Over het wetenschappelijke werk van Antonius (Ton) Van de Ven

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Over het wetenschappelijke werk van Antonius (Ton) Van de Ven"

Transcriptie

1 Over het wetenschappelijke werk van Antonius (Ton) Van de Ven Karakteristieke klassen Tot aan de jaren 50 van de vorige eeuw werden topologische methoden in de complexe meetkunde nauwelijks nog toegepast. Tot het arsenaal van een topoloog in die tijd behoorde de homologie- en homotopie groepen en de toen recent door Norman Steenrod [62] ingevoerde obstructieklassen. De laatste nemen in de complexe wereld de gedaante aan van Chernklassen, genoemd naar Shiing-Shen Chern [50] die deze van uit een differentiaalmeetkundig perspectief beschouwde. Hij en André Weil voerde deze klassen in de complexe meetkunde in en sindsdien speelden ze een centrale rol. Om te begrijpen waarom, kan men denken aan het klassieke voorbeeld van een vectorveld op een differentieerbare variëteit: de index van dit veld, een differentieerbare invariant, is gelijk aan de Euler-Poincaré karakteristiek, een topologische invariant. Dit impliceert een klassieke stelling die zegt dat een veld op de 2-sfeer een nulpunt moet hebben. Een vectorveld kan men ook zien als een differentiaaloperator; grote klassen van differentiaaloperatoren hebben een welgedefinieerde index die zich in karakteristieke klassen laat uitdrukken. Deze uitspraak, een voorbeeld van een index stelling, bewezen door Michael Atiyah, Isadore Singer [45] en anderen, is verre van triviaal; net als in het geval van vectorvelden verenigt deze de wereld van differentiaalvergelijkingen met die van de topologie. Als gevolg zijn er net als in het voorbeeld van vectorvelden, topologische beperkingen voor het bestaan van bepaalde analytische structuren. Differentiaaloperatoren die in de complexe meetkunde een rol spelen zijn de zgn. Dirac operatoren en deze leiden tot de zgn. Riemann-Roch stellingen. Deze werden door Friedrich Hirzebruch (1954) [59] in het complexe geval en in veel grotere algemeenheid door Alexander Grothendieck (1958) [49] in de algebraïsch-meetkundige setting bewezen. In zijn vroegste publicaties heeft van de Ven niet alleen sommige eigenschappen van deze obstructieklassen afgeleid [1, 2], maar hij gebruikte ze met succes om te bewijzen dat bepaalde analytische structuren niet kunnen bestaan: zie bijvoorbeeld [31, 5, 6, 7, 32, 9]. In dit kader kan men van de Ven s proefschrift [41] als een zeer lezenswaardige en verbazingwekkend tijdloze inleiding beschouwen tot de rol van karakteristieke klassen in de complexe meetkunde. Ook voor de classificatie van (zgn. minimale) oppervlakken vormen Chernklassen belangrijke invarianten. Hier ga ik later op in. 1

2 Vectorbundels In de jaren zeventig verlegde van de Ven zijn aandacht naar vectorbundels. Er zijn legio natuurlijk optredende vectorbundels: vectorvelden zijn bijvoorbeeld sneden in de raakbundel; een deelvariëteit heeft een normaalbundel in de omliggende variëteit. Tenslotte en heel ander voorbeeld: representaties van Lie groepen geven bundels op homogene variëteiten. Voor differentieerbare bundels op X is er het splitsingsprincipe : men kan elke bundel E op X terugtrekken op de totaalruimte van de bundel f : F (E) X van complete vlaggen in E en dan splitst de zo verkregen bundel f E volledig als een directe som van lijnbundels. Immers, via een metriek ziet men in dat een deelbundel altijd een directe som-splitsing geeft. In de holomorfe categorie is dit zelden het geval, met één belangrijke uitzondering: Alexander Grothendieck [57] had in 1958 bewezen dat elke (holomorfe) vectorbundel op de projectieve lijn splitst in lijnbundels. Als gevolg hiervan splitst de normaalbundel van rationale ruimtekrommen. Hoewel bekend was dat vector bundels op krommen van hoger geslacht niet altijd splitsen in de holomorfe categorie, was er tot van de Ven s publicatie [17] geen voorbeeld bekend van een ruimtekromme met niet-splitsende normaalbundel. Omdat P n overdekt wordt door lijnen kan men vector bundels bestuderen via hun beperkingen op die lijnen. Als de Grothendieck splitsing steeds hetzelfde is kan men zich afvragen of de bundel zelf ook splitst. Van de Ven ontwikkelt in [10] een methode om dit aan te pakken en met Wolf Barth [11] lukt het hun om dit voor rang twee bundels (onder een bepaalde voorwaarde op de Chernklassen) inderdaad te bewijzen. Een direct meetkundig gevolg: elke codimensie 2 variëteit van graad d < 1 4 n in Pn is een volledige doorsnede. Later bewezen Barth en van de Ven in [34] iets soortgelijks voor Grassmann variëteiten. Robin Hartshorne formuleerde in [58] het naar hem genoemde en nog steeds openstaande vermoeden: een gladde deelvariëteit van P n van dimensie > 2 3n is een volledige doorsnede. Dit betekent dat een codimensie twee variëteit in P n een volledige doorsnede is als n > 6. Het resultaat van Barth en van de Ven [11] bewijst dit onder een voorwaarde op de graad. Tot slot noem ik zonder op details in te gaan, nog ander werk dat gerelateerd is aan vectorbundels: werk samen met met Klaus Hulek [21, 27], en met David Eisenbud [19, 20]. 2

