OPMERKINGEN VOORAF: Ik heb de bewijsnetten waar ik gebruik van maakte in mijn vorige versie van dit artikel vervangen voor het Natuurlijke

Transcriptie

1 OPMERKINGEN VOORAF: Ik heb de bewijsnetten waar ik gebruik van maakte in mijn vorige versie van dit artikel vervangen voor het Natuurlijke Deductiesysteem. Met name omdat ik, na bestudering van enige primaire bronnen over genoemde bewijsnetten, het idee begon te krijgen dat ik waarschijnlijk nog niet helemaal doorhad waar ik gebruik van aan het maken was. Enkele definities zijn opgenomen over categoriale grammatica zelf, vanuit het idee dat het nooit kwaad kan om de lezer met weinig voorkennis uit te leggen waar de tekst over handelt. Het is mij opgevallen hoe nagenoeg ieder zichzelf respecterend artikel met betrekking tot de logische stroming binnen de categoriale grammatica karakters uit Lewis Carroll s Alice verhalen leent om te dienen als boegbeelden van de voorbeeldzinnen. Geen slecht idee, zo dunkt mij, gezien de taalkundige interesse die deze verhalen op weten te wekken. Zoals te bemerken uit de voorpublicatie leek het mij dan ook geen slecht idee om deze personages te adopteren als protagonisten voor de diverse voorbeeldzinnen die mijn tekst rijk was. Tot mijn spijt, echter, moet ik bekennen dat ik, na het hebben gezien van The Hitchhiker s Guide to the Galaxy, Alice en Tweedledum plaats heb laten maken voor de alledaagse Dent en de paranoide androide. Slartibartfast werd ook nog overwogen, maar werd verworpen met het idee dat zijn naam ietwat af zou leiden. Niets voor niets merkte hij in het boek op dat zijn naam er niet toe deed. PUNTEN VAN ONVREDE: Ik ben nog niet geheel tevreden over de gebruikte constraints voor de evaluator. Ik had uiteraard liever iets bedacht dat wat trouwer zou zijn aan de gedachten achter optimaliteitstheorie. Ik heb nog wel enige tijd geprobeerd iets beters te verzinnen en hoewel ik enkele alternatieven bedacht had die wat meer generalisaties hadden, brachten deze alternatieven weer veel andere problemen met zich mee. Het artikel moest toch afgerond worden dus ik kon het mij niet meer permitteren nog al te lang na te blijven denken over mogelijke alternatieven. Het hoofdstuk van de generator draait grotendeels om wat ik maar de hoofdstelling van de generator genoemd heb, wegens het belang van de stelling in kwestie. Ik heb geprobeerd er iets bij te schrijven wat nog een beetje iets weg heeft van een bewijs, doch nog niet echt een volwaardig bewijs vormt. Ik had misschien nog wat dieper in kunnen gaan op het idee achter equivalentie modulo directie van applicatie, enz. (ofwel: ik had misschien nog een kleine samenvatting kunnen geven van het verhaal van Fulop hierover) De wijze waarop ik de toepassingen van structurele postulaten beregel schiet helaas nog ernstig tekort. Met betrekking tot de constraints: alleen maar kijken naar directie van applicatie is iets anders dan het hele syntactisch type vastleggen van wat ik heb genoemd de hoofdfunctor. Ik had hier wat dieper op in kunnen gaan. 1

2 Optimaliteitstheoretische Categoriale Grammatica Arno Bastenhof 29 augustus 2005 Inhoudsopgave 1 Inleiding Categoriale Grammatica in Natuurlijke Deductiestijl λ-termen De Curry-Howard correspondentie Optimaliteitstheorie De generator Equivalentie modulo directie van applicatie Modale decoratie en de structurele module Modale decoratie De structurele module Implementatie van modale decoratie en de structurele module Over de ambiguiteit van het type (e t) De evaluator Hoofdstelling van de evaluator Formulering van de constraints Directie van applicatie Subcategorisatie Analyse Het onderzoeksobject Subject, Werkwoord, Object Vraagzinnen Kwantoren en reflexieven Conclusie 27 6 Appendix: Voorbeelden Verkrijgen structuurkandidaten Labeling semantische types Modale decoratie Toepassingen structurele postulaten

3 1 Inleiding In dit artikel tracht ik, gebruikmakend van de Curry-Howard correspondentie, een procedure te beschrijven voor het vinden van de relatie tussen een semantische term uit de eenvoudig getypeerde λ-calculus en de daarbij behorende mogelijke syntactische derivaties in categoriale grammatica 1. Teneinde uit deze verschillende mogelijkheden de taalspecifieke oplossing te kunnen selecteren situeer ik CG binnen een optimaliteitstheoretische architectuur. Bij een semantische term uit de eenvoudig getypeerde λ-calculus is er sprake van een equivalentie modulo directie van applicatie met de daarbij behorende mogelijke syntactische structuren, zoals verkregen middels een derivatie (bewijs). Hierbij is echter nog slechts uitgegaan van het residuatiepaar (, \, /) en een lege structurele module. Verrijken we de basislogica met unaire (modale) operatoren (, ) en gaan we uit van een niet-lege structurele module, dan is er zelfs sprake van een equivalentie modulo directie van applicatie, modale decoratie en herstructurering door toepassing van structurele regels 2. Teneinde nu uit de verzameling mogelijke syntactische structuren bij een semantische term de juiste te kiezen voor een specifieke taal formuleer ik constraints die van toepassing zijn op genoemde verschillen tussen de mogelijke syntactische typeringen. Conform de optimaliteitstheorie ontstaan er onderlinge conflicten tussen deze constraints, die opgelost worden door verschillen in rangorde van de bij het conflict betrokken constraints in kwestie. Alvorens ik in ga op verdere details geef ik allereerst een kort overzicht van de definities die ik aan zal houden voor categoriale grammatica en de eenvoudig getypeerde λ-calculus. De informatie in paragrafen 1.1 en 1.3 is afkomstig uit Moortgat(2002) ([6]) en Moortgat(2001) ([5]). 1.1 Categoriale Grammatica in Natuurlijke Deductiestijl Centraal staan sequenten Γ A, als stelling dat de structuur Γ staat voor het type (formule) A. Typeformules worden in de basislogica (nog zonder unaire operatoren) geconstrueerd met binaire operatoren over een set van atomaire types, terwijl structuren worden geconstrueerd met de operatie ( ) als tegenhanger van de -operator: (1) (a) Typ ::= Atom Typ Typ Typ / Typ Typ \ Typ (b) Struc ::= Typ Struc Struc De inferentieregels van NL zonder product in Natuurlijke Deductiestijl zijn alsvolgt: Γ B A Γ A/B (I/) Γ A/B B (E/) Γ A B Γ A Γ B\A (I\) Γ B B\A Γ A (E\) 1 In dit artikel ga ik uit van de logische stroming binnen CG, zoals voortgekomen uit Lambek(58) ([3]). Verder ga ik uit van de non-associatieve Lambek Calculus, zoals geintroduceerd in Lambek (1961) ([4]). 2 Zie Fulop(2005) 3

