Over het wetenschappelijke werk van Antonius (Ton) Van de Ven

Transcriptie

1 Over het wetenschappelijke werk van Antonius (Ton) Van de Ven Karakteristieke klassen Tot aan de jaren 50 van de vorige eeuw werden topologische methoden in de complexe meetkunde nauwelijks nog toegepast. Tot het arsenaal van een topoloog in die tijd behoorde de homologie- en homotopie groepen en de toen recent door Norman Steenrod [62] ingevoerde obstructieklassen. De laatste nemen in de complexe wereld de gedaante aan van Chernklassen, genoemd naar Shiing-Shen Chern [50] die deze van uit een differentiaalmeetkundig perspectief beschouwde. Hij en André Weil voerde deze klassen in de complexe meetkunde in en sindsdien speelden ze een centrale rol. Om te begrijpen waarom, kan men denken aan het klassieke voorbeeld van een vectorveld op een differentieerbare variëteit: de index van dit veld, een differentieerbare invariant, is gelijk aan de Euler-Poincaré karakteristiek, een topologische invariant. Dit impliceert een klassieke stelling die zegt dat een veld op de 2-sfeer een nulpunt moet hebben. Een vectorveld kan men ook zien als een differentiaaloperator; grote klassen van differentiaaloperatoren hebben een welgedefinieerde index die zich in karakteristieke klassen laat uitdrukken. Deze uitspraak, een voorbeeld van een index stelling, bewezen door Michael Atiyah, Isadore Singer [45] en anderen, is verre van triviaal; net als in het geval van vectorvelden verenigt deze de wereld van differentiaalvergelijkingen met die van de topologie. Als gevolg zijn er net als in het voorbeeld van vectorvelden, topologische beperkingen voor het bestaan van bepaalde analytische structuren. Differentiaaloperatoren die in de complexe meetkunde een rol spelen zijn de zgn. Dirac operatoren en deze leiden tot de zgn. Riemann-Roch stellingen. Deze werden door Friedrich Hirzebruch (1954) [59] in het complexe geval en in veel grotere algemeenheid door Alexander Grothendieck (1958) [49] in de algebraïsch-meetkundige setting bewezen. In zijn vroegste publicaties heeft van de Ven niet alleen sommige eigenschappen van deze obstructieklassen afgeleid [1, 2], maar hij gebruikte ze met succes om te bewijzen dat bepaalde analytische structuren niet kunnen bestaan: zie bijvoorbeeld [31, 5, 6, 7, 32, 9]. In dit kader kan men van de Ven s proefschrift [41] als een zeer lezenswaardige en verbazingwekkend tijdloze inleiding beschouwen tot de rol van karakteristieke klassen in de complexe meetkunde. Ook voor de classificatie van (zgn. minimale) oppervlakken vormen Chernklassen belangrijke invarianten. Hier ga ik later op in. 1

