talstelsels F. Vonk versie

Transcriptie

1 2016 talstelsels F. Vonk versie

2 inhoudsopgave 1. inleiding binair hexadecimaal intermezzo: RGB octaal (vwo) bonus opgaves wat heb je geleerd Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding NietCommercieel GelijkDelen 3.0 Unported licentie Deze module is deels overgenomen uit Hoofdstuk 2 van de informatica methode van Remie Woudt. De afbeelding op het voorblad is verkregen via INFOwrs. Copyright 2010 INFOwrs Serviços em informatica

3 1. inleiding Computers werken op basis van elektrische signalen. Deze signalen maken het mogelijk om met waardes te werken in een computer. Om goed onderscheid te kunnen maken tussen waardes is gekozen om er slechts twee te gebruiken, namelijk de 1 als het signaal hoog is en 0 als het signaal laag is. In Figuur 1 zie je hoe een analoog en digitaal signaal eruit zien. Een computer werkt intern met een digitaal signaal. Een talstelsel dat gebruikt maakt van slechts twee waardes noemen we een binair stelsel. Dit soort talstelsels kunnen goed nagebootst worden met behulp van schakelaars of lampjes. Figuur 1: verschil tussen analoog en digitaal signaal Welkom bij de module talstelsels. We gaan het in deze module een aantal talstelsels bekijken die een belangrijke rol spelen binnen de informatica en waarvan je kennis moet hebben en mee moet kunnen werken als je wilt leren programmeren. Let op, de vwo stof over octaal is geen toets stof voor havo! In deze module kom je opgaves tegen die je moet maken om de lesstof te verwerken. De antwoorden kunnen in de les besproken worden. opgave Opgaves in blauw moet je maken. Let op: Bij de toets over dit onderwerp mag je GEEN rekenmachine gebruiken. Het is daarom verstandig om nu de opgaves ook te maken zonder rekenmachine. Je kunt je rekenmachine wel gebruiken om je antwoord te controleren

4 Er zijn ook bonus opgaves die je niet hoeft te maken maar waarvan het misschien wel slim en/of leuk is om het wel te doen. Ze bieden je in ieder geval extra oefenmateriaal. bonus opgave Opgaves in groen zijn facultatief en dienen als verdieping of om meer te oefenen. Veel plezier en succes

5 2. binair Tabel 1: van decimaal naar binair decimaal binair Wij mensen zijn gewend te werken met het decimale (10- tallige) talstelsel. Het kleinste, niet negatieve getal, dat we kennen is 0. Wanneer we tellen, beginnen we daarom bij 0. Het hoogste symbool dat we kennen is 9. We tellen daarom tot en met 9 en dan zijn onze symbolen op. Bij de volgende stap wordt het symbool op de plek, waar we aan het ophogen waren, weer 0 gemaakt en zetten we daar een 1 voor. In het binaire (2-tallige) stelsel werkt het net zo alleen tel je steeds tot en met 1 in plaats van 9. Je hebt immers maar twee symbolen, namelijk de 0 en de Je begint met een 0, dan een 1 maar daarna zijn we al door onze symbolen heen. Dus dan zetten we er een 1 voor en beginnen we rechts daarvan weer met 0. En zo gaan we door. Kijk maar eens in Tabel 1. In de linker kolom staat het decimale getal, in de rechter kolom het binaire getal met dezelfde waarde Zoals je in de tabel ziet wordt het getal 4 binair voorgesteld als 100. Dit kan verwarrend zijn omdat we 100 ook kennen als we decimaal werken. We kunnen zo niet zien of hier het decimale getal honderd of het binaire getal 4 wordt bedoeld. Om dat onderscheid duidelijk te maken zetten we vaak de kleine letter b achter een binair getal. Oftewel met 100 bedoelen we het decimale getal en met 100b het binaire. Soms vinden mensen het handig om binaire getallen altijd in veelvouden van vier cijfers uit te drukken en schrijven ze 0100b in plaats van 100b. opgave 2.1 Schrijf het decimale getal 20 op als binair getal. Je kunt hiervoor doortellen vanaf het einde van Tabel 1. Het getal decimale getal 20 omrekenen naar binair is nog wel te doen. Maar hoe reken je 169 om? Met het juiste recept is dat redelijk eenvoudig

