DE DEELLIJNENSTELLING IN EEN DRIEHOEK

Transcriptie

1 DE DEELLIJNENSTELLING IN EEN DRIEHOEK LUIDT: In een willekeurige driehoek (ABC) snijden de issectrices ( deelijnen ) van de hoeken elkaar precies in één punt. IDEE VAN HET (CARTESISCH) BEWIJS: We kiezen het assenstelsel met een hoekpunt A in de oorsprong (0,0) en B op de x-as met coördinaten (1,0). Het derde hoekpunt C heeft dan nog onekende coördinaten: C(a, ) Verder geruiken we de afstandformule: Als een lijn gegeven is door de (algemene) vergelijking ax + y + c = 0 dan is de afstand van een punt P(x P, y P ) tot die lijn de uitkomst van : ax P+y P +c a + P De vergelijkingen van AB; BC en AC zijn: y = 0, y = (x 1) en y = x en in de a 1 a algemene gedaante geschreven: AB: y = 0 ; BC: x + (1 a)y = 0; AC: x ay = 0 Voor punten (x, y)op de deellijn van B geldt: y = x+(1 a)y (zelfde afstanden) +(a 1) Uiteraard zijn er twee keuzen: de innen-deellijn en de uiten-deellijn, kwestie van plus of min. We gaan later eens kijken WELKE we hier nu precies hadden*.. Die met de plus wordt: + (a 1) y = x + (1 a)y ( vgl. Ia) ( + (a 1) + (a 1)) y = x ( + (a 1) + (a 1)) y + = x

2 Voor de deellijn van A geldt: y = ± x ay en ook hier nemen we de plus-variant (**): a + ( a + + a) y = x gelijkstellen levert: y a + + ay = y (a 1) + + ay y + en we vinden de y -coördinaat van P: y P = Daarmee is ook x P ekend: x P = Vervolgens de deellijn van C maken a + (a 1) + +1 a + +a a + (a 1) + +1 Te comineren: AC: x ay = 0 en BC: x + (1 a)y = 0 x ay = ± x+(1 a)y en na kruiselings vermenigvuldigen (met de +variant ): ( vgl. IIa) a + +(a 1) + (a 1) x a + (a 1) y = a + x + (1 a) a + y a + En hier zou P(x P, y P )op moeten liggen invullen maar: ( + (a 1) a + ) x P = ((1 a) a + + a + (a 1) ) y P a + ( + (a 1) a + ) x P = ((1 a) a + + a + (a 1) ) y P a + En omdat a + (a 1) + + 1in de noemers van zowel x P als y P zit vermenigvuldigen we de vergelijking (oven) daarmee en krijgen met invullen van x P & y P : ( + (a 1) a + ) ( a + + a) = (1 a) a + + a + (a 1) ) a + ( a + (a 1) + + 1) En nu komt het spannendste deel.....het wegwerken van de haakjes! ( + (a 1) a + + a( + (a 1) (a + ) a a + = a + a a + + a( + (a 1) (a + ) + ( + (a 1) a + a + Helaas past het rechterlid net niet op één regel! Maar het is gelukt! Alles (nou ja )klopt als een us. (*) Het enige punt van kritiek is dat we hier niet goed geverifieerd heen of we nu per ongeluk twee uitendeellijnen heen genomen (en gesneden met een echte innendeellijn ) of drie echte innendeellijnen. (**) Wij heen lukraak twee situaties met de plusvariant geruikt!! Laten we eens kijken naar de straal van de vermeende ingeschreven cirkel: y P = a + (a 1) De noemer komt vanwege dat minteken zo klein voor!... Je zou daar een plus heen verwacht! Laten we eens een controle-vooreeld eschouwen! De situatie met a = 1 en = 3 4 :