3 Complexe oppervlakken Een derde onderzoeksthema wordt gevormd door de theorie van complexe oppervlakken. Ook hier kunnen karakteristieke klassen aangewend worden. De enige twee Chernklassen die hier voorkomen zijn c 2 1 and c 2. De laatste is de (topologische) Euler-Poincaré karakteristiek. De eerste kan direct in de complexe context geïnterpreteerd worden als zelfsnede van de canonieke klasse. Bij klassificatiekwesties kan men zich beperken tot oppervlakken die in zekere zin minimaal zijn in hun bimeromorfe equivalentie klasse. Dit zal ik in het vervolg stilzwijgend doen. De vraag, welke paren getallen kunnen optreden als Cherngetallen wordt ook wel de geografische beschrijving van oppervlakken genoemd. De geografische beschrijving houdt dan in: bepaal het gebied in het (c 2 1, c 2) vlak waar oppervlakken gerealiseerd kunnen worden. De ongelijkheid van Noether, 5c 2 1 c 2 36 is zo n beperking en was al klassiek bekend. Van de Ven vond in 1966 (zie [8, 14]) een nieuwe ongelijkheid, nl. c 2 1 8c 2 en vermoedde dat die verbeterd kon worden tot c 2 1 3c 2. Dit gebeurde pas in 1974, onafhankelijk van elkaar en met geheel verschillende methoden, door Miyaoka [60] en Shing-Tung Yau [64] (voorafgegaan door een spectaculaire verbetering van de hand van Fedja Bogomolov [48] die c 2 1 4c 2 bewees). De bovenstaande twee ongelijkheden leiden tot een veel moeilijkere vraag: komen alle paren in het zo afgepaalde gebied echt voor als Chernklassen? Deze vraag is nog steeds niet geheel opgelost maar veel is er bekend. Zie bijvoorbeeld Hoofdstuk VII in het boek [44]. Dit laatste boek is ongetwijfeld één van de invloedrijkste publicaties waar van de Ven aan meewerkte. Hierin wordt de Enriques-Kodaira classificatie van compacte complexe oppervlakken beschreven en dit boek gaat dus verder dan de klasse van algebraïsche oppervlakken. Uit spontane reacties en ook bij navraag blijken niet alleen vroegere maar ook huidige generaties met veel profijt dit boek bestudeerd te hebben. De eerste druk van dit boek [43] schreef hij samen met Wolf Barth en mij; bij de herdruk [44] voegde Klaus Hulek zich bij ons trojka. Ik wil hier nog kort op hoofdstuk IX uit de herdruk ingaan, omdat dit de belangrijke publicatie [23] van van de Ven (samen met Christian Okonek) betreft. Hierin wordt de (differentiaal)topologie van oppervlakken behandeld. Een complex oppervlak is een georiënteerde 4-dimensionale compacte differentieerbare variëteit en die te classificeren bleek lang notoir moeilijk. De topologische classificatie daarentegen is een stuk eenvoudiger zoals bewezen door Michael Freedman [54]: als men bovendien aanneemt dat men met 3