4 Teneinde nu hevige ambiguiteiten in het lexicon te voorkomen zouden we structurele postulaten aan kunnen nemen van bijvoorbeeld de volgende vormen: (2) (a) A B B A (Commutativiteit) (b) (A B) C A (B C) (Associativiteit) Dergelijke globale structurele postulaten zorgen er echter voor dat belangrijke structurele informatie verloren gaat. Een oplossing is het aannemen van unaire, modale operatoren in de basislogica en de toepassing van de structurele postulaten onder -controle vast te leggen, daarbij gebruik makend van de key-and-lock strategie. Aanname van unaire operatoren voegen nu de volgende kenmerken toe aan de definities van types en structuren uit respectievelijk (1a) en (1b) (waarbij de operate < > geldt als de structurele tegenhanger van de operator): (3) (a) (Typ ::=...) Typ Typ (b) (Struc ::=...) <Struc> We zouden nu de volgende structurele postulaten aan kunnen nemen als modale equivalent van (2), waarbij voor de regels (A i ) en (A 1 i ) geldt dat een van de factoren A i met 1 i 3 een -prefix heeft: (4) (A i ) A 1 (A 2 A 3 ) (A 1 A 2 ) A 3 (A 1 i ) (A 1 A 2 ) A 3 A 1 (A 2 A 3 ) (C) B A A B (C 1 ) A B B A Ofwel: een structuur krijgt slechts toegang tot de structurele postulaten zodra het zich in een omgeving < > bevindt. We kunnen nu gebruik maken van de volgende eigenschap: (5) A A A Een type gedecoreerd met -prefix kan nu toegang krijgen tot de structurele module onder controle, waarna de modale decoratie weer verwijderd kan worden volgens (1) (de zogenaamde key-and-lock strategie: de vormt de sleutel tot het slot ). De aanname van modale operatoren heeft echter ook al voordelen bij een lege structurele module. Hierbij valt te denken aan toepassingen als decoratie voor syntactische types die anders zouden overgenereren. In dit artikel beperk ik mij echter tot de toepassingen voor de structurele module. 1.2 λ-termen Voor de structuur van λ-termen in de eenvoudig getypeerde λ-calculus hanteer ik de volgende definities, afkomstig uit Carpenter(1997) ([1]) (zij het dat ik hier een ietwat andere notatie gebruik): 4

5 Definitie 1.1: Types Voor een niet-lege set Bas- Typ van basistypes is de set Typ van types de kleinste set zodat: BasTyp Typ (σ τ) Typ als σ,τ Typ Definitie 1.2: Constantes en Variabelen Voor elk type bestaan de volgende sets: Con = τ T yp Con τ Var = τ T yp Var τ Definitie 1.3: λ-termen De collecties Term τ van λ- termen van het type τ is gedefinieerd als de kleinste set zodat: Var τ Term τ Con τ Term τ (α β) Term τ als α Term φ τ en β Term φ λx.α Term τ als τ = φ ψ en x Var φ en α Term ψ In de rest van dit artikel ga ik uit van BasTyp = {e,t} met e voor entities en t voor truth-values. 1.3 De Curry-Howard correspondentie De grondgedachte achter de Curry-Howard correspondentie vormt het idee dat, door de functionele types in type-logica te zien als logische implicaties, in een natuurlijke-deductie bewijs A 1,..., A n B in de intuitionistische logica de types A i met 1 i n en B te annoteren zijn met semantische labels x i voor σ(a i ) (met 1 i n en met voor σ de mapping van syntactische naar semantische types, zie beneden) en t voor σ(b) zodat geldt dat x 1 :A 1,..., x n :A n t:b. Bij een vertaling van deze gedachte naar categoriale grammatica definieren wij in de eerste plaats de mapping σ( ): Definitie 1.4 De mapping σ( ) van syntactische naar semantische types is alsvolgt gedefinieerd: σ(np)= e σ(s)= t σ(n)= e t σ(a/b)= σ(b\a)= σ(b) σ(a) σ( A) = σ(a) σ( A) = σ(a) De inferentieregels uit paragraaf 1.1 geannoteerd met semantische labels zijn nu alsvolgt: Γ x : B t : A Γ λx.t : A/B (I/) Γ t : A/B u : B (E/) Γ (tu) : A x : B Γ t : A Γ λx.t : B\A (I\) Γ u : B t : B\A Γ (tu) : A (E\) 5

6 1.4 Optimaliteitstheorie Centraal in de optimaliteitstheorie staat het idee van een universele set van constraints waarop een taalafhankelijke hierarchische ordening is gedefinieerd. De constraints zijn van een dusdanige aard dat geregeld conflicten plaatsvinden die moeten worden beslecht op basis van de rangorde van de betrokken constraints. Een optimaliteitstheoretische architectuur bestaat nu uit een generator van kandidaatstructuren en een evaluator die uit de kandidaatstructuren in kwestie de optie selecteert die de minst belangrijke (hoger in de hierarchie gelegen) constraint(s) schendt. In dit geval spreekt men van de meest optimale structuur. Ter illustratie kan het volgende concrete voorbeeld gegeven worden. Beschouw als invoer voor de generator de semantische structuur van de zin en als uitvoer een reeks syntactische structuren. De verzameling constraints die dan betrekking hebben op deze syntactische structuren zijn universeel, maar de hierarchische ordening is taalafhankelijk. De invoer voor de generator zelf wordt nu ook gezien als zijnde universeel, maar de meest optimale uitkomst, gekozen door de evaluator, is nu volledig afhankelijk van de taalafhankelijke ordening. In dit artikel beschouw ik nu de semantische structuur van een zin, genoteerd in de eenvoudig getypeerde λ-calculus, als de invoer voor een generator. Op basis van genoemde equivalentie van syntactische structuren en λ-termen modulo directie van applicatie, modale decoratie en herstructurering onder structurele postulaten geeft de generator verschillende mogelijk bij de invoer behorende syntactische derivaties. Voor de evaluator wordt vervolgens een set van constraints gedefinieerd met het oog op de verschillen tussen syntactische structuren en λ-termen, op basis waarvan de meest optimale syntactische structuur gekozen kan worden (mits een hierarchische ordening over deze set van constraints gegeven is). De verdere opbouw van dit artikel zal berusten op het definieren van de werking van de generator en de evaluator. Bij deze laatste vormt het belangrijkste punt het formuleren van de constraints. Merk op dat de optimaliteitstheoretische architectuur die ik nu als het ware op categoriale grammatica definieer in meerdere opzichten afwijkt van de traditionele formulering van optimaliteitstheorie. Op deze verschillen zal ik dieper ingaan in het hoofdstuk over de evaluator, al zal het reeds duidelijk zijn dat wat ik als invoer voor de generator beschouw niet universeel geldig is voor elke taal, in die zin dat met twee inhoudelijk equivalente boodschappen uit verschillende talen niet dezelfde semantische structuur overeen komt. 2 De generator De werking van de generator binnen een optimaliteits-theoretisch systeem berust op het genereren van kandidaatstructuren. Onder deze kandidaatstructuren versta ik nu alle mogelijke (geldige) syntactische derivaties behorend bij een λ- term, binnen enkele beperkingen die ik in het verloop van dit hoofdstuk zal 6