6 opgave 2.2 Bekijk het volgende YouTube filmpje: Decimaal naar binair. Schrijf het decimale getal 124 op als binair getal. Gebruik wat je geleerd hebt in het filmpje. Het omrekenen van binair naar decimaal is gelukkig minder omslachtig. Laten we het binaire getal b eens bekijken. Hoe rekenen we dat om naar een decimaal getal? In Figuur 2 zie je hoe dat in zijn werk gaat. Even herhalen wat je bij wiskunde al gehad hebt. Een getal tot de macht 0 is altijd 1! Figuur 2: binair naar decimaal We gaan aan de slag van rechts naar links. 1. Het meest rechtse getal hoort bij 2 0. Aangezien er een 1 staat betekent dit dat we 1 maal 2 0 hebben en dat is gelijk aan Het volgende getal vanaf rechts hoort bij 2 1. Aangezien er een 0 staat betekent dit dat we 0 maal 2 1 hebben dat is gelijk aan Het volgende getal hoort bij 2 2. Aangezien er een 0 staat betekent dit dat we 0 maal 2 2 hebben dat is gelijk aan Het volgende getal hoort bij 2 3. Aangezien er een 1 staat betekent dit dat we 1 maal 2 3 hebben dat is gelijk aan En zo kunnen we doorgaan. 6. Tot slot tellen we alle uitkomsten bij elkaar op en krijgen we het decimale getal, in dit geval

7 opgave 2.3 Schrijf het binaire getal 10011b op als decimaal getal. Gebruik het recept. Eén cijfer uit een binair getal noemen we een bit. Een blok van 4 bits noemen we een nibble en een blok van 8 bits noemen we een byte. Net als het decimale stelsel kun je ook in het binaire stelsel rekenen. Of het handig is of niet mag je zelf bepalen maar het is mogelijk. Wat je bij een binaire rekenopgave altijd kunt doen is de getallen omschrijven naar het decimale stelsel, daar de berekening uitvoeren en vervolgens de uitkomst terugschrijven naar binair. Je kunt ook de Microsoft rekenmachine gebruiken. In de weergave programmeren kun je getallen converteren en rekenen met onder andere binaire getallen. Rekenen met binaire getallen is bewerkelijk maar niet moeilijk. Het gaat feitelijk net zoals met decimale getallen. Het belangrijkste is dat je altijd beseft dat je geen cijfers hoger dan 1 hebt. Hier volgt een eenvoudig voorbeeld: 1b + 1b = 10b. Wat hier gebeurt is dat 1+1 gelijk is aan 2 en dus te groot is. We trekken nu 2 (het grondtal) ervan af waardoor we 0 overhouden en 1 moeten onthouden. Meer cijfers zijn er niet dus ben je al klaar. Een wat moelijker voorbeeld: b b b opgave 2.4 Controleer de bovenstaande berekening met de rekenmachine

8 opgave 2.5 Voer de onderstaande twee berekening uit in het binaire stelsel zonder hulp van de rekenmachine. 1001b b b b opgave 2.6 Schrijf de volgende decimale getallen om naar binaire getallen zonder gebruik van een rekenmachine. a) 27 b) 153 c) 204 opgave 2.7 Schrijf de volgende binaire getallen om naar decimale getallen zonder gebruik van een rekenmachine. a) b b) b c) b - 7 -

9 bonus opgave 2.1 Schrijf de volgende decimale getallen om naar binaire getallen zonder gebruik van een rekenmachine. a) 13 b) 42 c) 195 d) 273 Als je het gevoel hebt, dat je het nog niet goed onder de knie hebt, kun je de Windows rekenmachine gebruiken om zelf meer oefensommen te maken. bonus opgave 2.2 Schrijf de volgende binaire getallen om naar decimale getallen zonder gebruik van een rekenmachine. a) 1001b b) b c) b d) b Als je het gevoel hebt, dat je het nog niet goed onder de knie hebt, kun je de Windows rekenmachine gebruiken om zelf meer oefensommen te maken

