Tentamen Golven en Optica

Transcriptie

1 Tentamen Golven en Optica Uitwering 29 juni 2011 Opgave 1 uitwijing 0, A Cos x v t, A Sin x v t Je schets is zoiets wat je hieroner ziet: een spiraal; een foutieve raairichting van e spiraal in je schets is geen criterium om hem af te euren, wel belangrij is at e pijl in e richting van (zoals wort veronerstel) e positieve x-as wijst. Ja, e golflengte is 2 Π. De vorm herhaalt zich met ie afstan, en at is per efinitie één golflengte. Omat e uitwijing altij in het yz-vla is, en e golf zich voortplant langs e x-as. Het yz-vla is loorecht op e x-as, en aarom spreen we van eeransversale golf.

2 2 toetsuitwering nb De enige groothei ie vastligt is v, want v F Μ. De amplitue A, en het golfgetal un je vrij iezen. Je unt e golf zo groot maen als je wilt (tenminste theoretisch) en je unt het aantal raaiingen (zie e schets bij vraag a) per meter oo zo groot maen als je wilt. Als je opmert at A niet echt vrij is omat het oor an "een stu" langer wort an het oor met A=0, as at een prima opmering, maar er wort eigenlij vanuit gegaan at A veel leiner is an e gelflengte Λ 2 Π, en at e spanracht us hetzelfe is ongeacht of er nu wel een golf loopt of niet. Als je us als extra bepering melt at het prouct A* veel leiner an 1 moet zijn verien je bonus! e Hiervoor moet je e 2 componenten (uitwijing in y-rchting en uitwijing in z-richting) el naar e tij ifferentiëren snelhei 0, D A Cos x v t, t, D A Sin x v t, t 0, A v Sin t v x, A v Cos t v x groottesnelhei Simplify Sqrt snelhei.snelhei, Assumptions A 0, 0, v 0 A v De snelhei hangt us helemaal niet van x e af en heeft een grootte A v. (Gebrui gewoon sin 2 os 2 1, ipv Mathematica) De inetische energie per lengteenhei is us 1 2 Μ A v Μ v2 A F A2 2, omat voor e fase snelhei v gelt: v 2 F Μ. f We moeten hier e lengte van e spiraal bereenen ie in a) geschetst is. Stees als e golf in e x - richting Λ vooruitomt wort er één ronje gemaat (met straal A). Been nu een cyliner met straal A, met hoogte 2 Π en met e x-as als centrale as; snij ie open en leg hem plat neer. Je ziet an at e spiraalvormige baan e schuine zije van een rechthoeige riehoe is geworen. De ene rechthoeszije heeft lengte Λ 2 Π, en e anere heeft lengte 2Π A. De lengte van e schuine zije is us 2 Π 2 2 Π A 2 2 Π A Oorspronelij (voor een snaar zoner golf) was e lengte 2 Π. De "uitrefactor" is us 1 A2 2, en e lengte van een stu snaar at eerst lengte L 0 ha wort, als e golf erover loopt, us L 0 1 A 2 2. Als A 1 wort ie lengte benaer oor L 0 1 A2 2. De potentiële energie in een stu oor met lengte L 0 is us 1 2 F L 0 A 2 2, en e potentiële energie per lengte-eenhei erhalve 1 2 F A g De uitwijing van e gereflecteere golf is, samen met e inomene golf

