logische schakelingen & logica

Transcriptie

1 2016 logische schakelingen & logica F. Vonk versie

2 Inhoudsopgave 1. inleiding optellen logische poorten waarheidstabellen logische schakelingen meer over logische schakelingen logica (vwo) Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding NietCommercieel GelijkDelen 3.0 Unported licentie De afbeelding op het voorblad is verkregen via INFOwrs. Copyright 2010 INFOwrs Serviços em informatica

3 1. inleiding Logische schakelingen vormen de basis voor de elektronica die het mogelijk maakt om computer hardware te maken. Logica vormt een belangrijk onderdeel van de informatica, omdat het de basis is voor het programmeren. Daarom gaan je nu beide bestuderen. Welkom bij de module logische schakelingen & logica. Let op, de vwo stof over logica is geen toets stof voor havo! In deze module kom je opgaves tegen die je moet maken om de lesstof te verwerken. De antwoorden kunnen in de les besproken worden. opgave Opgaves in blauw moet je maken. Er zijn ook bonus opgaves die je niet hoeft te maken maar waarvan het misschien wel slim en/of leuk is om het wel te doen. Ze bieden je in ieder geval extra oefenmateriaal. bonus opgave Opgaves in groen zijn facultatief en dienen als verdieping of om meer te oefenen. Let op, links in dit document hebben een rode kleur. Veel plezier en succes

4 2. optellen Computers kunnen heel goed en snel getallen optellen. Dus het uitrekenen van is voor een computer een peulenschil. Maar hoe werkt dat dan? Als we programmeren dan ziet het er in schematische vorm als volgt uit: Je weet intussen echter dat computers werken met binaire getallen en niet met decimale getallen zoals wij. Voor een computer ziet optellen er dus anders uit: 1111b 10110b b Ziet er nog steeds eenvoudig uit. Het vervelende is echter dat we de optelling niet als 1 blokje kunnen maken als onderdeel van de computer hardware. Elektronica, zoals computers, wordt namelijk gemaakt op basis van transistoren. Moderne computers bestaan bijvoorbeeld uit miljarden transitoren. Kijk maar eens op Wikipedia. opgave 2.1 Bekijk het volgende filmpje van School TV. Je ziet dat een transistor als het ware en kraantje is dat wel of geen stroom doorlaat. Als we een aantal transistoren op een slimme manier combineren kunnen we logische poorten (logic gates) maken. Met logische poorten kunnen we weer logische schakelingen (ook wel digitale schakelingen genoemd) maken en daarmee bouwen we uiteindelijk elektronica

5 Helaas is er geen logische poort waarmee je twee getallen op kunt tellen. Voorbeelden van logische poorten zijn de NIET-poort (NOT-gate), de EN-poort (ANDgate) en de OF-poort (OR-gate). Hier komen we later uitgebreid op terug, want je gaat zelf met deze poorten werken. Dat is nodig om je voor te bereiden op het programmeren dat we later bij informatica veel gaan doen. Als er geen logische poort is om twee getallen op te tellen, dan moeten we die dus maken. En dat doen we door logische poorten te combineren tot een logische schakeling. De logische schakeling om twee getallen van ieder 3 bits groot bij elkaar op te tellen zie je in Figuur 1. Figuur 1: Een full adder voor twee getallen van ieder 3 bits. Met deze schakeling kunnen we dus maximaal de som oplossen. Ongetwijfeld vind je hem er al best complex uitzien. Geen nood we gaan je zo de bouwstenen uitleggen. Maar, eerst in Figuur 2 nog even de logische schakeling om twee getallen van ieder 1 byte (dus 8 bits) bij elkaar op te tellen. Je ziet dat je best veel poorten nodig hebt om twee bytes bij elkaar op te tellen. Gelukkig schermen de hardware en de programmeertalen die we gebruiken dit voor ons af en kunnen we gewoon schrijven als we programmeren. Het is echter wel belangrijk om te weten dat het in de hardware allemaal net iets ingewikkelder is. Hierdoor wordt het leren programmeren straks makkelijker. Je ziet in Figuur 2 al 37 poorten. Gemiddeld bevat een poort 3 à 4 transistoren, dus in Figuur 2 heb je al te maken met zo'n 130 transitoren. Het zal je hopelijk niet verbazen dat er in moderne computers zoveel transistoren zitten

