DE STELLING VAN WALLACE/SIMSON

Transcriptie

1 DE STELLING VAN WALLACE/SIMSON LUIDT: Als de hoekpunten van een driehoek ABC op een cirkel liggen dan zullen de projecties van een willekeurig vierde punt (op dezelfde cirkel) op de drie zijden van driehoek ABC precies op één lijn liggen. Klik hier voor een interactieve Geogera-tekening R D(c,d) C(0,0) Q M(m, 1) A(m-a,) P(c,) B(m+a,)

2 Opmerking vooraf: er komen verderop enkele (zeer lange) regels vol algera die afdrukstand liggend vergen! Idee van het (cartesisch!) ewijs: We kiezen er voor lijnstuk AB horizontaal te nemen, echter NIET punt A maar punt C als de oorsprong (0,0) en voor het middelpunt van de cirkel M(m, 1). Door vergroting/verkleining kan de y-coördinaat van M zo gekozen worden. Omwille van de duidelijkheid in de tekening nemen we die y-coördinaat niet +1, maar 1 C is immers het hoogste punt. ALS lijnstuk AB horizontaal is dan ligt M even ver van A als van B. Dus kiezen we voor hun coördinaten: A(m a, ) en B(m + a, ). Merk op dat de y-coördinaat helaas onekend is, maar dat de x-coördinaten slechts één enkele extra variaele vergen! Er geldt nu in ieder geval (cirkeleigenschap/pythagoras:) a 2 + ( + 1) 2 m of (uitgewerkt) a m 2 2 m 2 a Het vierde punt op de cirkel: D(c, d) vergt helaas variaelen nummers 3 en 4.. En (weer wegens de cirkelvgl./pythagoras): m (m c) 2 + (d + 1) 2 of (uitgewerkt) c 2 + d 2 2cm 2d (I) (II) De projectie van D(c, d) op zijde AB is P(c, ) De projectie op zijde BC noemen we Q en die op AC : R We stellen de vergelijking op van QR en onderzoeken of P daar op ligt.. Bewijs: lijn BC heeft vergelijking (vgl.) y DQ heeft dus vgl.: y lijn AC heeft vergelijking (vgl.) y DR heeft dus vgl.: y a m x (1) (x c) + d (2) x (3) (x c) + d (4)

3 (1) en (2) gelijkstellen geeft: x + ()c x + d x (x c) + d x 2 +() 2 () x ()c+d x + ()c en hieruit volgt x Q ()c+d + d () 2 +() 2 of vereenvoudigd: x Q ()c+d (a + m) 2 +() en dit teruginvullen in (1) geeft: y Q (()c+d) 2 +() (3) en (4) gelijkstellen geeft: x + () c x + d x a m (x c) + d 2 +() 2 () x ()c+d x a m x + () c + d en hieruit volgt x R ()c+d of vereenvoudigd: x R ()c+d (m a) 2 +() en dit teruginvullen in (3) geeft: y R (()c+d) 2 +() ook hier geldt de kunst van het NIET te ver vereenvoudigen! Nu gaan we de vgl. van QR opstellen met de (ekende) formule: y y Q y Q y R x Q x R (x x Q ) y ac + cm + 2 d 2 + (a + m) 2 ((a + m)c + d) ((m a)c + d) 2 + (a + m) (m a) 2 (x x (a + m)c + d (m a)c + d Q ) 2 + (a + m) 2 (a + m) 2 + (m a) 2 (m a) En we gaan onderzoeken of punt P(c, ) hier op ligt.invullen dus : ac + cm + 2 d 2 + (a + m) 2 ((a + m)c + d) ((m a)c + d) 2 + (a + m) (m a) 2 (x x (a + m)c + d (m a)c + d Q ) 2 + (a + m) 2 (a + m) 2 + (m a) 2 (m a) ( overal plusjes....) () 2 +() 2

