16. Voorraadbeheer. (3) inkoper van een warenhuis beslist hoeveel producten van verschillende types kleding in te kopen voor komend seizoen

Transcriptie

1 16. Voorraadbeheer Stochastische voorraadmodellen met één periode eenvoudigste voorraadmodel met stochastische vraag: krantenjongenmodel keuze beginvoorraad om optimaal te voldoen aan stochastische vraag in 1 periode aan eind van periode alle voorraad verkocht weggooien overschot onder kostprijs verkopen toepassingen: (1) krantenjongen aan begin van elke dag beslissen hoeveel kranten inkopen (2) verkoper van kerstbomen beslist hoeveel bomen hij begin december in voorraad moet nemen (3) inkoper van een warenhuis beslist hoeveel producten van verschillende types kleding in te kopen voor komend seizoen één-periode model: seizoensgebonden of bederfelijke goederen Typeset by FoilTEX 21

2 Krantenjongenprobleem met één product basisformule voor optimale bestelgrootte hypothesen: 1. één enkele tijdsperiode 2. alleen bestellen aan begin van periode geen tussentijdse bijbestellingen 3. vraag is stochastisch met kansdichtheid f(x) voor totale vraag in die periode cdf = F (x) 4. kosten- en winststructuur v = inkoopprijs (in EUR/stuk) p = verkoopprijs (in EUR/stuk) s = restwaarde van overgebleven producten (in EUR/stuk) b = boetekosten voor tekorten (in EUR/stuk) v > s en s < p + b Methode 1: P (Q) = verwachte nettowinst bij bestelgrootte Q STELLING: Q > 0 P (Q) = vq + sq +(p s) Q 0 Q 0 f(x)dx + (p + b)q xf(x)dx b Q Q xf(x)dx f(x)dx Typeset by FoilTEX 22

3 De functie P (Q) is maximaal voor Q die voldoet aan F (Q ) = p v + b p s + b. Bewijs Methode 2: marginale analyse maximaliseren van winstfunctie P (Q) minimaliseren van kostenfunctie c(q) met: c(q) = verwachte kosten bij bestelgrootte Q overschotkosten c 0 = v s per niet-verkocht product tekortkosten c t = p v + b per eenheid tekort marginale analyse gebruikt niet formule voor c(q) maar enkel dat afgeleide van c(q) in Q (optimale bestelgrootte) nul moet zijn: lim Q 0 c(q + Q) c(q ) Q = 0 Q + Q met Q > 0 c 0 en c t P {vraag > Q } = 1 F (Q ) P {vraag Q } = F (Q ) Typeset by FoilTEX 23

4 verwachte stijging in overschotkosten c 0 Q F (Q ) verwachte daling in tekortkosten c t Q (1 F (Q )) voor Q voldoende klein c(q + Q) C(Q ) c 0 F (Q ) c t Q(1 F (Q )) lim Q 0 c(q + Q) c(q ) Q = c 0 F (Q ) c t (1 F (Q )) = 0 F (Q ) = c t = p v + b c 0 + c t p s + b. Normaal verdeelde vraag stochastische variabele X = totale vraag in één periode X N(µ, σ) F (Q ) = P {X Q } { } X µ P Q µ σ σ = c t c 0 + c t Q µ Stel = k Q = µ + kσ σ met k = veiligheidsfactor Typeset by FoilTEX 24

5 dan Φ(k) = c t c 0 + c t met Φ cdf van standaard normale verdeling voorbeeld met E[(Q X) + ] = I(k) = normale verliesfunctie Q 0 (Q x)f(x)dx = Q µ + σi( Q µ ) σ 1 + (z k)e z2 2 dz 2π k = ϕ(k) k{1 Φ(k)} Het krantenjongenprobleem voor meerdere producten meerdere producten in te slaan voor één periode inkoopbeslissingen beperkt door budgetrestrictie Hoe budget verdelen over verschillende producten zodat totale verwachte nettowinst maximaal is? Typeset by FoilTEX 25