6 Figuur 2: Een full adder voor twee bytes

7 3. logische poorten Zoals beloofd gaan we uitleggen welke logische poorten we allemaal hebben en hoe ze werken. Anders wordt het namelijk lastig om logische schakelingen zoals de full adder te begrijpen of zelf te ontwerpen. Een logische poort heeft 1 of 2 ingangen waarop we een 0 of 1 kunnen aanbieden. De waarde 0 staat voor een laag elektrische signaal en de waarde 1 voor een hoog. Tevens heeft een logische poort 1 uitgang waarop, afhankelijk van het gedrag van de poort, ook weer een 0 of 1 aangeboden wordt. Het gedrag van een logische poort en wat er op de ingangen aangeboden wordt bepaalt dus wat de poort op zijn uitgang zet. In Figuur 3 zie je een aantal logische poorten, let nog even niet op de notatie, die leggen we straks uit. Figuur 3: Voorbeelden van logische poorten. We hebben de volgende logische poorten: NIET-poort: NOT-gate (inverter) EN-poort: AND-gate OF-poort: OR-gate EXOF-poort (exclusieve of-poort): XOR-gate NEN-poort: NAND-gate NOF-poort: NOR-gate EXNOF-poort (coïncidentiepoort): XNOR-gate Zoals je ziet gaan we de Engelstalige namen gebruiken voor de poorten. De logische poort die gebouwd kan worden met het minste aantal transistoren is de NAND-gate. Om een NAND-gate te maken zijn maar twee transistoren nodig. Deze poort is dan ook vaak de bouwsteen voor de andere poorten. Logische poorten kunnen op diverse manieren afgebeeld worden. Soms gebruikt men simpelweg een rechthoek met daarin de naam van de poort zoals te zien is in Figuur 4. Dit is ook de notatie die wij gaan gebruiken. AND Figuur 4: Voorbeeld van een notatie voor een logische poort

8 De meeste software programma's gebruiken echter de ANSI/IEEE notatie (bovenste afbeelding in de figuren hierna) of de IEC notatie (onderste afbeelding in de figuren hierna). In de volgende figuren zie je de diverse poorten afgebeeld. Figuur 5: de NOT-gate Figuur 6: de AND- & NAND-gate Figuur 7: de OR- & NOR-gate Figuur 8: de XOR- & XNOR-gate Zoals we eerder al hebben laten zien, kun je door meerdere poorten aan elkaar te koppelen logische schakelingen maken. Maar eerst gaan we kijken naar het gedrag van de diverse logische poorten. opgave 3.1 Kijk naar Figuur 1 en benoem alle logische poorten die je daarin ziet

9 4. waarheidstabellen Zoals je gezien hebt werken logische poorten op basis van de waardes 0 en 1. Waarom heten ze dan logische poorten? Dat komt omdat slimme mensen hebben bedacht dat 0 staat voor "onwaar" en 1 voor "waar". De waarden "onwaar" en "waar" noemen we Booleaanse (Boolean) of logische waarden. Ze geven aan of iets wel of niet waar is en we kunnen er waarheidstabellen mee maken. Via waarheidstabellen beschrijven we het gedrag van onze logische poorten. Dat kunnen we doen via logische waarden, zoals je in Tabel 1 kunt zien. Tabel 1: Waarheidstabel voor de NOT-gate met logische waardes. in onwaar waar uit waar onwaar Als je naar de tekening van de NOT-gate in Figuur 9 kijkt, dan is de beschrijving van het gedrag uit Tabel 1 best logisch. Toch? Als je "onwaar" op de ingang aanbiedt, dan maakt de poort er "waar" van en omgekeerd. NOT Figuur 9: Afbeelding van een NOT-gate. In een waarheidstabel telkens "onwaar" en "waar" opschrijven is relatief veel werk en kost ruimte. Het is handiger en korter om gewoon de binaire cijfers 0 en 1 te gebruiken voor respectievelijk "onwaar" en "waar". De waarheidstabel van de NOTgate ziet er dan uit zoals in Tabel 2 staat. Tabel 2: Waarheidstabel voor de NOT-gate met binaire cijfers. in uit Bij logische poorten met twee ingangen is het niet handig om van "in" en "uit" te spreken, aangezien niet duidelijk is wat "in" is. Daarom geven we de ingang(en) van logische poorten een naam. Meestal gebruiken we hier de letters P en Q voor, maar je ziet ook wel A en B gebruikt worden. Bij de uitgang gebruiken we als naam de uitkomst van de logische poort. De NOT-gate ziet er dan uit zoals je in Figuur 10 ziet. De bijbehorende waarheidstabel zie je in Tabel

