Universiteit Gent Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde. Krachtige Leeromgevingen Praktijkopdrachten

Transcriptie

1 Universiteit Gent Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Krachtige Leeromgevingen Praktijkopdrachten Lisa Lampo Studentennummer: Academiejaar

2 Krachtige Leeromgevingen Academiejaar Praktijkopdracht 1 Naam: Lampo Voornaam: Lisa Studentennummer (UGent nummer): De praktijkopdracht wordt ingediend voor (plaats een kruisje): Krachtige leeromgevingen Leren en Instructie Lisa Lampo

3 Schoolvak als uitgangspunt: wiskunde. Eindterm: ET 14: De leerlingen lezen op een grafiek af: het stijgen, dalen of constant zijn. Leerplandoelstelling: Leerplan Go! Nr. 2006/060: Veeltermfunctie: De leerlingen kunnen aan de hand van de grafiek het stijgen/dalen en de extrema van veeltermfuncties van de derde graad bepalen. (Het bepalen van de extrema komt in deze les nog niet aan bod). VOET, context en sleutelcompetentie: kritisch denken binnen de context mentale gezondheid. De leerlingen erkennen probleemsituaties en vragen, accepteren en bieden hulp. Lesdoelstelling Bloom: inhoudsniveau Bloom: gedragsniveau 1 De leerlingen kennen de definitie Conceptuele kennis Reproduceren: een begrip definiëren. van een stijgende en dalende functie. 2 De leerlingen controleren of de gegeven definitie van stijgend zijn overeenkomt met de Conceptuele kennis Evalueren: bekritiseren en beargumenteren of de definitie wel degelijk klopt. definitie van het niet-dalend zijn. 3 De leerlingen kennen de definitie van een strikt stijgende en strikt Conceptuele kennis Reproduceren: een begrip definiëren. dalende functie. 4 De leerlingen kennen het verband tussen het stijgend of dalend zijn van een functie en het teken van het differentiequotiënt. 5 De leerlingen kennen de epsilondelta definitie voor de limiet van een functie voor x a. 6 De leerlingen kennen de stelling omtrent de limiet van een ongelijkheid. 7 De leerlingen bewijzen de stelling omtrent de limiet van een ongelijkheid. 8 De leerlingen bewijzen de stellingen: als f stijgend (resp. dalend) is in [a,b] en afleidbaar is in [a,b], dan geldt voor alle x in [a,b] dat f (x)>=0 (resp. f (x)=<0). 9 De leerlingen besluiten dat indien f strikt stijgend is in [a,b], de punten waar f (x)=0 geen deelinterval kunnen vormen van [a,b]. 10 De leerlingen bepalen de intervallen waarin een gegeven functie stijgend of dalend is. Lisa Lampo Conceptuele kennis Conceptuele kennis Conceptuele kennis Procedurele kennis Procedurele kennis Conceptuele kennis Procedurele kennis Begrijpen: uit de grafiek het teken van y en x afleiden en hieruit ook het teken van het differentiequotiënt. Begrijpen: adhv een grafische uitleg de nieuwe definitie afleiden. Begrijpen: in eigen woorden weergeven wat verwacht wordt wanneer de limiet van een strikte ongelijkheid genomen wordt. Toepassen: aantonen dat de bewering uit de stelling klopt. Toepassen: aantonen dat de bewering uit de stelling klopt. Hierbij moet gebruik gemaakt worden van de vorige stelling. Evalueren: besluiten en verklaren waarom de hiernaast vermelde punten geen deelinterval kunnen vormen. Toepassen: een opgave oplossen waarin een concreet geval getoetst wordt aan de abstracte definitie.