3 toetsuitwering nb 3 0, A Cos x v t A Cos x v t, A Sin x v t A Sin x v t Let hier er goe op at in x 0 e uitwijing nul moet zijn zowel e x- als in e y-richting. Voor het vereenvouigen gebrui je e gonio formule's uit het formulebla. Met mathematica is het eenvouig met Simplify g 0, A Cos x v t A Cos x v t, A Sin x v t A Sin x v t Simplify 0, 2 A Sin t v Sin x, 2 A Cos t v Sin x Je ziet at er scheiing van variabelen mogelij is. De x-afhanelijhei van zowel e y- als e z-component is Sin[ x]. Dit uit us op een staane golf patroon. Als je aarna naar e tijcomponent van e uitwijing gaat ijen an zie je at het een ronraaien uitwijing wort, als e tij met 2 Π toeneemt wort er één ronje geraai. Dit is us een "echte" staane v golf. De amplitue in een bui is altij 2A, alleen raait ie golf us ronjes (om e x-as)! h De snelheisvector is D g, t 0, 2 A v Cos t v Sin x, 2 A v Sin t v Sin x De lengte van eze vector op positie x is us 2 A v Sin x onafhanelij va. De inetische energie per lengte eenhei is us (analoog aan e reenering bij e), gelij aan 2 F A 2 2 Sin x 2. Als je aarna mielt over alle mogelije x-waaren an geeft e sin 2 term een factor 1 2 ; e plaatsgemiele inetische energie per lengteeenhei is us F A2 2. i (bonus) Zoals uit vraag h) volgt is e vorm van e snaar op el moment hetzelfe, en wel 2 A Sin x ; het feit at ie sinus ronraait veranert niets aan e vorm. De potentiële energie per lengte-eenhei is, zoals geleer in Hoofstu 15, te schrijven als 1 2 F x y x, t 2, tenminste als A 1. In eze situatie geeft it. 1 2 F D 2 A Sin x, x ^2 2 A 2 F 2 Cos x 2 De potentiële energie per lengte-eenhei is us 2 F A 2 2 Cos x 2. Samen met e inetische energie per lengte-eenhei, ie in h) is bereen vin je an at e totale energie per lengteeenhei gelij is aan 2 F A 2 2 Cos x 2 +2 F A 2 2 Sin x 2 =2 F A 2 2. Kortom, eze hangt niet van x e af. Opgave 2 De intensiteit op 10 m is us 1 W m 2 zoals volgt uit e efinitie van e ecibel.. Uit e formules op het formulebla volgt at I v p 2 max 2 B (eze variant staat er niet bij), ofwel p max 2 B I v. Invullen: p max Sqrt 2 B i v. i 1, B ^ 5, v Dus 29 Pa op 10 m van e bron, en at is verraai har. Op 5m van e bros e ruamplitue nog eens 2 maal zo groot, us zo'n 57 Pa.

4 4 toetsuitwering nb Dus 29 Pa op 10 m van e bron, en at is verraai har. Op 5m van e bros e ruamplitue nog eens 2 maal zo groot, us zo'n 57 Pa. 4 Π r ^ 2 1. r 10 N Dus zo' n 1.3 W aan aoestich vermogen. 340 m s De golflengte van het geprouceere gelui is 0.5 m.( ). De tweee bros 5 meter van e waarnemer, ofwel Hz golflengtes, en e eerste bros 20 golflengtes verwijer. Deze twee bronnen unnen elaar alleen uitoven op e plaats van e waarnemer als ze precies uit fase zijn ofwel in tegenfase. Het aoestisch vermogen van e tweee bron ie oo een geluisniveau van 120 B moet prouceren op e plaats van e waarnemer is natuurlij 4 maal zo lein als ie van e eerste bron en at is zo'n 314 W. 4 Π r ^ 2 1. r 5 N e Je moet hiertoe e volgene vergelijing oplossen NSolve 10 2 x x , x x , x Als je e wortels benaert rijg je iets at je oo hanmatig maelij unt bereenen: Solve 10 1 x x2 x 5, x , x 1 Ieer geval wort el antwoor tussen 2 en 2.5 meter goe gereen. Belangrij is at je je realiseert at in zo'n geval het weglengteverschil niet 10 Λ is maar een halve Λ miner, us 4.75 m (want Λ=0.5 m). Maar als je at niet weet un je e gevraage afstan wellicht oo niet correct bereenen. Opgave 3 Omat er tussen e hoofmaxima 8 minima zitten zijn er 9 spleten, us N=9.

5 toetsuitwering nb 5 b De centrale intensiteit is 81 (at is N 2 ) eer zo groot, us I 0 81 I 0. Minima treen op als Sin[N Α]=0, eegelijertij Sin[Α] ongelij is aan 0. Daarna is het omweg invullen. N Α m Π, 1 N Sin Θ m Π, 2 N Sin Θ m, Λ Sin Θ m Λ N, Θ Arcsin m Λ N, met m, maar m mag geen veelvou zijn van N, want as er juist een maximum. Verer an m in absolute waare niet groter zijn an N, want een afbuighoe is altij leiner an 90. Λ Zie boe. Alternatief en wel zo heler: Het m e hoofmaximum voor een golflengte Λ+ Λ ligt bij Sin Θ m Λ Λ ; eze hoe hangt niet van N af. Het eerste minimum na het m e hoofmaximum van een N-spleten systeem at belicht wort met een m N 1 Λ golflengte Λ ligt bij Sin Θ, zie antwoor op vraag c). N Voor het chromatisch scheien vermogen gelt at ie hoeen precies even groot zijn. Want per efinitie vin je het maximum van e "iets anere leur" Λ+ Λ an ezelfe richting (us: oner ezelfe afbuighoe) als het aangrenzene minimum van e "leur" Λ. Dus m Λ Λ teen staat een m Λ m Λ, wat overblijft is m N 1 Λ N ofwel m Λ m Λ m N Λ N Λ, zowel lins als rechts van het =- N Λ N, e gemeenschappelije factor un je wegelen, ofwel Λ Λ m N. e Er zitten maar twee hele oscillaties van e sinus in één zo'n puls. Eén hele oscillatie uurt n.l Λ c s. f Als je ervoor zorgt at het weglengte verschil van een punt - verweg oner een hoe Θ - tot 2 naburige spleten 2Λ is of meer zal er us zeer GEEN interferentie optreen us als Sin Θ 2 Λ, ofwel Sin Θ 2 Λ. Oner ie hoeen an het vooromen at via het ene pa e puls nog niet is aangeomen, terwijl via het anere pa e puls al volleig is gepasseer. g Je rijgt us alleen het centrale maximum, en het eerste hoofmaximum bij een hoe met Sin Θ Λ. h