4 enkelvoudig samenhangende variëteiten van doen heeft is de kwadratische snijvorm de enige topologische invariant. Een doorbraak werd bereikt door Simon Donaldson [51] die bewees dat voor enkelvoudig samenhangende complexe oppervlakken met positief definiete snijvorm alleen de diagonaalvorm met enen op de diagonaal mogelijk is. Dit was verbazingwekkend want er zijn oneindig veel niet isomorfe positief definiete unimodulaire vormen die volgens Freedman s allemaal voorkomen als snijvorm van een topologische viervoud! Na deze doorbraak volgde er snel meerdere van zijn hand, culminerend in [52]. Als gevolg hiervan kan met differentieerbare invarianten afleiden uit eigenschappen van moduli ruimtes van bepaalde holomorfe vectorbundels op het gegeven oppervlak. Zo kan men binnen de holomorfe categorie blijven om te bewijzen dat bepaalde homeomorfe oppervlakken niet diffeomorf zijn, een methode die in [23] met profijt gebruikt werd. Dit betreft enerzijds een 8 maal opgeblazen P 2 en anderzijds het oppervlak van Rebecca Barlow [46]. Beide hebben dezelfde snijvorm. Het hoofdresultaat van [23] is dat het tweetal niet diffeomorf is. Omdat deze twee oppervlakken een verschillende Kodaira-dimensie hebben (, resp. 2) leidde dit en soortgelijke voorbeelden tot het zgn. van de Ven vermoeden: de Kodaira dimensie is een differentieerbare invariant. Dit bleek inderdaad het geval en het bewijs van Friedman en Qin [55] met behulp van de Donaldson invarianten is nogal gecompliceerd. Een veel eenvoudiger aanpak bleek mogelijk na de tweede revolutie die in gang werd gezet door Ed Witten [63]. Door zijn werk werd duidelijk dat er compacte moduli ruimtes van bundels gebruikt kunnen worden en de invarianten die met behulp hiervan ingevoerd werden bleken vrij eenvoudig te berekenen. Zie bijvoorbeeld [61, 53] En, dan nog dit: Met verschillende co-auteurs heeft van de Ven nog heel andere problemen uit de algebraïsche meetkunde aangepakt. Zo behandelt de zeer lezenswaardige monografie [42] met Rob Lazarsfeld speciale deelvariëteiten van P n en de publicaties [24, 25] met Andrew Sommese gaan over homotopie groepen in de complexe meetkunde, respectievelijk de adjunctie afbeelding. Het eerste resultaat is een soort Lefschetz stelling waarvan er later vele volgden [56, Chapter 5]. Het tweede artikel heeft een reeks publicaties in gang gezet van onder andere Mauro Beltrametti, Antonio Lanteri, Marino Palleschi en Andrew Sommese, met variabele deelverzamelingen van deze vier als coauteur; zie het overzicht [47]. 4

5 Referenties Artikelen van van de Ven in vaktijdschriften [1] Van de Ven, A. J. H. M.: Characteristic classes and monoidal transformations. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 59 = Indag. Math. 18 (1956), [2] : An interpretation of the formulae of Kundert concerning higher obstructions. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 60 = Indag. Math. 19 (1957), [3] Remmert, R.; van de Ven, A. J. H. M.: Zwei Sätze über die komplex-projektive Ebene. Nieuw. Arch. Wisk. 8 (1960) [4] Remmert, R.; van de Ven, A. J. H. M.: Über holomorphe Abbildungen projektiv-algebraischer Mannigfaltigkeiten auf komplexe Räume. Math. Ann. 142 (1960/1961) [5] Van de Ven, A. J. H. M.: Analytic compactifications of complex homology cells. Math. Ann. 147 (1962) [6] Remmert, R.; van de Ven, A. J. H. M.: Zur Funktionentheorie homogener komplexer Mannigfaltigkeiten. Topology 2 (1963) [7] Van de Ven, A.: On holomorphic fields of complex line elements with isolated singularities. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 14 (1964) [8] : On the Chern numbers of certain complex and almost complex manifolds. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 55 (1966) [9] Brieskorn, E.; van de Ven, A.: Some complex structures on products of homotopy spheres. Topology 7 (1968) [10] Van de Ven, A.: On uniform vector bundles. Math. Ann. 195 (1972), [11] Barth, W.; van de Ven, A.: A decomposability criterion for algebraic 2-bundles on projective spaces. Invent. Math. 25 (1974), [12] Hirzebruch, F.; van de Ven, A.: Hilbert modular surfaces and the classification of algebraic surfaces. Invent. Math. 23 (1974), [13] Van de Ven, A.: On the embedding of abelian varieties in projective spaces. Ann. Mat. Pura Appl. 103 (1975), 5