4 Scenario: Voor deze les heb ik mij gebaseerd op het handboek VBTL 5: differentiaalrekening A en hierbij zelf blaadjes gemaakt voor de leerlingen. Hiervoor verwijs ik naar de bijlagen bij deze opdracht. De reden dat ik zelf blaadjes gemaakt heb, is omdat de definities in het handboek niet volledig juist zijn. De leerkracht geeft de definitie van een stijgende functie, zoals deze in het handboek gegeven wordt. Daarna legt de leerkracht uit dat een stijgende functie hetzelfde is als een niet-dalende functie, en stelt daarom de leerlingen de vraag of die definitie dan eigenlijk wel klopt. De leerlingen moeten hier wat in hun vertrouwde handboek staat plots in vraag gaan stellen. Hierdoor leren ze kritisch nadenken over de info die hun wordt gegeven en leren ze om niet altijd alles zomaar voor waar aan te nemen. Er moet natuurlijk wel op gewezen worden door de leerkracht dat deze manier van definiëren de keuze was van de schrijvers van het handboek, en dat dit ook wel gerespecteerd moet worden. Er bestaat echter een juistere manier om deze begrippen te definiëren. Daarom schakelt de leerkracht over op de eigen blaadjes. De leerkracht vraagt of de leerlingen (na de definitie van een stijgende/dalende functie aangebracht t hebben) zelf de definitie kunnen geven van een strikt stijgende/dalende functie. Zowel voor het (strikt) stijgende als (strikt) dalend zijn, vraagt de leerkracht aan de leerlingen om, eventueel met behulp van de figuur, het teken van y, x en het differentiequotiënt te bepalen. De leerkracht vraagt de leerlingen naar het verband tussen het (strikt) stijgend of dalend zijn en het teken van het differentiequotiënt. De leerkracht vraagt een leerling naar de definitie van de limiet van een functie voor x a zoals ze dit vorig jaar gezien hebben. Daarna legt de leerkracht grafisch uit wat dat voorstelt door eigenlijk de epsilon-delta definitie in woorden uit te leggen. Door dit een aantal maal te herhalen, zouden de leerlingen moeten in staat zijn om die definitie in woorden om te zetten naar wiskundige symbolen. De leerkracht leidt de stelling ivm de limiet van een ongelijkheid (1) in via de vraag: Indien f(x) < g(x) voor alle x uit ]a-epsilon,a+epsilon[\{a}, wat krijg ik dan als ik de limiet neem van beide leden? De meeste leerlingen zullen pas na het bewijs inzien waarom de strikte ongelijkheid na het nemen van de limiet niet meer strikt is. Aangezien de leerlingen nog niet vertrouwd zijn met een bewijs uit het ongerijmde, legt de leerkracht eerst de volledige redenering achter het bewijs uit. Daarna stelt de leerkracht het bewijs samen met de leerlingen op waarbij ze de net geziene epsilon-delta definitie moeten toepassen. De leerkracht benadrukt nog dat indien in de opgave geen strikte ongelijkheid stond, de stelling nog steeds geldig is. De leerkracht formuleert de volgende stelling en stelt opnieuw samen met de leerlingen het bewijs op. Een fundamentele stap in het bewijs maakt gebruik van de stelling (1) die hier boven werd gezien. De leerkracht vraagt de leerlingen om de stelling toe te passen op de bekomen ongelijkheid. Na het bewijs stelt de leerkracht nog enkele inzichtelijke vragen: Als f strikt stijgend is, kan je dan een deelinterval hebben waar de afgeleide gelijk is aan nul?, Waarom niet? en Kan dit wel voorkomen indien de functie stijgend is ipv strikt stijgend? Tot slot maken de leerlingen enkele deeloefeningen van oefening 1 pagina 177 uit het handboek. De oefeningen komen aan het bord waarbij af en toe ook een leerling aan het bord moet komen. De leerlingen moeten het domein van de functie bepalen, het tekenverloop, de afgeleide functie met bijhorend tekenverloop en hieruit de intervallen aflezen waar de functie strikt stijgend/dalend is (en niet gewoon stijgend en dalend zoals in de opgave van het boek staat). Lisa Lampo

5 Overzicht van de bijlagen: 1) Bijlage 1: Bogaert, P., De Feyter, M., Geeurickx, F., Van Nieuwenhuyze, R., Willockx, E. (2004) Handboek Van Basis Tot Limiet 5: Leerboek Analyse 2: Differentiaalrekening A, Hoofdstuk 4 (p p. 177), Brugge: N.V. die Keure. 2) Bijlage 2: Nota s opgesteld door de leerkracht. Lisa Lampo

6 Bijlage 1

7

8

9 Eigenschappen van continue en afleidbare functies in R 0.1 Stijgen en dalen van een functie Definities en begrippen Definitie Stijgend Een functie f is stijgend in [a, b] f is gedefinieerd in [a, b] en x 1, x 2 [a, b] : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Definitie Strikt stijgend Een functie f is strikt stijgend in [a, b] f is gedefinieerd in [a, b] en x 1, x 2 [a, b] : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). Grafisch: Voor een stijgende functie geldt: als x = x 2 x 1 0 dan is ook y = y 2 y 1 0 voor twee verschillende punten x 1 en x 2 binnen [a, b]. M.a.w. het differentiequotiënt y x is positief. Voor een strikt stijgende functie geldt: als x = x 2 x 1 > 0 dan is ook y = y 2 y 1 > 0 voor twee verschillende punten x 1 en x 2 binnen [a, b]. M.a.w. het differentiequotiënt y x is strikt positief. 1

