Tangram en het derde Problem von Hilbert
|
|
- Pieter-Jan Koster
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Tangram en het derde Problem von Hilbert Prof. Dr. Duco van Straten Johannes Gutenberg Universiteit Mainz 5 Februari 2005 Voordracht Noorwijkerhout
2 David Hilbert ( )
3 Parijs 1900 ICM Lijst met 23 wiskundige problemen
4 Parijs 1900 ICM Lijst met 23 wiskundige problemen Problem Nr.3: Die Volumengleichheit zweier Tetraeder von gleicher Grundfläche und Höhe.
5 1. Het eeuwenoude Tangram-Spel
6 1. Het eeuwenoude Tangram-Spel is helemaal niet zo oud! China ca. 1780
7 Het gaat erom leuke figuren te leggen. URL:
8 Zoals deze mooie zwaan:
9 Hier zijn de stukken:
10 Zo moet je ze neerleggen:
11 Schilderij van Jusepe de Ribera (1630) (Madrid)
12 Archimedes,
13 Het Stomachion van Archimedes.
14 Het idee is verder hetzelfde...
15 Vraag: Welke figuren kun je met Tangram leggen?
16 Vraag: Welke figuren kun je met Tangram leggen? De oppervlakte moet kloppen!
17 Vraag: Welke figuren kun je met Tangram leggen? De oppervlakte moet kloppen! Lange dunne figuren kunnen niet!
18 2. De Oppervlakte van Figuren h a A( ) = ah
19 Het Parallelogram h a A( ) = ah
20 De Driehoek h A( a ) = (1/2) ah
21 Nu een willekeurige Figuur F
22 Die delen we natuurlijk op...
23 in driehoeken D 1, D 2, D 3,... D N en zetten dan A(F ) = A(D 1 ) + A(D 2 ) +... A(D N ) We krijgen zo een Funktie A : {F iguren} R, F A(F )
24 3. Het Vloerbedekkingsprobleem Verhuizen naar een andere kamer, met dezelfde oppervlakte. Wat doe je met de vloerbedekking?
25 3. Het Vloerbedekkingsprobleem Verhuizen naar een andere kamer, met dezelfde oppervlakte. Wat doe je met de vloerbedekking? Weggooien?
26 3. Het Vloerbedekkingsprobleem Verhuizen naar een andere kamer, met dezelfde oppervlakte. Wat doe je met de vloerbedekking? Weggooien? Verknippen!
27 Bij deze verhuizing
28 is het vrij makkelijk
29 Maar hoe ga je dit aanpakken?
30 De zijde is 2/ 4 3 = maal groter
31 Opgelost door Dudney, 1902!
32 Voor...
33 ...deze...
34 ...verhuizing...
35 ...moet...
36 ...je...
37 ...zo...
38 ...slim...
39 ...zijn...
40 ...als...
41 Gavin Theobald!
42 Maar is het altijd mogelijk?
43 Vraag: Gegeven figuren F en G met A(F ) = A(G) Kun je de figuur F tot Tangram verknippen, en daaruit de figuur G leggen?
44 Wanneer dit mogelijk is schrijven we F G en noemen F en G schaar-equivalent. Dus: F = F 1 + F F r G = F 1 + F F r waarbij F i kongruent met F i
45 De volgende zaken zijn vrij duidelijk F F F G = G F F G en G H = F H Het is een equivalentie-relatie.
46 G G F H
47
48 Duidelijk is: F G = A(F ) = A(G) maar is omgekeerd waar? A(F ) = A(G) = F G
49
50 Laat geen der Geometrie onwetende hier binnentreden!
51 Euclides ( )
52 De Axiomatische Methode De Elementen Axioma Definitie Stelling BEWIJS!
53 4. Oplossing von het vloerbedekkingsprobleem Stelling: (Euclides, F.Bolyia, P. Gerwien) (1832) A(F ) = A(G) = F G Bewijs:
54 Stap 1: We verdelen F zoals voorheen
55 Stap 2: We werken met de driehoeken en maken er rechthoeken van.
56 Stap 3: Bij rechthoeken met gelijk oppervlak b b ab=a b, b/a = b /a a a
57 Stap 3: b b...heb je evenwijdigheid ab=a b, b/a = b /a a a
58 Stap 3: De truc is... b b ab=a b, b/a = b /a a a
59 Stap 3:...verschuiven! b b ab=a b, a a b/a = b /a
60 Stap 4: In deze situatie...
61 ..moet je eerst halveren.
