Leerplanstudie leerplan b en c. tweede graad kso-tso

Transcriptie

1 Marialand 31, Gent Leerplanstudie leerplan b en c tweede graad kso-tso Samengesteld en gegeven door Guy Reyntjens en Luc De Wilde Pedagogisch begeleiders wiskunde DPB Gent

2 Inhoud 1 Aansluiting op het leerplan van de eerste graad A-stroom Overzicht krachtlijnen in het leerplan van de 1 ste graad A Consequenties voor de tweede graad Leerplan b en c tweede graad kso/tso Realisatie leerplan b en c: welke globale moeilijkheden ondervinden leerkrachten? Aandachtspunten voor het opmaken van een jaarplan Aanbevelingen voor het aantal te besteden lestijden Opmaak van een jaarplan Evalueren Wiskundevorming Productevaluatie Voorwaarden en kenmerken voor een kwaliteitsvolle en evenwichtige evaluatie Leidraad voor een vakgroep Kijkwijzer voor examens Procesevaluatie versus productevaluatie Fragmenten uit doorlichtingsverslagen vanaf Overzicht leerplandoelstellingen - bespreking examenvragen deelnemers per leerstofonderdeel (zie bijlage) Het motiverend effect van differentiëren met het BHV-model (Maarten Van de Broek) Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 2

3 1 Aansluiting op het leerplan van de eerste graad A-stroom 1.1 Overzicht krachtlijnen in het leerplan van de 1 ste graad A - Meer aandacht voor de aansluiting met het basisonderwijs - Meer aandacht voor het verwerven van rekenvaardigheden - Meer aandacht voor het verwerven van probleemoplossende vaardigheden - Meer aandacht voor wiskundige taalvaardigheden, de verschillende taalniveaus en taalondersteuning - Zinvol en functioneel gebruik van ICT - Meer aandacht voor procesevaluatie - Meer aandacht voor didactische aanpak - Meer aandacht voor integratie van vlakke meetkunde en ruimtemeetkunde - Meer aandacht voor het ontwikkelen van leervaardigheden - Het werken met beheersingsniveaus (elementair, basis, verdieping) Bijvoorbeeld: Meer aandacht voor de didactische aanpak Voorbeeld van stappen in de didactische aanpak van een onderdeel/onderwerp in de eerste graad: 1 Diagnostische toets over kennis uit het basisonderwijs of vroeger geziene onderdelen 2 Klassikaal of via taken definities, regels en eigenschappen aanbrengen en formuleren 3 Klassikaal oefenen: elementair - basis - verdieping (E - B - V) 4 Diagnostische toets over het onderdeel: E - B - V 5 Gedifferentieerd oefenen: E - B - V - individueel of in groepjes - met moetjes en magjes 6 Toets over het onderdeel: E - B - V Het is zinvol dat leerlingen ook oefenen op grote gehelen met gemengde leerinhouden/oefeningen. Dit kan in zogenaamde 'bufferruimten', die men inlast in de jaarplanning. Bij het oefenen op grote gehelen komen best zoveel mogelijk vaardigheden aan bod: rekenvaardigheid, denk- en redeneervaardigheden, probleemoplossende vaardigheden. Verschillende werkvormen kunnen gebruikt worden zoals: - groepswerk, eventueel met moetjes en magjes - groepswerk met experts - hoekenwerk, bijv. een rekenhoek, een vraagstukkenhoek, een computerhoek, een spelhoek -... Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 3

4 1.2 Consequenties voor de tweede graad We vatten de consequenties van het nieuwe leerplan in de eerste graad A samen in een aantal aandachtspunten die ook suggesties inhouden om de lijnen die uitgezet werden in de eerste graad A door te trekken in de tweede graad. Het gaat doorgaans om het beklemtonen van krachtlijnen die nu al in elk leerplan van de tweede graad in de rubriek Vaardigheden en attitudes vermeld zijn. De concretisering en uitwerking hiervan in de klaspraktijk is - evident - afhankelijk van de onderwijsvorm en de studierichting. Aandacht voor de aansluiting met de eerste graad In de tweede graad is het belangrijk dat de leerkracht een beeld krijgt van de beginsituatie van de leerlingen en dus voldoende op de hoogte is van de leerplanrealisatie in de eerste graad A. Het is dan ook aangewezen dat de aansluiting eerste graad A - tweede graad geregeld als agendapunt aan bod komt op een vakvergadering en dat de aansluiting wordt gekaderd binnen de leerlijnen. Bij de inhoudelijke leerplandoelstellingen voor de eerste graad A staat in het leerplan vaak de vermelding van het beheersingsniveau (elementair, basis, verdieping). We pleiten ervoor dit te bespreken tijdens een vakvergadering waarbij leerkrachten van de eerste graad informeren en concrete toelichting geven over de realisatie van deze leerplandoelstellingen en de beheersingsniveaus ervan. Sluitend kan dit niet zijn. Het aanbieden van het beheersingsniveau verdieping is geen garantie dat alle leerlingen dit niveau ook zullen gehaald hebben. Er worden in de tweede graad nieuwe klasgroepen gevormd en vaak komen er ook leerlingen bij uit andere scholen. Dus het blijft belangrijk om in de tweede graad voor de aanvang van een groter leerstofgeheel een diagnostische toets af te nemen. Ook het document Discussietekst: Aanzet tot een document van parate kennis en vaardigheden kan besproken worden op een vakoverleg eerste graad A tweede graad. Dit document vind je op bij Documenten voor de eerste graad (kies: Discussietekst parate kennis). Voorbeeld van een diagnostische proef bij de aanvang van het leerstofonderdeel gelijkvormigheid van vlakke figuren 1. Welke van de onderstaande figuren zijn gelijkvormig? Geef bij de gelijkvormige figuren de gelijkvormigheidsfactor. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 4

5 2. Bereken de lengte van de onbekende zijden in de onderstaande gelijkvormige vijfhoeken. 3. Teken onderstaande figuur op schaal 1 : Op een landkaart van België is de afstand Genk-Tongeren 2 cm en is de oppervlakte van België 250 cm². Op een andere landkaart is de afstand Genk-Tongeren 6 cm. Hoe groot is de oppervlakte van België op die landkaart? Zinvol en functioneel gebruik van ICT Bij onderwerpen zoals reële functies en statistiek is het gebruik van ICT (voornamelijk een grafische rekenmachine) al vrij goed ingeburgerd. Vaak wordt ICT ingeschakeld als controlemiddel. Toch blijven er nog mogelijkheden onbenut om ICT (software, applets, websites) zinvol en functioneel in te schakelen als demonstratie, bij de analyse van een probleem, bij remediëring Suggesties worden geregeld doorgegeven via de diocesane mededelingen. Verder wordt ook hier het onderling uitwisselen van expertise en ervaringen in de vakgroep aanbevolen. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 5