10 P NOT not P Figuur 10: Afbeelding van een NOT-gate met namen voor in- en uitgang. De waarheidstabellen voor de logische poorten uit het vorige hoofdstuk zijn hieronder gegeven. We noemen deze de basis waarheidstabellen. Deze moet je goed leren en kennen. Tabel 3: Waarheidstabel voor de NOT-gate. P not P Tabel 4: Waarheidstabel voor de AND-gate. P Q P and Q Tabel 5: Waarheidstabel voor de OR-gate. P Q P or Q Tabel 6: Waarheidstabel voor de XOR-gate. P Q P xor Q Mogelijk vind je deze tabellen niet altijd "logisch" naar menselijke maatstaven. Echter, vraag je je ooit af waarom we "potlood" zeggen tegen een potlood? Waarschijnlijk niet, je hebt dit ooit geleerd en het daarna voor waar aangenomen. Op die manier kun je de basis waarheidstabellen ook benaderen. Je moet deze gewoon leren en kennen. Natuurlijk kun je wel een ezelsbruggetje bedenken! We hadden beloofd de waarheidstabellen te geven voor de logische poorten uit het vorige hoofdstuk. Maar zoals je ziet ontbreken er een aantal. Waar zijn die van de NAND-, NOR en XNOR-gates? - 9 -

11 Die ga je zelf proberen te maken! Bedenk je, dat de NAND-gate de geïnverteerde vorm van de AND-gate is, dus P nand Q is eigenlijk not(p and Q). Hiermee zou je voldoende informatie moeten hebben om de volgende opgave te maken. opgave 4.1 Schrijf de waarheidstabellen op voor de NAND-, NOR en XNORgates. Maak hierbij gebruik van de juiste namen voor in- en uitgangen en gebruik binaire cijfers in je tabellen. Hopelijk snap je, dat in een waarheidstabel alle mogelijk combinaties van waardes voor de ingangen staan. Daarmee beschrijft een waarheidstabel dus het volledige gedrag van de bijbehorende logische poort. Bij 1 ingang hebben we maximaal twee mogelijkheden op de ingang, namelijk 0 en 1. Dus hebben we 2 waarheidsregels in de tabel. De kop van de tabel is geen "waarheidsregel"! Bij 2 ingangen hebben we maximaal 4 mogelijkheden op de ingangen (2 2 ), dus hebben we 4 waarheidsregels in de tabel. opgave 4.2 Hoeveel waarheidsregels heeft de waarheidstabel van een logische poort, die 3 ingangen heeft en waarom? Je ziet dat in iedere waarheidstabel de waarde combinaties voor ingangen P en Q in dezelfde volgorde staan. Dus altijd zoals je ziet in Tabel 7. Tabel 7: Volgorde van waarde combinaties voor ingangen P en Q. P Q Dit is de meest logische volgorde, omdat je op deze manier feitelijk van 0 t/m 3 telt in het binaire talstelsel

12 opgave 4.3 Maak zelf een tabel zoals die van Tabel 7 maar dan voor 3 ingangen, dus P, Q en R. Op een toets moet je de volgorde van de waarheidsregels zoals je die zojuist hebt geleerd aanhouden. Dit maakt het voor je leraar makkelijker om de antwoorden na te kijken. Je krijgt hiervoor een antwoordblad

13 5. logische schakelingen Nu je gezien en geleerd hebt wat het gedrag van logische poorten is, kun je ze gaan combineren en zelf logische schakelingen maken. Daarnaast kun je dan ook de waarheidstabel van een zelf gemaakte logische schakeling construeren. Laten we zelf eens een logische schakeling maken door logische poorten aan elkaar te koppelen. Je kunt dan iets krijgen zoals je P NOT S Q OR R Figuur 11: Een mogelijke logische schakeling. In Figuur 11 zien we een logische schakeling waarin we twee logische poorten aan elkaar plakken. We spreken af, dat we logische schakelingen altijd van links naar rechts lezen. Dus links staan de ingangen en rechts de uitgangen. Je moet altijd zorgen dat iedere poort het juiste aantal in- en uitgangen heeft. Je ziet ook, dat we nu niet meer zo makkelijk op kunnen schrijven wat er bij de uitgang van de achterste poort uitkomt. Daarom geven we uitgangen bij logische schakelingen ook een naam in de vorm van een letter. We zijn geïnteresseerd in de uitkomst bij R. Om die te bepalen moeten we de waarheidstabel voor deze logische schakeling maken. Je ziet, dat om R te bepalen, we eerst moeten weten wat er bij uitgang S uitkomt. Kun je dat zelf bedenken? Natuurlijk, daar komt not P uit. De eerste stap in de waarheidstabel voor Figuur 11 ziet er dan als volgt uit: P Q S not P Je ziet dat de uitkomst van not P onafhankelijk is van de waarde van Q en dat is logisch, want Q is geen ingang van de NOT-gate. Als uitgang S gelijk is aan not P, dan kunnen we ook bepalen wat er voor R geldt. We weten dan namelijk wat de ingangen van de OR-gate zijn, namelijk not P en Q. Deze staan beide al in het eerste deel van de waarheidstabel. Voor R geldt dan dat