6 [14] : On the Chern numbers of surfaces of general type. Invent. Math. 36 (1976), [15] Barth, W.; van de Ven, A.: Fano varieties of lines on hypersurfaces. Arch. Math. (Basel) 31 (1978/79) [16] Hirzebruch, F.; van de Ven, A.: Minimal Hilbert modular surfaces with p g = 3 and K 2 = 2. Amer. J. Math. 101 (1979) [17] Van de Ven, Antonius: Le fibré normal d une courbe dans P 3 ne se décompose pas toujours. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 289 (1979) A111 A113. [18] -: On the 2-connectedness of very ample divisors on a surface. Duke Math. J. 46 (1979), [19] Eisenbud, David; van de Ven, A.: On the normal bundles of smooth rational space curves. Math. Ann. 256 (1981) [20] : On the variety of smooth rational space curves with given degree and normal bundle. Invent. Math. 67 (1982) [21] Hulek, K.; van de Ven, A.: The Horrocks-Mumford bundle and the Ferrand construction. Manuscripta Math. 50 (1985), [22] Okonek, C.; Van de Ven, A.: Stable bundles and differentiable structures on certain elliptic surfaces. Invent. Math. 86 (1986) [23] Okonek, C.; van de Ven, A.: Γ-type-invariants associated to PU(2)- bundles and the differentiable structure of Barlow s surface. Invent. Math. 95 (1989), no. 3, [24] Sommese, Andrew John; van de Ven, A.: On the adjunction mapping. Math. Ann. 278 (1987) [25] : Homotopy groups of pullbacks of varieties. Nagoya Math. J. 102 (1986), [26] de Jong, A. J.; Shepherd-Barron, N. I.; van de Ven, A.: On the Burkhardt quartic. Math. Ann. 286 (1990), [27] Hulek, K.; van de Ven, A.: Some remarks concerning rank 2 bundles and Chow groups. J. Reine Angew. Math. 413 (1991),

7 [28] Okonek, Ch.; Van de Ven, A.: Cubic forms and complex 3-folds. Enseign. Math. (41 (1995) [29] Amerik, E.; Rovinsky, M.; van de Ven, A.: A boundedness theorem for morphisms between threefolds. Ann. Inst. Fourier 49 (1999) [30] Piontkowski, J.; van de Ven, A.: The automorphism group of linear sections of the Grassmannians G(1, N). Doc. Math. 4 (1999), (electronic) Conferentiebijdragen van van de Ven en hoofdstukken uit boeken [31] Van de Ven, A: A property of algebraic varieties in complex projective spaces. InColloque Géom. Diff. Globale (Bruxelles, 1958 pp Centre Belge Rech. (1959) [32] : Holomorphic fields of complex line elements with isolated singularities. In: Differential Analysis, Bombay Colloq., 1964 pp Oxford Univ. Press, London (1964) [33] : Chern classes and complex manifolds. in Characteristic classes and related questions, C.I.M.E. Summer Sch ,, 41, Springer, Heidelberg, [34] Barth, W.; van de Ven, A.: On the geometry in codimension 2 of Grassmann manifolds. In: Classification of algebraic varieties and compact complex manifolds, pp Lecture Notes in Math., 412, Springer, Berlin, [35] van der Geer, G.; van de Ven, A.: On the minimality of certain Hilbert modular surfaces. In: Complex analysis and algebraic geometry, pp Iwanami Shoten, Tokyo, [36] Van de Ven, A.: Some recent results on surfaces of general type. Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77), 500, pp. 155?166, Lecture Notes in Math., 677, Springer, Berlin, [37] -: On the Enriques classification of algebraic surfaces. Séminaire Bourbaki, 29e anne (1976/77), 506, pp , Lecture Notes in Math., 677, Springer, Berlin,