6 Voorbeelden van zinvol ICT-gebruik in de 2de graad 1. Illustratie van de helling van een rechte 2. Verband middelpuntshoek en omtrekshoek op eenzelfde cirkelboog Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 6

7 Meer aandacht voor het verwerven van rekenvaardigheden Er is een toenemend aantal klachten over de gebrekkige rekenvaardigheid van leerlingen. Toch wordt hieraan in de praktijk veel aandacht besteed. Waarschijnlijk gaat het niet altijd over kennen of niet kunnen, maar is het ook een attitudeprobleem. Leerlingen moeten leren bewust aandacht te besteden aan hun berekeningen en een controlerende houding verwerven (zie ook de vakgebonden attitudes). Ook de getalgevoeligheid speelt een rol in het vlot werken bijv. bij het vereenvoudigen, bij het splitsen van getallen in een som of een product, bij het herkennen van een volkomen kwadraat... Het gaat om basisrekenvaardigheden die vanaf de basisschool worden verworven, waarop nu meer nadruk wordt gelegd in de eerste graad en die aan bod moet blijven komen in de tweede graad. Bij het oefenen gaat ook in de tweede graad vlotheid boven ingewikkeldheid. Met geregeld wat eenvoudig algebraïsch rekenwerk, voor de hand liggende vereenvoudigingen,... kan de formulegevoeligheid onderhouden en aangescherpt worden. Vaak zetten leerlingen stappen die de oplossingsweg nodeloos ingewikkeld maken of passen ze niet de juiste regels toe, omdat ze een opgave niet herkennen als bijv. het oplossen van een vergelijking, het kwadraat van een tweeterm. Vandaar de noodzaak om leerlingen geregeld te confronteren met gevarieerde oefeningen zodat ze niet terugvallen op routine en met daarbij een afwisseling in de oefenvormen. Leerlingen mogen geen slaaf worden van de rekenmachine. Het is aangewezen dat in sommige lesfasen een rekenmachine niet mag gebruikt worden en dat er geregeld geëvalueerd wordt zonder dat de rekenmachine mag gebruikt worden. Meer aandacht voor het verwerven van probleemoplossende vaardigheden In de eerste graad worden er meer inspanningen gedaan om de leerlingen stappen te laten zetten in het verwerven van probleemoplossende vaardigheden. Dit proces moet gecontinueerd worden. In elk leerplan van de tweede graad wordt in de rubriek 5.1 Vaardigheden en attitudes ingegaan op het belang van het verwerven van probleemoplossende vaardigheden. Bij het oplossen van problemen maken we een onderscheid tussen vijf belangrijke fasen: - de fase van het exploreren van de opgave, - de fase van de mathematisering, - de fase van de wiskundige verwerking, - de fase van het formuleren van een oplossing van het probleem (o.a. demathematiseren), - de fase van het reflecterend terugkijken. Het gaat niet om gescheiden fasen. Geregeld wordt gewisseld tussen verschillende fasen en wordt teruggekeerd naar een vorige fase van het proces, bijvoorbeeld om een aspect te verduidelijken, te verhelderen of om terug te koppelen. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 7

8 Het bevorderen van het probleemoplossend denken kan onder meer door: - het oplossen van problemen geregeld aan bod te laten komen, - de fasen van het oplossingsproces duidelijk te expliciteren, - meerdere oplossingen van eenzelfde probleem te bespreken, - leerlingen ook te confronteren met opgaven die niet meteen aansluiten bij het onderwerp dat behandeld wordt, - het zelfvertrouwen en doorzettingsvermogen van de leerlingen verder te ontwikkelen, - leerlingen bewuster op een meer metacognitief niveau te laten terugkijken op hun denkproces. De voorbeeldfunctie en begeleidende rol van de leerkracht bij het verwerven van probleemoplossende vaardigheden kan niet onderschat worden. De leerkracht kan de probleemoplossende vaardigheden versterken bij leerlingen door: - te verwijzen naar het gebruik van zoekstrategieën, - aan te zetten tot kritisch nadenken, tot reflecteren, tot discussiëren, - de leerlingen aan te moedigen, zowel bij het klassikaal zoeken en opstellen van verklaringen, bewijzen en het opbouwen van redeneringen als tijdens het individueel werken of werken in groepjes. Nogal wat leerlingen komen er niet toe om zelf een probleem aan te pakken. Het aanbieden van haalbare problemen kan leiden tot succeservaring en leerlingen aanzetten om nieuwe en meer complexe problemen aan te pakken. Differentiatie in de opdrachten is noodzakelijk. Zo kunnen wiskundig-sterke leerlingen meer open problemen aangeboden krijgen. Meer aandacht voor de didactische aanpak Oefenmomenten Parate kennis en de (basis)rekenvaardigheden worden onderhouden door geregeld (korte) oefenmomenten te plannen, doorgaans ook gekoppeld aan een evaluatie. Bufferruimtes Ook In de 2de graad is het zinvol om bufferruimtes in te lassen in de jaarplanning. In deze bufferruimten kan men oefenen op grotere gehelen (gemengde leerinhouden en gevarieerde oefenvormen) waarbij zoveel mogelijk vaardigheden aan bod komen. Zo kunnen essentiële leerinhouden en vaardigheden beter onderhouden en verworven worden. Werkvormen Bij de keuze van werkvormen blijft afwisseling het sleutelwoord. Werkvormen die het samenwerkend en interactief leren stimuleren en werkvormen die leiden tot meer zelfverantwoordelijkheid en zelfstandig leren moeten voldoende geïntegreerd worden. Dit is noodzakelijk om de ontwikkeling van bepaalde vaardigheden en vakgebonden attitudes te realiseren. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 8