14 deze gelijk is aan (not P) or Q. De uiteindelijke waarheidstabel voor de schakeling uit Figuur 11 ziet er dan als volgt uit. P Q S not P R (not P) or Q Zorg dat je goed snapt wat hierboven gebeurt, want je gaat daar nu zelf mee aan de slag en dit soort opgaven kun je ook verwachten op de toets. Het is hierbij natuurlijk belangrijk dat je de waarheidstabellen goed kent! Om je te laten wennen aan verschillende namen voor in- en uitgangen, gebruiken we in de volgend opgaves A, B, C, D enzovoorts in plaats van P, Q, R, S enzovoorts. E A NOT OR C B OR D Figuur 12: logische schakeling 1 opgave 5.1 In Figuur 12 staat een logische schakeling. A en B zijn de ingangen van de schakeling, C en D zijn de uitgangen. Maak een waarheidstabel voor alle mogelijke combinaties van A en B en laat zien wat de uitkomst van C en D is. Tip: gebruik de het tussenpunt E in de tekening ook in de tabel

15 E A NOT XOR C B NOR D Figuur 13: logische schakeling 2 opgave 5.2 In Figuur 13 staat een logische schakeling. Maak een waarheidstabel voor alle mogelijke combinaties van A en B en laat zien wat de uitkomst van C en D is. E A NOT NAND C B XNOR D Figuur 14: logische schakeling 3 opgave 5.3 In Figuur 14 staat een logische schakeling. Maak de bijbehorende waarheidstabel

16 E A NOT AND C B XOR F OR D Figuur 15: logische schakeling 4 opgave 5.4 In Figuur 15 staat een logische schakeling. Maak de bijbehorende waarheidstabel. Let op: er zijn nu twee tussenpunten, E en F. Nu is het tijd om zelf een aantal logische schakelingen te bouwen. Een handige online applicatie hiervoor kun je vinden via de logic.ly/demo link. Via deze applicatie ga je nu een aantal opdrachten uitvoeren. Aan de ingangen van een logische schakeling moet je schakelaars koppelen. Op die manier kun je je schakeling controleren. Als een schakelaar naar "boven" staat, dan stuurt deze geen elektrisch signaal (oftewel 0). Als de schakelaar naar "beneden" staat, dan stuurt deze wel een elektrisch signaal (oftewel 1). Aan de uitgangen koppel je lampjes. Als een lampje brandt, dan gaat er een elektrisch signaal naar het lampje (oftewel 1). Als het lampje niet brandt, dan gaat er geen elektrisch signaal naar het lampje (oftewel 0). opgave 5.5 Bouw een AND-gate door alleen gebruik te maken van NAND-gates en inverters. Bewijs met een waarheidstabel dat de schakeling die je gebouwd hebt ook daadwerkelijk een AND-gate is

17 opgave 5.6 Bouw een OR-gate door alleen gebruik te maken van NAND-gates en inverters. Bewijs met een waarheidstabel dat de schakeling die je gebouwd hebt ook daadwerkelijk een OR-gate is opgave 5.7 Bouw een XOR-gate zonder de XOR- of XNOR-gate zelf te gebruiken. Bewijs met een waarheidstabel dat de schakeling die je gebouwd hebt ook daadwerkelijk een XOR-gate is. Hint: De definitie van A xor B is: (A and (not B)) or ((not A) and B). bonus opgave 5.1 Bouw een NOR-gate door alleen gebruik te maken van NAND-gates en inverters. bonus opgave 5.2 Bouw een XNOR-gate zonder de XOR- of XNOR-gate te gebruiken