6 6 toetsuitwering nb h Het centrale maximum heeft eentensiteit van 81 I 0. zie vraag b). Dat veranert niet oor een orte laserpuls. Alleen zal, als e puls is afgelopen er natuurlij niets meer te zien zijn. In het eerste hoofmaximum interfereert echter altij alleen maar het licht van 2 spleten met elaar. Dat geeft een maximale intensiteit van 4 I 0. i De pulsbreete van het centrale hoofmaximum is gelij aan e breete van e laserpuls, us s. In het eerste hoofmaximum uurt e puls veel langer. Kij je oner e hoe Θ ie hoort bij at eerste hoofmaximum, an omt het licht van e bovenste puls het eerste aan, na s omt aar het licht van e een na bovenste spleet bij en interfereren ze us. Na s omt het licht in e ere spleet aan, maar juist an omt er in e eerste spleet al niets meer aan. Je hebt tussen 4 en 6 maal s us e interferentie van spleet 2 en 3. Dat gaat zo oor totat na 20 * s oo het licht at via e onerste spleet (e negene) is geomen zal uitoven. Kortom, e totale puls uurt s. Geurene s aan zowel het begin als ein is e intensiteit I 0, geurene e s in het mies e intensiteit 4 I 0. Ele pulsbreete tussen 16 en s is aarom goe. Meer algemeen: el antwoor tussen N s en N 1 * 2 * s is goe. Opgave 4 De golflengte is Λ. De frequentie veranert niet. Het maat niet uit of je e frequentie f of e hoefrequentie Ω neemt f v c, en e hoefrequentuie Ω is 2Π maal zo groot. Λ Λ Brewster's wet zegt Tan Θ p, maar an zegt iezelfe Brewster's wet at Tan Θ q. Beschouw nu een rechthoeige riehoe met rechthoezijen en. Voor e ene scherpe hoe gelt at e tangens gelij is aan, en voor e anere scherpe hoe is e tangens gelij aaan. Kortom ie 2 hoeen zijn precies zo groot als e brewsterhoeen Θ q en Θ p en, zoals voor ele rechthoeige riehoe, samen zijn ie twee hoeen 90. Die is elliptisch gepolariseer. Voor e ellipticiteit van e oorgelaten bunel gelt e t s t p of e t p t s als at leiner mocht blijee zijn (zie het bijgevoege schema). Gewoonvullen geeft e t s t p Cos Θ i Cos Θ t Cos Θ i Cos Θ t Nu is het hanig om te gebruien at r p gelij is aan 0 als Θ i gelij is aan e brewsterhoe Θ p, us e teller van e uitruing voor r p is an 0, us Cos Θ i Cos Θ t 0, ofwel Cos Θ t Cos Θ i, tenminste als Θ Θ p. i Vervolgens elinineer je Cos Θ t.

7 toetsuitwering nb 7 Nu is het hanig om te gebruien at r p gelij is aan 0 als Θ i gelij is aan e brewsterhoe Θ p, us e teller van e uitruing voor r p is an 0, us Cos Θ i Cos Θ t 0, ofwel Cos Θ t Cos Θ i, tenminste als Θ i Θ p. Vervolgens elinineer je Cos Θ t. e Cos Θ i Cos Θ t Cos Θ i Cos Θ t. Cos Θ t Cos Θ i 2 Cos Θ i Cos Θ i Cos Θi 2 De Cos Θ i ] un je nu wegelen uit teller en noemer, en zowel teller als noemer eel je nog eens oor en het gevraage resultaat e 2 volgt. Alternatief is om Θ i te vervangen oor Θ p en Θ t oor Θ q, en vervolgens e complementariteit te gebruien Cos Θ q Sin 90 Θ q Sin Θ p, eot slot Brewster's wet, us e Cos Θ p Cos Θ q Cos Θ p Cos Θ q Cos Θ p Sin Θ p Cos Θ p Sin Θ p Tan Θ p Tan Θ p 2.