9 Meer aandacht voor wiskundige taalvaardigheden, de verschillende taalniveaus en taalondersteuning Ook in de tweede graad blijft het een uitdaging om de leerlingen wiskundige begrippen, eigenschappen, oplossingen en redeneringen correct te leren verwoorden en correct te leren neerschrijven. Een redenering moet vlot en logisch te volgen zijn, bijv. door het gebruik van zinsneden zoals Omdat weten we dat, We berekenen eerst, Veronderstel dat Dan mogen we besluiten dat, Uit volgt dat. Als er wiskundesymbolen worden gebruikt, moeten leerlingen die correct en met inzicht hanteren. Vaak wordt bijv. het implicatieteken door leerlingen te pas en te onpas gebruikt. Leerlingen moeten bijv. ook beseffen dat een equivalentieteken niet hetzelfde is als een implicatieteken. Soms is een woordelijke formulering meer aangewezen dan een betekenisloze opsomming van symbolen. Dit vraagt overleg in de vakgroep over de keuze hoe de symbolentaal geleidelijk wordt opgebouwd en welke symbolen er bij welke leerlingengroepen worden geïntroduceerd. Meer aandacht voor procesevaluatie Procesevaluatie is een aangewezen weg om leerlingen vragen te leren stellen bij de leerinhouden. In die zin is het een goede ondersteuning bij de verwerving van leervaardigheden. Procesevaluatie is een aangewezen weg om de leerling bewust te maken van de eigen mogelijkheden. In het kader van het levenslang leren kan vertrouwd worden met procesevaluatie (waarbij niet alle vorderingen getoetst zullen worden), de groei naar zelfevaluatie bevorderen. Een mogelijke ondersteuning wordt geboden door opdrachten, waarbij de leerlingen zelf gebruik maken van een correctie- of een antwoordsleutel. Het betrekken van de leerlingen bij de evaluatie of fasen ervan, het bespreken van evaluatiegegevens en het formuleren van werkpunten vanuit een gesprek kan ook bij deze jonge leerlingen de gevoeligheid voor zelfevaluatie al aanscherpen. Een stapje verder op weg naar zelfevaluatie is het aanreiken (en met de leerlingen doornemen) van reflectieve vragen over hun wiskundig bezig zijn (kennis, vaardigheden en attitudes). Uiteindelijk moet de leerling ertoe gebracht worden dat hij bij zichzelf die vragen gaat stellen. Meer aandacht voor procesevaluatie kan onder andere door leerlingen af en toe: - te laten werken aan opdrachten waarbij ze over correctiesleutels beschikken en zichzelf evalueren; - zelf een foutenanalyse (aard van de fouten, eventuele systematische fouten ) te laten maken; - enkele reflectieve vragen te laten beantwoorden over hun studiehouding, hun leervaardigheden, hun houding t.o.v. wiskunde; - zelf werkpunten te laten formuleren. Het is geenszins de bedoeling dat aan elke toets, elke oefeningenreeks een zelfevaluatie wordt gekoppeld. De opvolging van zelfevaluatie door de leerlingen moet ook beheersbaar blijven. De suggestie in de eerste graad om te werken met een portfolio waarbij gericht en gedifferentieerd kan ingegaan worden op de individuele noden van de leerling blijft een optie voor de tweede graad. Een portfolio is een middel om het persoonlijk werk van de leerling bij te houden. Een portfolio is Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 9

10 meer dan het verzamelen van zomaar willekeurig gemaakte oefeningen. De oefeningen moeten gericht gekozen zijn in functie van de leerling. In principe moet de leerling zelf mee kunnen beslissen over de samenstelling ervan. Door te werken met een portfolio ontwikkelt de leerling ook andere vaardigheden. Zo krijgt de leerling een grote verantwoordelijkheid voor het eigen werk en de planning ervan. Samenvattend zijn de consequenties voor de 2 de graad: - Aandacht voor de aansluiting met de eerste graad - Zinvol en functioneel gebruik van ICT - Meer aandacht voor het verwerven van rekenvaardigheden - Meer aandacht voor het verwerven van probleemoplossende vaardigheden - Meer aandacht voor de didactische aanpak - Meer aandacht voor wiskundige taalvaardigheden, de verschillende taalniveaus en taalondersteuning - Meer aandacht voor procesevaluatie Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 10

11 2 Leerplan b en c tweede graad kso/tso 2.1 Realisatie leerplan b en c: welke globale moeilijkheden ondervinden leerkrachten? 2.2 Aandachtspunten voor het opmaken van een jaarplan Aanbevelingen voor het aantal te besteden lestijden Op basis van 4 uur wiskunde per week - (Cursief: indien 5 uur wiskunde per week) Eerste leerjaar Meetkunde : 29 lestijden 1. Gelijkvormigheid van vlakke figuren (12) 2. Stelling van Pythagoras en de driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek (17) 3. Vectoren enkel leerplan b Getallenleer : 35 lestijden 1. Uitbreiding van het getalbegrip (5) 2. Toepassingen op bewerkingen met reële getallen (20) 3. Algebraïsch rekenen (10) Reële functies en analytische meetkunde : 35 lestijden 1. Algebraïsche verbanden expliciteren (10) 2. Eerstegraadsfuncties (15) 3. Stelsels van twee vergelijkingen in twee onbekenden (10) 4. Lineaire programmatie enkel leerplan c Tweede leerjaar Meetkunde : 28 lestijden 1. De cirkel (14) 2. Driehoeksmeting (4) Reële functies : 35 lestijden 1. Functies van de tweede graad in één veranderlijke (25) 2. Functies met voorschrift f(x)=a.sin[b(x+c)] (10) enkel leerplan b 3. Elementaire begrippen in verband met functies (10) Getallenleer en algebra : 14 lestijden 1. Complexe getallen (14) enkel leerplan b 2. Algebraïsch rekenen (14) Beschrijvende Statistiek : 15 lestijden Rijen, telproblemen en rekenen met kansen : 20 lestijden enkel leerplan c 1. Rijen (10) enkel leerplan c 2. Telproblemen en rekenen met kansen (14) enkel leerplan c Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 11