7 definieren 3. De procedure voor de werking van de generator die ik hier zal beschrijven kent enige raakvlakken met die van Fulop(2005) ([2]), waarin een algoritme werd beschreven voor het verkrijgen van syntactische typeringen uit zinnen geannoteerd met termen uit de eenvoudig getypeerde λ-calculus. Een groot verschil is echter dat Fulop de translatie van semantiek naar syntaxis beschouwd vanuit een top-down perspectief, terwijl ik zelf kies voor een bottom-up perspectief. Hoewel minder efficient sluit deze analysevorm beter aan bij de wijze waarop ik de toevoeging van modale decoraties zal beschouwen en bij de te formuleren constraints in het volgende hoofdstuk. In mijn beschouwing maak ik gebruik van het Natuurlijk Deductiesysteem, die naast de bottom-up benadering als gunstige bijkomstigheid heeft dat de link tussen syntaxis en semantiek er sterk in is vertegenwoordigd. Alvorens mijn definitie te geven van de relatie tussen een λ-term en de bijbehorende syntactische derivaties beschouw ik eerst nog enkele andere definities die hiervoor van belang zijn. Ik formuleer in de volgende definitie enkele beperkingen op de beschouwde λ- termen: Definitie 2.1 Restricties op de toegelaten λ-termen: 1. De term in kwestie is correct getypeerd. 2. Elk voorkomen van een variabele moet gebonden zijn. 3. Bij abstractie over een variabele als in λx.α dient de variabele in kwestie tevens vrij voor te komen in α. 4. Binnen de λ-term blijven de betekenissen van lexicale expressies beperkt tot constanten en wordt er dus geabstraheerd van lexicale betekenissen. In het vervolg zal ik voor de definiering van de relatie tussen een λ-term en de bijbehorende syntactische derivaties veelvuldig gebruik maken van de inverse van de mapping σ( ). Ik definieer deze nu alsvolgt: Definitie 2.2 De mapping σ 1 ( ) van semantische naar syntactische types is alsvolgt gedefinieerd als de inverse van de mapping σ( ) van syntactische naar semantische types: σ 1 (e) = np σ 1 (t) = s σ 1 (e t) = n óf σ 1 (e t) = np\s óf σ 1 (e t) = s/np σ 1 (A B) = A\B óf σ 1 (A B) = B/A σ 1 (A B) = (A B) σ 1 (A) = σ 1 (A) σ 1 (A) = σ 1 (A) 3 Deze beperkingen zijn met name van toepassing op modale decoraties en herstructurering onder structurele postulaten 7

8 De laatste twee punten zijn problematisch in die zin dat met elk semantisch type een oneindig grote hoeveelheid syntactische types kan corresponderen. Vanzelfsprekend is deze eigenschap niet geheel wenselijk. Ik laat dan ook deze laatste twee regels vervallen en voer in een latere paragraaf een speciale modale decoratie in die het voorkomen van modale prefixen sterk aan banden legt. In het verdere verloop van dit hoofdstuk zal ik mij als eerste beperken tot equivalentie modulo directie van applicatie van een syntactische structuur verkregen middels een derivatie ten opzichte van de bijbehorende λ-term. In de daaropvolgende paragraaf introduceer ik modale decoraties en de structurele module. 2.1 Equivalentie modulo directie van applicatie In deze paragraaf definieer ik de relatie tussen een λ-term en de bijbehorende syntactische derivaties bij een lege structurele module en afwezigheid van unaire operatoren, zodat variatie in de bij een λ-term behorende kandidaatstructuren slechts kunnen berusten op directie van applicatie in de syntactische types. Dit heeft tot gevolg dat voor onder meer λ-termen waarin meerdere constantes op een enkele variabele worden toegepast alvorens er abstractie plaatsvindt over de variabele in kwestie geen oplossingen gevonden kunnen worden, daar hiervoor een niet-lege structurele module nodig is (en daarmee modale operatoren in de basislogica). Neem T τ als een λ-term van het type τ (waarbij T τ kan staan voor zowel een subterm van de λ-term onder beschouwing als de λ-term onder beschouwing zelf). Ik formuleer de relatie tussen een λ-term en de bijbehorende mogelijke syntactische derivaties op basis van de structuur van een λ-term zoals gegeven in definitie 1.3: Stel T τ = c τ met c Con τ. De relatie met de bijbehorende mogelijke syntactische types is gedefinieerd volgens σ 1 (τ), zoals gegeven in definitie 2.2, met uitzondering van de laatste twee punten. Bijbehorende stap in het Natuurlijke deductie-bewijs is nu: Γ c : σ 1 (τ) voor elke mogelijke σ 1 (τ) geconstrueerd volgens definitie 2.2 en waarbij Γ staat voor het woord in kwestie. Stel T τ = x τ met x Var τ. De relatie met de bijbehorende syntactische types definieer ik als zijnde gelijk aan die voor de constanten. In het bewijs komt de introductie van een variabele overeen met een hypothese en presenteer ik het als een lemma: [σ 1 (τ) x : σ 1 (τ)] n Met n N als markering van de hypothese. Stel T τ = (α β), waarbij α Term φ τ en β Term φ. σ 1 (β) wordt toegepast op σ 1 (α). Er volgen twee mogelijkheden op basis van de structuur van α: 8

9 1. Stel α heeft een vorm σ 1 (τ)/σ 1 (φ):. Γ α : σ 1 (τ)/σ 1 (φ) Γ (αβ) : σ 1 (τ) 2. Stel α heeft een vorm σ 1 (φ)\σ 1 (τ):. Γ β : σ 1 (φ). β : σ 1 (φ). α : σ 1 (φ)\σ 1 (τ) Γ (αβ) : σ 1 (τ) (E/) (E\) Stel T τ = λx.α, waarbij τ = φ ψ en x Var φ en α Term ψ. De restrictie op de toegelaten λ-termen uit definitie 2.1 dat de variabele x vrij voor moet komen in α, leidt, afhankelijk van de configuratie waarin de variabele zich in de structuur bevindt, tot twee mogelijkheden: 1. Stel Γ σ 1 (φ): 2. Stel σ 1 (φ) Γ:. Γ x : σ 1 (φ) α : σ 1 (ψ) Γ λ.xα : σ 1 (ψ)/σ 1 (φ) (I/)n. x : σ 1 (φ) Γ α : σ 1 (ψ) Γ λx.α : σ 1 (φ)\σ 1 (ψ) (I\)n Zie nu ter verduidelijking het eerste voorbeeld in de appendix. 2.2 Modale decoratie en de structurele module In de vorige paragraaf heb ik een globale schets gegeven van hoe op basis van een λ-term daarbij behorende syntactische derivaties kunnen worden gevonden die in de verkregen structuren allen equivalent zijn met de λ-term in kwestie modulo directie van applicatie. Bij het intrekken van een hypothese middels abstractie blijkt niet zelden eerst structurele redenatie noodzakelijk. In deze paragraaf ga ik dieper in op de rol van de structurele module in de relatie tussen een λ-term en bijbehorende mogelijke syntactische derivaties. Hierbij ga ik er van uit dat de structurele postulaten onder -controle staan, zoals beschreven in paragraaf 1.1. Allereerst bespreek ik hiertoe de mogelijke modale decoraties die kunnen worden toegepast op syntactische types teneinde ze beperkte toegang te geven tot de structurele module, waarna ik in zal gaan op beperkingen op de structurele postulaten zoals gegeven in 1.1. Merk op dat de informatie in genoemde twee paragrafen afkomstig is uit Moortgat(2001) ([5]). Als laatste zal ik dan ingaan op de implementatie van deze ideeen in de werking van de generator. 9

