van Π W uitgezet tegen β Zoals te zien is, neemt Π W (β) erg snel af. Voor β 3.2 is Π W (β)

28 28 Het wortelprincipe toegepast op Metro Metro zou nu bijvoorbeeld kunnen kiezen hoe groot ze de wachtkans willen hebben. Bij die wachtkans kunnen ze in de grafiek een bepaalde waarde voor β aflezen. Maar er kan een fout gemaakt worden als je maar ongeveer 10 kassa s wil, want de limiet van Π W (s, ρ) is Π W (β). Daarom zijn tabellen gemaakt voor 3 verschillende waarden van β. In deze tabellen zijn voor een oplopend aantal kassa s de bijbehorende wachtkans en zijn benaderingen berekend. Ook zijn de afwijkingen van de twee benaderingen ten opzichte van de echte wachtkans bepaald. Neem daarom achtereenvolgens β = 0.1, β = 1 en β = 2. Voor elk van deze waarden van β zijn de wachtkansen bepaald door het aantal kassa s op te laten lopen en daarbij de a te bepalen m.b.v. de formule van Borst et al. (3.2). Deze tabellen zijn hieronder te zien. a s = a + β a Π W (s, ρ) Π W (β) Π W (s, ρ) Π W (β) Π W (s,ρ) Π W Π W (s,ρ) Π W (s,ρ) (s,ρ) Π W (s,ρ) a s = a + β a Π W (s, ρ) Π W (β) Π W (s, ρ) Π W (β) Π W (s,ρ) Π W Π W (s,ρ) Π W (s,ρ) (s,ρ) Π W (s,ρ) a s = a + β a Π W (s, ρ) Π W (β) Π W (s, ρ) Π W (β) Π W (s,ρ) Π W Π W (s,ρ) Π W (s,ρ) (s,ρ) Π W (s,ρ)

29 3.3 Numerieke resultaten 29 In deze tabellen is te zien dat hoe groter β, des te kleiner is Π W (s, ρ). Dit is logisch, want hoe groter β des te groter wordt het aantal kassa s bij dezelfde aankomstintensiteit van klanten. De wachttijd wordt daarom steeds kleiner. De afwijkingen van Π W (β) en Π W (s, ρ) daarentegen worden steeds groter bij toenemende β. Toch blijven de afwijkingen van Π W (s, ρ) erg klein. In de orde van 10 of meer kassa s blijft deze afwijking namelijk onder de 1%. Verder valt ook op dat voor vaste β en bij toenemende s de afwijking steeds kleiner wordt. Dit is als volgt te verklaren. Stel dat a = λ en µ = 1 in formule (3.1), dan geldt met behulp van de centrale limietstelling dat: P[ λ i=1 λ i=1 Pois(i) s] = P[ Pois(i) λ λ s λ λ ] = P[N(0, 1) β] voor λ = Φ(β) Dit betekent dat P[ λ i=1 Pois(i) s] Φ(β). Dus hoe groter λ wordt, des te groter wordt s en des te beter is dus de benadering. Als je vervolgens kijkt naar vergelijking (3.2), dan zie je daar een Poissonfactor in. In een Poissonverdeling met parameter λ geldt namelijk dat: P[X = n] = λn n! e λ = λn n! ( λ) i. i! Daarom geldt dat Π W (β) = lim λ Π W (s, ρ). Π W (β) heeft dus een vaste waarde, de limiet van Π W (s, ρ). Hoe korter je naar die limiet toegaat, des te beter de benadering wordt. Dat verklaart dus dat bij vaste β en toenemende s de afwijking ten opzichte van Π W (s, ρ) steeds kleiner wordt. Voor Π W (s, ρ) geldt ongeveer hetzelfde. Als s dan geldt namelijk dat γ β. Er geldt dus dat: lim s Π W (s, ρ) = lim (1 + γφ(α) s φ(α) γ 3 s ) 1 = (1 + βφ(β) φ(β) ) 1 = lim Π W (s, ρ). s Voor s heel erg groot geldt zelfs dat Π W (s, ρ) = Π W (s, ρ). Dit verklaart dus waarom bij vaste β en toenemende s de afwijking ten opzichte van Π W (s, ρ) steeds kleiner wordt. Als β toeneemt dan geldt ook dat s toeneemt. Aangezien op den duur Π W (s, ρ) en Π W (s, ρ) gelijk zijn aan elkaar, geldt dus dat de afwijking steeds kleiner wordt. Dit verklaart dus tevens waarom de afwijking van Π W (s, ρ) steeds kleiner wordt bij toenemende β. i=0