62 Stap 5: Maak de lengte van alle rechthoeken gelijk 1 1 A(F) en zet ze achter elkaar
63 Stap 6: We hebben nu F R en net zo G R en dus F G QED
64 Pythagoras
65
66 Perigal,(1873)
67 5. 3-D Tangram
68 Chientu
69 Yangma
70 Piehnao
71 Een Kubus
72 is of zijn
73 3 Yangma s
74 En een Piehnao
75 kun je
76 verknippen tot
77 een prisma
78 Een willekeurig lichaam...
79 ...kun je opdelen...
80 ...in Pyramiden
81 Volume van figuur F V (F ) = V (P 1 ) + V (P 2 ) +... V (P N ) Wat is het volume von een pyramide?
82 Stelling van Eudoxos V (P ) = 1 3 HA(B)
83 Eudoxos ( ) Limietproces!
84 Hilberts Vraag: Bestaat er een Tangram-bewijs voor Stelling von Eudoxos? Of, wat op hetzelfde neerkomt: V (F ) = V (G) = F G
85 Max Dehn ( )
86 Stelling van Dehn (1902): Tetraeder en Prisma met gelijk volume T zijn niet schaar-equivalent! W
87 Dehn-Invariant: D(F + G) = D(F ) + D(G) D(F ) = D(F ) F G = D(F ) = D(G).
88 D gedraagt zich als V, maar: D(Prisma) = 0 maar D(T) 0
89 Definitie van D Gegeven een lichaam met ribben K 1, K 2,..., K r. Dan heb je: l i R de lengte van de ribbe. θ i R/πZ de hoeken tussen de vlakken bij die ribbe.
90 l i θ i
91 D(F ) := l 1 θ 1 + l 2 θ l r θ r
92 D(F ) is geen getal maar element van een Tensorprodukt R (R/πZ) Dit is een rare groep met rekenregels: (l 1 + l 2 ) θ = l 1 θ + l 2 θ l (θ 1 + θ 2 ) = l θ 1 + l θ 2
93 θ l 1 l 2 θ
94 l θ 1 θ 2
95 De Dehn-invariant von een Prisma is 0,
96 D(Prisma) = 0 omdat 1) l (π/2) + l (π/2) = l π = 0 en 2) de som van de hoeken in een driehoek=π. h θ 1 + h θ 2 + h θ 3 = 0
97 Dus ook D(Yangma) = 2 D(Piehnao) = 0 want D(Piehnao) = D(Prisma) = 0 maar: D(T) 0 omdat cos(α) = 1 3 = α Qπ (de moeilijkste stap)
98 Fazit: Wiskunde is tijdnoos en nooit af.
99 Fazit: Dehn-invariant iets heel geks.
100 Fazit: Tensorprodukten op school?
101 Satz van Sydler (1965): V (F ) = V (G) en D(F ) = D(G) = F G
102 Boekenlijst
103 Over verknippen: S. Coffin: The Puzzling World of Polyhedral Dissections, Oxford University Press, Oxford-NewYork, Greg N. Frederickson: Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 2002.
104 Over Meetkunde: C. Pritchard (ed): The changing shape of geometry. Celebrating a century of Geometry and Geomatry teaching, Cambridge University Press, R. Hartshorne: Geometry, Euclid and beyond, Springer, 2001.
105 Over de problemen van Hilbert: C. Reid: Hilbert, Springer Verlag, Berlin Heidelberg NewYork, F. Browder (ed): Mathematical Problems arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Volume XXVIII, American Mathematical Society, Rhode Island, The master class
106 Over Hilberts derde probleem: V. G. Boltianski: Hilbert s Third Problem, Scripta Series in Mathematics, V. H. Winston & Sons, Washington, C.-H. Sah: Hilbert s third Problem: Scissors Congruence, Research Notes in Mathematics Vol. 33, Pitman, San Francisco-London-Melbourne, P. Cartier: Décomposition des polyèdres: le point sur le troisième probleéme de hilbert, Seminaire Bourbaki, No. 646, (1985).
Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple. Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.
Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.nl Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Veronderstel: zijde
Nadere informatieSelecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1
Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.)
Nadere informatieArchimedes, De methode van de mechanische stellingen, inleiding
Archimedes, De methode van de mechanische stellingen, inleiding en propositie 2. De volgende vertaling is gebaseerd op de editie van Heiberg, vol. 2, pp. 426-430, 438-446, vergeleken met de vertaling van
Nadere informatieCEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus
CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...
Nadere informatieHoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras
Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We
Nadere informatieNiet-euclidische meetkunde
Keuzeonderdeel Wiskunde D Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss Dictaat Versie: 20 februari 2013 Hans van Ballegooij Maaslandcollege Oss Inhoudsopgave 1 De elementen van Euclides 1 2 Niet-euclidische
Nadere informatieStelling van Pythagoras
1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens
Nadere informatieuuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur
4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de
Nadere informatieSelecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1
Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.) 1.