12 2.2.2 Opmaak van een jaarplan Waarom een jaarplan opstellen? Omdat een goed jaarplan past in een onderwijs met visie. Een jaarplan als louter administratief document heeft weinig zin. Een jaarplan is geen doel op zich maar een middel om de onderwijskwaliteit te verbeteren. Het is een element van professioneel werken. Omdat een jaarplan een handig document kan zijn om de realisatie van het leerplan te waarborgen en omdat het maken (en volgen) van een goede planning een garantie is voor een evenwichtige benadering van het leerplan. Het jaarplan omvat meer dan de inhoudsopgave van het gebruikte leerboek. Het slaafs volgen van leermateriaal biedt doorgaans niet de garantie dat het leerplan wordt gerealiseerd. Men moet op basis van het leerplan selecteren om de afwerking van het leerplan niet te hypothekeren. Anderzijds worden bepaalde onderwerpen soms onvoldoende uitgewerkt zodat aanvullingen bij het leermateriaal noodzakelijk kunnen zijn om de leerplandoelstellingen af te werken. Omdat het opstellen van een jaarplan aanleiding kan geven tot reflectie over het voorbije schooljaar en zo bijsturing en verfijning mogelijk maakt. Omdat een jaarplan een essentieel document is voor overleg tussen collega s. Bij het opstellen van de jaarplannen tijdens vakvergaderingen moeten onder meer afspraken gemaakt worden en informatie worden uitgewisseld over de concrete realisatie van de leerplannen, over de spreiding en dosering van de leerinhouden, over de leerlijnen, over de vaardigheden en vakgebonden attitudes, over de beginsituatie van bepaalde leerlingengroepen, enz. Omdat een jaarplan een handig hulpmiddel is voor de interimaris bij een vervanging. Jaarplannen zijn niet alleen bedoeld voor individueel gebruik. Omdat een planning een handig communicatiemiddel is met de directie en met de pedagogische begeleiding. Aandachtspunten bij het opstellen van een jaarplan Om het even welk leermateriaal men gebruikt, een kritische ingesteldheid t.a.v. het leerboek, het werkboek, het leerwerkboek en de eventuele bijhorende handleiding is noodzakelijk. Het leerplan primeert immers op het leermateriaal. Het is vanzelfsprekend dat de planningen aan bod komen in de vakgroep en door samenspraak en overleg tot stand komen. Daarbij is ook verticaal overleg wenselijk en vaak ook noodzakelijk (beginsituatie, leerlijnen,..) om de continuïteit in de leerplannen te bewaken. Bij de besprekingen kunnen volgende punten aan bod komen: - selectie in het leermateriaal met het leerplan als uitgangspunt (doelstellingen, suggesties voor het aantal lestijden, pedagogisch-didactische wenken, ); - de spreiding van de verschillende onderwerpen en aspecten van de wiskundige vorming, eventueel rekening houdend met de studierichting en de transfer naar andere vakken (dit kan leiden tot een afwijking van de volgorde van de hoofdstukken zoals die in het leermateriaal aan bod komen); - de planning van diagnostische toetsen; - initiatieven voor het evalueren van parate kennis en vaardigheden en voor het onderhouden van basiskennis en vaardigheden; - het plannen van bufferruimte, onder meer om te gebruiken voor het oefenen op grotere gehelen ; Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 12

13 - de keuze en de beschikbaarheid van ICT-leermiddelen (bv. er kunnen afspraken gemaakt worden om bij de behandeling van bv. meetkunde of statistiek een aantal opeenvolgende lesuren gebruik te maken van de computerklas); - de beginsituatie van de leerlingen (zijn er bepaalde leerinhouden omwille van onvoorziene omstandigheden niet of beperkt aan bod gekomen in het vorige leerjaar? hoe kan dit in de toekomst vermeden worden? hoe kan dit worden opgevangen?); - de verdeling van de onderwerpen bij een graadleerplan (B-stroom; BSO; derde graad ASO, KSO, TSO); - het motiveren en vastleggen van de keuzeonderwerpen in de derde graad ASO, KSO, TSO; - de keuze voor het al dan niet behandelen van uitbreidingsdoelstellingen in bepaalde leerplannen; - de keuze van de verdiepingsdoelstellingen (derde graad ASO, leerplan a); - het parallel behandelen van onderwerpen, bv. in klassen met minimum vier wekelijkse lestijden; - de (eventuele) noodzaak van bijkomende werkteksten bij de behandeling van bepaalde onderwerpen, al dan niet gekoppeld aan een taakverdeling en/of uitwisseling van persoonlijke documentatie; - de planning voor het onderwerp Mathematiseren en oplossen van problemen (derde graad KSO/TSO) en voor de onderzoekscompetentie (derde graad ASO, leerplan a); - initiatieven voor samenwerking in het kader van bv. de prioriteiten in de eigen school, bijv. themaweek, BZL, evaluatie, differentiatie, activerende werkvormen, Het is zinvol dat alle leraren inzage hebben in de jaarplannen die door de leden van de vakgroep worden gebruikt. Het jaarplan is een belangrijk werkinstrument: er mag in geschrapt, aangepast, gecorrigeerd en toegevoegd worden. Er wordt wel eens gewerkt met planningen waarin het geplande aantal lestijden het maximum aantal mogelijke lestijden overschrijdt. Dit geeft dan vaak problemen voor de afwerking van de leerinhouden die in het derde trimester gepland werden. Bij de verdeling van de lestijden kan je vertrekken vanuit het minimum aantal jaaruren (= 25 x aantal wekelijkse lestijden). Hoewel leraren geregeld signaleren dat er veel lesuren wegvallen, stellen we in de praktijk doorgaans vast dat de leraren kunnen beschikken over dit minimumaantal, behalve in sommige studierichtingen in de derde graad TSO waar o.a. stageperioden worden ingelast. Als er toch essentiële leerinhouden niet kunnen behandeld worden omdat het minimum aantal jaaruren niet kan gegeven worden, moet dit besproken worden met de directie. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 13

14 3 Evalueren Evalueren is een proces waarbij men op systematische wijze informatie verzamelt over leergedragingen en leerresultaten van leerlingen, daaraan een bepaalde waarde toekent en op basis daarvan beslissingen neemt. Deze beslissingen hebben betrekking op de leerling: - ze kunnen van didactische aard zijn en als bedoeling hebben het leerproces van de leerlingen te bevestigen of bij te sturen in de gewenste richting; - ze kunnen ook betrekking hebben op de sanctionering van de studies en als bedoeling hebben de leerling te oriënteren, een advies te formuleren, een attest toe te kennen. Evaluatiegegevens van leerlingen leiden ook tot beslissingen over het eigen onderwijsgedrag zoals het verloop van het didactisch proces, de keuze van opdrachten, de gehanteerde werkvormen, de opvolging van het leerproces van leerlingen, het gebruik van leermiddelen. De kwaliteit van de beslissingen hangt uiteraard nauw samen met de kwaliteit van de verzamelde evaluatiegegevens, de manier waarop deze geïnterpreteerd en beoordeeld worden en de wijze van rapportering. 3.1 Wiskundevorming Het is uiteraard de bedoeling dat bij de evaluatie alle aspecten van de wiskundevorming betrokken worden. Wiskundevorming geven is het nastreven van kennis- en inzichtdoelen, vaardigheidsdoelen én (vakgebonden) attitudedoelen. Vaardigheden - Rekenvaardigheid. - Meet- en tekenvaardigheid. - Wiskundige taalvaardigheid. - Denk- en redeneervaardigheden. - Probleemoplossende vaardigheden. - Leervaardigheden. Vakgebonden attitudes - Zin voor nauwkeurigheid en orde. - Zin voor helderheid, bondigheid, volledigheid, eenvoud en doelmatigheid van de gebruikte wiskundetaal. - Kritische zin. - Zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten. - Zelfregulatie. - Zin voor samenwerking en overleg. - Waardering voor wiskunde door inzicht in de bijdrage ervan in de culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkeling. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 14