30 > > > > > > 30 Het wortelprincipe toegepast op Metro Om nu gevoel te krijgen voor hoe deze afwijkingen afhangen van β zijn de grafieken 3.3 t/m 3.5 gemaakt. In deze grafieken is de afwijking uitgezet tegen β voor respectievelijk 5 kassa s, 10 kassa s en 15 kassa s. L A H I? D E & $ " L A H I? D E # # % # # #! " #! " # Figuur 3.3: Grafieken bij s = 5 L A H I? D E & L A H I? D E & $ " $ "! " #! " # Figuur 3.4: Grafieken bij s = 10 L A H I? D E & $ " L A H I? D E # "!! " #! " # Figuur 3.5: Grafieken bij s = 15 In deze grafieken is te zien dat voor de afwijking van Π W (β) de lijn bij oplopende s steeds meer een rechte lijn wordt. De afwijking wordt dus erg snel erg groot. Bij alle 3 de grafieken is

31 > 3.3 Numerieke resultaten 31 de afwijking bijna 100% bij β = 4. De waarde van Π W is dus niet echt een goede benadering voor Π W (s, ρ), tenzij β heel erg klein is (kleiner dan 1). In de grafieken van de afwijking van Π W (s, ρ) kun je zien dat de lijn steeds boller wordt. Dit zou inhouden dat er een bovengrens bestaat voor de afwijking. Daarom is in grafiek 3.6 nogmaals Π W (s,ρ) Π W (s,ρ) Π W tegen β uitgezet, (s,ρ) maar nu zodanig dat β naar oneindig gaat. & L A H I? D E $ " # # Figuur 3.6: Grafiek bij s = 10 In deze grafiek is duidelijk te zien dat Π Π W een bovengrens heeft. Bij s = 10 is deze (s,ρ) bovengrens Deze afwijking is erg klein. Je kan dus zeggen dat Π W (s, ρ) altijd een goede benadering is voor Π W (s, ρ). W (s,ρ) Π W (s,ρ)

32 32 Het wortelprincipe toegepast op Metro

33 Conclusie Het antwoord op de vraag of het wortelprincipe uit het artikel van Borst et al. [2] toepasbaar is op het kassaprobleem van Metro [1] is ja. De formule s = λ + β λ blijkt, zelfs als s niet µ µ te groot is, bruikbaar te zijn bij de bepaling van het aantal benodigde kassa s waarvoor de wachtkans onder een gegeven waarde blijft. Deze wachtkans is als volgt: Π W (s, ρ) = (sρ)s s! s 1 (sρ) n ((1 ρ) n! n=0 + (sρ)s ) 1. s! Hierin is ρ = λ < 1 de bezettingsgraad, λ de aankomstintensiteit van klanten, µ de bedieningsintensiteit en s het aantal sµ kassa s. Twee benaderingen voor deze wachtkans zijn: en Π W (β) = lim a Π W (s, ρ) = (1 + βφ(β) φ(β) ) 1 Π W (α, γ, s) = (1 + γφ(α) φ(α) γ 3 s ) 1, met α = ( 2s(1 ρ + ln ρ)) en γ = s(1 ρ). Voor s geldt dat α β γ. Uit de grafiek van Π W (β) uitgezet tegen β blijkt dat al voor β 3.2 geldt dat Π W (β) Aangezien Π W (β) een limiet is kan de fout erg groot zijn voor s 10. Daarom zijn 3 tabellen gemaakt, één voor β = 0.1, één voor β = 1 en één voor β = 2. De waarden voor s laten we vervolgens in elke tabel oplopen van 1 tot 100. Voor elk van deze waarden worden ook de wachtkans, de 2 benaderingen hiervoor en de afwijking van elke benadering berekend. Uit deze tabellen blijkt dat: 1. hoe groter β des te kleiner wordt de wachtkans en des te groter de afwijking van beide benaderingen. Toch blijft de afwijking van Π W (α, γ, s) erg klein, namelijk < 1% bij 10 kassa s. 2. Voor vaste β en toenemende s gaat de afwijking juist omlaag. Om gevoel te krijgen voor hoe de afwijking afhangt van β, zijn voor verschillende waarden van s (namelijk 5, 10 en 15) grafieken gemaakt waarin de afwijking wordt uitgezet tegen β. Hieruit blijkt dat Π W (β) geen goede benadering is voor de wachtkans. Voor β = 4 is de afwijking bij alle 3 de waarden van s namelijk 100%. Alleen voor kleine waarden van β (β < 1) kan deze benadering gebruikt worden. De benadering Π W (α, γ, s) daarentegen blijkt net een heel goede benadering te zijn. De grafiek van de afwijking van deze benadering uitgezet tegen β heeft namelijk een bovengrens. Bij s = 10 is deze bovengrens , dus ongeveer 0.8%. Voor iedere waarde van β is Π W (α, γ, s) dus een goede benadering voor Π W (s, ρ).