10 2.2.1 Modale decoratie Het in de vorige paragraaf besproken proces waarin constantes en variabelen binnen een λ-term worden geconverteerd naar mogelijke syntactische types zal nu dus verrijkt moeten worden met een extra stap, waarin de verkregen syntactische types van een modale decoratie worden voorzien, teneinde ze toegang te kunnen geven tot de structurele module. Ik maak hierbij tevens gebruik van de key-and-lock strategie. Moortgat beschouwt nu de volgende decoratie:, :B B voor respectievelijk invoer- en uitvoerpolariteiten en waarbij B staat voor de basislogica met slechts de binaire connectieven en B voor de basislogica verrijkt met unaire connectieven, te weten de modale operatoren. Deze decoratie kent de positieve subtypes een prefix toe: p = p p = p A B = A B A B = A B A/B = A / B A/B = A / B B\A = B \ A B\A = B \ A zodat bij een lege structurele module geldt B Γ A desda B Γ A. Merk echter op dat de gebruikte decoratie nog te rijkelijk -prefixen toekent met als resultaat dat teveel lexicale types toegang krijgen tot de structurele module De structurele module In paragraaf 1.1 werden de volgende modale equivalenten van associativiteit en commutativiteit genoemd, waarbij voor de regels (A i ) en (A 1 i ) geldt dat een van de factoren A i met 1 i 3 een -prefix heeft: (6) (A i ) A 1 (A 2 t B A 3 ) (A 1 A 2 ) A 3 (A 1 i ) (A 1 A 2 ) A 3 A 1 (A 2 A 3 ) (C) B A A B (C 1 ) A B B A Echter, zoals Moortgat opmerkt, deze benadering staat nog steeds volledige herstructurering en herordening toe, zij het dit maal onder -controle. Hij beschouwt de volgende alternatieve postulaten 4 : (7) (Pl1) A (B C) ( A B) C (Pl1) A (B C) B ( A C) (Pr2) (A B) C (A C) B) (Pr1) (A B) C A (B C) De Pl postulaten hebben nu een voorkeur voor extractie uit een linkertak, terwijl de Pr postulaten een voorkeur hebben voor extractie uit een rechtertak. De reductie in functionaliteit van de structurele postulaten in (7) ten opzichte van (6) brengen echter wel een grotere ambiguiteit in het lexicon met zich mee. 4 Moortgat onderscheidde voor elk postulaat een en een directie. De eerste directie heeft zo de eigenschap een onder -controle staande constituent te onthullen en de tweede directie heeft de eigenschap een dergelijke constituent te verbergen. Zelf gebruik ik echter alleen de eerst genoemde directie 10

11 Teneinde dit terug te dringen beschouwt Moortgat de mogelijkheid de volgende twee extra postulaten aan te nemen die communicatie tussen de Pr- en de Pl postulaten mogelijk maken: (8) (Pl3) A (B C) B (C A) (Pr3) (A B) C ( C A) B Zelf zal ik echter uit gaan van slechts de Pl- en Pr postulaten en sta ik zodoende een grotere ambiguiteit in het lexicon toe Implementatie van modale decoratie en de structurele module Ik beschouw nu eerst een alternatieve methode waarop -prefixen binnen de syntactische types gedistribueerd kunnen worden (deels gebruikmakend van het idee van modale decoraties), om vervolgens de toepassing van structurele postulaten binnen de conversie van een λ-term naar een syntactische derivatie te bespreken. Voor de juiste distributie van modale prefixen binnen de syntactische types formuleer ik drie extra regels die gelden voor de procedure waarin bij een λ- term de bijbehorende syntactische derivaties worden gevonden zoals beschreven in paragraaf 2.1. In de eerste plaats beschouw ik syntactische types die behoren bij constantes c die binnen de λ-term optreden als functoren. Het doel is om bij types van de vorm (φ ψ) τ (met φ,ψ,τ Typ) σ 1 (φ) gepaard te laten gaan met een -prefix. Beschouw hiertoe eerst de volgende labeling van subtermen van een willekeurig type φ: Definitie 2.3 De labeling van semantische types 1. Label binnen een sequentie van n types van de vorm φ (ψ (... τ)) (met voor φ, ψ en τ willekeurige semantische types) de opeenvolgende semantische types met de getallen 0, 1, 2,..., n Voor een τ Typ geldt dat, indien τ het label n heeft, al diens subtypes tevens het label n krijgen. 3. Indien een reeds gelabeled type een label toegekend krijgt, dient het nieuwe label direct achter het oude te worden geplaatst. 4. Voor een willekeurige φ Typ dient eerst φ zelf gelabeled te worden alvorens diens subtypes kunnen worden gelabeled. Zie ter verduidelijking het tweede voorbeeld uit de appendix. Ik formuleer nu de volgende stelling op basis van het eerder genoemde doel met betrekking tot de distributie van modale prefixen in een willekeurig syntactisch type: Stelling 2.1 Er geldt dat syntactische types behorend bij die semantische types met een label eindigend op 11 een -prefix mee krijgen. Dit is alsvolgt in te zien: Zoals gesteld luidde het doel om voor semantische types van de vorm (φ ψ) 11