10 Besluit: f is stijgend in[a, b] x 1, x 2 [a, b] : f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 0 als x 1 x 2. f is strikt stijgend in[a, b] x 1, x 2 [a, b] : f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 > 0 als x 1 x 2. Definitie Dalend Een functie f is dalend in [a, b] f is gedefinieerd in [a, b] en x 1, x 2 [a, b] : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Definitie Strikt dalend Een functie f is strikt dalend in [a, b] f is gedefinieerd in [a, b] en x 1, x 2 [a, b] : x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). Grafisch: Voor een dalende functie geldt: als x = x 2 x 1 0 dan is y = y 2 y 1 0 voor twee verschillende punten x 1 en x 2 binnen [a, b]. M.a.w. het differentiequotiënt y x is negatief. Voor een strikt dalende functie geldt: als x = x 2 x 1 > 0 dan is y = y 2 y 1 < 0 voor twee verschillende punten x 1 en x 2 binnen [a, b]. M.a.w. het differentiequotiënt y x is strikt negatief. Besluit: f is dalend in [a, b] x 1, x 2 [a, b] : f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 0 als x 1 x 2. f is strikt dalend in [a, b] x 1, x 2 [a, b] : f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 < 0 als x 1 x 2. Lisa Lampo 2 Infimum en supremum

11 Definitie Limiet van een functie voor x a De limiet van een functie f voor x a is gelijk aan de waarde b als en slechts als voor elke rij (x n ) van originelen met x n a die naar a convergeert, de corresponderende beeldrij (f(x n )) naar b convergeert. M.a.w.: lim f(x) = b (x n) : lim x n = a lim f(x n) = b. x a n n Grafisch: lim x a f(x) = b betekent: voor elke ɛ > 0, hoe klein ook, kan je ervoor zorgen dat f(x) ]b ɛ, b + ɛ[, door x in een voldoende klein interval ]a δ, a + δ[ te nemen, met δ > 0. De functiewaarde voor x = a is niet van belang. De limiet zegt enkel iets over het gedrag van de functie in de buurt van a. Definitie ɛ δ vorm van de definitie lim f(x) = b ɛ > 0, δ > 0 : x domf : 0 < x a < δ f(x) b < ɛ. x a Stellingen Stelling Limiet van een ongelijkheid Als twee functies f en g beide een limiet hebben in a zij lim x a f(x) = L en lim x a g(x) = M en als voor elke x ]a ɛ, a + ɛ[\{a}, f(x) < g(x) dan geldt: lim f(x) lim g(x), maw L M. x a x a Lisa Lampo 3 Infimum en supremum

12 Bewijs: Bewijs uit het ongerijmde: veronderstel dat L > M. Stel ɛ = L M. Er geldt dat lim x a [g(x) f(x)] = M L dus er bestaat een δ > 0 zodat voor elke x geldt: 0 < x a < δ g(x) f(x) (M L) < ɛ. Dus ɛ < g(x) f(x) M + L < ɛ. g(x) f(x) M + L < L M g(x) f(x) < 0 g(x) < f(x). Dit is tegenstrijdig met de originele hypothese dat f(x) < g(x) dus onze aanname dat L > M was fout. Er geldt dus dat L M. Stelling Als een functie f stijgend is in [a, b] en afleidbaar is in [a, b], dan geldt: x [a, b] : f (x) 0. Bewijs: Kies x 1 x 2 = x 1 + x en x 2 [a, b]. Vermits f stijgend is in [a, b], geldt voor elke x 1 [a, b]: f(x 2 ) f(x 1 ) = f(x 1 + x) f(x 1 ) > 0 x 2 x 1 x (wegens vorige stelling) f(x 1 + x) f(x 1 ) lim 0 x 0 x f (x 1 ) 0 Opmerking Indien f strikt stijgend is, kunnen de punten waarvoor f (x) = 0 geen deelinterval vormen van [a, b]. De afgeleide kan in dit geval enkel nul worden in enige alleenstaande punten van het interval [a, b]. Voorbeeld Beschouw de functie f waarvoor geldt: f(x) = x 3. We vinden: f (x) = 3x 2. x 0 f (x) De afgeleide is overal positief, behalve voor x = 0, waar de afgeleide nul wordt. In dit ene punt is de raaklijn aan de grafiek horizontaal. Lisa Lampo 4 Infimum en supremum

13 Lisa Lampo Krachtige Leeromgevingen Academiejaar Praktijkopdracht 2 Naam: Lampo Voornaam: Lisa Studentennummer (UGent nummer): De praktijkopdracht wordt ingediend voor (plaats een kruisje): Krachtige leeromgevingen Leren en Instructie

14 Lisa Lampo DEEL 1: NON-LINGUÏSTISCHE REPRESENTATIE Leerinhoud: Variaties, herhalingsvariaties, combinaties, herhalingscombinaties. Lesmateriaal: zie bijlage 1 bij deze opdracht. Lesdoelstelling: De leerlingen bepalen door de vraagstelling naar de volgorde en herhaling in welk geval ze zitten (variaties, herhalingsvariaties, combinaties, herhalingscombinaties) en welke formule ze dan moeten gebruiken. Bloom: Procedurele kennis Toepassen: de leerlingen zouden bijvoorbeeld zelf aan de hand van de vooropgestelde vragen een soort handleiding kunnen maken om dan bij de oefeningen te kunnen bepalen in welk geval ze zitten en welke formule ze dus moeten gebruiken. Is de volgorde van belang? Ja Nee Met terugleggen Zonder terugleggen Met terugleggen Zonder terugleggen Herhalingsvariatie Trek k keer uit een _ V ( n, k) n k verzameling van n elementen: Variatie Herhalingscombinatie: Combinatie: Trek alle n elementen: Permutatie P n = n!