8 [38] -: Twenty years of classifying algebraic vector bundles. In: Journées de Géometrie Algébrique d Angers, Juillet 1979/Algebraic Geometry, Angers, 1979, pp. 3 20, Sijthoff & Noordhoff, Alphen aan den Rijn [39] -: On the differentiable structure of certain algebraic surfaces. Séminaire Bourbaki, Vol. 1985/86. Astrisque (1987) [40] Okonek, Ch.; Van de Ven, A.: Stable bundles, instantons and C structures on algebraic surfaces. in Several complex variables, VI, , Encyclopaedia Math. Sci., 69, Springer, Berlin, Boeken met van de Ven als (co-)auteur [41] A.H.J.M. van de Ven: Over de homologiestructuur van enige typen vezelruimten, Proefschrift, Assen 1957 [42] Lazarsfeld, R.; van de Ven, A.: Topics in the geometry of projective space. Recent work of F. L. Zak. With an addendum by Zak. DMV Seminar, 4. Birkhäuser Verlag, Basel, pp. [43] Barth, W.; Peters, C.; van de Ven, A.: Compact complex surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) 4. Springer- Verlag, Berlin, x+304 pp. [44] Barth, W., C. Peters, K. Hulek and A. van de Ven: Compact Complex Surfaces (second enlarged edition) Springer Verlag (2004) Verwijzingen uit de bespreking [45] Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M.: The Index of Elliptic Operators I, Annals of Mathematics (1968) [46] Barlow, R.: A simply connected surface of general type with p g = 0, Invent. Math. 79 (1985), [47] Beltrametti, Mauro C.; Sommese, Andrew J: The adjunction theory of complex projective varieties, de Gruyter, Berlin, [48] Bogomolov, F.: Holomorphic tensors and vector bundles on projective varieties, Math. USSR Izv. 13 (1979),

9 [49] Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre: Le théorème de Riemann- Roch. (Bull. Soc. Math. France [50] Chern, S. S.: Characteristic classes of Hermitian Manifolds, Ann. of Math. 47 (1946), [51] Donaldson, S. K.: An application of gauge theory to fourdimensional topology. J. Differential Geom. 18 (1983) [52] Donaldson, S. K.: Polynomial invariants for smooth four-manifolds. Topology 29 (1990) [53] Dürr, Markus: Seiberg-Witten theory and the C -classification of complex surfaces, Dissertation, Zürich (2002). [54] Michael Freedman: The topology of 4-manifolds, J. Diff. Geo. 17 (1982), [55] Friedman, Robert; Qin, Zhenbo: On complex surfaces diffeomorphic to rational surfaces, Invent. Math. 120 (1995), [56] Mark Goresky; Robert McPherson: Starified Morse theory Erg. Math. 14 Sprnger Verlag, Berlin etc. (1988) [57] Alexander Grothendieck: Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann. Amer. J. Math. 79 (1957), [58] Hartshorne, Robin: Varieties of small codimension in projective space. Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), [59] Friedrich Hirzebruch: Topological Methods in Algebraic Geometry, Grundl. Math. Wiss. 131, Springer Verlag, Berlin etc [60] Miyaoka, Y.: On the Chern numbers of surfaces of general type, Invent. Math. 42 (1977), [61] Friedman, Robert; Morgan, John W.: Algebraic surfaces and Seiberg-Witten invariants, J. Algebraic Geom. 6 (1997), [62] Steenrod, Norman: The topology of fibre bundles. Reprint of the 1957 edition. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton Paperbacks. Princeton University Press, Princeton, NJ, viii+229 pp. [63] Witten, Edward: Monopoles and four-manifolds. Math. Res. Lett. 1 (1994),

10 [64] Yau, S.-T.: Calabi s conjecture and some new results in algebraic geometry, Proc. Nat. Ac. Sc. USA 74 (1977),

Antonius Josephus Hubertus Marie van de Ven

Antonius Josephus Hubertus Marie van de Ven Antonius Josephus Hubertus Marie van de Ven 11 mei 1931 10 december 2014 Ton van de Ven (rechts) met Otto Haupt. Foto: Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Duitsland 108 levensberichten en herdenkingen

Nadere informatie

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen

Nadere informatie

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

Tangram en het derde Problem von Hilbert

Tangram en het derde Problem von Hilbert Tangram en het derde Problem von Hilbert Prof. Dr. Duco van Straten Johannes Gutenberg Universiteit Mainz 5 Februari 2005 Voordracht Noorwijkerhout David Hilbert (1862-1943) Parijs 1900 ICM Lijst met 23

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen een onmogelijke uitdaging Frits Beukers Vakantiecursus 2010 Diophantische vergelijkingen Vakantiecursus 2010 1 / 34 Eerste voorbeeld Bedenk twee gehele getallen x en y zó dat

Nadere informatie

Matroïden en hun representaties

Matroïden en hun representaties 1 278 NAW 5/11 nr. 4 december 2010 Matroïden en hun representaties Stefan van Zwam Stefan van Zwam University of Waterloo, Canada, en Centrum Wiskunde en Informatica Science Park 123 1098 XG Amsterdam