10 3. hexadecimaal Tabel 2: decimaal, binair en hexadecimaal dec bin hex A B C D E F Naast het binaire stelsel wordt binnen de informatica ook het hexadecimale (16-tallige) stelsel veel gebruikt. Misschien nog wel meer dan het binaire. Het hexadecimale stelsel gebruikt 16 symbolen, te weten 0 t/m 15. Maar welke symbolen gebruiken we dan boven de 9? Want dan zijn onze cijfersymbolen op. In Tabel 2 kun je zien hoe dat opgelost is. In het hexadecimale stelsel worden voor de hoogste cijfers dus de letters A t/m F gebruikt. Waarom is het hexadecimale stelsel zo belangrijk binnen de informatica? Zoals eerder gezegd werken computers binair, dus met alleen nullen en enen. Maar bij grote getallen wordt dat al gauw onoverzichtelijk en met name foutgevoelig. Kijk maar eens hoe het decimale getal er binair uitziet: b. Dat is een flinke rij nullen en enen. De kans dat je een fout maakt bij het intypen van zo'n binair getal is groot. Het wordt al beter als we de reeks nullen en enen in blokken van 4 indelen maar het blijft foutgevoelig, kijk maar: b. Het binaire stelsel heeft minder symbolen om mee te werken dan het decimale en getallen worden daardoor langer. Het hexadecimale stelsel heeft juist meer symbolen om mee te werken en dat is dus gunstig. Bovendien kun je in Tabel 2 zien dat brokken van 4 bits 1 heel goed vertalen naar 1 hexadecimaal symbool. Als we goed naar Tabel 2 kijken en we schrijven alle binaire getallen onder de 8 altijd als vier cijfers (dus we zetten er voldoende nullen voor) dan kunnen we onze lange reeks nullen en enen van hiervoor ook opschrijven als 87CEEB. Dat scheelt veel in lengte. Hexadecimale getallen zijn als het ware een verkorte schrijfwijze voor binaire getallen. Handig voor ons mensen, zeker als we moeten programmeren. 1 Een blok van 4 bits noemen we een nibble, zoals je in het vorige hoofdstuk hebt gezien

11 opgave 3.1 Schrijf het binaire getal b op als hexadecimaal getal. Zo op het eerste gezicht zijn hexadecimale getallen goed te onderscheiden van decimale getallen. Immers bij decimale getallen gebruiken we de letters A t/m F niet. Maar die letters hoeven natuurlijk niet voor te komen en dan kunnen we, net als bij binaire getallen, het verschil niet zien. Daarom schrijven we hexadecimale getallen ook op een speciale manier, namelijk door er 0x voor te zetten. Bijvoorbeeld 0x8118 is niet het decimale getal 8118 maar het hexadecimale. Net als we een recept hebben om decimale getallen om te rekenen naar binaire getallen, hebben we ook een recept voor het omrekenen naar hexadecimale getallen. opgave 3.2 Bekijk het volgende YouTube filmpje: Decimaal naar hexadecimaal. Schrijf het decimale getal 3784 op als hexadecimaal getal. Gebruik wat je geleerd hebt in het filmpje. Het omrekenen van hexadecimaal naar decimaal is gelukkig weer minder omslachtig. Laten we het hexadecimale getal 0x87CEEB eens bekijken. Hoe rekenen we dat om naar een decimaal getal? In Figuur 3 zie je hoe dat in zijn werk gaat. Nog een keer herhalen wat je bij wiskunde al geleerd hebt. Een getal tot de macht 0 is altijd gelijk aan 1!