15 Lisa Lampo DEEL 1: VRAGEN STELLEN Lesdoelstelling: De leerlingen leiden de epsilon-delta definitie af voor de limiet van een functie voor x a adhv een grafische voorstelling. De leerlingen kennen en bewijzen de stelling omtrent de limiet van een ongelijkheid. De leerlingen kennen en bewijzen de stellingen: als f stijgend (resp. dalend) is in [a,b] en afleidbaar is in [a,b], dan geldt voor alle x in [a,b] dat f (x)>=0 (resp. f (x)=<0). De leerlingen besluiten dat indien f strikt stijgend is in [a,b], de punten waar f (x)=0 geen deelinterval kunnen vormen van [a,b] en dat dit wel kan indien f stijgend is. Lesmateriaal: zij bijlage 2 bij opdracht 1, pagina 3 en 4. Vraag Bloom: gedragsniveau Bloom: inhoudsniveau 1 Wat is het verschil tussen de rij convergeert naar a en de Reproduceren: een begrip definiëren Conceptuele kennis limiet van de rij is a? 2 Hoe zou je deze grafische voorstelling nu omzetten naar een Inzicht hebben in: in eigen (wiskundige) Conceptuele kennis definitie in wiskundige symbolen? woorden weergeven 3 Veronderstel dat f(x) < g(x) voor alle x uit ]aepsilon,a+epsilon[\{a}. Inzicht hebben in: gevolgen voorspellen Conceptuele kennis Wat zou er gebeuren indien ik de limiet van deze ongelijkheid neem? 4 Waaraan is de limiet van een som of verschil gelijk? Reproduceren: een begrip definiëren Conceptuele kennis 5 Welke ongelijkheid krijg je als je hierop de epsilon-delta Toepassen Procedurele kennis definitie toepast? 6 Verklaar waarom deze breuk groter is dan nul. Inzicht hebben in: een verklaring geven Conceptuele kennis 7 Hoe kun je de vorige stelling hier gebruiken, als je in je Toepassen Procedurele kennis achterhoofd houdt dat we iets moeten bewijzen over f (x)? 8 Als f strikt stijgend is, kan je dan een deelinterval hebben Inzicht hebben in Conceptuele kennis waar de afgeleide gelijk is aan nul? 9 Verklaar waarom dit wel of niet kan. (Als vervolg op vraag 8). Analyseren: bewijzen voor conclusies geven Conceptuele kennis 10 Wat zou er gelden voor het teken van de afgeleide functie, indien de functie dalend is? Inzicht hebben in: gevolgen voorspellen Conceptuele kennis

16 Lisa Lampo DEEL 2: GROEPSWERK Lesdoelstelling: De leerlingen kunnen aan de hand van de grafiek het stijgen of dalen van veeltermfuncties van de derde graad bepalen. De leerlingen kunnen aan de hand van de grafiek het stijgen of dalen van (ir)rationale functies bepalen. De leerlingen kunnen aan de hand van de grafiek het stijgen of dalen van goniometrische en cyclometrische functie bepalen. Situering: In een vorige les zagen de leerlingen de theorie rond het stijgend en dalend zijn van een functie. (Zie opdracht 1 bijlage 2). Voor de opgeloste oefeningen: zie bijlage 2 bij dit project. Scenario: Fase Werkvorm Activiteit Materiaal 1 Klassikaal De leerkracht herhaalt de definities van het stijgend en dalend zijn van een functie. De leerkracht brengt een voorbeeld aan het bord. Handboek + blaadjes vd leerkracht (zie opdracht 1, bijlagen 1 en 2). 2 Klassikaal De leerkracht legt de algemene methode uit om de Handboek (zie opdracht oefeningen op te lossen. 3 Per drie De leerlingen maken oefeningen 1.a, 1.b en 1.c (naargelang wat op hun script staat). Hierbij loopt de leerkracht rond om te helpen waar er vragen zijn. 4 Klassikaal De leerkracht overloopt de meest voorkomende fouten/vragen die hij/zij tegengekomen is bij het rondlopen. Indien er een (of meerdere) groepje(s) de oplossing niet gevonden heeft, komt de oefening volledig aan het bord. Dit kan eventueel door enkele leerlingen gedaan worden. 5 Per drie De leerlingen maken oefeningen 1.d, 1.f en 1.g (naargelang wat op hun script staat). Hierbij loopt de leerkracht opnieuw rond om te helpen waar er vragen zijn. 6 Klassikaal De leerkracht overloopt de meest voorkomende fouten/vragen die hij/zij tegengekomen is bij het rondlopen. Indien er een (of meerdere) groepje(s) de oplossing niet gevonden heeft, komt de oefening volledig aan het bord. Dit kan eventueel door enkele leerlingen gedaan worden. 7 Klassikaal De leerkracht geeft de aanzet voor oefening 1.e aangezien deze wat moeilijker is. 8 Per drie De leerlingen onderzoeken dan de afleidbaarheid in de punten -3,0 en 3 (naargelang wat op hun script staat). 9 Klassikaal Het tekenverloop wordt klassikaal opgesteld dmv vragen aan individuele leerlingen. 1, bijlage 1). Opgaven uit handboek.