34 34 Het wortelprincipe toegepast op Metro

35 Bijlagen

36

37 Bijlage A Moment fitting Als 0 < c x < 1, fit dan een E k 1,k verdeling als volgt. Kies k zodat 1 k c2 x 1 k 1. De benaderde verdeling is met kans p een som van k 1 onafhankelijke exponenten en met kans 1 p een som van k onafhankelijke exponenten met dezelfde verwachting E[X]. Laat p = 1 ( kc c 2 x (k(1 + c 2 x) k 2 c 2 x) 1/2) en µ = k p x E[X], dan heeft de E k 1,k verdeling de juiste E[X] en c x. Als c x 1, fit dan een H 2 (p 1, p 2 ; µ 1, µ 2 ) verdeling. De H 2 verdeling is niet uniek bepaald door zijn eerste 2 momenten. In toepassingen wordt vaak de H 2 verdeling met balanced means gebruikt. Men gebruikt dan p 1 = p 2. µ 1 µ 2 De parameters van de H 2 verdeling met balanced means worden gegeven door p 1 = 1 ( ) c x 1, p 2 c 2 2 = 1 p 1 en µ i = 2p i, voor i = 1, 2. x + 1 E[X]

38 38 Moment fitting

39 Bijlage B Benaderingen B.1 Allen-Cunneen benadering Een wachtrijsysteem gebaseerd op een geboorte-sterfte proces is in stadium E n op tijdstip t als het aantal klanten in een systeem n is, dus als N(t) = n. Een geboorte is als een klant in het systeem komt en een sterfte is als een klant het systeem verlaat. Gegeven zijn nu de geboorterates λ n en de sterfterates µ n. Verder wordt aangenomen dat S = 1 + C 1 + C <, waarbij C n = λ 0λ 1...λ n 1 µ 1 µ 2...µ n. Nu kunnen we berekenen dat p 0 = 1/S en dat p n = P [N = n] = C n p 0. M/M/1 model Voor een M/M/1 systeem geldt dat λ n = λ en µ n = µ voor n = 0, 1, 2,... Vervolgens geldt S = 1 + ρ + ρ ρ n +... = 1 als we aannemen dat ρ = λ < 1. Ook geldt nu dat 1 ρ µ p n = P [N = n] = ρ n (1 ρ) wat betekent dat N een geometrische verdeling heeft met p = 1 ρ en q = ρ. Nu geldt dat L = E[N] = q p = ρ = het gemiddeld aantal klanten in het systeem. 1 ρ Met Little s theorie geldt W = E[w] = L = λ het systeem. ρ λ(1 ρ) = 1 µ(1 ρ) = de gemiddelde verblijftijd is in Conclusie: W q = E[W M/M/1 ] = W E[s] = 1 µ(1 ρ) 1 µ = ρ/µ 1 ρ = de gemiddelde wachttijd in de wachtrij. M/M/s model Voor een M/M/s systeem geldt dat λ n = λ en nµ als n = 1, 2,..., s µ n = sµ als n = s, s+1,... Voor u = λ/µ en ρ = u/s geldt nu dat: C n = u n n! als n = 1, 2,..., s u s s! ( u s )n s als n = s, s+1,...

