Sudoku s. Annelies Veen Noud Aldenhoven

Transcriptie

1 Sudoku s Annelies Veen Noud Aldenhoven Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010

2

3 Voorwoord Het plaatje op de voorkant is een erg bijzondere puzzel, een soort sudoku. Sudoku s zijn puzzeltjes met hun eigen regels die je in allerlei soorten en maten kan vinden. Hoe je ze moet oplossen, en hoe je ze herkent lees je in dit boekje. Als je het erg leuk gaat vinden kan je overal nog andere boekjes met sudoku s vinden (of je zoekt een krant, daar staat vaak ook een sudoku in). Veel succes en plezier met de sudoku s. Uitleg van de gebruikte symbolen: In de kantlijn staat een aantal speciale symbolen. Deze hebben de volgende betekenis: betekent dat er achterin een hint bij deze opgave is te vinden. staat voor een extra moeilijke opgave.

4 Inhoudsopgave 1 Het probleem van de architect 1 2 Symmetrieën in sudoku s 13 3 Zelf sudoku s maken 23 4 Grotere en moeilijkere sudoku s 33 Hints bij de opgaven 35

5 Hoofdstuk 1 Het probleem van de architect Wat zijn sudoku s? Harry Griffioen is helemaal in de war. Waarom, waarom heb ik die klus ooit aangenomen?" Vraagt hij zich hardop af terwijl hij naar zijn vel papier staart. Harry is een architect, hij is gevraagd om een huis met 4 appartementen te bouwen. Appeltje eitje, dacht hij toen hij de klus kreeg, tot hij hoorde waar. In Dokussen, een klein dorpje met hele lastige bewoners en een nog lastigere omgeving. Hij tekent het probleem nog eens voor zichzelf uit. Op de begane grond dreigt de buldozer er steeds tegen aan te knallen, daarboven een sloopkogel, op de derde verdieping, of 2e rij van boven in zijn tekening, zit een vervelende vogel, en op de 1

6 2 Het probleem van de architect bovenste rij waait de wind te hard. De enige manier om te zorgen dat het sterk genoeg is, is om alle verschillende symbooltjes in een rij te zetten. Dan heb je nog het probleem met het dak, dat is zo zwaar dat elke kolom (verticale rij) alle symbolen moet hebben om tegen te houden dat het instort. Dit was nog wel gelukt zonder problemen als we niet die vervelende bewoners hadden gehad: Mevrouw Keetman (linksboven), Meneer Van Doorn (rechtsboven), Mevrouw Koning (linksonder) en Meneer Veltman (rechtsonder). Alle vier staan ze er op dat zij in hun appartement alle verschillende symbolen hebben. Opgave 1.1a Zoals je ziet is de eerste verdieping al bijna beschermd tegen de sloopkogel, vul jij het laatste symbool in? Opgave 1.1b Maak je nu het appartement van mevrouw Koning af. Opgave 1.1c In het appartement van meneer Veltman moet nog een vierkantje, vul deze in. Opgave 1.1d Maak nu het appartement van meneer Veltman maar af. Opgave 1.1e Probeer nu zelf de tweede rij te beschermen tegen de vogel. Nu de woning dankzij jouw hulp helemaal af is, geeft Harry het huis een naam. Hij noemt de woning Su, en voor mensen die zelf niet in Dokussen wonen wordt het ook wel Su van Dokussen ofwel Sudoku genoemd. Natuurlijk kunnen we deze plaatjes ook zonder huisje maken en met andere symbolen of zelfs met getallen doen, maar hoe los je het nou eigenlijk op? De regeltjes blijven hetzelfde als in het verhaaltje: elk symbool mag maar 1 keer per rij, kolom of klein vierkantje voorkomen.