12 τ ervoor te zorgen dat σ 1 (φ) een -prefix mee krijgt. Stel ((φ ψ) τ) is volgens definitie gelabeled met n. Dit betekent dat de volledige labeling van het semantisch type in kwestie alsvolgt is ((φ n11 ψ n12 ) n1 τ n2 ) n. Gezien het feit dat n kan bestaan uit ieder ander willekeurig label is nu dus te concluderen dat die labels die eindigen op 11 een modaal prefix mee dienen te krijgen. Voor het vervolg maak ik gebruik van de volgende definitie: Definitie 2.4 Stel α Term τ. Noteer σ 1 α (τ) voor de keuze van σ 1 (τ) voor α. Nemen wij voor * een willekeurige (serie van) label(s), dan geldt nu voor een c Con τ die binnen een λ-term optreedt als functor, na labeling van τ, voor eventuele subtypes φ van τ met een label *11, dat σc 1 (φ 11 ) = σ 1 (φ). Als tweede revisie bovenop de procedure zoals beschreven in paragraaf 2.1 geldt nu voor variabelen x Var τ dat de overeenkomende stap in het bewijs niet langer meer gelijk is aan [σ 1 (τ) x : σ 1 (τ)] n, doch aan [ σ 1 (τ) x : σ 1 (τ)] n. Voor de derde en laatste revisie concentreer ik mij op een (sub)λ-term met de vorm (α (φ ψ) τ β φ ψ ) waarbij voor een willekeurige x Var geldt dat x niet voorkomt in β. Gezien het feit dat σα 1(φ) = σ 1 (φ), moet tevens gelden dat φ in β een -prefix mee krijgt om nog tot een correcte verzameling kandidaatstructuren te kunnen komen. Gezien het feit dat β φ ψ de normaalvorm is van λx φ.(β φ ψ x φ ), stel ik nu dat binnen een term (α (φ ψ) τ β φ ψ ) voor β φ ψ de syntactische derivaties behorend bij λx φ.(β φ ψ x φ ) moeten worden berekend. Immers, het feit dat een variabele nu altijd een prefix mee krijgt zal in het resultaat φ in β tevens een prefix mee krijgen. Op de λ-term waarin de volledige syntactische derivatie in resulteert kan achteraf β-reductie worden toegepast teneinde de oorspronkelijke λ-term te verkrijgen die werd onderzocht. Zie ter verduidelijking het derde voorbeeld in de appendix. Kort samengevat: Definitie 2.5 Bij de aanname van modale operatoren in de basislogica gelden de volgende extra regels bovenop de procedure beschreven in paragraaf 2.1: Regel 1 Voor een c Con τ die binnen een λ-term optreedt als functor, geldt, na labeling van τ, dat voor eventuele subtypes φ van τ met een label *11 (met voor * een willekeurige labeling) dat σc 1 (φ 11 ) = σ 1 (φ), tenzij φ = e en deel uitmaakt van een constituent ψ = (φ t) en σc 1 (ψ) = n. Regel 2 Voor een x Var τ geldt als overeenkomende stap in het bewijs [ σ 1 (τ) x : σ 1 (τ)] n. Regel 3 Binnen een term van de vorm de vorm (α (φ ψ) τ β φ ψ ) waarbij voor een willekeurige x Var geldt dat x niet voorkomt in β, wordt β φ ψ geanalyseerd als λx φ.(β φ ψ x φ ). Nu de modale decoratie behandeld is ga ik dieper in op de toepassingen van structurele postulaten. λ-abstractie binnen een λ-term komt overeen met het 12

13 intrekken van een hypothese middels de introductieregels voor de slashes. De premissen voor deze introductieregels eisen in structureel opzicht het voorkomen van de in te trekken hypothese aan een van de uiterste zijden van de structuur. De manier waarop deze situatie te bereiken is wanneer de hypothese in kwestie zich niet in deze structurele configuratie bevindt is in een basisstap en enkele inductieve stappen te formuleren door gebruik te maken van de recursieve eigenschap van de aangenomen structurele postulaten 5 : Bij een structurele configuratie Γ x óf x Γ kan een introductieregel toegepast worden. Bij een structurele configuratie Γ[( x ) Θ] kan Pl1 toegepast worden. Bij een structurele configuratie Γ[ ( x Θ)] kan Pl2 toegepast worden. Bij een structurele configuratie Γ[( x) Θ] kan Pr2 toegepast worden. Bij een structurele configuratie Γ[ (Θ x)] kan Pr1 toegepast worden. Gezien het feit dat voor elke mogelijke structurele configuratie waarin de hypothese ingebed zit in de structuur een postulaat is om de hypothese in kwestie naar een positie minder diep in de structuur te verplaatsen en gezien het feit dat de structurele postulaten in kwestie niet-circulair zijn, moet nu in een eindig aantal stappen een situatie te bereiken zijn om een structurele configuratie te verkrijgen waarin de hypothese kan worden in getrokken middels een der introductieregels voor de slashes 6. Gebruikmakend van dit gegeven is vanaf het moment dat een hypothese moet worden ingetrokken op basis van de gebruikte applicatieregels terug te beredeneren tot het moment waarop de variabele in de structuur werd geintroduceerd welke opeenvolging van structurele postulaten moeten worden toegepast om een premisse te verkrijgen op basis waarvan een introductieregel voor de slashes kan worden toegepast. Hierbij maak ik onderscheid tussen de twee verschillende manieren waarop een hypothese in de syntactische structuur kan worden geintroduceerd (namelijk aan de linker- of aan de rechterkant): 7 1. Stel de variabele werd als in de volgende configuratie in de structuur geintroduceerd: Γ x Indien er sprake is van (E\), en A vormt de tot dan toe opgebouwde specificatie van toe te passen structurele postulaten, dan geldt als nieuwe specificatie <Pr1,A> 5 Gezien de wijze waarop ik modale decoratie heb toegepast op de gegenereerde syntactische types en het feit dat ik hypotheses heb beschouwd als lemma s, wordt de hypothese binnen de structuur weergegeven als x 6 Bij een te rijke modale decoratie kan er echter sprake zijn van non-determinisme bij de toepassing van de structurele postulaten. Dit vormt echter geen probleem daar alleen de correcte opeenvolging van structurele postulaten in een geldige kandidaatstructuur resulteert. 7 De hier voorgestelde methode kent helaas nog enkele tekortkomingen, gezien het feit dat er geen rekening gehouden wordt met andere variabelen die tijdens de derivatie in de structuur kunnen worden geintroduceerd. 13