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

Lineaire algebra en vectorcalculus

Lineaire algebra en vectorcalculus Lineaire algebra en vectorcalculus dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2013/2014 College 2DN60 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Decoding Codes from Curves and Cyclic Codes

Decoding Codes from Curves and Cyclic Codes Decoding Codes from Curves and Cyclic Codes Iwan M. Duursma Decoding Codes from Curves and Cyclic Codes Proefschrift ter verkrijging van de graad van doctor aan de Technische Universiteit Eindhoven, op

Nadere informatie

Expliciete berekeningen met modulaire Galoisrepresentaties

Expliciete berekeningen met modulaire Galoisrepresentaties Samenvatting Expliciete berekeningen met modulaire Galoisrepresentaties De tekst van deze samenvatting is gebaseerd op het door de auteur geschreven populairwetenschappelijke artikel [8]. Galoistheorie

Nadere informatie

Onbetwist-Toetsen Calculus

Onbetwist-Toetsen Calculus Onbetwist-Toetsen Calculus 1 Exercise 1. Op is het vectorveld gegeven door Bepaal de veldlijn door het punt in de vorm. Geef de functie. Exercise 2. The vector field on is given by Determine the field

Nadere informatie

Oplossingen van vergelijkingen in rationale getallen

Oplossingen van vergelijkingen in rationale getallen Hoofdstuk VIII Oplossingen van vergelijkingen in rationale getallen Don Zagier Het gebied van de diophantische vergelijkingen, genoemd naar de grote Griekse wiskundige Diophantus, is een van de oudste

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Niet-commutatieve meetkunde niet-communicabel?

Niet-commutatieve meetkunde niet-communicabel? Walter van Suijlekom Niet-commutatieve meetkunde niet-communicabel? NAW 5/7 nr. 1 maart 2006 27 Walter van Suijlekom Max-Planck-Institut für Mathematik Vivatsgasse 7, 53111 Bonn Duitsland waltervs@mpim-bonn.mpg.de

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

T.A. Horsmeier. Hoeken en kromming. In genormeerde ruimten zonder inprodukt. Bachelorscriptie, 25 augustus 2009

T.A. Horsmeier. Hoeken en kromming. In genormeerde ruimten zonder inprodukt. Bachelorscriptie, 25 augustus 2009 T.A. Horsmeier Hoeken en kromming In genormeerde ruimten zonder inprodukt Bachelorscriptie, 25 augustus 2009 Scriptiebegeleider: Dr. O.W. van Gaans Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave

Nadere informatie

EERSTE DEELTENTAMEN WISB 212 Analyse in Meer Variabelen

EERSTE DEELTENTAMEN WISB 212 Analyse in Meer Variabelen Dit tentamen is in elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. A Eskwadraat kan niet aansprakelijk worden gesteld voor de gevolgen van eventuele fouten in dit tentamen. EERSTE

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Draad en gipsfiguren. Jaap Top

Draad en gipsfiguren. Jaap Top Draad en gipsfiguren Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT 31 mei 2007 (FMF jongerejaarscolloquium) 1 Groningen, koffiehoek IWI 2 Pieter Hendrik Schoute (1842 1910) 3 4 5 Gebruik van de modellen: D. van Dantzig,

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling

Nadere informatie

2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus

2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus 2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus Kwartiel 2, week 7.b Op het college op donderdagochtend 7 januari is behandeld: - hoek tussen vectoren en cosinus regel - driehoeksongelijkheid

Nadere informatie

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder

Nadere informatie

ARITHMETIC GEOMETRY, BAS EDIXHOVEN MOTIVES: COMPUTATIONAL ASPECTS. Overzicht van de presentatie: 1. Context en relevantie van het onderzoek;

ARITHMETIC GEOMETRY, BAS EDIXHOVEN MOTIVES: COMPUTATIONAL ASPECTS. Overzicht van de presentatie: 1. Context en relevantie van het onderzoek; ARITHMETIC GEOMETRY, MOTIVES: COMPUTATIONAL ASPECTS BAS EDIXHOVEN Overzicht van de presentatie: 1. Context en relevantie van het onderzoek; 2. Onderzoeksmethode; 3. Besteding van de subsidie; 4. Conclusies.