18 6. meer over logische schakelingen Je hebt nu geleerd hoe je bij een logische schakeling een waarheidstabel maakt. Zou dat andersom ook lukken? Oftewel, kun je een logische schakeling bedenken bij een gegeven waarheidstabel? Voor zeer eenvoudige schakelingen is dat te doen, maar voor complexe schakelingen wordt dat heel moeilijk. Toch gaan we het proberen. Kijk eens naar de volgende waarheidstabel. P Q R Kun je bedenken welke schakeling hierbij hoort? Hopelijk wel, want als je goed kunt moet je hierin de basis waarheidstabel van de XOR-gate herkennen. De bijbehorende schakeling ziet er dus als volgt uit: P Q XOR R Nu een stapje moeilijker, kijk eens naar de waarheidstabel in Tabel 8. Tabel 8: een waarheidstabel P Q R Herken je hierin een basis waarheidstabel? Als het goed is niet. opgave 6.1 Probeer zelf de logische schakeling te vinden die bij Tabel 8 hoort

19 Soms zijn schakelingen veel ingewikkelder dan noodzakelijk. Dit wil je typisch niet, omdat ze dan duurder zijn om te bouwen. Immers, hoe meer logische poorten je gebruikt voor de schakeling, hoe meer transistors je nodig hebt en transistors kosten geld. Zeker als je een schakeling vaak nodig hebt in je product, moet je deze zo goedkoop mogelijk maken. Dat maakt je product goedkoper en daarmee concurrerender op de markt. Figuur 16: een te ingewikkelde schakeling? Om te kijken of je deze schakeling kunt vereenvoudigen kun je een aantal strategieën gebruiken. Je kunt allereerst kijken of je combinaties van logische poorten ziet, die je samen kunt nemen. In Figuur 16 zie je bijvoorbeeld 4 keer een ANDgate met daarachter een inverter. Daar kun je dus 4 NAND-gates van maken. Dat is goed, want NAND-gates zijn de goedkoopste poorten. Daarna worden de strategieën steeds moeilijker en bijna niet meer uit te voeren door mensen. Immers we willen het aantal transistoren minimaliseren. Gelukkig zijn er programma's die dat voor ons doen. Om toch nog eens goed te oefenen met waarheidstabellen, hebben we de logische schakeling in Figuur 16 zo gemaakt dat hij te vereenvoudigen is tot 1 logische poort. Door een waarheidstabel te maken voor deze schakeling kun je er achter komen welke dat is. opgave 6.2 Maak de waarheidstabel die hoort bij de logische schakeling in Figuur 16. Bepaal vervolgens door welke poort deze te vervangen is. En dan nu terug naar het begin. Die moeilijke schakeling om twee bytes op te tellen. Weet je nog? Snappen we die nu beter? We zullen hem eerst nog een keer laten zien

20 Als je goed kijkt, dan zie je nu dat er veel herhaling in de logische schakeling. Je ziet namelijk vaak het volgende patroon terugkomen. Dit stuk van de logische schakeling heet een full adder. Een full adder kan twee binaire getallen van 1 bit (weergegeven door de schakelaars) bij elkaar optellen met zowel een carry in ("meenemen" bij het optellen) en een carry out ("overhouden" bij optellen). De carry in is het lijntje dat binnen komt onder de schakelaars. De carry out is de uitgang van de OR-gate in de schakeling. In de volgende figuur zie je de full adder nog een keer, maar dan met naamgeving erbij. De carry out links boven is van de vorige full adder in de keten en is natuurlijk de carry in voor de full adder die je hier afgebeeld ziet

21 opgave 6.3 Maak de waarheidstabel die hoort bij een full adder en ga na dat je hiermee inderdaad twee getallen van 1 bit kunt optellen met carry in en carry out. Het eerste stuk van de schakeling wijkt maar een heel klein beetje af. Aangezien hier de laagste bits van de twee getallen opgeteld worden, is er nog geen carry in. Deze wordt daarom op een zogenaamde ZERO-gate aangesloten. Zo'n poort stuurt altijd een 0 (dus geen elektrisch signaal). Dit zie je in de volgende afbeelding. Het eerste stuk kun je natuurlijk vereenvoudigen en dat wordt in de praktijk ook gedaan. Het heeft immers geen nut om ergens altijd 0 aan te bieden. De vereenvoudigde versie van het eerste stuk heet een half adder