6 notaties: n producten winsten/kosten parameters van product i: v i, p i, s i en b i f i (x) en F i (x): kansdichtheid resp. cdf van totale vraag naar product i beschikbare budget: B optimale bestelgroottes Q 1, Q 2,..., Q n optimaliseringsprobleem: max n P i (Q i ) restricties n v i Q i B Q i 0, i = 1,..., n met P i (Q i ) = verwachte nettowinst bij bestelgrootte Q i = v i Q i + s i Q i Qi 0 f i (x)dx +(p + b)q i Q i f i (x)dx +(p s) Q i 0 f i (x)dx b Q xf i (x)dx i impliciete onderstelling: vragen naar de verschillende producten zijn onafhankelijk van elkaar niet-lineair programmeringsprobleem met ongelijkheidsrestricties Lagrange-functie en Kuhn-Tucker voorwaar- Typeset by FoilTEX 26

7 den L(Q 1,..., Q n, λ) = n Q i L Q i = 0 Q i 0 P i (Q i ) λ( n L Q i 0 λ L λ = 0 λ 0 L λ 0 v i Q i B) i = 1,..., n benaming: λ heet de multiplicator van Langrange 1ste geval n L λ = ( v i Q i B) > 0 n v i Q i B dan λ = 0 en ongebonden extremumvraagstuk Q i (0), i = 1,..., n: oplossingen van het stelsel { n P i (Q i ) = 0 i = 1,..., n Q i {P i (Q i) = 0 i = 1,..., n { F (Q i ) = p i v i + b i i = 1,..., n p i s i + b i Typeset by FoilTEX 27

8 2de geval λ > 0 dan n L λ = 0 v i Q i = B NOTATIE: voor vaste waarde λ(> 0) zijn Q i (λ), i = 1,..., n, de waarden van de Q i s waarvoor de functie van Lagrange maximaal is STELLING: Stel dat het getal λ > 0 zodanig is n dat v i Q i (λ ) = B dan vormen de Q i (λ ) s een optimale oplossing van het oorspronkelijke probleem. Bewijs economische interpretaties van de Lagrangemultiplicator: (1) de optimale waarde λ is een maat voor de gevoeligheid van de totale maximale nettowinst als het beschikbare budget B wijzigt (2) schaduwprijs : prijs voor het budget berekening van Q i (λ) s die L(Q 1,..., Q n, λ) maximaliseren L Q i = 0 ofwel = 0 Q i Typeset by FoilTEX 28

9 L Q i = P i(q i ) λv i = 0 p i (1 + λ)v i + b i (p i s i + b i )F (Q i ) = 0 F (Q i ) = p i + (1 + λ)v i + b i p i s i + b i i = 1,..., n Opmerking L(Q 1,..., Q n, λ) = n P i (Q i, λ) + λb ( ) met P i (Q i, λ) de uitdrukking P i (Q i ) waarin v i vervangen werd door v i (1 + λ) L Q i = P i Q i (Q i, λ) = 0 i = 1,..., n algoritme Stap 1 : Bereken Q i (0) s (zie 1ste geval) Als n v i Q i (0) < B dan optimale oplossing. Anders kies λ > 0 en ga naar stap 2. Stap 2 : Bereken voor huidige waarde van λ, Q i (λ) s uit (*) waarbij Q i (λ) = 0 als (*) geen positieve oplossing heeft. Typeset by FoilTEX 29

10 Stap 3 : Vergelijk n v i Q i (λ) met B. Als n v i Q i (λ) = B dan optimale oplossing. Als n v i Q i < B, naar stap 2 met lagere waarde van λ. Als n v i Q i > B, naar stap 2 met hogere waarde van λ. Methode om λ aan te passen: bissectiemethode n kies λ 0 (= 0) en λ 1 : v i Q i (λ 0 ) > B en n v i Q i (λ 1 ) < B probeer λ 2 = λ 0 + λ 1 2 n is v i Q i (λ 2 ) < B dan λ 0 < λ < λ 2 n v i Q i (λ 2 ) > B dan λ 2 < λ < λ 1 deze stap herhalen snelle convergentie! Een stochastisch (s, Q) voorraadmodel voorraad te beheren over zeer lange tijdsperiode hypothesen Typeset by FoilTEX 30

11 parameters van model nagenoeg constant gedurende deze tijdsperiode stochastische vraag positieve levertijden tekorten kunnen optreden als vraag gedurende levertijd groter is dan voorraad op moment van bestellen Wanneer bestellen? (bestelpunt) Hoeveel bestellen? (bestelgrootte) voorraad op niveau bestelpunt nieuwe voorraad bestellen bestelpunt > verwachte vraag gedurende levertijd verschil = veiligheidsvoorraad = buffer tegen stochastische fluctuaties van de vraag gedurende levertijd hoger bestelpunt lagere kans op uitverkocht hoger gemiddeld voorraadniveau terminologie vraag tijdens voorraadtekort: 1. nalevering: vraag wordt nageleverd zodra voldoende voorraad aanwezig Typeset by FoilTEX 31