4 1 ac + cm + d 2 + (a + m) 2 (a + m)c + d (m a)c + d 2 + (a + m) (m a) 2 (c x (a + m)c + d (m a)c + d Q ) 2 + (a + m) 2 (a + m) 2 + (m a) 2 (m a) Met x Q nog in te vullen!... x Q ()c+d (a + m) () 2 Na gelijknamig maken (met noemer 2 + (a + m) 2 ) en daarna links en rechts daarmee vermenigvuldigen ontstaat links: 2 + (a + m) 2 ac cm d en rechts : ()c+d 2 +() 2 ()c+d 2 +() 2 ()c+d 2 +() 2 () ()c+d En we kijken nog eens rustig naar (die tweede factor in) het rechterlid (ρ): ()c+d 2 +() 2 () (c (2 + (a + m) 2 ) (a + m) 2 c (a + m)d) 2 +() 2 ()c+d 2 +() 2 ()c+d (c (2 + (a + m) 2 ) (a + m) 2 c (a + m)d) 2 +() 2 () ()c+d 2 +() 2 () en zien ontstaan: ()c+d 2 +() 2 ()c+d 2 +() 2 ()c+d (2 c (a + m)d) 2 +() 2 () ()c+d 2 +() 2 () En we kijken nog eens naar het geheel: 2 + (a + m) 2 ac cm d ()c+d 2 +() 2 ()c+d 2 +() 2 ()c+d (2 c (a + m)d) 2 +() 2 () ()c+d +() 2 () Er zit niets anders op dan naar die (rode) reuk te kijken en gelijknamig te maken! (λ) (ρ)

5 {()c+d} { 2 +() 2 } { 2 +() 2 } {()c+d} Die reuk wordt: {() 2 c+()d} { 2 +() 2 } {() 2 c+()d} { 2 +() 2 } (a + m) 2 c + (a + m)c (m a) d + d(m a) 2 2 (m a)c 3 d (a + m) 2 (m a)c (a + m) 2 d (a + m) 2 2 c + (a + m) 2 (m a) 2 c + (a + m) 3 d + (a + m) (m a) 2 d (m a) 2 2 c (m a) 2 c (a + m) 2 (m a) 3 d (m a)(a + m) 2 d () 2 c+()c () 2 +d() 2 2 ()c () 2 ()c () 2 d () 2 2 c+() 3 d+() () 2 d () 2 2 c () 3 d ()() 2 d a 2 c+ 2 cm+c()(m 2 a 2 )+dm 2 2adm+a 2 d 2 cm+a 2 c c()(m 2 a 2 ) a 2 d 2adm dm 2 a 2 2 c+2a 2 cm+ 2 cm 2 +a 3 d+ 3 dm+()(m 2 a 2 )d 2 cm 2 +2a 2 c 2 2 c 3 dm+a 3 d ()(m 2 a 2 )d a 2 c + 2 cm + c(m a)(m 2 a 2 ) 2adm 2 cm + a 2 c c(a + m)(m 2 a 2 ) 2adm 2a 2 cm + 2 cm 2 + a 3 d + (m a)(m 2 a 2 )d 2 cm 2 + 2a 2 cm + a 3 d (a + m)(m 2 a 2 )d a2 c + c(m a)(m 2 a 2 ) 2adm + a 2 c c(a + m)(m 2 a 2 ) 2adm 2a 2 cm + a 3 d + (m a)(m 2 a 2 )d + 2a 2 cm + a 3 d (a + m)(m 2 a 2 )d a 2 c 2adm + a 2 c 2ac(m 2 a 2 ) 2adm 2a 2 cm + a 3 d + (m a)(m 2 a 2 )d + 2a 2 cm + a 3 d (a + m)(m 2 a 2 )d 2a 2 c 4adm 2ac(m 2 a 2 ) 2a 2 cm + a 3 d + (m a)(m 2 a 2 )d + 2a 2 cm + a 3 d (a + m)(m 2 a 2 )d 2a 2 c 4adm 2ac(m 2 a 2 ) 2a 2 cm + a 3 d + 2a 2 cm + a 3 d 2a(m 2 a 2 )d 2a2 c 4adm 2ac(m 2 a 2 ) 4a 2 cm + 2a 3 d 2a(m 2 a 2 )d