22 Het laatste van de schakeling is ook een vereenvoudiging van de full adder, omdat deze geen carry out nodig heeft. Hier worden immers de hoogste bits van de twee getallen opgeteld en kan er niks "overgehouden" worden. We hebben immers niet meer bits tot onze beschikking in de uitkomst. Deze vereenvoudiging zie je in de volgende afbeelding. Schematisch ziet een schakeling om twee getallen van een byte op te tellen er als volgt uit. Hierbij staat HA voor half adder, FA voor full adder en MFA voor modified full adder. HA FA FA FA FA FA FA MFA Op de toets hoef je geen half of full adders te reproduceren of uit te leggen, maar het is wel belangrijk dat je snapt hoe ze werken voor de rest van het vak. Feitelijk is dit programmeren op het aller laagste niveau. Voor meer informatie over adders kun je kijken op Wikipedia

23 7. logica (vwo) Je bent zojuist lekker bezig geweest met logische schakelingen en het maken van waarheidstabellen. Waarheidstabellen kunnen soms heel groot worden en dan zijn ze niet meer overzichtelijk. Bovendien is het vereenvoudigen van logische schakelingen aan de hand van waarheidstabellen bijna niet te doen voor mensen. Daarom gaan je nu leren op een andere manier naar logische schakelingen kijken, namelijk op een meer wiskundige manier die we logica noemen. We beginnen met een introductie waarin we uitleggen welke begrippen we gaan gebruiken en wat ze betekenen. Daarna gaan we bewijzen maken en tot slot gaan we vereenvoudigen. Een propositie is een uitspraak die waar of onwaar kan zijn. Een propositie kan dus twee waarden hebben. Dit is vergelijkbaar met het binaire talstelsel. Vaak worden "waar" en "onwaar" dan ook als 1 (waar) en 0 (onwaar) geschreven. Dit laatste is handig in onder andere de waarheidstabellen die je al gezien hebt. Om proposities weer te geven gebruiken we meestal hoofdletters die beginnen bij de P. Als je in het vervolg P, Q, R en S tegenkomt bedoelen we daar dus proposities mee. Ook kun je P 1, P 2 enzovoorts gebruiken. Maar uiteraard zijn A, B, C en D ook prima. Net als bij de in- en uitgangen van logische poorten en schakelingen. Er zijn diverse soorten logica. In deze module gaan we kijken naar de zogenaamde propositielogica die onderdeel is van de predicatenlogica. Als je in het algemeen meer wilt weten over deze soorten logica kun je eens kijken op de volgende websites: propositielogica Wiki NL predicatenlogica TU/e predicatenlogica Wiki NL Een propositie die bestaat uit een enkele letter, bijvoorbeeld P, noemen we een enkelvoudige propositie. Met alleen enkelvoudige proposities kunnen we weinig uitdrukken en daarom bestaan er ook samengestelde proposities. Deze maken we door proposities te verbinden door logische operatoren. De volgende logische operatoren zijn belangrijk in de propositielogica: not ( ): de niet- of ontkenningsoperator and ( ): de en-operator or ( ): de of-operator xor ( ): de exclusieve of-operator implicatie ( ) equivalentie ( ) Je ziet hopelijk dat je een aantal van deze operatoren al eerder bent tegengekomen in de vorm van logische poorten. Een logische poort is immers ook gewoon een bewerking (operatie) op 1 of 2 ingangen die een resultaat op de uitgang oplevert

24 Vanaf nu gaan we niet meer de namen van de operatoren gebruiken, maar de symbolen. Dit verkort namelijk de lengte van samengestelde proposities. Je ziet ook dat er twee nieuwe operatoren zijn. Hiervoor bestaan geen logische poorten. Dit zijn de implicatie en de equivalentie. De basis waarheidstabellen voor deze operatoren zien er als volgt uit. Tabel 9: Waarheidstabel voor de implicatie. P Q P Q Tabel 10: Waarheidstabel voor de equivalentie. P Q P Q Aangezien we in dit hoofdstuk voornamelijk gaan bewijzen door middel van logische bewijzen, hoef je deze basis waarheidstabellen niet uit je hoofd te leren. Het is echter wel goed om ze een keer te hebben gezien. Bewijzen of een samengestelde propositie waar of niet waar is kunnen we op twee manieren doen. Via een waarheidstabel of via een logisch bewijs. Dit hoofdstuk gaat voornamelijk over logische bewijzen. We kijken echter toch even kort naar bewijzen via waarheidstabellen, omdat het goed is om dit gezien te hebben. Net als voor een logische schakeling, kunnen we ook een waarheidstabel maken voor een samengestelde propositie. Dit werkt bijna hetzelfde als voor een logische schakeling. Je deelt de samengestelde propositie op in stukken waarvoor je kolommen opneemt in de waarheidstabel. Dit gaat als volgt. Neem de samengestelde propositie P ( P Q). Deze bestaat uit twee enkelvoudige proposities, P en Q. De operator bindt het sterkst, dus feitelijk staat er P (( P) Q). De truc is nu om van binnen naar buiten kolommen toe te voegen. We schrijven dus eerst de kolommen van P en Q op, want dat zijn de enkelvoudige proposities. Die bepalen hoeveel waarheidsregels we in onze tabel krijgen. Daarna maken we een kolom voor P, om die te vullen hebben we namelijk alleen de waardes van P nodig en die zijn bekend. Vervolgens maken we een kolom voor ( P) Q, want we kennen de waardes van P en van Q. Daarna kunnen we de waardes voor de hele samengestelde propositie bepalen. Dat ziet er als volgt uit