Nadere informatie8.1 Inhoud prisma en cilinder [1]
8.1 Inhoud prisma en cilinder [1] Een prisma heeft twee evenwijdige grensvlakken. Een grondvlak en een bovenvlak. De andere grensvlakken zijn rechthoeken. De hoogte van de prisma is de lengte van de opstaande
Nadere informatie1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.
Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn
Nadere informatieWiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2
Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Paragraaf Loodrechte stand en inproduct Opgave De lijnen HM En BD snijden elkaart, want ze liggen eide in het vlak door de punten H, D, B en M Ze snijden elkaar
Nadere informatieHoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor
Nadere informatie1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 1.1 Verkennende opdrachten 1.1.1 Pythagoras puzzel (mozaïek van Henry Perigal 1801-1898) Open de link naar het bestand 1 Pythagoras_puzzel.htm Gegeven is een rechthoekige driehoek
Nadere informatiepythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras
inhoudsopgave 1 de grote lijn applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een
Nadere informatieWat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016
Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016 Wiskunde is een wetenschap waarin precies geredeneerd wordt over getallen, figuren in de ruimte, of formele structuren in het algemeen. In
Nadere informatieen een punt P BC zodat BP 2. CB.
Oplossingen E F G H Gegeven is de kubus A C D en een punt P C zodat P C a) epaal het snijpunt van de rechte PH met het voorvlak AFE van de kubus De rechte PH ligt in het diagonaalvlak EHC van de kubus
Nadere informatieWiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!
Nadere informatieWiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde
Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier
Nadere informatieEen veralgemening van de stelling van Bolyai-Gerwien
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Zuivere Wiskunde Een veralgemening van de stelling van Bolyai-Gerwien door Nasrien Allegaert Promotor: Jan Van Geel Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatieDe arbelos. 1 Definitie
De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.
Nadere informatieHeron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule
Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 99-99 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination
Nadere informatie6.1 Rechthoekige driehoeken [1]
6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieVraagstukken van de tweede graad
Vraagstukken van de tweede graad 1. Een getal en zijn tweedemacht hebben als som 90. Bepaal dat getal.. Bepaal twee opeenvolgende getallen waarvan de som van de kwadraten 365 is. 3. Verdeel het getal 37
Nadere informatieOppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren
4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren BALK EN KUBUS hoogte Figuur lengte reedte In figuur is een alk getekend. Bij een alk zijn steeds de twee tegenover elkaar liggende vlakken gelijk. Alle vlakken
Nadere informatieSamenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC
Nadere informatieWiskunde C vwo. Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal. Programma
Wiskunde C vwo Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal Programma 1. Vorm en ruimte in Getal & Ruimte 2. Logisch redeneren in Getal & Ruimte 1. Examenprogramma
Nadere informatieIntro. Ludolphs π. Grieken. Motivatie. Conclusie
1 2 3 Van Ceulenjaar 2010 1610 Meester Ludolph 2010 www.ludolphvanceulen.nl 4 www.ludolphvanceulen.nl 5 Van Cirkelkwadraturen Recht en Krom Steven Wepster Departement Wiskunde Universiteit Utrecht NWD,
Nadere informatieWiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde
Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant D zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatiePARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...
PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatie2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.
1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen
Nadere informatieHoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales
Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het
Nadere informatieDomein A: Inzicht en handelen
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het
Nadere informatieSum of Us 2014: Topologische oppervlakken
Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst
Nadere informatieVertaling van een gedeelte uit het Korte Boek over het Rekenen met Restauratie en Confrontatie (al-kitāb al-mukhtaṣar fī l-jabr wa l-muqābala)
Vertaling van een gedeelte uit het Korte Boek over het Rekenen met Restauratie en Confrontatie (al-kitāb al-mukhtaṣar fī l-jabr wa l-muqābala) van Muḥammad ibn Mūsā al-khwārizmī (ca. 830). De onderstaande
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Gelijkvormigheid
Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande
Nadere informatieOpmerking Als de punten A en B op de juiste plaats getekend zijn, maar iedere toelichting ontbreekt, drie punten toekennen.