15 3.2 Productevaluatie Tot de productevaluatie (summatieve evaluatie) behoren examens (of toetsen over een groter geheel) die vooral worden gebruikt om een oordeel te vellen over de mate waarin een leerling de leerplandoelstellingen beheerst Voorwaarden en kenmerken voor een kwaliteitsvolle en evenwichtige evaluatie - Validiteit Validiteit is de mate waarin de toets meet wat hij beoogt te meten. Zijn de vragen representatief en relevant m.b.t. de behandelde leerstof? Zijn de vragen representatief en relevant m.b.t. de voorgeschreven leerplandoelstellingen? Is de kans om via raden het juiste antwoord te geven tot een minimum herleid (uitgesloten)? Is er niet te veel ruis bij de vraagstelling zelf? Zijn de vragen voldoende realistisch (authentiek) en betekenisvol? - Betrouwbaarheid Een toets is betrouwbaar als het behaalde resultaat werkelijk weergeeft in welke mate de leerlingen de doelstellingen bereikt hebben. M.a.w. het resultaat mag niet vertekend zijn door factoren, die niets te maken hebben met de te meten prestatie. We onderscheiden twee factoren: externe factoren zijn factoren die niets met de inhoud of de formulering van de vragen te maken hebben zoals bv. té veel vragen, oppervlakkig toezicht waardoor spieken mogelijk wordt, stress, e.d. interne factoren zijn factoren die met de inhoud of de formulering te maken hebben zoals bv. onduidelijke vraagstelling, ongewone vraagvormen, eenzijdigheid in de vraagvorm, té veel moeilijke vragen of strikvragen, afhankelijke vragen, - Objectiviteit bij het verbeteren Een toets is objectief verbeterd als verschillende beoordelaars, onafhankelijk van elkaar, tot dezelfde oordelen (scores) komen en als een leraar de toets voor alle leerlingen steeds volgens dezelfde criteria beoordeelt. - Criteriumgerichtheid bij het verbeteren Aan welke criteria moet het antwoord van een vraag voldoen om het maximum te halen? Hoe zwaar worden fouten/onvolledigheden aangerekend? Is de puntenverdeling over de ganse toets in overeenstemming met het belang van de doelstellingen? Waar ligt de cesuur, d.w.z. de grens tussen geslaagd en niet geslaagd? Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 15

16 3.2.2 Leidraad voor een vakgroep Voorbereiding op een examen (of toets over een groter geheel) - Laat de leerlingen een structuur maken van de geziene leerstof. - Geef de leerlingen vóór het examen een overzicht van de leerinhouden (kennis, vaardigheden, verwijzingen naar representatieve oefeningen). - Aanvullend bij het oefenen op grotere gehelen in de loop van het schooljaar, zijn vóór het examen herhalingslessen aangewezen. Rangschikking van de vragen Het is aangewezen om de vragen van het examen op te stellen in volgorde van moeilijkheidsgraad i.p.v. in "chronologische" volgorde. Differentiatie Een goed middel om te differentiëren in de vragen is het volgende. Bij één of meer vragen krijgen de leerlingen de keuze tussen een gemakkelijker vraag en een moeilijker vraag. Bij deze laatste zijn meer punten te verdienen. Keuze en selectie van de vragen Het is best dat de vragen zoveel mogelijk onafhankelijk zijn. Stapelvragen, d.w.z. vragen waarbij vroegere resultaten gebruikt moeten worden om nieuwe vragen op te lossen, hebben immers als nadeel dat leerlingen vastraken als ze een bepaald onderdeel van de vraag niet kunnen oplossen of fout oplossen. We kunnen dit vermijden door tussenresultaten te geven (bijvoorbeeld toon aan dat... gelijk is aan... i.p.v. bereken...), of één vraag op te delen in twee onafhankelijke deelvragen Vraagvormen: In een evenwichtige evaluatie treden zowel gesloten als open vragen op. Open vragen: de leerling moet zelf het antwoord formuleren, meestal aangevuld met een berekening, uitleg, bewijs of redenering. Open vragen kunnen meer begrensd worden bijvoorbeeld door bijkomende instructies, een tekening, het aangeven van hulpmiddelen, het geven van een tip, e.d. Dit vergemakkelijkt de opdracht en is soms ook een hulp voor de correctie. Soms wordt een toepassingsvraag door deze begrenzing een inzichtvraag. Gesloten vragen: de leerling krijgt vooraf geformuleerde antwoorden die hij moet beoordelen op hun juistheid of die hij moet rangschikken of waaruit hij het juiste antwoord moet kiezen. - Meerkeuzevragen: vraag, indien zinvol, ook naar een (beknopte) verklaring! - Waar-niet waar / juist niet juist / : vraag altijd een verklaring! - Koppel- of sorteervragen Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 16

17 Een examen (of toets over een groter geheel) moet representatief zijn op het inhoudelijke vlak, d.w.z. dat de verschillende leerplandoelstellingen op een evenwichtige wijze in de vragen verwerkt moeten zijn. Dit betekent ook dat alle vragen verband moeten hebben met minstens één leerplandoelstelling. De leerinhouden die in een toets (examen) aan bod komen kunnen vermeld worden op het examen (of toets over een groter geheel). Een examen (of toets over een groter geheel) moet representatief zijn op het gebied van de vaardigheden, d.w.z. dat de verschillende vaardigheden (rekenvaardigheid, meet- en tekenvaardigheid, wiskundige taalvaardigheid, denk- en redeneervaardigheden, probleemoplossende vaardigheden) in de vragen aan bod moeten komen. Om denk- en redeneervaardigheden en wiskundige taalvaardigheid van de leerlingen te evalueren kunnen de vragen niet beperkt worden tot bereken of werk uit of vul in. Ook een waarom-vraag of verklaar of andere vraagvormen die leerlingen aanzetten tot argumenteren en redeneren en waarbij ze hun gedachten en inzichten onder woorden brengen, moeten in een examen aan bod komen. Om probleemoplossende vaardigheden van leerlingen te evalueren zal het toevoegen van tips, oplossingsschema s, in sommige vragen achterwege moeten blijven. Leerlingen moeten er bv. zelf toe komen dat een tekening of tabel een hulp kan zijn om tot een oplossing te komen, dat het invoeren van onbekenden of notaties noodzakelijk is om te mathematiseren... Een examen (of toets over een groter geheel) moet representatief zijn op het gebied van de verschillende kennisniveaus. Kennis: het zuiver reproduceren van theorie Vb. Formuleer de stelling van Pythagoras in woorden. (met figuur) Inzicht: het herkennen en begrijpen Vb. Romeo wil met een ladder tot bij het venster van Julia komen. De ladder is 5 meter lang en de onderkant van het venster bevindt zich op een hoogte van 4,54 m. Hoe ver moet hij de ladder van de muur plaatsen? Toepassing In een herkenbare (analoge) situatie: herkennen én begrijpen én bewerken/toepassen. In een nieuwe situatie: herkennen én begrijpen én elementen toevoegen door strategieën toe te passen, door onderdelen met elkaar in verband te brengen, door creatief denken. Vb. De zijde van het grondvlak van een regelmatige vierzijdige piramide is 6 cm. De hoogte is 8 cm. Bereken de totale oppervlakte. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 17