Nadere informatie

Weil pairing and the Drinfeld modular curve van der Heiden, Gerrit

Weil pairing and the Drinfeld modular curve van der Heiden, Gerrit Weil pairing and the Drinfeld modular curve van der Heiden, Gerrit IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document

Nadere informatie

UvA-DARE (Digital Academic Repository) Topological strings and quantum curves Hollands, L. Link to publication

UvA-DARE (Digital Academic Repository) Topological strings and quantum curves Hollands, L. Link to publication UvA-DARE (Digital Academic Repository) Topological strings and quantum curves Hollands, L. Link to publication Citation for published version (APA): Hollands, L. (2009). Topological strings and quantum

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Wanneer zijn alle continue functies uniform continu?

Wanneer zijn alle continue functies uniform continu? Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Wanneer zijn alle continue functies uniform continu? Bachelor Project I Stijn Tóth Promotor: Prof. Eva Colebunders Academiejaar 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding

Nadere informatie

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische

Nadere informatie

Een onbekende bekende wiskundige

Een onbekende bekende wiskundige 58 NAW 5/5 nr. 1 maart 2004 Een onbekende bekende wiskundige Robbert Fokkink Robbert Fokkink Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Delft Postbus 5031, 2600 GA Delft

Nadere informatie

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde E. Jespers Departement of Mathematics Vrije Universiteit Brussel 2 Voorbeelden van algebra s van kleine dimensie Een theorie steunt steeds op het goed

Nadere informatie

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave. WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even

Nadere informatie

Wat kan er (niet) zonder ε-δ?

Wat kan er (niet) zonder ε-δ? Oneindig klein. Wat kan er (niet) zonder ε-δ? Michel Roelens University Colleges Leuven Limburg Maria-Boodschaplyceum Brussel Hilde Eggermont Sint-Pieterscollege Leuven Redactie Uitwiskeling Afgeleide

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

University of Groningen. Theory and history of geometric models Polo-Blanco, Irene

University of Groningen. Theory and history of geometric models Polo-Blanco, Irene University of Groningen Theory and history of geometric models Polo-Blanco, Irene IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket

Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven versie.0, 3 december 00 De TU/e viert een feestje

Nadere informatie

Types differentiaal vergelijkingen

Types differentiaal vergelijkingen 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00 Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

Modulen voor Calculus- en Analysevakken

Modulen voor Calculus- en Analysevakken Modulen voor Calculus- en Analysevakken Versie juni 2005 Deze indeling in modulen is zoveel mogelijk onafhankelijk van enig leerboek. Echter, om de invulling ervan concreet te maken is er aangegeven waar

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Studiehandleiding. Differentiëren en Integreren 3. voor. Wiskunde, Natuurkunde en Medische Natuurwetenschappen

Studiehandleiding. Differentiëren en Integreren 3. voor. Wiskunde, Natuurkunde en Medische Natuurwetenschappen Studiehandleiding Differentiëren en Integreren 3 voor Wiskunde, Natuurkunde en Medische Natuurwetenschappen februari en maart 2013 Docent: F. Pasquotto kamer: R 5.46 f.pasquotto@vu.nl tel: 020 598 7689

Nadere informatie

Het Bazel probleem: n=1. n 2 = π2

Het Bazel probleem: n=1. n 2 = π2 Het Bazel probleem: n 2 = π2 6 André Ran Het probleem Bepaal + 4 + 9 + 6 + 25 +. In moderne notatie n 2. Het probleem staat bekend onder de naam: Het Bazel probleem. De titel van de lezing geeft het antwoord,

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording,

Nadere informatie

Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud

Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek Wiskunde nu Afdeling Wiskunde Onderwijs Onderzoek Afdeling Wiskunde In recente jaren aanzienlijk uitgebreid en verjongd Nu ± 25 vaste medewerkers en postdocs, ook aanzienlijk aantal deeltijd hoogleraren

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Tentamen Analyse 6 januari 203, duur 3 uur. Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel

Nadere informatie

Ricci-stroming in 2D

Ricci-stroming in 2D 1 212 NAW 5/12 nr. 3 september 2011 Ricci-stroming in 2D Eef van Dongen, Jill Vervoort, Walter D. van Suijlekom Eef van Dongen Pastoor Jeukenstraat 6 5966 NM America eefvandongen@gmail.com Jill Vervoort

Nadere informatie

Het XOR-Netwerk heeft lokale Minima

Het XOR-Netwerk heeft lokale Minima Het 2-3- XOR-Netwerk heet lokale Minima Ida G. Sprinkhuizen-Kuyper Egbert J.W. Boers Vakgroep Inormatica RijksUniversiteit Leiden Postbus 952 2300 RA Leiden {kuyper,boers}@wi.leidenuniv.nl Samenvatting