3 Getekend is de issectrice van A en die heeft een positieve richtingscoëfficiënt (onder een epaalde aanname.) zoals ook overeenkomt in het verhaal hieroven (**).... Maar de coördinaten van ons punt P zouden dan zijn resp.: 1 + ( 3 4 ) + 1 x P = 1 + ( 3 4 ) (1 1) + ( 3 = 4 ) + 1 en y P = =... = 1 a + (a 1) = = Als je goed kijkt naar het driehoekje hieroven dan zie je dat dit punt BUITEN de driehoek ligt!!! Hieronder nadere eschouwingen: En het vermeende middelpunt (zie linker figuur) levert een cirkel die NIET inwendig raakt! Kennelijk heen we per ongeluk twee uitendeellijnen (van hoeken B en C) genomen!! In de rechterfiguur zijn dat de rode lijnen. En we hadden de groene lijnen moeten heen! De cirkel raakt de zijden van de driehoek wel, maar ( in het verlengde ) aan de uitenkant! De straal had ook niet 1 moeten zijn, maar precies de helft; net als de coördinaten van P. (Uiteraard geen toeval!...) Hoe zit het dan wel precies, vraag je je af......? De volgende figuur legt alles duidelijk uit: Je ziet een ingeschreven cirkel en aan de uitenkant drie cirkels die wel raken (maar aan de verlengden van de zijden!)

4 Nu gaan we nog eens precies kijken naar de BINNENdeelijnen van hoeken B en C! De ( juiste ) deellijn van hoek B: De variant met de MIN wordt: (a 1) + y = x + (a 1)y + ( vgl. I) Dat dit de goede vergelijking is volgt uit: y = a 1 (a 1) + x a 1 (a 1) + Ga gerust na door enkele (positieve) getallenvooreelden in te vullen dat dit de juiste is! Maak je echter uit I de term x vrij dan krijg je x = (a 1)y (a 1) + y + Opmerking: Aan het eind van de epaling van de coördinaten van P gaan we dan die invullen in de juiste deellijn van C (de min-variant ): ( vgl. II) Nu eerst die x comineren met ( a + + a) y = x van de deellijn van A (Ga na dat met positieve waarden voor a en dit een positieve richtingscoëfficiënt oplevert!) Op de volgende pagina zie je dat je dan krijgt: ( elimineren van de x ).... (a 1)y (a 1) + y + = ( a + + a) y

5 = ( a + + a) y + (a 1) + y + (1 a)y = ( a + + a + (a 1) a) y En omdat er weer wat wegvalt houden we over: y P = voorkoming van misverstanden (leesfouten) schrijven we liever: y P = Dit is tevens de straal van de (ECHTE) ingeschreven cirkel! a + + (a 1) +, maar ter a + + (a 1) + Je ziet dat deze waarde veel kleiner is (onder de aanname dat a en positieve getallen waren) De ijehorende x -coördinaat is dan: x P = a+ a + 1+ a + + (a 1) + Hierij heen we het zo netjes mogelijk (om leesfouten te vermijden) geschreven.... Als laatste klus rest ons nu nog aan te tonen dat invullen in ( vgl. II): (alles doet kloppen ) + (a 1) x a + (a 1) y = a + x (1 a) a + y + a + Dit past echter (weer) niet op één regel.... En het is eigenlijk het spannendste deel van al dit werk.... ik laat de lezer graag het plezier over van het vermenigvuldigen met die (ene) geschikte term en daarna het wegwerken van de haakjes Wel geef ik hierij een link naar een interactieve Geogera-tekening: Binnen-en-uitendeellijnen. Aan de leerlingen van mijn eigen 5VWO wiskunde B lesgroep (-en).. De Opdracht: Schrijf de rest van het ewijs helemaal (netjes) uit en epaal ook de coördinaten (netjes uitgedrukt in a en ) van de andere middelpunten ( uiten-links en uiten-onder )....lever je verslag in en het telt mee als een 10 die één keer (als schriftelijke overhoring meetelt voor de epaling van je rapportpunt! Valkenisse, septemer 017