2 Vectorbundels In de jaren zeventig verlegde van de Ven zijn aandacht naar vectorbundels. Er zijn legio natuurlijk optredende vectorbundels: vectorvelden zijn bijvoorbeeld sneden in de raakbundel; een deelvariëteit heeft een normaalbundel in de omliggende variëteit. Tenslotte en heel ander voorbeeld: representaties van Lie groepen geven bundels op homogene variëteiten. Voor differentieerbare bundels op X is er het splitsingsprincipe : men kan elke bundel E op X terugtrekken op de totaalruimte van de bundel f : F (E) X van complete vlaggen in E en dan splitst de zo verkregen bundel f E volledig als een directe som van lijnbundels. Immers, via een metriek ziet men in dat een deelbundel altijd een directe som-splitsing geeft. In de holomorfe categorie is dit zelden het geval, met één belangrijke uitzondering: Alexander Grothendieck [57] had in 1958 bewezen dat elke (holomorfe) vectorbundel op de projectieve lijn splitst in lijnbundels. Als gevolg hiervan splitst de normaalbundel van rationale ruimtekrommen. Hoewel bekend was dat vector bundels op krommen van hoger geslacht niet altijd splitsen in de holomorfe categorie, was er tot van de Ven s publicatie [17] geen voorbeeld bekend van een ruimtekromme met niet-splitsende normaalbundel. Omdat P n overdekt wordt door lijnen kan men vector bundels bestuderen via hun beperkingen op die lijnen. Als de Grothendieck splitsing steeds hetzelfde is kan men zich afvragen of de bundel zelf ook splitst. Van de Ven ontwikkelt in [10] een methode om dit aan te pakken en met Wolf Barth [11] lukt het hun om dit voor rang twee bundels (onder een bepaalde voorwaarde op de Chernklassen) inderdaad te bewijzen. Een direct meetkundig gevolg: elke codimensie 2 variëteit van graad d < 1 4 n in Pn is een volledige doorsnede. Later bewezen Barth en van de Ven in [34] iets soortgelijks voor Grassmann variëteiten. Robin Hartshorne formuleerde in [58] het naar hem genoemde en nog steeds openstaande vermoeden: een gladde deelvariëteit van P n van dimensie > 2 3n is een volledige doorsnede. Dit betekent dat een codimensie twee variëteit in P n een volledige doorsnede is als n > 6. Het resultaat van Barth en van de Ven [11] bewijst dit onder een voorwaarde op de graad. Tot slot noem ik zonder op details in te gaan, nog ander werk dat gerelateerd is aan vectorbundels: werk samen met met Klaus Hulek [21, 27], en met David Eisenbud [19, 20]. 2

3 Complexe oppervlakken Een derde onderzoeksthema wordt gevormd door de theorie van complexe oppervlakken. Ook hier kunnen karakteristieke klassen aangewend worden. De enige twee Chernklassen die hier voorkomen zijn c 2 1 and c 2. De laatste is de (topologische) Euler-Poincaré karakteristiek. De eerste kan direct in de complexe context geïnterpreteerd worden als zelfsnede van de canonieke klasse. Bij klassificatiekwesties kan men zich beperken tot oppervlakken die in zekere zin minimaal zijn in hun bimeromorfe equivalentie klasse. Dit zal ik in het vervolg stilzwijgend doen. De vraag, welke paren getallen kunnen optreden als Cherngetallen wordt ook wel de geografische beschrijving van oppervlakken genoemd. De geografische beschrijving houdt dan in: bepaal het gebied in het (c 2 1, c 2) vlak waar oppervlakken gerealiseerd kunnen worden. De ongelijkheid van Noether, 5c 2 1 c 2 36 is zo n beperking en was al klassiek bekend. Van de Ven vond in 1966 (zie [8, 14]) een nieuwe ongelijkheid, nl. c 2 1 8c 2 en vermoedde dat die verbeterd kon worden tot c 2 1 3c 2. Dit gebeurde pas in 1974, onafhankelijk van elkaar en met geheel verschillende methoden, door Miyaoka [60] en Shing-Tung Yau [64] (voorafgegaan door een spectaculaire verbetering van de hand van Fedja Bogomolov [48] die c 2 1 4c 2 bewees). De bovenstaande twee ongelijkheden leiden tot een veel moeilijkere vraag: komen alle paren in het zo afgepaalde gebied echt voor als Chernklassen? Deze vraag is nog steeds niet geheel opgelost maar veel is er bekend. Zie bijvoorbeeld Hoofdstuk VII in het boek [44]. Dit laatste boek is ongetwijfeld één van de invloedrijkste publicaties waar van de Ven aan meewerkte. Hierin wordt de Enriques-Kodaira classificatie van compacte complexe oppervlakken beschreven en dit boek gaat dus verder dan de klasse van algebraïsche oppervlakken. Uit spontane reacties en ook bij navraag blijken niet alleen vroegere maar ook huidige generaties met veel profijt dit boek bestudeerd te hebben. De eerste druk van dit boek [43] schreef hij samen met Wolf Barth en mij; bij de herdruk [44] voegde Klaus Hulek zich bij ons trojka. Ik wil hier nog kort op hoofdstuk IX uit de herdruk ingaan, omdat dit de belangrijke publicatie [23] van van de Ven (samen met Christian Okonek) betreft. Hierin wordt de (differentiaal)topologie van oppervlakken behandeld. Een complex oppervlak is een georiënteerde 4-dimensionale compacte differentieerbare variëteit en die te classificeren bleek lang notoir moeilijk. De topologische classificatie daarentegen is een stuk eenvoudiger zoals bewezen door Michael Freedman [54]: als men bovendien aanneemt dat men met 3