12 2. verloren vraag: vraag gaat verloren voorraadconcepten: 1. voorraad op de planken: voorraad die fysiek aanwezig is ( 0) 2. netto voorraad = (voorraad op de planken) (na te leveren orders) 3. economische voorraad = (netto voorraad) + (orders in bestelling) voorraadbeheer op basis van eoconomische voorraad hypothesen 1. voorraadpositie continu bijgehouden aanvulorder op elk moment te plaatsen 2. individuele vraagtransacties zo klein voorraadniveau continue variabele 3. aanvulorder Q geplaatst als economische voorraad gedaald tot bestelpunt s 4. levertijd van een bestelling: L > 0 constant 5. gevraagde hoeveelheden in disjuncte tijdsintervallen: onafhankelijke stochastische variabelen Notaties Typeset by FoilTEX 32

13 X L = totale vraag gedurende de levertijd f L (x) = kansdichtheid van de vraag gedurende de levertijd µ L = verwachte waarde van de vraag gedurende de levertijd σ L = standaardafwijking van de vraag gedurende de levertijd Bepaling van µ L en σ L in praktijk aan de hand van verzamelde data over de vraag µ 1 en Q 1 : gemiddelde en standaardafwijking van de vraag over standaard tijdsduur levertijd = L standaard tijdsduren µ L = Lµ 1 en σ L = Lσ Het (s, Q) naleveringsmodel exacte analyse: gecompliceerd en praktisch niet bruikbare resultaten heuristische analyse s > 0 benaderingen voor gemiddelde voorraad op de planken gemiddelde achterstand in levering kans op voorraadtekort gedurende levertijd fractie van de vraag die direct uit voorraad geleverd wordt langetermijngemiddelden bepalen uit gedrag gedurende één cyclus Typeset by FoilTEX 33

14 één cyclus = tijdsinterval tussen twee opeenvolgende tijdstippen waarop een aanvulorder toekomt I 1 I 2 S 1 S 2 s X L = E[voorraad op de planken aan einde van een cyclus] = E[voorraad op de planken aan begin van een cyclus] = E[tekort aan einde van een cyclus] = E[tekort aan begin van een cyclus] = netto voorraad vlak voordat aanvulorder binnenkomt I 1 = E[(s X L ) + ] S 1 = E[(X L s) + ] I 2 = E[(s + Q X L ) + ] S 2 = E[(X L s Q) + ] I 1 = I 2 = S 1 = S 2 = s 0 s+q 0 s 0 (s x)f L (x)dx (s + Q x)f L (x)dx (x s)f L (x)dx (x s Q)f L (x)dx Typeset by FoilTEX 34

15 a (a x)f L (x)dx = 0 0 a = a µ L + (a x)f L (x)dx (a x)f L (x)dx I 1 = s µ L + S 1, I 2 = s + Q µ L + S 2 Gemiddelde voorraad op de planken 1 2 (I 1 + I 2 ) s µ L Q (S 1 + S 2 ) a (a x)f L (x)dx Gemiddelde achterstand in levering 1 2 (S 1 + S 2 ) in praktijk als tekorten zelden optreden is S 2 zeer klein t.o.v. S 1 en dus te verwaarlozen Kans op voorraadtekort P {X L > s} = s f L (x)dx Typeset by FoilTEX 35

16 Fractie direct geleverde vraag stochastische variabelen: D(t) = totale hoeveelheid vraag in (0, t) V (t) = totale hoeveelheid vraag in (0, t), waaraan niet direct voldaan wordt V (t) op lange termijn lim is fractie van vraag t + D(t) NIET direct voldaan uit voorraad = E[hoeveelheid vraag per cyclus die niet direct leverbaar is] E[totale vraag in een cyclus] met teller = S 1 S 2 noemer = Q (wegens naleveringen) teller noemer = 1 { (x s)f L (x)dx Q s s+q (x s Q)f L (x)dx } Minimalisering van kosten onder service-eis K = vaste kosten verbonden aan aanvulorder r = voorraadkosten per in voorraad geïnvesteerde euros per tijdseenheid v = inkoopkosten per eenheid praktijk: voorraadtekortkosten moeilijk te kwantificeren in de plaats ervan service-eisen: Typeset by FoilTEX 36