6 2 c 2dm c(m 2 a 2 ) 2 2 cm+ 3 d (m 2 a 2 )d 2 c 2dm c(m 2 a 2 ) (2cm+ 2 d (m 2 a 2 )d) We hadden: 2 + (a + m) 2 ac cm d en maakten er van: 2 + (a + m) 2 ac cm d 2 + (a + m) 2 ac cm d ()c+d 2 +() 2 ()c+d 2 +() 2 ()c+d (2 c (a + m)d) 2 +() 2 () ()c+d +() 2 () 2 c 2dm c(m 2 a 2 ) (2cm+ 2 d (m 2 a 2 )d) (2 c (a + m)d) 2 c 2dm c(m 2 a 2 ) 2cm+ 2 d (m 2 a 2 )d Het leukst heen we voor het laatst ewaard: m 2 a dit invullen geeft: 2 + (a + m) 2 ac cm d 2 c 2dm c( 2 +2) 2cm+ 2 d ( 2 +2)d (c (a + m)d) (c (a + m)d) (I) 2 + (a + m) 2 ac cm d 2dm 2c 2cm 2d (c (a + m)d) 2 + (a + m) 2 ac cm d dm c cm d (c (a + m)d) vermenigvuldigen met cm d geeft: (cm d) ( 2 + (a + m) 2 ac cm d ) ( dm c) (c (a + m)d) (cm d) ( 2 + a 2 + 2am + m 2 ac cm d ) ( dm c) (c (a + m)d) (cm d) (m am + m 2 ac cm d ) ( dm c) (c (a + m)d)

7 (cm d) (2m am ac cm d ) ( dm c) (c (a + m)d) 2cm 3 2cm + 2acm 2 ac 2 m c 2 m 2 cdm 2dm 2 + 2d 2adm + acd + cdm + d 2 cdm + ad 2 m + d 2 m 2 c 2 + acd + cdm 2cm 3 2cm + 2acm 2 ac 2 m c 2 m 2 2dm 2 + 2d 2adm + acd + cdm + d 2 ad 2 m + d 2 m 2 c 2 + acd + cdm 2cm 3 2cm + 2acm 2 2dm 2 + 2d 2adm + acd + cdm + c 2 + d 2 ac 2 m + ad 2 m + c 2 m 2 + d 2 m 2 + acd + cdm 2cm 3 2cm + 2acm 2 2dm 2 + 2d 2adm + acd + cdm + c 2 + d 2 ac 2 m + ad 2 m + c 2 m 2 + d 2 m 2 + acd + cdm De allerlaatste stap is natuurlijk het tweede gegeven te geruiken: c 2 + d 2 2cm 2d (II) 2cm 3 2cm + 2acm 2 2dm 2 + 2d 2adm + acd + cdm + (2cm 2d) am(2cm 2d) + m 2 (2cm 2d) + acd + cdm 2cm 3 2cm + 2acm 2 2dm 2 + 2d 2adm + acd + cdm + 2cm 2d 2acm 2 2adm + 2cm 3 2dm 2 + acd + cdm Ꙭ Als je goed kijkt valt ALLES tegen elkaar weg! De stelling is het eerst geformuleerd/ontdekt door Roert Simson ( ), maar William Wallace ( ) heeft dit het eerst gepuliceerd. Zij zouden vreemd opgekeken heen ij MIJN (cartesische) ewijs, dat een enorme dosis accuratesse vereist. Het is voor een middelare scholier WEL goed te volgen, maar om zoiets zelf te schrijven (zonder te spieken) is ijna ondoenlijk. Maar hieroven is ewezen DAT HET KAN. Veel nut heeft het verder niet, ehalve dan dat een vergelijking van De Rechte van Wallace/Simson gemaakt is. Als toegift schrijf ik die nog even netjes en simpel. De Rechte van Wallace: y c+dm (x c) d cm Merk op dat deze vgl. onafhankelijk is van a... Achteraf is dat vanzelfsprekend want met punt P(c,) en M(m, 1) liggen A en B vast! Ꙭ Kijk nog maar eens naar de tekening Net als ij de Rechte van Euler geldt dat wij constructief een vergelijking gevonden heen. Bij de deellijnenstelling vonden wij een formule voor de coördinaten van de ingeschreven cirkel.enz. OPDRACHT voor mijn 5VWO-leerlingen: Maak eens een GEOGEBRA-tekening waarij óók A en C te verslepen zijn je weet waarvoor.... Valkenisse, augustus 2018