14 Indien (E/) toegepast wordt, en A vormt de tot dan toe opgebouwde specificatie van toe te passen structurele postulaten, dan geldt als nieuwe specificatie <Pr2,A> Indien er sprake is van de eerste toepassing van (E\) of (E/) beredeneerd vanaf het moment dat de hypothese moet worden ingetrokken, dan is A leeg. 2. Stel de variabele werd als in de volgende configuratie in de structuur geintroduceerd: x Γ Indien er sprake is van (E\), en A vormt de tot dan toe opgebouwde specificatie van toe te passen structurele postulaten, dan geldt als nieuwe specificatie <Pl2,A> Indien (E/) toegepast wordt, en A vormt de tot dan toe opgebouwde specificatie van toe te passen structurele postulaten, dan geldt als nieuwe specificatie <Pl1,A> Indien er sprake is van de eerste toepassing van (E\) of (E/) beredeneerd vanaf het moment dat de hypothese moet worden ingetrokken, dan is A leeg. Als eenmaal de uitgangspositie (het moment dat de variabele in de structuur werd geintroduceerd) bereikt is, kan de verkregen serie postulaten uitgevoerd worden om aldus tot een structuur te komen die kan gelden als premisse voor een der introductieregels van de slashes. Zie ter verduidelijking het vierde voorbeeld in de appendix. 2.3 Over de ambiguiteit van het type (e t) Het type (e t) kan zowel gerealiseerd worden als n of als (np s) (abstraherend van de directie van applicatie). Merk op dat het type (e t) zowel kan fungeren als functor of als argument van een functor. In het eerste geval moet het behoren bij een syntactisch type (np s), daar er anders geen argumenten op toegepast zouden kunnen worden. Indien het echter fungeert als argument van een functor zijn zowel het syntactisch type n als het type (np s) mogelijk (intuitief ook niet onplausibel, daar het in beide gevallen om een eigenschap gaat). Beide mogelijkheden leiden dan dus tot verschillende syntactische derivaties en vormen zo geen blokkade voor het verkrijgen van legitieme kandidaatstructuren. Merk in verband hiermee op dat wanneer beide mogelijkheden door elkaar gebruikt worden in een derivatie, het resultaat een niet-kloppede derivatie en dus geen kandidaatstructuur is. In het vervolg zal ik mij voor het type (e t) echter vaak beperken tot het type n wanneer deze van toepassing is, al gelden de resultaten hiervoor tevens voor het type (np s). 3 De evaluator Nu met het vorige hoofdstuk vast is gesteld hoe in een optimaliteitstheoretische categoriale grammatica de kandidaatstructuren worden gegenereerd, zal in dit hoofdstuk gekeken worden naar hoe deze producten van de generator worden geinterpreteerd door de evaluator. In het licht van het vorige hoofdstuk zijn 14

15 echter impliciet enkele belangrijke verschillen naar voren gekomen met de traditionele formulering van optimaliteitstheorie. Allereerst is reeds opgemerkt dat voor twee inhoudelijk equivalente boodschappen uit verschillende talen niet meer een enkele invoer te geven is. Beide boodschappen corresponderen immers met verschillende semantische structuren. Verder is het in de optimaliteitstheorie gebruikelijk een onderscheid te maken tussen structurele constraints enerzijds en constraints die trouw zijn aan de invoer anderzijds. Dit zal echter bij het in dit artikel geformuleerde systeem niet nodig zijn. Dit kan geillustreerd worden aan de hand van het klassieke voorbeeld van de vermelding dat het regent. Gegeven het feit dat men in het Engels hiervoor een betekenisloos subject gebruikt ( it rains ), terwijl men in het Italiaans hiervan afziet ( piove ), leidt ons tot de formulering van twee constraints: een structurele constraint die stelt dat iedere zin een onderwerp moet hebben en een constraint die trouw is aan de invoer en stelt dat er geen betekenisloze elementen in een zin voor mogen komen. In het Engels wint de eerste constraint, in het Italiaans de tweede. In het in dit artikel geschetste model is het onderscheid tussen de twee genoemde types constraints niet meer nodig, daar alle mogelijke kandidaatstructuren reeds trouw zijn aan de invoer (of bijvoorbeeld een zin al dan niet een subject heeft staat reeds vermeld in de semantische structuur). Tegelijkertijd moeten alle constraints tevens geformuleerd worden als structurele constraints, daar ze betrekking dienen te hebben op de variabele factoren in de relatie tussen een λ-term en de bijbehorende mogelijke syntactische derivaties. Er is in dit artikel dus geen sprake van een volwaardig Optimaliteitstheoretisch model. Het is echter eerder de grondgedachte uit deze theorie (een universele set van constraints waarvan de onderlinge hierarchische verhoudingen variabel zijn per taal) die gebruikt is als leidraad voor de controle over de processen die plaatsvinden in categoriale grammatica. De verdere indeling van dit hoofdstuk is nu alsvolgt. Allereerst bespreek ik enkele belangrijke eigenschappen van het in het vorige hoofdstuk geschetste proces waarmee bij een λ-term de bijbehorende syntactische derivaties te vinden zijn die ten grondslag liggen aan de wijze waarop ik de constraints zal formuleren. Hierop volgend zal ik de constraints zelf trachten te formuleren. Het zodoende ontstane systeem zal vervolgens in het volgende hoofdstuk gedemonstreerd worden met een analyse van enkele taalfragmenten uit het Marokkaans Arabisch en het Tarifit Berbers. Dit teneinde niet al te ver verwijderd te raken van het daadwerkelijke onderzoeksobject zelf: de natuurlijke talen. 3.1 Hoofdstelling van de evaluator Het lijkt nu een logische stap om de constraints te definieren op basis van de functoren. De wijze waarop ik dit zal doen is gebaseerd op de stelling dat de eerste twee stappen in het verkrijgen van de mogelijke syntactische derivaties behorend bij een λ-term zoals gedefinieerd in paragraaf 2.1 bepalend zijn voor de rest van de derivatie. Alvorens deze in nader detail te bespreken voer ik als eerste de volgende definitie in: Definitie 8 Binnen een (sub)term van de vorm ((((a b) c)...)d) wordt a als de hoofdfunctor beschouwd waarop b, c, d,... worden toegepast. Te bewijzen is nu dus dat het vastleggen van de hoofdfunctoren binnen een 15

16 λ-term de bijbehorende syntactische derivatie vastlegt: Stelling 1 Het vastleggen van syntactische types behorend bij hoofdfunctoren legt het verdere verloop van een syntactische derivatie vast. Dit is als volgt in te zien: Stel we hebben een basislogica zonder unaire operatoren en met een lege structurele module. Te bewijzen is nu dat het verloop van de syntactische regels van ND behorend bij applicatie en abstractie berust op de structuur van de betrokken hoofdfunctoren: Beschouw een (sub)term (α β). Volgens definitie 1.3 geldt dat (α β) Term τ als α Term φ τ en β Term φ. Voor σ 1 (φ τ) geldt volgens definitie 2.2 dat σ 1 (φ τ)= σ 1 (φ)\σ 1 (τ) óf dat σ 1 (φ τ)= σ 1 (τ)/σ 1 (φ). In het geval dat we stellen dat σα 1 (φ τ)= σα 1 (φ)\σα 1 (τ) geldt volgens het proces waarin bij een λ-term de mogelijke syntactische derivaties worden gezocht zoals beschreven in paragraaf 2.1 dat als bijbehorende stap in het natuurlijke deductiebewijs (abstraherend van semantiek) geldt: Γ σ 1 β (φ) σ 1 α Γ σα 1 (τ) (φ)\σ 1 α (τ) (E\) Stel we gaan er van uit dat σα 1 (φ τ)= σα 1 (τ)/σα 1 (φ) dan geldt volgens hetzelfde proces als bijbehorende stap in het ND-bewijs: Γ σ 1 α (τ)/σ 1 α (φ) σ 1 β (φ) Γ σα 1 (τ) (E/) Te bewijzen is nu dat deze bewijsstappen onafhankelijk zijn van de keuze voor σ 1 β (φ). Hiertoe beredeneren we verder op basis van de structuur van φ middels een willekeurig type γ waarvoor geldt dat γ = φ óf dat γ een subterm is van φ: Stel γ BasTyp. Dan geldt automatisch dat σα 1 (γ)= σ 1 β (γ) Stel γ = γ i γ j. gezien het feit dat volgens definitie 2.2 geldt dat φ 1 (γ i γ j )= σ 1 (γ i )\σ 1 (γ j ) óf dat φ 1 (γ i γ j )= σ 1 (γ j )/γ 1 (γ i ), geldt nu dat σα 1 (γ)= σ 1 β (γ) (in het geval dat voor beiden de richting van de slash gelijk is) óf dat σα 1 (γ) σ 1 β (γ) (in het geval dat voor beiden de richting van de slash ongelijk is). Het tweede geval leidt tot een niet-kloppende syntactische derivatie en dus niet tot een geldige kandidaatstructuur. Met andere woorden, als eenmaal een σα 1 (φ) is gekozen, dan is de bijbehorende stap in de syntactische derivatie onafhankelijk van de keuze voor σ 1 β (φ) in die zin dat wanneer σ 1 β (φ) σ 1 α (φ), het resultaat een ongeldige syntactische derivatie is en er dus geen sprake is van een geldige kandidaatstructuur Wanneer nu sprake is van een subterm van de vorm ((((a b) c)...)d), zijn (a b), ((a b) c) en (((a b) c)...) op zichzelf tevens functoren. Voor 16