12 Figuur 3: hexadecimaal naar decimaal We gaan aan de slag van rechts naar links. 1. Het meest rechtse getal hoort bij Aangezien er een B staat betekent dit dat we 11 maal 16 0 hebben en dat is gelijk aan Het volgende getal vanaf rechts hoort bij Aangezien er een E staat betekent dit dat we 14 maal 16 1 hebben dat is gelijk aan Het volgende getal hoort bij Aangezien er weer een E staat betekent dit dat we 14 maal 16 2 hebben dat is gelijk aan Het volgende getal hoort bij Aangezien er een C staat betekent dit dat we 12 maal 16 3 hebben dat is gelijk aan En zo kunnen we doorgaan. 6. Tot slot tellen we alle uitkomsten bij elkaar op en krijgen we het decimale getal, in dit geval het bekende opgave 3.3 Schrijf het hexadecimale getal 0xACDC op als decimaal getal. Gebruik het recept. Waarom gebruiken we niet gewoon decimale getallen als we programmeren. Tja, in veel gevallen is dat ook heel goed mogelijk. Toch zijn er situaties waarin je hexadecimale getallen moet gebruiken. Dit kan bijvoorbeeld komen, omdat anderen je dwingen ze te gebruiken

13 intermezzo: RGB Heb je je wel eens afgevraagd hoe het komt, dat de juiste letter in je tekstverwerker verschijnt, wanneer je een toets op je toetsenbord indrukt? Immers je computer kent alleen maar 0 en 1, niet het alfabet of leestekens. Om dit probleem op te lossen heeft men bedacht, dat alle tekens op het toetsenbord een unieke code krijgen. Deze codes worden door de software herkend en gebruikt. Zo'n code kunnen we schrijven als decimaal, binair of hexadecimaal getal. Vaak worden bij het programmeren hexadecimale getallen gebruikt, omdat die korter zijn. Niet alleen tekens op het toetsenbord worden gecodeerd, ook kleuren hebben een codering nodig. Immers, een computer heeft geen flauw idee wat rood, geel, groen of blauw is. Een veel gebruikt coderingsystemen voor kleur is RGB. RGB staat voor Red Green Blue. Hopelijk weet je van de tekenlessen van vroeger nog, dat je primaire kleuren hebt en dat je daarmee andere kleuren kunt maken door ze te mengen. Bij het schilderen en tekenen zijn de primaire kleuren rood, geel en blauw, zie Figuur 4. Figuur 4: primaire schilderkleuren en menging 2 Bij schilderen en tekenen gebruiken we zogenaamde subtractieve kleuren; kleuren die kleurcomponenten onttrekken aan wit licht om zwart te maken. Bij beeldschermen gebruiken we juist additieve kleuren; kleuren die kleurcomponenten toevoegen aan zwart om wit te maken. Bij additieve kleurmenging gebruiken we groen in plaats van geel, zie Figuur 5. Als je meer wilt weten over kleuren mengen en waarom er verschillende technieken zijn, kijk dan eens op The Straight Dope

14 Figuur 5: primaire beeldschermkleuren en menging 3 Voor nu is het voldoende om te weten dat we in software kleuren maken door rood, groen en blauw te mengen. Hoe de software dat precies doet is niet echt belangrijk. We noemen elk van deze drie primaire kleuren een kleurcomponent. Voor elke kleurcomponent gebruiken we 256 kleurintensiteiten en daarvoor hebben we 8 bits per component nodig. Zoals gezegd, is werken met bits lastig en daarom werken we bij RGB vaak met hexadecimale waardes. Iedere kleurcomponent (1 byte) drukken we, zoals je net geleerd hebt, dus uit via een hexadecimaal getal bestaande uit 2 symbolen. We hebben 3 kleurcomponenten, dus in totaal gebruiken we een hexadecimaal getal bestaande uit 6 symbolen. De kleurcomponenten staan in de volgorde waarin we de naam van de codering (RGB) schrijven, dus eerst rood, dan groen en dan blauw, zie Figuur 6. In deze figuur wordt # in plaats van 0x gebruikt om een hexadecimaal getal aan te geven. Figuur 6: RGB codering