4 enkelvoudig samenhangende variëteiten van doen heeft is de kwadratische snijvorm de enige topologische invariant. Een doorbraak werd bereikt door Simon Donaldson [51] die bewees dat voor enkelvoudig samenhangende complexe oppervlakken met positief definiete snijvorm alleen de diagonaalvorm met enen op de diagonaal mogelijk is. Dit was verbazingwekkend want er zijn oneindig veel niet isomorfe positief definiete unimodulaire vormen die volgens Freedman s allemaal voorkomen als snijvorm van een topologische viervoud! Na deze doorbraak volgde er snel meerdere van zijn hand, culminerend in [52]. Als gevolg hiervan kan met differentieerbare invarianten afleiden uit eigenschappen van moduli ruimtes van bepaalde holomorfe vectorbundels op het gegeven oppervlak. Zo kan men binnen de holomorfe categorie blijven om te bewijzen dat bepaalde homeomorfe oppervlakken niet diffeomorf zijn, een methode die in [23] met profijt gebruikt werd. Dit betreft enerzijds een 8 maal opgeblazen P 2 en anderzijds het oppervlak van Rebecca Barlow [46]. Beide hebben dezelfde snijvorm. Het hoofdresultaat van [23] is dat het tweetal niet diffeomorf is. Omdat deze twee oppervlakken een verschillende Kodaira-dimensie hebben (, resp. 2) leidde dit en soortgelijke voorbeelden tot het zgn. van de Ven vermoeden: de Kodaira dimensie is een differentieerbare invariant. Dit bleek inderdaad het geval en het bewijs van Friedman en Qin [55] met behulp van de Donaldson invarianten is nogal gecompliceerd. Een veel eenvoudiger aanpak bleek mogelijk na de tweede revolutie die in gang werd gezet door Ed Witten [63]. Door zijn werk werd duidelijk dat er compacte moduli ruimtes van bundels gebruikt kunnen worden en de invarianten die met behulp hiervan ingevoerd werden bleken vrij eenvoudig te berekenen. Zie bijvoorbeeld [61, 53] En, dan nog dit: Met verschillende co-auteurs heeft van de Ven nog heel andere problemen uit de algebraïsche meetkunde aangepakt. Zo behandelt de zeer lezenswaardige monografie [42] met Rob Lazarsfeld speciale deelvariëteiten van P n en de publicaties [24, 25] met Andrew Sommese gaan over homotopie groepen in de complexe meetkunde, respectievelijk de adjunctie afbeelding. Het eerste resultaat is een soort Lefschetz stelling waarvan er later vele volgden [56, Chapter 5]. Het tweede artikel heeft een reeks publicaties in gang gezet van onder andere Mauro Beltrametti, Antonio Lanteri, Marino Palleschi en Andrew Sommese, met variabele deelverzamelingen van deze vier als coauteur; zie het overzicht [47]. 4

5 Referenties Artikelen van van de Ven in vaktijdschriften [1] Van de Ven, A. J. H. M.: Characteristic classes and monoidal transformations. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 59 = Indag. Math. 18 (1956), [2] : An interpretation of the formulae of Kundert concerning higher obstructions. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 60 = Indag. Math. 19 (1957), [3] Remmert, R.; van de Ven, A. J. H. M.: Zwei Sätze über die komplex-projektive Ebene. Nieuw. Arch. Wisk. 8 (1960) [4] Remmert, R.; van de Ven, A. J. H. M.: Über holomorphe Abbildungen projektiv-algebraischer Mannigfaltigkeiten auf komplexe Räume. Math. Ann. 142 (1960/1961) [5] Van de Ven, A. J. H. M.: Analytic compactifications of complex homology cells. Math. Ann. 147 (1962) [6] Remmert, R.; van de Ven, A. J. H. M.: Zur Funktionentheorie homogener komplexer Mannigfaltigkeiten. Topology 2 (1963) [7] Van de Ven, A.: On holomorphic fields of complex line elements with isolated singularities. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 14 (1964) [8] : On the Chern numbers of certain complex and almost complex manifolds. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 55 (1966) [9] Brieskorn, E.; van de Ven, A.: Some complex structures on products of homotopy spheres. Topology 7 (1968) [10] Van de Ven, A.: On uniform vector bundles. Math. Ann. 195 (1972), [11] Barth, W.; van de Ven, A.: A decomposability criterion for algebraic 2-bundles on projective spaces. Invent. Math. 25 (1974), [12] Hirzebruch, F.; van de Ven, A.: Hilbert modular surfaces and the classification of algebraic surfaces. Invent. Math. 23 (1974), [13] Van de Ven, A.: On the embedding of abelian varieties in projective spaces. Ann. Mat. Pura Appl. 103 (1975), 5