40 40 Benaderingen Als ρ < 1 dan S = 1 + u + u2 2! = s 1 n=0 u n n! + us s! us (s 1)! + us s! (1 + u s + (u s )2 +...) s 1 ρ n u n = n! + u s = 1. s!(1 ρ) p 0 n=0 n=0 Dus s 1 p 0 = [ n=0 u n n! + u s s!(1 ρ) ] 1 en p n = P [N = n] = u n n! p 0 als n = 1, 2,..., s u n s!s n s p 0 als n = s, s+1,... Nu geldt dat het aantal klanten die wachten is: L q = E[N q ] = Met Little s theorie geldt nu dat: De breuk p s 1 ρ Deze is als volgt: C(s, u) = Π W = Nu volgt dat (n s)p n = n=s kp s+k = k=0 k=0 k us s! ρk p 0 = u s p 0 s! (0 + 1ρ + 2ρ2 +...) = u s p 0 s! ρ d dρ (1 + ρ + ρ2 +..) = p 0 u s ρ s!(1 ρ) 2 W q = L q λ = p 0 u s µs!(1 ρ) 2. is de kans dat een aankomende klant moet wachten, ofwel de Erlang-C formule. us p s!(1 ρ) 0. W q = E[W M/M/s ] = C(s, u) µs(1 ρ) is de gemiddelde wachttijd in de wachtrij. G/G/1 model Voor de gemiddelde wachttijd in de wachtrij in een G/G/1 systeem kan gebruik worden gemaakt van de volgende stelling [3]: Theorie (Heavy traffic benadering) Neem een G/G/1 wachtrijsysteem. Als ρ naar 1 gaat, dan gaat de verdeling van de wachttijd, q, naar een exponentiële verdeling met λ(v ar(a) + V ar(b)) W q = E[W G/G/1 ] =. 2(1 ρ) Verder geldt dat: V ar(x) = σ 2 x = c2 x µ 2 dus E[W G/G/1 ] = λ(c2 a+c 2 b ) 2µ 2 (1 ρ).

41 B.2 Benaderingen voor de wachttijdkans 41 Allen-Cunneen benadering Laat ρ = λ. Voor de gemiddelde wachttijd in een G/G/s wachtrij zal nu de volgende benadering µ gebruikt worden [3]: E[W G/G/s ] E[W M/M/s] E[W M/M/1 ] E[W G/G/1]. Hierbij is dus: en en ( met Π W = (sρ)s s 1 (sρ) n (1 ρ) s! n! n=0 E[W M/M/1 ] = E[S] 1/µ = ρ/µ 1 ρ E[W G/G/1 ] E[W M/M/s ] = Π W ρ 1 ρ c2 a + c 2 b 2 1 µ 1 1 ρ 1 sµ, ) 1 + (sρ)s = de kans dat een klant moet wachten. s! De gemiddelde wachttijd voor een G/G/s wachtrij wordt dus gegeven door: E[W G/G/s ] Π W 1 ρ c2 a + c 2 b 2 1 sµ. B.2 Benaderingen voor de wachttijdkans De kans dat de wachttijd groter is dan t wordt beschreven door P(W > t). Als je deze kans wil benaderen moet je de volgende drie stappen zetten: 1. Benader E[W] en bereken P(W > t) in het geval van de M/M/s wachtrij. 2. Laat X een exponentiële verdeling hebben met verwachting E[W W > 0] = E[W ] =: 1/µ. P(W >0) 3. Bereken dan P(W > t) = P(W > 0)P(W > t W > 0) = P(W > 0)P(X > t) = P(W > 0)e µt. Als je de gemiddelde wachttijd berekent met behulp van deze kans dan krijg je: E[W G/G/s ] = 0 0 = c2 a + c 2 b 2 = c2 a + c 2 b 2 P(W > t)dt 2s(1 ρ) Π w e E[B](c 2 t a +c2 b ) dt Π w E[B] s Π w E[B] s 1 1 ρ 1 1 ρ. ( e 2s(1 ρ) E[B](c 2 a +c2 b ) t) Zoals je ziet leidt deze benadering naar de Allen-Cunneen benadering voor de gemiddelde wachttijd. 0