25 P Q P P Q P ( P Q) Tijd om even kort zelf te oefenen. opgave 7.1 Maak waarheidstabellen voor de volgende samengestelde proposities: P Q (P Q) (P Q) (P Q) R Wat valt je op? Je kunt nu waarheidstabellen maken van samengestelde proposities en dat is de basis van bewijzen door middel van waarheidstabellen. Als in een waarheidstabel in de kolom van de volledige samengestelde propositie alleen maar de waarde 1 staat, dan betekent dit dat de samengestelde propositie altijd waar is en daarmee bewezen. Een voorbeeld van een bewijs via een waarheidstabel zie je hieronder voor de samengestelde propositie P P. P P P P In de kolom voor de volledige samengestelde propositie P P staat voor alle mogelijke waarden van P alleen maar de waarde 1 en daarmee is de samengestelde propositie dus bewezen. Een moeilijker voorbeeld is de propositie P ( P Q). P Q P P Q P ( P Q)

26 Naarmate de samengestelde proposities groter worden, is bewijzen via een waarheidstabel veel en foutgevoelig werk. Daarom wordt het in de praktijk eigenlijk nooit gedaan. Informatica gebruiken altijd logische bewijzen. Voor logische bewijzen heb je een aantal basis regels nodig waarvan je weet dat ze waar zijn. Deze basis regels die altijd waar zijn heten stellingen. Via deze stellingen gaan we samengestelde proposities transformeren naar de waarde "waar". Stellingen worden daarom ook wel transformatieregels genoemd. Stellingen zijn dus niets meer of minder dan samengestelde proposities waarvan bewezen is dat ze waar zijn, bijvoorbeeld via waarheidstabellen. Ze zijn nodig om logische bewijzen te maken, maar kunnen ook gebruikt worden om samengestelde proposities te vereenvoudigen. We gaan gebruik maken van de volgende stellingen: 1. onwaar waar 2. waar onwaar 3. (P waar) waar 4. (P onwaar) P 5. (P waar) P 6. (P onwaar) onwaar 7. (P P) waar 8. (P P) onwaar 9. (P P) waar 10. (P P) P 11. (P P) P 12. (P Q) (Q P) 13. (P Q) (Q P) 14. P P 15. (P Q) ( P Q) 16. P (Q R) (P Q) R 17. P (Q R) (P Q) R 18. (P Q) ( P Q) 19. (P Q) ( P Q) 20. P (Q R) (P Q) (P R) 21. P (Q R) (P Q) (P R) 22. (P Q) (P Q) 23. (P Q) ((P Q) ( P Q)) (definitie) Sommige van deze stellingen lijken op wiskundige stellingen zoals: a + 0 = a a * 0 = 0 a * (b + c) = (a*b) + (a*c) -a - b = -(a + b)