17 Lisa Lampo Script leerling één: 1) Los oefening 1.a op pagina 177 van het handboek op volgens volgende methode: o Bepaal het domein van de functie. o Bepaal de afgeleide functie f (x). o Bepaal de nulpunten van de afgeleide functie. o Stel het tekenverloop op van de afgeleide functie. o Noteer de intervallen waar f stijgend/dalend is. 2) Geef je blad aan leerling twee, jij krijgt het blad van leerling drie. 3) Overloop de oefening die de leerling gemaakt heeft. Duid hierbij de fouten aan. Je hoeft deze niet te verbeteren, dus enkel aanduiden! 4) Geef het blad opnieuw door aan leerling twee, jij krijgt het blad van leerling drie. 5) Overloop de oefening die de leerling gemaakt heeft. De fouten zijn ondertussen al aangeduid. Controleer nogmaals of er geen fouten meer staan, en verbeter de fouten indien nodig. Indien de leerling niet alle stappen uit de methode van puntje 1 heeft uitgevoerd, vul je deze aan. Indien de leerling geen enkele fout gemaakt heeft, overloop je dus toch de volledige oefening. Nadat de leerkracht de meest voorkomende fouten aan het bord behandeld heeft, herhaal je de stappen (1) tot (5) voor oefening 1.d. De leerkracht geeft de aanleiding voor oefening 1.e. Onderzoek de afleidbaarheid van de functie in het punt -3. Script leerling twee: 1) Los oefening 1.b op pagina 177 van het handboek op volgens volgende methode: o Bepaal het domein van de functie. o Bepaal de afgeleide functie f (x). o Bepaal de nulpunten van de afgeleide functie. o Stel het tekenverloop op van de afgeleide functie. o Noteer de intervallen waar f stijgend/dalend is. 2) Geef je blad aan leerling drie, jij krijgt het blad van leerling een. 3) Overloop de oefening die de leerling gemaakt heeft. Duid hierbij de fouten aan. Je hoeft deze niet te verbeteren, dus enkel aanduiden! 4) Geef het blad opnieuw door aan leerling drie, jij krijgt het blad van leerling een. 5) Overloop de oefening die de leerling gemaakt heeft. De fouten zijn ondertussen al aangeduid. Controleer nogmaals of er geen fouten meer staan, en verbeter de fouten indien nodig. Indien de leerling niet alle stappen uit de methode van puntje 1 heeft uitgevoerd, vul je deze aan. Indien de leerling geen enkele fout gemaakt heeft, overloop je dus toch de volledige oefening. Nadat de leerkracht de meest voorkomende fouten aan het bord behandeld heeft, herhaal je de stappen (1) tot (5) voor oefening 1.f. De leerkracht geeft de aanleiding voor oefening 1.e. Onderzoek de afleidbaarheid van de functie in het punt 0.

18 Lisa Lampo Script leerling drie: 1) Los oefening 1.c op pagina 177 van het handboek op volgens volgende methode: o Bepaal het domein van de functie. o Bepaal de afgeleide functie f (x). o Bepaal de nulpunten van de afgeleide functie. o Stel het tekenverloop op van de afgeleide functie. o Noteer de intervallen waar f stijgend/dalend is. 2) Geef je blad aan leerling een, jij krijgt het blad van leerling twee. 3) Overloop de oefening die de leerling gemaakt heeft. Duid hierbij de fouten aan. Je hoeft deze niet te verbeteren, dus enkel aanduiden! 4) Geef het blad opnieuw door aan leerling een, jij krijgt het blad van leerling twee. 5) Overloop de oefening die de leerling gemaakt heeft. De fouten zijn ondertussen al aangeduid. Controleer nogmaals of er geen fouten meer staan, en verbeter de fouten indien nodig. Indien de leerling niet alle stappen uit de methode van puntje 1 heeft uitgevoerd, vul je deze aan. Indien de leerling geen enkele fout gemaakt heeft, overloop je dus toch de volledige oefening. Nadat de leerkracht de meest voorkomende fouten aan het bord behandeld heeft, herhaal je de stappen (1) tot (5) voor oefening 1.g. De leerkracht geeft de aanleiding voor oefening 1.e. Onderzoek de afleidbaarheid van de functie in het punt 3.