17 de subtermen ((a b) c) en (((a b) c)...) geldt dus net zoals voor (a b) dat (a b) in ((a b) c) en ((a b) c) in (((a b) c)...) bepalend zijn voor de bijbehorende stappen in de syntactische derivatie. Tevens geldt dat de syntactische types behorend bij de functoren (a b), ((a b) c) en (((a b) c)...) volgen uit het vastgelegde syntactische type behorend bij de hoofdfunctor a (zoals hierboven beschreven) Concluderend kan dus opgevat worden dat binnen een subterm ((((a b) c)...)d) een vastgelegd syntactisch type behorend bij a de verdere bijbehorende bewijsstappen bepaalt. Beschouw een (sub)term λx.α. Volgens definitie 1.3 geldt dat λx.α Term τ als τ = φ ψ en x Var φ en α Term ψ. Voor σα 1 (ψ) geldt vanuit inductief opzicht dat deze reeds vast is gelegd. De bijbehorende syntactische structuur is zodoende van de vorm σx 1 (φ) Γ óf van de vorm Γ σx 1 (φ). In dit eerste geval geldt volgens het proces waarin bij een λ-term de mogelijke syntactische derivaties worden gezocht zoals beschreven in paragraaf 2.1 de volgende bijbehorende bewijsstap: σx 1 (φ) Γ σα 1 (ψ) Γ σ 1 x (φ)\σ 1 α (ψ) (I\) En in het geval dat de bij α behorende syntactische structuur van de vorm Γ σx 1 (φ) is geldt: Γ σx 1 (φ) σ 1 α (ψ) Γ σα 1 (I/) (ψ)/σ 1 x (φ) Stel we hebben een basislogica met unaire operatoren en met een niet-lege structurele module. Te bewijzen is nu dat toepassingen van modale decoratie geen invloed hebben op de keuzes tussen de verschillende mogelijke eliminatie- en introductieregels en dat de toepassingen van series structurele postulaten volledig wordt bepaald door de daaraan voorafgaande eliminatie- en introductieregels (en dus van de syntactische types van de hoofdfunctoren). Regels 1 en 2 van definitie 2.5 voegen modale prefixen toe aan respectievelijk constantes die optreden als functoren en variabelen. De keuze tussen de twee eliminatie-regels voor de slashes is gebaseerd op de richting waarin de functor diens argument zoekt en het voorkomen van modale operatoren is hier dus niet van belang. Toepassingen van structurele postulaten zijn volledig bepaald door applicatiestappen nadat een variabele in de structuur is geintroduceerd. En zoals reeds opgemerkt zijn deze applicatiestappen volledig afhankelijk van de syntactische types waarop zij van toepassing zijn. 3.2 Formulering van de constraints Zoals opgemerkt in de inleiding is de eigenschap trouw te zijn aan de invoer reeds inherent aanwezig in de generator. Bij het formuleren van de constraints moet dan ook de nadruk liggen op hun structurele aspecten. Zoals aan het begin van dit hoofdstuk verteld zijn de mogelijk te genereren syntactische types bij 17

18 constantes en variabelen in een λ-term in het door mij geschetste systeem bepalend voor het verdere verloop van de mogelijke syntactische derivaties. Gezien het feit dat de toepassing van modale decoratie aan sterke beperkingen onderhevig is, is het nu zaak om constraints te formuleren die betrekking hebben op de directie van applicatie Directie van applicatie Beschouw nu twee mogelijke kandidaatstructuren die de generator kan geven voor ((ziet eet e ) e ) 8 : np ziet (np\s)/np np ziet np\s (E/) (ziet ) s (E\) ziet np np\(s/np) ziet s/np (E\) np (E/) ( ziet) s Ter analyse van deze twee uitvoeren is het mogelijk twee atomaire constraints aan te nemen: Proj(ect)L(eft) - Zoek een argument aan de linkerkant Proj(ect)R(ight) - Zoek een argument aan de rechterkant Door twee basisconstraints samen te nemen als geordende paren zijn complexere constraints te bouwen. De volgorde waarin de constraints dan samen worden genomen loopt parallel aan de volgorde waarin argumenten door een functor worden gezocht. De set van constraints is nu alsvolgt te definieren: 9 : 1. ProjL en ProjR zijn constraints. 2. Als φ een constraint is, dan zijn <ProjL,φ> en <ProjL,φ> ook constraints. 3. Niets is een constraint dan op grond van bovenstaande regels. De linker uitkomst in bovenstaand voorbeeld voldoet nu aan <ProjR,ProjL> en de rechter aan <ProjL,ProjR>. Op gelijke wijze kunnen we nu complexere constraints definieren voor functoren met slechts een of drie argumenten; deze zouden overeenkomen met respectievelijk Proj(L\R) en <Proj(L\R),<Proj(L\R), Proj(L\R)>>. In het algemeen geldt voor een functor met n argumenten <Proj(L\R) 1,<...<Proj(L\R) n 1, Proj(L\R) n >>> Merk nu op dat puur het vastleggen van de richtingen waarin functoren hun argumenten zoeken iets anders is dan het volledig vastleggen van het syntactisch type van de functoren in kwestie (waar de hoofdstelling om draaide). Dit valt bijvoorbeeld op te maken uit de volgende mogelijke kandidaatstructuur bij (iedereen (et)t slaapt et ) (abstraherend van modale decoraties): iedereen slaapt iedereen : s/(s/np) slaapt : s/np iedereen slaapt (iedereenslaapt) : s (E/) Wij zouden geneigd zijn om te stellen dat de constraint ProjR dominant is voor iedereen en daar bovenstaande kandidaatstructuur hieraan voldoet zou deze dus 8 Ik abstraheer hierbij van modale decoratie. 9 Merk op dat het hier nog slechts een voorlopige formulering betreft. 18