17 P 1 : kans op GEEN tekort gedurende levertijd van een aanvulorder α met 0 < α < 1 P 2 : fractie vraag die direct uit voorraad geleverd wordt β met 0 < β < 1 Opmerking: P 2 betere servicemaat som van gemiddelde voorraadkosten en bestelkosten minimaliseren onder P 1 ofwel onder P 2 stel µ 1 = gemiddelde vraag per tijdseenheid µ 1 = gemiddelde aantal aanvulorders per tijdseenheid Q bestelkosten = K µ 1 Q + µ 1v ( 1 voorraadkosten = 2 Q + s µ L + 1 ) 2 (S 1 + S 2 ) vr theorie: Q en s simultaan berekenen praktijk: eerst Q dan s Sequentiële benadering 1. bestelgrootte Q uit EOQ-formule Q 0 = 2µ1 K vr Typeset by FoilTEX 37

18 2. s op basis van service-eis geval P 1 : s 1 geval P 2 : β Q 0 s f L (x)dx = 1 α { (x s)f L (x)dx } (x s Q 0 )f L (x)dx s+q 0 = 1 Opmerking 1. sequentiële aanpak goed als Q 0 > σ L 2. tweede integraal (S 2 ) in geval P 2 niet verwaarlozen als σ L µ L > 0.5 en β < geval P 2 niet eenvoudig op te lossen Normaal verdeelde vraag motivatie: vraag van groot aantal onafhankelijke afnemers, limietstelling X L N(µ L, σ L ) met σ L µ L 0.5 (anders significante kans op negatieve vraag) stel s = µ L + kσ L met k: veiligheidsfactor kσ L = s µ L : veiligheidsvoorraad Typeset by FoilTEX 38

19 { XL µ L P {X L > s} = P σ L geval P 2 : 1 Φ(k) = 1 α normale verliesfunctie I(z) = } > k = 1 Φ(k) 1 + (z z)e 1 2 x2 dx 2π z = ϕ(z) z(1 Φ(z)) en a = σ L E = σ L I S 1 = σ L I geval P 2 : σ L I = E[(X z) + ] X N(0, 1) (x a)f L (x)dx = E[(X L a) + ] [ (XL µ L σ L ( ) a µl σ L ( s µl σ L ( s µl a µ ) ] + L σ L ), S 2 = σ L I σ L ) σ L I ( ) s + Q µl σ L ( ) s + Q0 µ L σ L = (1 β)q 0 Typeset by FoilTEX 39

20 praktisch: voor β 0.9 tweede term te verwaarlozen ( ) s µl σ L I = (1 β)q 0 σ L voorbeeld µ 1 = 2600 σ 1 = 200 L = 3 weken = 3 52 jaar K = 225 v = 200 r = 0.15 β = 0.99? (s, Q) Het (s, Q) model met verloren vraag exacte analyse: moeilijk heuristische analyse: benaderingen netto voorraad vlak voor binnenkomst van een aanvulorde (s X L ) + gemiddelde voorraad op de planken 1 2 (I 1 + I 2 ) Typeset by FoilTEX 40

21 met I 1 E[(s X L ) + ] = s µ L + I 2 = I 1 + Q s (x s)f L (x)dx s µ L Q + (x s)f L (x)dx kans op voorraadtekort gedurende levertijd s P {X L > s} = s f L (x)dx fractie vraag die verloren gaat = E[hoeveelheid vraag per cyclus waaraan niet voldaan] E[totale vraag per cyclus] teller E[(X L s) + ] noemer = E[verloren hoeveelheid vraag per cyclus] fractie +E[geleverde hoeveelheid vraag per cyclus] E[(X L s) + ] + Q s (x s)f L (x)dx s (x s)f L (x)dx + Q bestelgrootte Q 0 gegeven bestelpunt s gevraagd onder service-eis: Typeset by FoilTEX 41

22 tenminste fractie β van de vraag direct uit voorraad te leveren 0 < β < 1 s oplossen uit s (x s)f L (x)dx = 1 β β Q geval normaal verdeelde vraag: σ L I ( ) s µl σ L = 1 β β Q 0 Opmerking β 1 bestelpunt hetzelfde voor model met verloren vraag als naleveringsmodel Typeset by FoilTEX 42