18 Correctie en analyse van de resultaten - Het is best om de weging van elke vraag op voorhand aan de leerlingen mee te delen. - Het is best om vooraf correctievoorschriften vast te leggen. Door de vragen eerst zelf op te lossen en mogelijke uitwerkingen te noteren kan je eventueel onduidelijkheden in de vraagstelling opsporen en het zelf uitschrijven van de antwoorden geeft ook al een indicatie voor de tijd die leerlingen zullen nodig hebben. - Het is aangewezen om een foutenanalyse te maken. Welk soort fouten worden doorgaans gemaakt bij een bepaalde vraag: rekenfouten? Weetfouten? Denkfouten? Op basis hiervan kan dan een bespreking van de toets of examen met de leerlingen worden uitgewerkt. - Het is ook interessant om de resultaten van de leerlingen op te volgen over de verschillende jaren. Hoe evolueren de uitslagen van de leerlingen bij overgang van naar? - Het is interessant om na te gaan hoe de gemiddelde resultaten van wiskunde zich t.o.v. het algemeen gemiddelde verhouden. Feedback - Snelle feedback is belangrijk voor de leraar. Het is bijvoorbeeld belangrijk om na een examen de totaaluitslagen te analyseren (gemiddelde, aantal tekorten, ) en ze te vergelijken met de uitslagen in parallelklassen of met uitslagen van dezelfde leerlingen vorig jaar. - Snelle feedback is belangrijk voor de leerling. Om het leerproces van een leerling effectief te begeleiden is het noodzakelijk dat we leerlingen kansen geven om te leren uit hun fouten. - Het ter beschikking stellen van een correctiesleutel werkt tijdsbesparend maar het is niet altijd voldoende voor een gemiddelde leerling om te achterhalen wat er precies fout was bij zijn aanpak en hoe dit kan voorkomen worden. - Tijdens feedbackmomenten kan de leerkracht de leerlingen laten ervaren dat een wiskundige activiteit voor iedereen een zoekproces is, met volgende componenten: een situatie analyseren, er een wiskundig model voor kiezen en technieken (algoritmen) toepassen, en dan nagaan of je het probleem zo kunt oplossen. Daarom is het best om vragen die kenmerkend zijn voor een onderdeel van het leerproces of vragen waarbij veel dezelfde fouten voorkomen klassikaal te verbeteren. - Bepaalde antwoorden op vragen van toetsen of examens kunnen als leermateriaal in een les worden ingeschakeld (dit hoeft niet in de klas waar de toets werd afgenomen). Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 18

19 3.2.3 Kijkwijzer voor examens a) Opstellen van een examen Is er samenwerking bij het opstellen van examens? (gelijkwaardigheid) Hebben leerlingen voldoende tijd? (Aantal vragen? Haalbaarheid?) Zijn de vragen gerangschikt van gemakkelijk naar moeilijk? (Succeservaring) Vermijd stapelvragen. Zijn de aanwezige stapelvragen verantwoord? Voorzie je differentiatie? Worden de leerinhouden vermeld op het examen? Zijn de behandelde leerinhouden en de tijdsbesteding conform het leerplan? Is de puntenverhouding evenredig met de tijdsbesteding conform het leerplan? Staat de weging (puntentotaal) bij de vragen vermeld? b) Gebruik van hulpmiddelen Vademecum, formuleblad? Wat wel? Wat niet? (gelijkwaardigheid) Deel zonder ICT? (gelijkwaardigheid) c) Aandacht voor taalgebruik Zijn de vragen duidelijk? (ondubbelzinnig, gebruikte worden, laat het examen nalezen) Is er voldoende variatie in de vraagstelling? (open en gesloten vragen, ) d) Is het examen representatief voor de leerstof? Sluiten alle vragen aan bij leerplandoelstellingen? (inhoudelijk) Stel je vragen op verschillende kennisniveaus? (kennis-inzicht-toepassing) Stel je vragen op verschillende beheersingsniveaus? (moeilijkheidsgraad of in de eerste graad E-B-V) Is er een evenwichtige spreiding over de verschillende vaardigheden? e) Correctie en analyse van de resultaten Leg je vooraf correctievoorschriften vast? Maak je een foutenanalyse van het examen? Op welke manier gebeurt de feedback? Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 19

20 3.3 Procesevaluatie versus productevaluatie Het doel van procesevaluatie is zoveel mogelijk leerlingen tot beheersingsleren te brengen zonder de sterkere leerlingen daarbij af te remmen. Bij procesgerichte evaluatie ga je ervan uit dat frequente evaluatiemomenten tijdens de normale lestijden, gevolgd door een goede analyse en snelle feedback, het leerproces versterken. De volgende elementen kunnen een positieve bijdrage leveren in het geheel van de procesevaluatie. Een diagnostische toets of instaptoets. Een korte toets bij het begin van een lessenreeks kan zicht geven op de verworven kennis. Op basis hiervan kan je klassikaal of individueel remediëren. Het persoonlijk werk van de leerling. Over de zin van het persoonlijk werk en de mogelijke vormen lees je meer in APR1 (Algemene Pedagogische Reglementering, te downloaden via en kies dan Pedagogisch Didactisch, APR s). De klassieke huistaak biedt heel wat mogelijkheden om te werken aan attitudes. Kleine huistaken of opdrachten, die de leerlingen thuis moeten afwerken, geven de leerling een duidelijk zicht op het feit of de leerstof al voldoende beheerst wordt. Naast de klassieke oefeningen die aansluiten bij de behandelde leerstof, zal de leraar ook voldoende uitdagende opgaven meegeven. Het is aangewezen in het jaarplan buffermomenten te voorzien, waarin je eerder geziene leerstof terug kunt inoefenen. Feedback geven. Als leraar zijn we soms geneigd leerlingen zo snel mogelijk op het juiste pad te zetten, hen op voorhand te waarschuwen voor mogelijke valkuilen, hen te corrigeren door de juiste oplossing te geven. Op die manier willen we het leerproces van de leerlingen versnellen en de kostbare tijd in de klas ten volle benutten. Ongewild nemen we zo echter uitgelezen leerkansen weg. We geven leerlingen soms te weinig kans om zelf na te denken, het probleem zelf te ontdekken, zichzelf de vraag te stellen waarom een opgave verkeerd werd opgelost. Zelfevaluatie door de leerlingen. Laat de leerlingen af en toe eens werken met correctiesleutels. Laat ze zelf een foutenanalyse maken. Leg hen af en toe een paar vragen voor over de eigen studiehouding, de inzet, de manier van studeren. Laat hen zelf enkele werkpuntjes formuleren. Remediëring en differentiatie. Het zou in feite ideaal zijn als we bij elke leerling via aangepaste opdrachten het leerproces konden sturen. We stellen vast dat heel veel collega s hiervoor ernstige inspanningen leveren, die vaak erg gewaardeerd worden. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 20