19 Bijlage 1

20

21

22

23

24 Bijlage 2

25

26

27

28

29

30 Lisa Lampo Krachtige Leeromgevingen Academiejaar Praktijkopdracht 3 Naam: Lampo Voornaam: Lisa Studentennummer (UGent nummer): De praktijkopdracht wordt ingediend voor (plaats een kruisje): Krachtige leeromgevingen Leren en Instructie

31 Lisa Lampo Voorbeeldles: geschiedenis ambachtslieden Persoonlijke ervaringen en voorkennis: De meeste leerlingen hebben ooit wel al eens gehoord van de middeleeuwen, hetzij op school, hetzij in films of boeken, Door specifieke afbeeldingen te selecteren die kenmerkend en zeer herkenbaar zijn voor deze periode, komen de leerlingen al snel tot het begrip de middeleeuwen. De leerlingen bespreken hierna de foto s in kleinere groepjes. Er wordt hier niet specifiek iets gezegd over de heterogeniteit van de groepen, maar hoe groter deze is, hoe beter. Men plaatst ook het best de betere leerlingen samen met de iets zwakkere. Dit is een goede oefening op het gebied van taalvlak voor beide partijen. De zwakkere leerlingen worden ondersteund door hun klasgenoten die de uitleg in hun eigen woorden zullen geven, waardoor deze uitleg beter te volgen is. Ook voor de sterkere leerlingen is het een goede oefening om dingen uit te leggen aan anderen. Hierna wordt er door de leerlingen klassikaal gebrainstormd. Er wordt hen gevraagd naar films die ze gezien hebben, boeken of stripverhalen die ze gelezen hebben, Doordat de leerlingen gaan nadenken over hun persoonlijke ervaringen met dit onderwerp, wordt hun voorkennis hieromtrent geactiveerd. De leerlingen moeten hierover praten in het Nederlands wat vaak zeer moeilijk is. De ervaringen werden namelijk meestal in hun eigen taal of in een andere taal, verschillend van het Nederlands opgedaan. Dit maakt het moeilijk voor hen om hun verhaal dan te vertellen in een andere taal. Daarom is het noodzakelijk dat de leerkracht hier bijspringt waar nodig zodat de leerlingen uiteindelijk zelf hun verhaal vertellen. Traject van leeractiviteiten: Tijdens dit klassikaal gesprek is het niet enkel van belang dat de leerlingen gewoon over hun ervaringen vertellen, maar dat ze er ook eens verder bij stilstaan en er dieper over nadenken. Ze moeten concreet proberen uit te leggen wat ze bedoelen. De leerkracht treedt hier als tussenpersoon op die er voor zorgt dat de andere leerlingen ook snappen wat er gezegd wordt door hen specifieke vragen te stellen, en eventueel de leerling die aan het woord is, meer uitleg te laten geven. Bij een volgende stap probeert de leerkracht een overgang te maken tussen de alledaagsere verwoording van de leerlingen naar een schoolser taalgebruik door middel van specifieke inzichtelijke vragen waarmee onder andere misvattingen worden bijgesteld. Theoretisch perspectief: Het laatste onderdeel probeert de ervaringsgebaseerde kennis uit te breiden met de correcte wetenschappelijk-historische benamingen. Deze concretisering van de theoretische leerstof gebeurt door de nieuw ingevoerde benamingen op het bord aan te brengen.