19 gezien moeten worden als een der meest optimale uitkomsten 10. Gezien het feit, nu, dat de resulterende syntactische structuur (iedereen slaapt) kloppend is, zal ik deze kandidaatstructuur dan ook inderdaad zien als een grammaticale uitkomst bij een dominante constraint ProjR voor iedereen Subcategorisatie Met deze definiering van constraints wordt echter voorbijgegaan aan het feit dat verschillende woorden met een gelijk aantal argumenten in de praktijk deze argumenten in verschillende richtingen kunnen zoeken. Een mogelijke oplossing is nu om een onderscheid te maken tussen verschillende woordcategorieen met elk hun eigen set van constraints. Dit betekent dat wat ik eerder heb gedefinieerd als een constraint nu gedegradeerd wordt tot de status van een argumentspecificatie: een specificatie van in welke richtingen door de functor naar argumenten gezocht wordt. De verzameling argumentspecificaties Arg is nu dus de kleinste set waarvoor geldt dat 1. ProjL en ProjR zijn argumentspecificaties. 2. Als φ een argumentspecificatie is, dan zijn <ProjL,φ> en <ProjL,φ> dat ook. 3. Niets is een argumentspecificatie dan op grond van bovenstaande regels. Teneinde nu tot een definitie van constraints te komen is het zaak om voor elke woordcategorie de mogelijk bijbehorende argumentspecificaties te specificeren. Het aanhouden van traditionele woordcategorieen is echter problematisch in die zin dat het dan de vraag is hoe dit specifieke onderscheid in verschillende categorieen verkregen is. Hoe dan verder te handelen? Bekend is dat als twee expressies dezelfde categorie delen, zij tevens dezelfde argumentspecificatie hebben. Andersom stel ik nu ook dat wanneer twee expressies dezelfde argumentspecificatie delen, zij tevens tot dezelfde woordcategorie behoren. Ofwel, twee expressies behoren tot dezelfde categorie desda de twee expressies dezelfde argumentspecificatie hebben. Gezien het feit dat in de taal van de eenvoudig getypeerde λ-calculus voor elke lexicale expressie een constante aanwezig is, kan dus gesteld worden dat de verzameling der lexicale expressies ingedeeld in woordcategorieen (laten wij deze SubCat noemen) een subset is van de power set van Con: SubCat P (Con τ ). De verschillende verzamelingen van woorden behorend tot dezelfde categorie zijn nu alsvolgt te labelen. Voor de set LSub- Cat van gelabelde subcategorieen geldt LSubCat SubCat X N, waarbij N staat voor de verzameling der natuurlijke getallen (al kan ter labeling in principe ook elke andere set genomen worden die geen belemmering vormt voor de volgende te formuleren conditie). Als conditie op de inhoud van LSubCat stel ik x(w x!y(ny & P xy)), waarbij Wx: x WCat, Nx: x N en Pxy: <x,y> LSubCat. De set van woordcategorieen WordCat is nu te definieren als WordCat = π 2 (LSubCat). De definitieve verzameling constraints Con geldt nu: Con WordCat X Arg (wederom met de beperking dat elk argument uit WordCat in een geordend paar staat met slechts een enkel element uit Arg). 10 Zoals reeds eerder is gebleken zijn er met mijn aanpak niet zelden meerdere uitkomsten geldig. Denk hierbij bijvoorbeeld aan mijn behandeling van de ambiguiteit van het type (e t) 19

20 De totstandkoming van de set SubCat is alsvolgt te beredeneren: Ik ga ervan uit dat elk willekeurig woord A in eerste instantie een eigen categorie krijgt toebedeeld. Uit de voor woord A relevante argumentspecificaties (te weten, de argumentspecificaties die betrekking hebben op evenveel argumenten als woord A heeft), wordt bepaald welke de hoogste rangorde heeft. Zodoende is dus tevens de bijbehorende constraint te bepalen. Andere willekeurige woorden B met hetzelfde type als A en waarvoor dezelfde argumentspecificatie lijkt op te gaan woorden nu ondergebracht bij de categorie waartoe A behoort. Een speciale plaats nemen in de woorden met een basistype n of np. Ook deze kunnen echter worden ingedeeld in categorieen, daar voor elk van deze woorden dezelfde argumentspecificaties geldig zijn, namelijk geen enkele. 4 Analyse In deze sectie analyseer ik enkele taalfragmenten uit het Tarifit Berbers en Marokkaans Arabisch vanuit het perspectief van de in dit artikel geschetste procedure voor de conversie van semantiek naar syntaxis. Ik neem hierbij de volgende woordcategorieen aan 11 : transitieve werkwoorden (afgekort als T), reflexieven (R), kwantoren (K), ja/nee vraagwoorden (q) en constituentvraagwoorden (wh). De argumentspecificaties ProjL en ProjR worden voorgesteld als respectievelijk L en R. De kandidaatstructuren worden weergegeven als hun syntactische structuur (ter illustratie: een mogelijke kandidaatstructuur bij ((ziet eet e ) e ) is weer te geven als ( (ziet ))). 4.1 Het onderzoeksobject Als eerste worden hier de taalfragmenten van het Marokkaans Arabisch en het Tarifit Berbers gepresenteerd die als leidraad zullen dienen voor de verdere hoofdstukken. In beide talen bestudeer ik eenvoudige SVO zinnetjes (de basiswoordvolgorde in het zowel het Tarifit Berbers als het Marokkaans Arabisch), vraagzinnen, kwantificatie en reflexieven. De te behandelen fragmenten zijn nu alsvolgt. Voor het Marokkaans Arabisch: (1) tsjeft.. (2) Wash part tsjeft Zag?? (3) skoen wie Wie? tsjeft? (in de betekenis: wie werd door gezien?) (4) Skoen wie tsjef? Wie? (in de betekenis: door wie werd gezien?) 11 Er is hierbij dus sprake van een andere labeling van woordcategorieen dan met de natuurlijke getallen 20

21 (5) Shiwahid iemand tsjef. Iemand. (6) tsjeft rasa. zichzelf zichzelf. (7) Shiwahid iemand tsjef rasa. zichzelf Iemand zichzelf. Voor het Berbers vertalingen van dezelfde zinnen: (8) thazra.. (9) Thazra? Zag? (10) Oeghiezrin wie-(heeft-gezien) Wie?? (in de betekenis: wie werd door gezien?) (11) Oeghiezrin wie-(heeft-gezien) Wie?? (in de betekenis: door wie werd gezien?) (12) Hedd iemand iezra. Iemand. (13) thazra zichzelf. ieghfienes. zichzelf (14) Hedd iemand iezra ieghfienes. zichzelf Iemand zichzelf. De semantische types voor de lexicale expressies in het Marokkaans Arabisch zijn alsvolgt 12 : 12 Betekenispostulaten zijn meegegeven voor het verduidelijken van de analyse van de vraagzinnen, maar zijn verder niet van belang voor de rest van dit artikel 21