6 [14] : On the Chern numbers of surfaces of general type. Invent. Math. 36 (1976), [15] Barth, W.; van de Ven, A.: Fano varieties of lines on hypersurfaces. Arch. Math. (Basel) 31 (1978/79) [16] Hirzebruch, F.; van de Ven, A.: Minimal Hilbert modular surfaces with p g = 3 and K 2 = 2. Amer. J. Math. 101 (1979) [17] Van de Ven, Antonius: Le fibré normal d une courbe dans P 3 ne se décompose pas toujours. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 289 (1979) A111 A113. [18] -: On the 2-connectedness of very ample divisors on a surface. Duke Math. J. 46 (1979), [19] Eisenbud, David; van de Ven, A.: On the normal bundles of smooth rational space curves. Math. Ann. 256 (1981) [20] : On the variety of smooth rational space curves with given degree and normal bundle. Invent. Math. 67 (1982) [21] Hulek, K.; van de Ven, A.: The Horrocks-Mumford bundle and the Ferrand construction. Manuscripta Math. 50 (1985), [22] Okonek, C.; Van de Ven, A.: Stable bundles and differentiable structures on certain elliptic surfaces. Invent. Math. 86 (1986) [23] Okonek, C.; van de Ven, A.: Γ-type-invariants associated to PU(2)- bundles and the differentiable structure of Barlow s surface. Invent. Math. 95 (1989), no. 3, [24] Sommese, Andrew John; van de Ven, A.: On the adjunction mapping. Math. Ann. 278 (1987) [25] : Homotopy groups of pullbacks of varieties. Nagoya Math. J. 102 (1986), [26] de Jong, A. J.; Shepherd-Barron, N. I.; van de Ven, A.: On the Burkhardt quartic. Math. Ann. 286 (1990), [27] Hulek, K.; van de Ven, A.: Some remarks concerning rank 2 bundles and Chow groups. J. Reine Angew. Math. 413 (1991),

7 [28] Okonek, Ch.; Van de Ven, A.: Cubic forms and complex 3-folds. Enseign. Math. (41 (1995) [29] Amerik, E.; Rovinsky, M.; van de Ven, A.: A boundedness theorem for morphisms between threefolds. Ann. Inst. Fourier 49 (1999) [30] Piontkowski, J.; van de Ven, A.: The automorphism group of linear sections of the Grassmannians G(1, N). Doc. Math. 4 (1999), (electronic) Conferentiebijdragen van van de Ven en hoofdstukken uit boeken [31] Van de Ven, A: A property of algebraic varieties in complex projective spaces. InColloque Géom. Diff. Globale (Bruxelles, 1958 pp Centre Belge Rech. (1959) [32] : Holomorphic fields of complex line elements with isolated singularities. In: Differential Analysis, Bombay Colloq., 1964 pp Oxford Univ. Press, London (1964) [33] : Chern classes and complex manifolds. in Characteristic classes and related questions, C.I.M.E. Summer Sch ,, 41, Springer, Heidelberg, [34] Barth, W.; van de Ven, A.: On the geometry in codimension 2 of Grassmann manifolds. In: Classification of algebraic varieties and compact complex manifolds, pp Lecture Notes in Math., 412, Springer, Berlin, [35] van der Geer, G.; van de Ven, A.: On the minimality of certain Hilbert modular surfaces. In: Complex analysis and algebraic geometry, pp Iwanami Shoten, Tokyo, [36] Van de Ven, A.: Some recent results on surfaces of general type. Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77), 500, pp. 155?166, Lecture Notes in Math., 677, Springer, Berlin, [37] -: On the Enriques classification of algebraic surfaces. Séminaire Bourbaki, 29e anne (1976/77), 506, pp , Lecture Notes in Math., 677, Springer, Berlin,