32 Lisa Lampo Toepassing (zie bijlage 1 bij deze opdracht) De les rond grafentheorie bevat zeer veel nieuwe begrippen en concepten. Het is de bedoeling om stap voor stap deze nieuwe definities in te voeren, en uiteindelijk te komen tot de definities van een Hamiltoncykel en een Eulertoer. Persoonlijke ervaringen en voorkennis: De leerkracht legt de leerlingen twee problemen voor. Probleem 1: routeplanner (zie bijlage). Probleem 2: De zeven bruggen van Königsbergen (zie bijlage). De leerlingen moeten in heterogene groepjes nadenken over een oplossing. Door in het eerste voorbeeld te werken met alledaagse begrippen, zal het voor de leerlingen gemakkelijker zijn om er over te praten met de anderen. Het tweede voorbeeld is al iets abstracter, maar hier kunnen de sterkere leerlingen de zwakkere ondersteunen. De leerkracht loopt constant rond om vragen te beantwoorden. Het is de bedoeling dat de leerlingen tijdens het brainstormen tot de conclusie komen dat ze het probleem grafisch moeten voorstellen. Indien de leerkracht ziet dat een bepaalde groep hier niet toe komt, kan deze hints geven hieromtrent aan die éne groep, ofwel klassikaal. Traject van leeractiviteiten: Daarna wordt er een onderwijsleergesprek gehouden. De leerkracht vraagt de leerlingen naar hun antwoorden bij het eerste probleem adhv verschillende deelvragen: - Waarmee kunnen we de verschillende winkels voorstellen? Antwoord van de leerlingen: Punten/Kruisjes/ We zullen dit aanduiden met punten. In de grafentheorie worden deze punten de toppen genoemd. - Waarmee kunnen we de verbindingswegen voorstellen? Antwoord van de leerlingen: Lijnen/bogen/ Deze zullen we aanduiden met bogen. In de grafentheorie worden dit ook gewoon bogen genoemd. De leerkracht wijst er op dat het er niet toe doet hoe ver je de punten van elkaar tekent, of in welke positie ten opzichte van elkaar. Dit geheel van toppen en bogen noemen we een graaf. Een leerling mag aan het bord de oplossing komen tekenen die zijn groepje gevonden heeft. Hierna vraagt de leerkracht naar de oplossing van de leerlingen voor het tweede probleem. Sommigen zullen misschien denken dat ze een oplossing gevonden hebben. Zij mogen hun poging aan het bord brengen. Door een klassikale discussie zullen de leerlingen tot de conclusie komen, dat het niet mogelijk is om dat probleem op te lossen. Theoretisch perspectief: Tijdens het bespreken van de voorbeelden kwamen de begrippen toppen, bogen, en een graaf reeds aan bod. Om het eerste voorbeeld verder te concretiseren, wordt gezegd dat deze graaf en Hamiltoncykel bevat. Hierbij wordt dan de abstracte definitie van een Hamiltoncykel gegeven. Bij het tweede voorbeeld wordt dan de definitie gegeven van een Eulertoer. De leerlingen worden er nogmaals op gewezen dat er geen dergelijke Eulertoer kan gevonden worden in Königsbergen.

33 Lisa Lampo Bijlage 1 Probleem 1 Katrien is een jonge, milieubewuste dame die graag overal met de fiets naartoe rijdt. Ze is net verhuisd, maar weet in haar nieuwe woonplaats gelukkig al de bakker, de beenhouwer, de groentewinkel, de apotheek en de kledingwinkel zijn. Er zijn verschillende verbindingswegen tussen deze winkels, maar niet overal is er een goed fietspad. De wegen waar er wel een goed fietspad ligt zijn: o De weg tussen de bakker en de beenhouwer. o De weg tussen de bakker en de groentewinkel. o De weg tussen de bakker en de apotheek. o De weg tussen de beenhouwer en de kledingwinkel. o De weg tussen de beenhouweer en de apotheek. o De weg tussen de groentewinkel en de kledingwinkel. o De weg tussen de groentewinkel en de apotheek. Katrien wil een route plannen langs de wegen met een goed fietspad zodat ze al de winkels kan bezoeken. Kan Katrien bij de bakker vetrekken, alle winkels juist één keer bezoeken en terug bij de bakker uitkomen? Indien dit mogelijk is, welke weg zou ze dan moeten volgen? Probleem 2 De stad Koningsbergen (het huidige Kaliningrad) lag in het oosten van Pruisen aan de rivier de Pregel, waarin twee eilanden lagen die door zeven bruggen met elkaar en met de vaste wal verbonden waren. Hieronder staat dit schematisch afgebeeld. Is het mogelijk om zó te wandelen dat je precies één maal over elke brug loopt? Welke weg zou je dan nemen?

34 Lisa Lampo Krachtige Leeromgevingen Academiejaar Praktijkopdracht 4 Naam: Lampo Voornaam: Lisa Studentennummer (UGent nummer): De praktijkopdracht wordt ingediend voor (plaats een kruisje): Krachtige leeromgevingen Leren en Instructie