7 Het probleem van de architect 3 Wat is een sudoku echt? Sudoku s heb je in alle soorten en maten. We gaan nu maar naar twee soorten sudoku s kijken. De 4 4 sudoku Een 4 4 sudoku ziet er zo uit Voor zo n sudoku gelden 4 regels 1. In elk vak moet een getal staan tussen de 1 en de Alle verschillende getallen van 1 tot en met 4 moeten in elke rij staan. 3. Alle verschillende getallen van 1 tot en met 4 moeten in elke kolom staan. 4. Alle verschillende getallen van 1 tot en met 4 moeten in elk 2 bij 2 vierkant dat omcirkelt is met de dikkere zwarte lijnen staan. Opgave 1.2 Ga na dat het kleine vierkant hierboven ook echt een sudoku is en aan alle eisen voldoet. Hoe los je makkelijke sudoku s op? We gaan je nu leren hoe je deze sudoku s af moet maken. Dit doen we in kleine stapjes. We beginnen met een heel gemakkelijke:

8 4 Het probleem van de architect 1 2? 4 Opgave 1.3 Wat moet tussen 2 en 4 staan? 2 1 3? Opgave 1.4 Welk getal ontbreekt in het 2 2 vak rechtsboven? Nu gaan we wat we weten over kolommen, rijen en vierkantjes eens tegelijk gebruiken. 3 1 X Y 2 4

9 Het probleem van de architect 5 Opgave 1.5a Welk getal moet op plek X staan? Waarom? Opgave 1.5b Welk getal moet op plek Y staan? Waarom? Opgave 1.6 We weten nu genoeg om makkelijke sudoku s op te lossen. Probeer de volgende sudoku eens op te lossen Sudoku s met letters We hadden in plaats van cijfers ook andere dingen kunnen gebruiken. Als we de letters A, B, C en D gebruiken kunnen we deze sudoku maken. A B C D C D B A D C A B B A D C

10 6 Het probleem van de architect Opgave 1.7 Probeer in je eigen woorden uit te leggen waarom dit weer een sudoku is. Opgave 1.8 Probeer, met wat je al weet van sudoku s, nu eens de volgende sudoku op te lossen. B C A C D B A D Opgave 1.9a De sudoku van opgave 1.8 en de sudoku boven opgave 1.7 lijken veel op elkaar. Kun je in eigen woorden uitleggen waarom ze hetzelfde zijn? Opgave 1.9b Bekijk de sudoku van opgave 8 samen met de sudoku van opgave 6. Wat valt je op?

11 Het probleem van de architect 7 De 9 9 sudoku Een 9 9 sudoku ziet er zo uit Voor zo n sudoku gelden ook 4 regels: 1. In elk vak moet een getal staan tussen de 1 en de Alle verschillende getallen van 1 tot en met 9 moeten in elke rij staan. 3. Alle verschillende getallen van 1 tot en met 9 moeten in elke kolom staan. 4. Alle verschillende getallen van 1 tot en met 9 moeten in 3 bij 3 vierkant dat omringt is door dikkere zwarte strepen staan. Als we jou nu heel erg hard willen plagen geven we de opdracht om na te gaan of het vierkant hierboven ook wel echt een sudoku is. Dat kost heel veel werk. Daarom hoef je het alleen te doen voor één rij, één kolom en één vierkant. Opgave 1.10 Ga voor één rij, één kolom en één vierkant na dat deze aan de regels voldoen.

12 8 Het probleem van de architect Grotere sudoku s We hebben net alleen maar sudoku s bekeken van 4 4 groot. We gaan nu grotere sudoku s op dezelfde manier bekijken. Opgave ? Wat moet er tussen de 4 en 8 komen te staan? Opgave ? 9 Wat moet er tussen de 8 en de 9 komen te staan?

13 Het probleem van de architect 9 En wat dacht je van deze: X Y Opgave 1.13 In het rechter middenblok moeten nog de 5 en de 9. Welk getal moet op plaats X en welke op plaats Y? Waarom? We geven nu een moeilijkere sudoku. Waarop je zelf de trucjes kan gaan toepassen. Opgave

14 10 Het probleem van de architect Probeer deze sudoku eens op te lossen. Hoe los je moeilijke sudoku s op? Alle sudoku s die we tot zover tegen kwamen waren niet heel erg moeilijk op te lossen. We konden altijd een paar trucjes gebruiken om het antwoord te vinden. Maar deze trucjes werken niet altijd. Kijk maar naar de volgende sudoku. 1 Y X Bekijk eens de linkerbovenhoek. We willen weten welk getal er op plek X moet staan en welk getal op plek Y moet staan. Maar er is een probleem. We kunnen op plek X 2 invullen of 3 invullen. Welke van de twee moet het zijn? We lossen dit probleem als volgt op. We proberen 2 en 3! Op plek X vullen we 2 in, dan moet op plek Y 3 komen. De sudoku ziet er als volgt uit.