27 Als in een propositie een equivalentie ( ) staat dan mag je in je bewijs de linkerkant vervangen door de rechterkant en omgekeerd. Dit werkt hetzelfde als het is gelijk teken (=) bij wiskunde. Bij een implicatie ( ) mag je in je bewijs ook de linkerkant vervangen door de rechterkant maar NIET omgekeerd. Bewijzen met de implicatie zijn lastiger dan die met de equivalentie en we zullen deze hier dan ook niet behandelen. Implicaties kun je omschrijven met behulp van stelling nummer 15. Met deze kennis en de bovenstaande stellingen kunnen we bijvoorbeeld bewijzen dat de volgende propositie waar is: P P Hier volgt het bewijs. Let goed op de notatie, die is belangrijk en moet je kunnen toepassen. P P { pas stelling P P toe } P P { pas stelling (P Q) (Q P) toe } P P { pas stelling (P P) waar toe } waar In het bovenstaande bewijs mag je het toepassen van de tweede stelling in principe weglaten, maar het is netter om ook deze stap te vermelden als je naar de gegeven stellingen kijkt. Dat ziet er misschien wat raar uit, maar niet zo heel moeilijk. Het komt er in feite op neer dat je je samengestelde propositie steeds een stukje vereenvoudigt tot je de waarde "waar" overhoudt. Nu gaan we een moeilijkere propositie bewijzen, namelijk: (P Q) (R S) (P R) (P S) (Q R) (Q S) Hier volgt het bewijs. Let goed op de notatie, die is belangrijk en moet je kunnen toepassen. Zoals we al eerder aangegeven hebben, mag je bij een equivalentie de ene kant door de andere vervangen en andersom. Dat betekent ook, dat we 1 kant van de samengestelde propositie mogen nemen en die mogen transformeren naar de andere kant. Op die manier blijft je bewijs overzichtelijk, omdat je maar een deel van de samengestelde propositie steeds hoeft op te schrijven

28 (P R) (P S) (Q R) (Q S) { pas stelling P (Q R) (P Q) (P R) twee keer toe } (P (R S)) (Q (R S)) { verwijder kleuren en vervang (R S) door T} (P T) (Q T) { pas stelling P (Q R) (P Q) (P R) } (P Q) T { vervang T door (R S) } (P Q) (R S) Dit ziet er niet veel langer uit dan het eerste bewijs maar waarschijnlijk wel moeilijker. Wat dus anders is dan in het eerste bewijs is, dat we beginnen met de rechterkant van onze propositie en die naar de linkerkant toe transformeren. Dit mag omdat er een equivalentie tussen de linker en rechterkant staat. We nemen hier de rechterkant, omdat die het langste is. Het is meestal makkelijker om een lange samengestelde propositie naar een korte te transformeren dan andersom. Bovendien passen we naast onze transformatieregels hier ook nog tijdelijke vereenvoudiging toe. We vervangen een stuk samengestelde propositie door een enkelvoudige propositie (het stuk vetgedrukte tekst). Dit maakt het bewijs makkelijker leesbaar. Aan het einde doen we deze vervanging weer teniet door een omgekeerde vervanging. Deze vereenvoudiging is niet verplicht, maar wel aan te raden om het bewijs overzichtelijk te houden. Je gaat nu zelf aan de slag met bewijzen. Je gaat beginnen met eenvoudige samengestelde proposities en ze worden steeds complexer. Zorg dat je de juiste notatie oefent, want dat moet je op de toets ook kunnen! opgave 7.2 Bewijs de volgende proposities: P P ( P P) P ( P Q) (Q P)

29 opgave 7.3 Bewijs de volgende proposities: P (Q R) (P Q) (P R) ( P P) P onwaar P Zoals gezegd, kunnen we de stellingen ook gebruiken om samengestelde proposities te vereenvoudigen. Dit is handig, want we kunnen logische schakelingen altijd omschrijven in de vorm van een samengestelde propositie. Nu is het zo dat we het in de praktijk bij vereenvoudigen altijd streven naar een minimaal aantal transistoren. Dat is op dit moment voor ons nog lastig, omdat je dan precies moet weten hoeveel transistoren iedere operator vertegenwoordigt. Bovendien moet je daar tijdens je vereenvoudiging ook nog rekening mee houden. Dat gaat ons niet lukken, maar om toch te oefenen houden we de volgende vuistregel aan. Een samengestelde propositie SP 1 wordt als eenvoudiger gezien dan een samengestelde propositie SP 2, wanneer SP 1 minder logische operatoren bevat dan SP 2. En dan ga je weer lekker aan de slag met de stellingen. Let ook weer op de notatie. opgave 7.4 Vereenvoudig de volgende samengestelde proposities: ( P P) ( Q Q) ( P Q) ( P R) ( P Q) ( P Q)

30 bonus opgave 7.1 Bewijs de volgende proposities: (P Q) (P Q) (P Q) (Q P) (P Q) (P Q) (Q P) bonus opgave 7.2 Vereenvoudig de volgende proposities: P (P Q) P (P Q) Wat valt je op na de vereenvoudiging?