35 Lisa Lampo Complex leerdoel Leerplan Go! 2006/060: Stelsels van vergelijkingen van de eerste graad: bespreken van stelsels (Toepassen Procedurele kennis). - De leerlingen kunnen, indien de parameter voorkomt in het spilelement, de verschillende gevallen onderscheiden. - De leerlingen kunnen in elk van de gevallen de oplossingenverzameling bepalen en deze op een correcte manier interpreteren. - De leerlingen bespreken de oplosbaarheid van een stelsel met een parameter. Omschrijving van de opdracht Voorkennis van de leerlingen: De leerlingen kennen de definitie van een canonieke matrix. De leerlingen passen de elementaire rij-operaties toe op een matrix. De leerlingen lossen stelsels op met de methode van Gauss-Jordan. De leerlingen kennen het verband tussen oplosbaarheid, rang en uitgebreide matrix. De leerlingen maken mbv hun rekenmachine een matrix canoniek. Voor deze opdracht is het de bedoeling dat leerlingen stelsels met een parameter leren bespreken. In een voorgaande les wordt aan de leerlingen duidelijk gemaakt wat een parameter is. De leerkracht werkt een voorbeeld uit waarin de methode voor het bespreken van een stelsel uitgelegd wordt. Er wordt nadruk gelegd op het gevallenonderscheid, correcte notaties en vooral het noteren van een besluit. Ook de definitie van een canonieke matrix wordt regelmatig herhaald. In deze les is het de bedoeling dat de leerlingen zelf een stelsel met een parameter zullen bespreken adhv de methode die ze in de vorige les gezien hebben (namelijk oefeningen 22 b en c. Zie bijlage 1 bij deze opdracht). Een extra opdracht die de leerlingen moeten uitvoeren is: Noteer in het besluit hoeveel oplossingen de oplossingenverzameling bevat voor elk van de gevallen. Dit om te testen of de leerlingen de oplossingenverzameling wel degelijk op een correcte manier kunnen interpreteren. Omschrijving van de vier criteria Criterium 1: Correct gevallenonderscheid Telkens wanneer het spilelement een parameter bevat, en dit niet meer kan vermeden worden door het omwisselen van rijen, moet een gevallenonderscheid opgesteld worden. In sommige gevallen moeten ook deelgevallen onderzocht worden. Het is belangrijk dat alle gevallen in de bespreking aan bod komen en onderzocht worden. Indien de leerlingen bijvoorbeeld elkaar moeten beoordelen adhv de rubric, zal de leerkracht de verschillende gevallen aangeven, zodat dit op een correcte manier gecontroleerd kan worden. Criterium 2: Volledigheid van de methode Bij het gevallenonderscheid moet er voor elk geval apart een oplossingenverzameling opgesteld worden. Aan het eind van de oefening moet een besluit staan waarin alle gevallen met hun respectievelijke oplossingenverzameling genoteerd worden. Dit besluit is essentieel voor de volledigheid van de oefening en weegt daarom ook zwaarder door dan het noteren van de oplossingenverzameling in elk van de onderscheiden gevallen.

36 Lisa Lampo Criterium 3: Rekenfouten De leerlingen hebben nog nooit met parameters gewerkt, waardoor het rekenen met parameters in het begin vaak nogal moeilijk is. Ze moeten goed opletten om geen rekenfouten te maken. Criterium 4: Interpretatie van de oplossingenverzameling Het werken met parameters is, zoals hierboven vermeld, nieuw voor de leerlingen en dit is zeer moeilijk voor hen. Het is belangrijk dat ze goed weten wat een parameter eigenlijk is. Voor een stelsel met een parameter m, bepaalt elke waarde van m een ander stelsel. Stel dat de oplossingenverzameling een drietal is dat deze m bevat. Deze m is een parameter, maar het corresponderende stelsel (dus voor 1 bepaalde waarde van m) heeft slechts 1 oplossing, namelijk het drietal met die éne waarde van m ingevuld. Stel dat de oplossingenverzameling een andere parameter alpha bevat, met alpha een reëel getal. Het corresponderende stelsel (voor een vaste waarde van m) heeft dan oneindig veel oplossingen. De indicatoren hierbij zijn in dit geval opgesteld voor de twee oefeningen uit de bijlage, maar dit kan natuurlijk snel aangepast worden voor andere oefeningen. Criterium 1: Correct gevallenonderscheid Criterium 2: Volledigheid van de methode Criterium 3: Rekenfouten A B C Alle mogelijke gevallen worden onderscheiden, telkens wanneer het spilelement een parameter bevat. Er wordt een besluit geformuleerd. EN In alle gevallen wordt de Er ontbreekt één geval. Er wordt een besluit geformuleerd. EN Er wordt niet in alle gevallen een oplossingenverzameling bepaald. Er ontbreken meerdere gevallen. Er wordt geen besluit geformuleerd. oplossingenverzameling bepaald. Er worden geen rekenfouten gemaakt. Er wordt één rekenfout gemaakt. Er worden meerdere rekenfouten gemaakt. Criterium 4: Interpretatie van de oplossingenverzameling De vraag Hoeveel elementen bevat de oplossingenverzameling? werd voor alle vier de gevallen als volgt beantwoord: De vraag Hoeveel elementen bevat de oplossingenverzameling? werd voor 3 van de 4 gevallen als volgt beantwoord: De vraag Hoeveel elementen bevat de oplossingenverzameling? werd voor minder dan 3 van de 4 gevallen als volgt beantwoord: Oefening 22.b: m 1 en m -1: er is 1 oplossing. m=1: er zijn geen oplossingen. m=-1: er zijn oneindig veel oplossingen. Oefening 22.c: er is 1 oplossing. Oefening 22.b: m 1 en m -1: er is 1 oplossing. m=1: er zijn geen oplossingen. m=-1: er zijn oneindig veel oplossingen. Oefening 22.c: er is 1 oplossing. Oefening 22.b: m 1 en m -1: er is 1 oplossing. m=1: er zijn geen oplossingen. m=-1: er zijn oneindig veel oplossingen. Oefening 22.c: er is 1 oplossing.

37 Lisa Lampo Bijlage 1

38 Lisa Lampo

39 Lisa Lampo