21 Toetsen over de geziene leerstof. Zet bij een bepaalde toets ook eens een attitude of een vaardigheid speciaal in de kijker, zoals bijvoorbeeld taalvaardigheid (het formuleren van een antwoord), kritische zin (het controleren van de gevonden oplossing) Door hiervoor een aparte score te vermelden op de toets, vestig je meteen de aandacht erop. Vragen over diagnose en formatieve evaluatie waarmee de vakgroep op weg kan gaan Werk je met diagnostische toetsen die peilen naar de beginsituatie? Zo ja, welke ervaringen heb je daarmee? Laat je de leerlingen geregeld tijdens de les individueel of in groepjes werken en observeer je hen daarbij? Gebruik je daarbij ook differentiatie? Krijgen alle leerlingen telkens dezelfde taken? Leggen je leerlingen een map aan waarin al hun persoonlijk werk is geordend (verplichte taken, vrije taken, verslagen van groepswerken,...)? Werk je met diagnostische toetsen na het afwerken van een leereenheid? Zo ja, welke ervaringen heb je daarmee? Geef je op het einde van een leereenheid enkele oefenlessen, waarbij leerlingen aan eigen tempo werken aan problemen die slaan op de gehele leereenheid? Gebruik je daarbij ook differentiatie? Plan je herhalingslessen voorafgaand aan examens? Welke werkvormen gebruik je daarbij? Vragen over permanente evaluatie waarmee de vakgroep op weg kan gaan Hoe wordt het persoonlijk werk van de leerling betrokken in de evaluatie? Geef je enkel aangekondigde of ook onaangekondigde toetsen? Worden de leerlingen geëvalueerd op mondeling wiskundig taalgebruik, bijv. mondeling verslag van een oefening geven, zelfstandig een onderwerp instuderen en presenteren voor de medeleerlingen,? Worden attitudes beoordeeld? Welke? Hoe gebeurt de evaluatie? Hou je rekening met bepaalde leerstoornissen bij het evalueren? Hoe? Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 21

22 4 Fragmenten uit doorlichtingsverslagen vanaf 2012 De koppeling naar het leerboek is leraargebonden, maar gebeurt te weinig. Het gevolg is dat veel energie gaat naar het schrijven en tekenen op bord waardoor de aandacht naar controle van leerlingen en momenten van adaptief onderwijs te weinig aan bod komen. De verantwoording van de verschillende stappen bij de oplossing van oefeningen komen te weinig aan bod. De methodiek bij het rekenwerk door de leerlingen wordt verengd tot een copy-paste gedrag met een oppervlakkige beheersing van de rekenregels als gevolg. Er is een grote aandacht voor preventieve leerbegeleiding. De vakgroep legt zich consequent toe op het gebruik van correcte wiskundetaal. Het aanbieden van structuur bij het noteren van een redenering bevordert de probleemoplossende vaardigheden van de leerlingen. Er zijn beloftevolle aanzetten tot activerende werkvormen zoals binnenklasdifferentiatie en coöperatief leren. Waar nodig kunnen leerlingen een beroep doen op de leraren voor extra uitleg of extra oefeningen. De vakgroep legt de klemtoon overwegend op de ontwikkeling en de evaluatie van de reken- en de tekenvaardigheden. De andere vakgebonden vaardigheden (denk- en redeneervaardigheid, probleemoplossende vaardigheden) komen hierdoor minder aan bod. Sporadisch worden er inspanningen gedaan om de wiskundige taalvaardigheid te ontwikkelen of te evalueren; het blijft een groot probleem om leerlingen uit te dagen hun wiskundig gedachtengoed mondeling te verwoorden. De toetsen bevatten zowel rekenvaardigheden als de andere vakgebonden vaardigheden (tekenvaardigheden, denk- en redeneervaardigheden, probleemoplossende vaardigheden, wiskundige taalvaardigheden), maar in de derde graad ligt de klemtoon veelal op de rekenvragen. In de studierichtingen Elektromechanica en Handel in de tweede graad kan dit schooljaar het graadleerplan D/2002/0279/048/b voor Elektromechanica en het graadleerplan D/2002/0279/048/c voor Handel onmogelijk in voldoende mate worden gerealiseerd, noch in omvang, noch in diepgang. Het realisatieprobleem situeert zich zowel in het eerste als in het tweede leerjaar. In II,1 werden dit schooljaar 52 lesuren besteed aan getallenleer, met uitzondering van doelstellingen g34, g35 en g37. In II,2 werd het merendeel van de beschikbare lesuren (35u) van de eerste trimester besteed aan het onderdeel statistiek, terwijl het leerplan 15 lesuren aanbeveelt. Bovendien zijn de planningsdocumenten niet geactualiseerd, wat mede aantoont dat de betrokkenen onvoldoende of niet reageren om dit probleem rond leerplanrealisatie aan te pakken. Rekening houdend met de resterende onderwijstijd, de richtinggevende tijdsinvestering door het leerplan voor de nog te behandelen leerplandoelen en de niet haalbare geplande onderwijstijd in de planningsdocumenten is het niet meer mogelijk om alle resterende doelen zowel in II,1 als in II,2 met voldoende diepgang te behandelen. Alle leerplandoelstellingen en eindtermen worden op een evenwichtige wijze en met meer dan voldoende diepgang behandeld. De leerplannen vormen de leidraad voor de jaarplannen, waardoor de vakgroep deze documenten kwaliteitsvol gebruikt om de leerplanrealisatie te bewaken. De leraren volgen de afgesproken timing keurig. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 22