15 Het probleem van de architect We vullen nu het 3 3 blok in de rechter bovenhoek in Opgave 1.15 Maar dit kan nooit meer een goede sudoku worden. Wat is er mis? Op plek X kunnen we dus geen 2 zetten. We moeten dus wel een 3 op deze plek zetten. De sudoku ziet er nu als volgt uit.

16 12 Het probleem van de architect Opgave 1.16 Als je het leuk vindt kun je proberen deze sudoku op te lossen. Maar deze sudoku is wel moeilijk! Je hoeft de sudoku niet per se te maken. In het algemeen, als je een moeilijke sudoku tegenkomt is het makkelijk om eerst de bijna volle vierkantjes te bekijken en daarna te gaan kijken naar de bijna volle rijen en kolommen.

17 Hoofdstuk 2 Symmetrieën in sudoku s Wat zijn symmetrieën? Symmetrie komt overal voor. We bekijken twee soorten symmetrie: draaisymmetrie en spiegelsymmetrie. Met twee voorbeelden leggen we uit wat deze symmetrieën zijn. Kijk eens naar het volgende plaatje Dit plaatje wordt een Triskelion genoemd. Stel we draaien de Triskelion 120 graden naar rechts. (Als je niet weet wat 120 graden is kun je het altijd aan je begeleider vragen) Dan krijgen we het volgende plaatje. 13

18 14 Symmetrieën in sudoku s Dit is weer hetzelfde plaatje! We zeggen ook wel dat de Triskelion een draaisymmetrie heeft. We bekijken nog een ander voorbeeld. Dit is het logo van Mercedes. Stel nu dat we dit logo in de verticale as, dat is de as waar een zwarte streep door getekend is, spiegelen. Dan krijgen we het volgende plaatje. We zien dat het gespiegelde logo (bijna) hetzelfde is als het orgineel. Daarom zeggen we dat het Mercedeslogo een spiegelsymmetrie heeft in de verticale as. Dezelfde symmetrie die we zien bij de Triskelion en het Mercedeslogo zien we ook terug in sudoku s. Spiegelen, draaien, verwisselen We kijken weer naar de volgende sudoku:

19 Symmetrieën in sudoku s We draaien deze sudoku een kwartslag naar rechts. Hier is al een begin gemaakt Opgave 2.1a Maak dit nieuwe vierkant zelf af. Opgave 2.1b Is dit nieuwe vierkant weer een sudoku? Waarom? Opgave 2.2 Je hebt nu een nieuwe sudoku gemaakt, zoals je wel kunt nagaan. Als je deze sudoku een kwartslag naar links draait, krijg je dan weer een sudoku? Waarom? Je mag de lege sudoku hieronder gebruiken om het antwoord te vinden.

20 16 Symmetrieën in sudoku s We kijken weer naar dezelfde sudoku: Opgave 2.3 Hoe vaak moet je de sudoku een kwartslag naar rechts draaien om weer dezelfde sudoku te krijgen? We moeten de sudoku minstens één keer naar rechts draaien.

21 Symmetrieën in sudoku s 17 We zien dus dat, als we de sudoku 4 keer naar rechts draaien we weer de oude sudoku krijgen. Vanaf nu zullen we daarom zeggen dat de orde van een kwartslag naar rechts draaien 4 is. Ook als we de sudoku een kwartslag naar rechts draaien en daarna een kwartslag naar links krijgen we weer dezelfde sudoku terug. Naar rechts draaien en naar links draaien zijn elkaars tegengestelde. Spiegelen We bekijken weer dezelfde sudoku. De sudoku kunnen we in de verticale as (het stippellijntje) spiegelen. Er is al een begin gemaakt

22 18 Symmetrieën in sudoku s Opgave 2.4a Maak het gespiegelde vierkant af. Opgave 2.4b Is dit nieuwe vierkant weer een sudoku? Deze sudoku heeft nog veel meer spiegelassen. Zoals de horizontale as (de onderste lijn) en de diagonaal-as. Dit is de diagonaal-as. Probeer nu de eerste sudoku te spiegelen in deze as. Er is al een begin gemaakt

23 Symmetrieën in sudoku s 19 Opgave 2.5a Maak het gespiegelde vierkant af. Opgave 2.5b Is dit nieuwe vierkant weer een sudoku? Opgave 2.6a Spiegel de sudoku van opgaven 2.5.a in de vertical as. We hebben weer een begin gemaakt Opgave 2.6b Is dit nieuwe vierkant weer een sudoku? Opgave 2.6c Dit vierkant heb je (als je alles goed hebt gedaan) al vaker in dit hoofdstuk gezien. Herken je het vierkant? Een sudoku in de diagonaal spiegelen en daarna in de verticale as spiegelen is blijkbaar hetzelfde als de sudoku een kwartslag naar links draaien. We kunnen de sudoku ook nog horizontaal spiegelen. We krijgen dan de volgende sudoku.