Nadere informatie

WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 4 - Scalaire recursies

WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 4 - Scalaire recursies WISB34 Modellen & Simulatie Lecture 4 - Scalaire recursies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities recursies, DVs, numerieke methoden Oplossingen DVs

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/29754 holds various files of this Leiden University dissertation

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/29754 holds various files of this Leiden University dissertation Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/29754 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Cao, Lu Title: Biological model representation and analysis Issue Date: 2014-11-20

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW)

Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW) Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW) Citation: F. Takens, Levensbericht N.H. Kuiper, in: Levensberichten en herdenkingen, 1995, Amsterdam, pp. 53-58 This PDF was made

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1

Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.) 1.

Nadere informatie

Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW)

Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW) Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW) Citation: I. Moerdijk & J.P. Murre, Levensbericht W.T. van Est, in: Levensberichten en herdenkingen, 2004, Amsterdam, pp. 46-51

Nadere informatie

relativiteitstheorie

relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 3: 19 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe

Nadere informatie

The downside up? A study of factors associated with a successful course of treatment for adolescents in secure residential care

The downside up? A study of factors associated with a successful course of treatment for adolescents in secure residential care The downside up? A study of factors associated with a successful course of treatment for adolescents in secure residential care Annemiek T. Harder Studies presented in this thesis and the printing of this

Nadere informatie

2: Laat en twee convexe verzamelingen zijn. Laat. Er geldt. Omdat convex is, is de gehele lijn bevat in, dus. Evenzo geldt. Hieruit volgt dat.

2: Laat en twee convexe verzamelingen zijn. Laat. Er geldt. Omdat convex is, is de gehele lijn bevat in, dus. Evenzo geldt. Hieruit volgt dat. CONVEXE MEETKUNDE Pelle Wielinga & Han van der Ven 1. Convexe meetkunde Convexe meetkunde is een tak van de meetkunde die zich bezighoudt met convexe verzamelingen. In de Euclidische ruimte wordt een object

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.

Nadere informatie

Lineaire algebra en analytische meetkunde

Lineaire algebra en analytische meetkunde Lineaire algebra en analytische meetkunde John Val August 1, 11 Inhoud 1 Projectieve meetkunde 1 i Inhoud 1 Projectieve meetkunde Figure 1: De blik op oneindig Snijden de spoorstaven? Een vloer van gelijke

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Open priemproblemen. Jan van de Craats

Open priemproblemen. Jan van de Craats Open priemproblemen Jan van de Craats Misschien denk je dat over priemgetallen, de bouwstenen van het rekenen, wel zo ongeveer alles bekend is. Dat er op dat terrein geen onopgeloste vraagstukken meer

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie

Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen

Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen Dirk Dekker Van Uytrechtlaan 25 1901 JK Castricum T.J.Dekker@uva.nl. 1. Inleiding Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen Het ontbinden van getallen in factoren en de daaruit te verkrijgen

Nadere informatie

Dynamische meetkunde. Een reactie op euclides 84-8

Dynamische meetkunde. Een reactie op euclides 84-8 Dynamische meetkunde Een reactie op euclides 84-8 Dit stuk is geschreven naar aanleiding van enkele toevalligheden die bij elkaar kwamen in Euclides nummer 8 van juli 2009. De eerste aanleiding was het

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

Numerical Methods. College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder

Numerical Methods. College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder Department EOR Vrije Universiteit Amsterdam Huispagina: http://personal.vu.nl/a.a.n.ridder/numprog/default.htm 4 oktober 2016

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus B (2WBB1) op maandag 28 januari 2013, 14:00 17:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus B (2WBB1) op maandag 28 januari 2013, 14:00 17:00 uur ENGLISH VERSION: SEE PAGE 7 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 8 januari 03, 4:00 7:00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen.

Nadere informatie

Master in de wiskunde

Master in de wiskunde LEUVEN t Master in de wiskunde Profielen: zuivere wiskunde toegepaste wiskunde Opties: onderzoek professioneel onderwijs Rubik s Cube used by permission of Seven Towns Ltd. www.rubiks.com Faculteit Wetenschappen

Nadere informatie

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Mark Bakker i Een onvolkomen put kan gemodelleerd worden met een meerlagenmodel door het watervoerend pakket op te delen in drie lagen gescheiden

Nadere informatie