42 42 Benaderingen B.3 Benaderingen voor de wachttijdverdeling In B.2 hebben we gezien dat de wachttijdverdeling voor fase 1 en 2 benaderd kan worden met P[W 1 = 0] φ 1, P[W 1 > t] (1 φ 1 )e c 1t, P[W 2 = 0] φ 2, P[W 2 > t] (1 φ 2 )e c 2t. De wachttijdkans van de som van de fasen kan benaderd worden met (aangenomen dat W 1 en W 2 onafhankelijk zijn) P[W > t] = P[W 1 + W 2 > t] P[W 2 > t] + P[W 2 = 0]P[W 1 > t] + t z=0 P[W 2 (z, z + dz)]p[w 1 > t z]dz = (1 φ 2 )e c 2t + φ 2 (1 φ 1 )e c 1t + (1 φ 1 )(1 φ 2 ) t z=0 c 2 e c 2z e c 1(t z) dz = φ 1 (1 φ 2 )e c2t + φ 2 (1 φ 1 )e c1t + ( c1 (1 φ 1 )(1 φ 2 ) e c2t c ) 2 e c 1t. (B.1) c 1 c 2 c 1 c 2 De wachttijdverdeling van een gold card klant ziet er als volgt uit P[W GC > t] = g CC P[W gold1 > t] + g PM P[W gold2 > t] + g PD P[W gold3 > t], (B.2) waarbij P[W gold1 > t], P[W gold2 > t] en P[W gold3 > t] de wachttijdverdelingen voor gold card klanten zijn die betalen met een credit card, bij een betaalautomaat of bij een betaalbalie respectievelijk.

43 Bijlage C Wachtrijnetwerken We moeten niet alleen de gemiddelde wachttijd benaderen in de scanfase maar ook in de diverse betaalfasen. Daarvoor hebben we gemiddelden en variatiecoëffieciënten nodig van de aankomsten in die betaalfasen. Deze parameters zijn niet bekend en moeten benaderd worden. Daartoe moeten we allereerst het stochastisch proces van opeenvolgende vertrektijden van klanten bij de scanfase bestuderen. Voor een Vertrek proces geldt dat ρ < 1 en dat de gemiddelde input gelijk is aan de gemiddelde output. Een benadering voor de variatiecoëfficiënt in het kwadraat is [6]: c 2 d = 1 + (1 ρ 2 )(c 2 a 1) + ρ2 m (c 2 s 1). Aangezien de klanten drie mogelijkheden hebben om te betalen, zullen ze zich splitsen. Stel dat een vertrek stroom met c 2 d als kwadratische variatiecoëfficiënt zich splitst in k stromen waar de klanten naar stroom i gaan met kans p i. Dan geldt: c 2 i = p i c 2 d + 1 p i. De aankomstintensiteit in stroom i is λp i, waarbij λ de aankomstintensiteit is van de originele stroom. Als de aankomststroom bij een betaalgelegenheid bestaat uit een mengsel van k stromen met aankomstintensiteit λ i voor alle i = 1, 2,.., k, dan moet de aankomstintensiteit λ en zijn overeenkomstige variatiecoëfficiënt in het kwadraat, c 2, voor de gemengde stroom berekend worden. Er geldt: λ = i λ i. De waarde van c 2 kan benaderd worden door: c 2 = w i ( λi / j λ j ) c 2 i + 1 w, waarbij w = (1 + 4(1 ρ) 2 (ν 1)) 1, ν = ( i (λ i/ k λ k) 2 ) 1 en c 2 i de kwadratische variatiecoëfficiënt van de tussenaankomsttijden voor stroom i is en ρ de bezettingsgraad van de betaalgelegenheden waar de stromen arriveren.

44 44 Wachtrijnetwerken

45 Bijlage D Artikel Borst et al. D.1 Constraint satisfaction Een probleem dat veel lijkt op het probleem beschreven in dit artikel [2] is het minimaliseren van de personeelskosten onderworpen aan een beperking M λ > 0 voor de wachtkosten. Nu zijn we geïnteresseerd in het bepalen van: Nλ = min N : K(N, λ) M λ N> λ µ met K(N, λ) = λπ(n, λ )G(N, λ) voor de wachtkosten. µ Voor het kostenminimalisatieprobleem moet het discrete probleem eerst vertaald worden in een continu probleem. Dit probleem moet dan weer benaderd worden met een gerelateerd continu probleem dat makkelijker op te lossen is. D.2 Faalintensiteit Voor elke x > 0 geldt: P (x) = (x/h( x)) Hierin is h(x) = Dus φ(x) 1 Φ(x) P (x) = de faalintensiteit met φ(x) = 1 2π e x2 /2 en Φ(x) = x φ(y)dy (x/h( x)) = h( x) h( x) + x = [1 + x h( x) ] 1 = [1 + x(1 Φ( x)) ] 1 = [1 + xφ(x) φ( x) φ(x) ] 1 ook wel de Halfin-Whitt vertragingsfunctie genoemd. Deze P (x) kan waarden tussen 0 en 1 aannemen.