24 20 Symmetrieën in sudoku s Dit is weer een sudoku. Opgave 2.7 Stel je kunt de sudoku alleen in de diagonaal en de verticale as spiegelen. Is het mogelijk om met die twee spiegelingen de sudoku in de horizontale as te spiegelen? Rijen en kollomen verwisselen Er zit nog meer symmetrie in een sudoku. We kijken weer naar de ons al bekende sudoku We gaan de eerste rij en de tweede rij verwisselen. De laatste twee rijen veranderen natuurlijk niet. Daarom hebben we hier al een begin gemaakt.

25 Symmetrieën in sudoku s Opgave 2.8 Maak zelf het nieuwe vierkant af. Is dit weer een sudoku? Wat nu als we van de oorspronkelijke sudoku de eerste rij en de derde rij verwisselen? Opgave 2.9 Is het vierkant wat we hier krijgen weer een sudoku? Waarom? We zien dat we niet alle rijen kunnen verwisselen om nog steeds een sudoku te krijgen, maar sommige wel. Opgave 2.10 Welke rijen kun je allemaal verwisselen om nog steeds een sudoku te krijgen?

26 22 Symmetrieën in sudoku s Wat we net bij rijen hebben gedaan, kunnen we ook bij kolommen doen. Opgave 2.11 Welke kolommen kun je allemaal verwisselen om nog steeds een sudoku te krijgen? Opgave 2.12 Als we kijken naar een 9 bij 9 sudoku. Welke rijen kunnen we verwisselen om weer een sudoku te krijgen? Welke kolommen kunnen we verwisselen om weer een sudoku te krijgen?

27 Hoofdstuk 3 Zelf sudoku s maken Symmetrie gebruiken In het vorige hoofdstuk hebben we verschillende symmetrieën gezien. Natuurlijk kun je met die symmetrieën ook zelf een nieuwe sudoku van de oude sudoku maken en dat is precies wat we hier gaan doen. Opgave 3.1 Los eerst deze sudoku op in de lege sudoku hieronder. (Deze kun je aan het einde gebruiken om te kijken of alles gelukt is.) Opgave 3.2 Probeer eens of je een verwisseling kan maken van rij 1 en rij 2 en dan kolom 3 en 4 op de nog niet ingevulde sudoku. 23

28 24 Zelf sudoku s maken Opgave 3.3 Kan je nu de sudoku, die je uit de vorige opgave kreeg, spiegelen in de diagonaal? Opgave 3.4 Probeer nu eens of je deze nieuwe sudoku kan oplossen. Opgave 3.5 Bekijk de eerste sudoku van dit hoofdstuk. We hebben deze sudoku gekregen door een sudoku te nemen uit hoofdstuk 2 en daarbij twee getallen te verwisselen. Welke sudoku was dit en welke twee getallen zijn verwisseld? Nu gaan we uit van de volgende sudoku

29 Zelf sudoku s maken Opgave 3.6 Probeer nu via minimaal drie acties (draaien, verwisselingen of spiegelingen) vanuit deze sudoku, twee verschillende 4 4 sudoku s te maken. (De acties moet je op een kladblaadje of in je schrift doen!) Een sudoku maken met optellen Als je bij elk getal van een sudoku 1 optelt krijg je geen sudoku meer. Want als je een 4 in de sudoku hebt wordt dit een 5. Maar een 5 mag niet in de sudoku staan. Daarom tellen we eerst 1 bij alle getallen op behalve bij de 4, die veranderen we in een 1. Dit noemen wij ook wel optellen modulo 4, dit kan je voor je zien als gewoon optellen tenzij je boven de 4 uit zou komen! Als dat gebeurt dan tel je het eerst gewoon op en trek je dan van je antwoord weer 4 af, tot je onder de 4 komt. Opgave 3.7 Tel nu 1 en 4 op modulo 4.