15 De waarde #FF0000 staat dus voor rood, de waarde #00FF00 voor groen en de waarde #0000FF voor blauw. En zoals je dan uit Figuur 5 kunt afleiden staat bijvoorbeeld #FFFF00 voor geel. Als je interactief wilt spelen met het mengen van kleuren, kijk dan eens op DAPJ. Bij RGB worden slechts 3 bytes gebruikt en dat is zonde want moderne computers werken met 4 bytes (32 bits systeem) of 8 bytes (64 bits systeem) tegelijk. Daarom wordt RGB vaak nog uitgebreid met een transparantie waarde, we spreken dan van RGB (RGB alpha). De laatste byte, de alpha component, wordt dan gebruikt om aan te geven hoe transparant de kleur moet zijn. Als de alpha component 0 is dan is de kleur helemaal doorzichtig. Als deze component maximaal (dus FF) is dan is de kleur helemaal niet doorzichtig (opaak, opaque in het Engels). Om het verwarrend te maken wordt naast RGB ook wel RGB gebruikt. In dat geval staat de alpha component aan het begin in plaats van aan het einde. Wanneer je je eigen webpagina gaat maken, kan het zijn dat je met achtergrondkleuren gaat werken. Om webpagina's te maken, gebruik je bijvoorbeeld HTML (wat dat precies is leer je later). In HTML hebben veel kleuren een naam, bijvoorbeeld SkyBlue. Zo'n naam staat feitelijk voor een RGB waarde. Skyblue staat bijvoorbeeld voor #87CEEB. De meeste kleuren hebben echter geen naam. Wanneer je met kleuren zonder naam gaat werken is het handig om te weten hoe de RGB codering en hexadecimale getallen werken. opgave 3.4 Schrijf de kleuren wit, zwart, cyaan en magenta op als hexadecimale RGB waarde. verder met hexadecimale getallen Net als de decimale en binaire stelsels kun je ook in het hexadecimale stelsel rekenen. Ook hier geldt weer dat je de getallen altijd kunt omschrijven naar het decimale stelsel, daar de berekening uitvoeren en vervolgens de uitkomst kunt terugschrijven naar hexadecimaal. Je kunt ook de Microsoft rekenmachine gebruiken. In de weergave programmeren kun je rekenen met onder andere hexadecimale getallen

16 Rekenen met hexadecimale getallen is niet zo bewerkelijk maar wel lastig, tenminste als het converteren van getallen boven de 9 naar letters geen automatisme is. Het gaat feitelijk net zoals met decimale getallen. Het belangrijkste is dat je altijd beseft dat je geen cijfers hoger dan F (dus 15) hebt. Hier volgt een eenvoudig voorbeeld: 0x9 + 0x9 = 0x12. Wat hier gebeurt is dat 9+9 gelijk is aan 18 en dus te groot is. We trekken nu 16 (het grondtal) ervan af waardoor we 2 overhouden en 1 moeten onthouden. Meer cijfers zijn er niet dus ben je al klaar. Een wat moelijker voorbeeld: 0x 84B 0x 8A + 0x 8D5 opgave 3.5 Controleer de bovenstaande berekening met de rekenmachine. opgave 3.6 Voer de onderstaande twee berekening uit in het hexadecimale stelsel zonder hulp van de rekenmachine. 0xAB + 0x88 0xCAB + 0xBAB

17 bonus opgave 3.1 Schrijf de volgende decimale getallen om naar hexadecimale getallen zonder gebruik van een rekenmachine. a) 11 b) 13 c) 15 d) 69 e) 160 f) 206 g) 513 h) 2306 i) 3245 j) k) Als je het gevoel hebt, dat je het nog niet goed onder de knie hebt, kun je de Windows rekenmachine gebruiken om zelf meer oefensommen te maken. bonus opgave 3.2 Schrijf de volgende hexadecimale getallen om naar decimale getallen zonder gebruik van een rekenmachine. a) 0x A b) 0x C c) 0x E d) 0x 13 e) 0x B4 f) 0x DE g) 0x 101 h) 0x 2C2 i) 0x 1BA j) 0x BABA k) 0x EFFE Als je het gevoel hebt, dat je het nog niet goed onder de knie hebt, kun je de Windows rekenmachine gebruiken om zelf meer oefensommen te maken