23 5 Overzicht leerplandoelstellingen - bespreking examenvragen deelnemers per leerstofonderdeel (zie bijlage) MEETKUNDE Leerplandoelstellingen eerste leerjaar van de tweede graad 1 Gelijkvormigheid van vlakke figuren Lp b Lp c m1 m1 B Gelijkvormige driehoeken definiëren en construeren. m2 m2 B Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken afleiden en illustreren op een tekening. m3 m3 B Gelijkvormigheid van driehoeken toepassen bij constructies en bij het berekenen van de lengte van lijnstukken. m4 m4 B Gelijkvormigheid van driehoeken gebruiken om een evenredigheid van lengten van lijnstukken of een gelijkheid van hoeken te bewijzen. m5 m5 B Meetkundige problemen oplossen, ook in ruimtelijke situaties, met behulp van eigenschappen steunende op gelijkvormigheid van driehoeken. m6 U In het vlak de verschillende situaties onderzoeken die zich kunnen voordoen bij de projectie van een lijnstuk en een rechte op een rechte. m7 m6 U De stelling van Thales formuleren. m8 m7 U De stelling van Thales bewijzen. m9 m8 U De stelling van Thales gebruiken om de evenredigheid van lengten van lijnstukken te bewijzen. 2 Stelling van Pythagoras Lp b Lp c m10 m9 B De stelling van Pythagoras formuleren en de betekenis ervan met figuren illustreren. m11 m10 B De stelling van Pythagoras bewijzen. m12 m11 B De stelling van Pythagoras gebruiken om de lengte van een lijnstuk te berekenen. m13 m12 B De afstanden berekenen tussen twee punten in het vlak gegeven met hun coördinaten. m14 m13 B De afstand berekenen tussen hoekpunten van een balk als de lengten van de ribben gegeven zijn. m15 m14 B Vraagstukken oplossen die betrekking hebben op de stelling van Pythagoras. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 23

24 3 Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek Lp b Lp c m16 m15 B De sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek definiëren (symbolen : sin, cos, tan). m17 m16 B De goniometrische verhoudingen sinus, cosinus en tangens gebruiken voor het oplossen van vraagstukken in rechthoekige driehoeken. 4 Vectoren (leerplan b) Enkel leerplan b: als het aantal wekelijkse lestijden wiskunde wordt uitgebreid tot 5 lestijden, dan worden de doelstellingen van dit onderdeel aangezien als basisdoelstellingen. m18 U Het begrip vector definiëren. m19 U Een vector ontbinden volgens de assen van een assenstelsel en associëren met een koppel coördinaatgetallen. m20 U De som van twee vectoren definiëren en construeren met de parallellogramregel. m21 U Eigenschappen van de optelling van vectoren onderzoeken. m22 U Het product van een vector met een getal definiëren en construeren. m23 U Het vectorbegrip gebruiken om meetkundige eigenschappen te formuleren en te verklaren. 5 Toepassingen in de ruimte Lp b Lp c m24 m17 B Gebruik maken van schetsen en tekeningen bij het oplossen van problemen gesteld in vlakke en beperkte ruimtelijke situaties. m25 m18 B Gebruik maken van begrippen en elementaire eigenschappen bij het oplossen van problemen in vlakke en ruimtelijke situaties. GETALLENLEER 1 Uitbreiding getalbegrip Lp b Lp c g26 g19 B Het bestaan van irrationale getallen illustreren. g27 g20 B Reële getallen ordenen en voorstellen op een getallenas. g28 g21 B De vierkantswortel van een positief reëel getal en de derdemachtswortel van een reëel getal definiëren en benaderen met behulp van een rekenmachine. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 24

25 2 Toepassingen op bewerkingen met reële getallen Lp b Lp c g29 g22 B Berekeningen uitvoeren met getallen in decimale vorm, in breukvorm en in wetenschappelijke schrijfwijze en daarbij de rekenmachine gebruiken. g30 g23 B Regels voor het rekenen met machten toepassen bij het rekenen met getallen en met letters. g31 g24 B De rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels uitdrukken in woorden en symbolen. g32 g25 B De rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels toepassen bij het uitvoeren van bewerkingen. g33 g26 B Bewerkingen met vierkantswortels en derdemachtswortels benaderend uitvoeren met behulp van een rekenmachine. g34 g27 U De rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels bewijzen. g35 g28 B Vraagstukken oplossen, en daarbij in de probleemstelling herkennen welke grootheden aan de orde zijn; het probleem vertalen in een wiskundige vorm met algebraïsche bewerkingen tussen de grootheden; verantwoord kiezen tussen schattend rekenen, benaderend rekenen en het gebruik van een rekenmachine; de oplossing zinvol afronden en interpreteren. g36 g29 B Vraagstukken oplossen die leiden tot een vergelijking van de eerste graad met één onbekende. g37 B Vraagstukken oplossen die leiden tot een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende en de oplossing grafisch voorstellen en symbolisch noteren. 3 Algebraïsch rekenen Lp b Lp c g38 g30 B Rekenregels toepassen bij het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen van eentermen en veeltermen in één veranderlijke met graad ten hoogste 3. g39 g31 B Een veelterm ontbinden in factoren door gebruik te maken van de distributieve eigenschap; merkwaardige producten; groepering van termen. Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 25

26 REËLE FUNCTIES EN ANALYTISCHE MEETKUNDE 1 Algebraïsche verbanden expliciteren bij betekenisvolle situaties Lp b Lp c f40 f32 B Een gegeven tabel interpreteren, o.m. bepaalde waarden aflezen; extreme waarden aflezen; het globale verloop (constant, stijgen, dalen) bespreken. f41 f33 B Een gegeven grafiek interpreteren, o.m. bepaalde waarden aflezen; extreme waarden aflezen; het globale verloop (constant, stijgen, dalen) bespreken. f42 f34 B In een gegeven formule de waarde van één veranderlijke berekenen bij vervanging van de andere veranderlijke(n) door een getal; het effect aangeven van de verandering van één veranderlijke op de andere. f43 f35 B Het verband tussen twee veranderlijke grootheden weergeven door middel van een tabel; een grafiek in een opportuun gekozen assenstelsel; een formule. f44 f36 B De samenhang tussen verwoording, tabel, grafiek en formule uitleggen. f45 f37 B De onderlinge ligging van twee grafieken vergelijken en interpreteren. 2 Eerstegraadsfuncties Lp b Lp c f46 f38 B De definitie van een eerstegraadsfunctie geven. f47 f39 B De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen. f48 f40 B Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie bepalen en grafisch interpreteren. f49 f41 B De grafische betekenis van de coëfficiënten m en q in het voorschrift f (x) = mx +q van de functie uitleggen. f50 f42 B Het verband leggen tussen de algemene vergelijking van een rechte ax by c 0 (met a 0 en b 0 ) en de verwante eerstegraadsfunctie. f51 f43 B Een vergelijking opstellen van een rechte als ze gegeven wordt door een punt en de richtingscoëfficiënt; twee punten. f52 f44 B Uit de grafiek van een eerstegraadsfunctie het voorschrift bepalen. f53 f45 B De tekenverandering van een eerstegraadsfunctie onderzoeken en interpreteren op de grafiek. f54 U Een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende oplossen en het Leerplanstudie leerplan b en c april 2015 Pagina 26