30 26 Zelf sudoku s maken Opgave 3.8 Probeer nu 3 en 3 op te tellen modulo 4. Gebruik nu de volgende sudoku Opgave 3.9 Kan je bij deze sudoku 1 optellen modulo 4. Hoe ziet hij er dan uit? Opgave 3.10a Probeer er nu ook eens 2 modulo 4 bij op te tellen.

31 Zelf sudoku s maken 27 Opgave 3.10b Probeer er nu ook eens 3 modulo 4 bij op te optellen. We zeggen vanaf nu dat als we het bij een 4 4 sudoku over optellen hebben dit optellen modulo 4 is. (Als we het over een 9 9 sudoku over optellen hebben, is dit optellen modulo 9.) Opgave 3.11 Kan je nu van je twee verschillende sudoku s, die je bij vraag 3.6 hebt gemaakt, weer twee andere maken door er een getal bij op te tellen?

32 28 Zelf sudoku s maken Nu gebruiken we opnieuw deze sudoku: Opgave 3.12 Probeer nu eens 5 en 7 op te tellen bij deze sudoku. Herken je ze? Als je twee getallen optelt modulo 4 en één van deze getallen is groter dan 4, dan kun je hetzelfde resultaat krijgen door er eerst 4 vanaf te trekken en het dan pas op te tellen. (Vergeet dan niet daarna te controleren of de getallen wel kleiner zijn dan 4.) Optellen met lettersudoku s Om op te kunnen tellen met lettersudoku s moeten we eerst kunnen optellen met deze letters. Gewone getallen kun je uitzetten op een getallenlijn als volgt.

33 Zelf sudoku s maken 29 Hierop kan je er 1 bij optellen zien als: Om op te kunnen tellen met letters moet je op een zelfde manier werken en krijg je dus: Er 1 bij optellen kan je opnieuw zien als: Dit kun je ook zien als er A bij optellen want je gebruikt A in plaats van 1, de B in plaats van 2 en ga zo maar door. Opgave 3.13 Tel eens bij B een D op en geef het antwoord als een letter. Eerder heb je ook al sudoku s van letters gezien, hierbij kan je op dezelfde manier getallen/letters optellen als we deden bij een getallensudoku. Dit kan je op twee manieren aanpakken: je kan

34 30 Zelf sudoku s maken de letters eerst in getallen omzetten en dan weer modulo 4 werken, of je kan de getallenlijn veranderen in en dan het optellen voor je zien als zoveel plaatsen naar rechts gaan op de getallenlijn. Nu gaan we de volgende sudoku gebruiken D A B C B C A D A D C B C B D A Opgave 3.14 Kan je bij deze sudoku 1 optellen. Hoe ziet hij er dan uit? Opgave 3.15a Probeer nu ook eens B op te tellen?

35 Zelf sudoku s maken 31 Opgave 3.15b Probeer nu ook eens C op te tellen? Nu we een begin hebben gemaakt, mag je zelf proberen om getallensudoku s om te zetten in lettersudoku s en andersom. We beginnen met de alom bekende Opgave 3.16 Probeer nu eens die sudoku eerst om te zetten in letters, dus 1 = A en 2 = B en ga zo maar door, en daarna er C bij op te tellen.

36 32 Zelf sudoku s maken

37 Hoofdstuk 4 Grotere en moeilijkere sudoku s Oefenen Dit kleine hoofdstukje bevat geen nieuwe stof meer. Je weet namelijk nu al een heleboel over sudoku s. Maar om echt goed te worden in het oplossen van sudoku s moet je gewoon veel oefenen. Daarom geven we hier een paar sudoku s die je kunt oplossen. Pas op, sommige zijn moeilijk! Opgave A H F E I A B H E G I I E C D A G D E B I C I G E G F B E 33

38 34 Grotere en moeilijkere sudoku s

39 Hints bij de opgaven Opgave 1.14 Begin met de vierkantjes waar je nog maar 1 getal mist. Ga nu eens kijken naar rijen waarin je nog maar 1 of 2 getallen mist, begin in de buurt waar je net getallen hebt ingevuld. Kom je er met die twee hints nog niet uit, denk er dan aan dat je per getal mag kijken naar rijen, kolommen en vierkantjes. 35