18 4. octaal (vwo) Tabel 3: decimaal, binair en octaal dec bin oct We hebben intussen drie talstelsels gezien: decimaal, binair en hexadecimaal. In principe bestaan er oneindig veel van deze talstelsels. Een willekeurig talstelsel noemen we een N-tallig (of N-air) stelsel Toen de computer net in opkomst was bestonden er nog geen 8 bits computers. Het was toen niet zo dat men altijd in even aantallen bits werkte. Het werken met bits was echter toen ook al vervelend. De eerste stap ter vergemakkelijking hiervan was het octale stelsel (8-tallig) Het octale stelsel gebruikt 8 symbolen, te weten 0 t/m 7. In Tabel 3 kun je zien hoe dit werkt. Je ziet ook dat octale getallen goed aansluiten bij 3 en 6 bits notaties die vroeger, en zelfs nu nog af en toe, in computers gebruikt werden. Een nog steeds actueel voorbeeld is het systeem voor bestandspermissies in besturingssystemen zoals Unix en Linux. Als je hierover meer wilt weten kijk dan eens naar de link in de voetnoot op deze pagina. Figuur 7: bestandspermissies in Unix en Linux 5 5 bron: Daniel Miessler;

19 Nu je de binaire en hexadecimale stelsels kent zou het octale stelsel geen verrassing meer mogen zijn. Net als voor binair en hexadecimaal hebben we een notatie om octale getallen aan te duiden. Vaak zetten we en kleine letter o achter het getal om aan te geven dat het een octaal getal is. Dus het decimale getal 8 schrijven we als 10o in het octale stelsel. Bij de Windows rekenmachine heb je misschien al gezien dat deze ook in octale modus kan werken! In plaats van dat we je uit te leggen hoe dit talstelsel werkt, laten we je dat zelf uitzoeken en uitwerken. opgave 4.1 Probeer zelf te beredeneren hoe je een decimaal getal omrekent naar een octaal getal. Als dat niet lukt, kun je natuurlijk op internet zoeken naar uitleg hierover, maar probeer het eerst zelf te beredeneren. Reken het decimale getal om naar het octale stelsel. opgave 4.2 Maak voor het octale getal 32145o een figuur zoals Figuur 2: binair naar decimaalfiguur 2 en Figuur 3 voor het omrekenen van dit octale getal naar een decimale waarde en leg het figuur uit. opgave 4.3 Zoek uit hoe het optellen van octale getallen werkt

20 bonus opgave 4.1 Schrijf de volgende decimale getallen om naar octale getallen zonder gebruik van een rekenmachine. a) 21 b) 54 c) 74 d) 438 e) 668 f) 990 Als je het gevoel hebt, dat je het nog niet goed onder de knie hebt, kun je de Windows rekenmachine gebruiken om zelf meer oefensommen te maken. bonus opgave 4.2 Schrijf de volgende octale getallen om naar decimale getallen zonder gebruik van een rekenmachine. a) 11o b) 74o c) 101o d) 242o e) 4321o f) 3241o Als je het gevoel hebt, dat je het nog niet goed onder de knie hebt, kun je de Windows rekenmachine gebruiken om zelf meer oefensommen te maken

21 5. bonus opgaves bonus opgave 5.1 Leg het 12-tallig stelsel uit. a) Hoe zou je dit talstelsel noemen in termen zoals decimaal en hexadecimaal? b) Welke symbolen ga je gebruiken voor dit talstelsel? c) Hoe zou je getallen uit dit stelsel onderscheiden van andere talstelsels? d) Zoek uit hoe je converteert van decimaal naar dit talstelsel. e) Leg uit hoe je converteert van dit talstelsel naar decimaal. f) Maak een optelsom voor dit talstelsel en leg deze uit. g) Bedenk of zoek naar (oude) gebruiken van dit talstelsel

22 6. wat heb je geleerd In de voorgaande hoofdstukken heb je een aantal nieuwe talstelsels gezien. Je hebt geleerd hoe je deze van en naar het decimale stelsel kunt omrekenen. Je hebt ook gezien dat je feitelijk in elk van deze nieuwe talstelsels kunt rekenen net zoals je dat in het decimale talstelsel gewend bent