8 [38] -: Twenty years of classifying algebraic vector bundles. In: Journées de Géometrie Algébrique d Angers, Juillet 1979/Algebraic Geometry, Angers, 1979, pp. 3 20, Sijthoff & Noordhoff, Alphen aan den Rijn [39] -: On the differentiable structure of certain algebraic surfaces. Séminaire Bourbaki, Vol. 1985/86. Astrisque (1987) [40] Okonek, Ch.; Van de Ven, A.: Stable bundles, instantons and C structures on algebraic surfaces. in Several complex variables, VI, , Encyclopaedia Math. Sci., 69, Springer, Berlin, Boeken met van de Ven als (co-)auteur [41] A.H.J.M. van de Ven: Over de homologiestructuur van enige typen vezelruimten, Proefschrift, Assen 1957 [42] Lazarsfeld, R.; van de Ven, A.: Topics in the geometry of projective space. Recent work of F. L. Zak. With an addendum by Zak. DMV Seminar, 4. Birkhäuser Verlag, Basel, pp. [43] Barth, W.; Peters, C.; van de Ven, A.: Compact complex surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) 4. Springer- Verlag, Berlin, x+304 pp. [44] Barth, W., C. Peters, K. Hulek and A. van de Ven: Compact Complex Surfaces (second enlarged edition) Springer Verlag (2004) Verwijzingen uit de bespreking [45] Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M.: The Index of Elliptic Operators I, Annals of Mathematics (1968) [46] Barlow, R.: A simply connected surface of general type with p g = 0, Invent. Math. 79 (1985), [47] Beltrametti, Mauro C.; Sommese, Andrew J: The adjunction theory of complex projective varieties, de Gruyter, Berlin, [48] Bogomolov, F.: Holomorphic tensors and vector bundles on projective varieties, Math. USSR Izv. 13 (1979),

9 [49] Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre: Le théorème de Riemann- Roch. (Bull. Soc. Math. France [50] Chern, S. S.: Characteristic classes of Hermitian Manifolds, Ann. of Math. 47 (1946), [51] Donaldson, S. K.: An application of gauge theory to fourdimensional topology. J. Differential Geom. 18 (1983) [52] Donaldson, S. K.: Polynomial invariants for smooth four-manifolds. Topology 29 (1990) [53] Dürr, Markus: Seiberg-Witten theory and the C -classification of complex surfaces, Dissertation, Zürich (2002). [54] Michael Freedman: The topology of 4-manifolds, J. Diff. Geo. 17 (1982), [55] Friedman, Robert; Qin, Zhenbo: On complex surfaces diffeomorphic to rational surfaces, Invent. Math. 120 (1995), [56] Mark Goresky; Robert McPherson: Starified Morse theory Erg. Math. 14 Sprnger Verlag, Berlin etc. (1988) [57] Alexander Grothendieck: Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann. Amer. J. Math. 79 (1957), [58] Hartshorne, Robin: Varieties of small codimension in projective space. Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), [59] Friedrich Hirzebruch: Topological Methods in Algebraic Geometry, Grundl. Math. Wiss. 131, Springer Verlag, Berlin etc [60] Miyaoka, Y.: On the Chern numbers of surfaces of general type, Invent. Math. 42 (1977), [61] Friedman, Robert; Morgan, John W.: Algebraic surfaces and Seiberg-Witten invariants, J. Algebraic Geom. 6 (1997), [62] Steenrod, Norman: The topology of fibre bundles. Reprint of the 1957 edition. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton Paperbacks. Princeton University Press, Princeton, NJ, viii+229 pp. [63] Witten, Edward: Monopoles and four-manifolds. Math. Res. Lett. 1 (1994),

10 [64] Yau, S.-T.: Calabi s conjecture and some new results in algebraic geometry, Proc. Nat. Ac. Sc. USA 74 (1977),