Een functie f(x) = geeft sin(x + 6 π) = x = π x = 5 π f(x) < geeft π < x < 5 π f (x) = cos(x + 6 π) f (0),7 ( f (0) = ) De hoek van l met de x-as is 60 De hoek van l met de y-as is 0 Trailer-tafel Het
Nadere informatieEen boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3
Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Gemaakt door: Harm Bakker Peter Vaandrager April 2002. Met dank aan mevr.o. De Meulemeester van KSO Glorieux uit Ronse in België. Geschiedenis
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de
Nadere informatieTussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken
Nadere informatieGriekenland DE DRIEDELING VAN EEN HOEK
Griekenland Zoals Berlinghoff schrijft, was de Griekse wiskunde sterk op de meetkunde gericht. We zullen daarom vooral naar de meetkunde kijken. Eerst zullen we twee van de drie klassieke problemen (Berlinghoff
Nadere informatieMeetkundige constructies Leerlingmateriaal
Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een
Nadere informatieDeterminanten. , dan is det A =
Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is
Nadere informatie19 De stelling van Pick
19 De stelling van Pick 19.1 Historiek De Oostenrijkse wiskundige Georg Alexander Pick werd in 1859 geboren in Wenen en werd in 1942, omwille van zijn Joodse afkomst, gedeporteerd naar het concentratiekamp
Nadere informatieWat kan er (niet) zonder ε-δ?
Oneindig klein. Wat kan er (niet) zonder ε-δ? Michel Roelens University Colleges Leuven Limburg Maria-Boodschaplyceum Brussel Hilde Eggermont Sint-Pieterscollege Leuven Redactie Uitwiskeling Afgeleide
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw
Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Symmetrie Complexe Getallen
Nadere informatieWiskunde 1b Oppervlakte
PROFESSIONELE BACHELOR IN HET ONDERWIJS SECUNDAIR ONDERWIJS Auteur: Greet Verhelst, Eddy Greunlinx Lector: Academiejaar 2016-2017 Inhoudsopgave 1 Veelhoekig gebied... 4 2 van een veelhoekig gebied...
Nadere informatiei By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.)
Mathematics. - Over de benadering van ~ in de Aegyptische meetkunde. i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.) 1. In het onderstaande
Nadere informatieRekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )
Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan
Nadere informatieSTELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Nadere informatieOppervlakte en volume door de eeuwen heen Sneetjes of geen sneetjes: that s the question
Oppervlakte en volume door de eeuwen heen Sneetjes of geen sneetjes: that s the question Michel Roelens Deze syllabus bevat enkele fragmenten uit de loep Oppervlakte en volume door de eeuwen heen verschenen
Nadere informatieWisknutselen in de klas: creatief met wiskunde
Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde Florine Meijer, Wisknutsels Inleiding Creativiteit en wiskunde, gaat dat samen? Kan je wiskunde doen en tegelijk knippen en plakken, of haken, breien en borduren?
Nadere informatieWiskunde Uitwerkingen Leerjaar 1 - Periode 3 Meetkunde 3D Hoofdstuk 4 t/m 7
Wiskunde Uitwerkingen Leerjaar - Periode Meetkunde oofdstuk t/m 7 oofdstuk. a). a). a) opp. = ribbe ribbe = ribbe = 8 cm inh. = ribbe ribbe ribbe = ribbe =.78 cm opp. = 00 0 + 0 + 00 = 7.900 cm inh. =
Nadere informatie2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16
Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16
Nadere informatieEen bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek
Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel oktober 005 We bewijzen allereerst de volgende hulpstelling: Hulpstelling 1 De meetkundige
Nadere informatieVraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h
Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton
Nadere informatieDag van de wiskunde. Ideeën voor de klaspraktijk. Kortrijk 26 november Spreker: E. Jennekens
Dag van de wiskunde Kortrijk 26 november 2009 Ideeën voor de klaspraktijk Spreker: E. Jennekens 1. De provincie West-Vlaanderen is 3144 km² groot. Kun je de hele wereldbevolking, 6,7 miljard, verwelkomen
Nadere informatied = 8 cm 2 6 A: = 26 m 2 B: = 20 m 2 C: = 18 m 2 D: 20 m 2 E: 26 m 2
H17 PYTHAGORAS 17.1 INTRO 1 b c d 1 4 4 = 8 cm 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine
Nadere informatieKennemer College Beroepsgericht Programma van Toetsing en Afsluiting schooljaar Proefwerk 60 min 3 Ja Schriftelijk.
Kennemer College Beroepsgericht Programma van Toetsing en Afsluiting schooljaar 2017 2018 Wiskunde 4 Basis Periode Wat moet je kennen en kunnen? (deel)taken Toets-vorm Duur Weging Herkan sing Wijze van
Nadere informatieLeve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam W I N G O = W I S K U N D E - B I N G O W I N G O 17 15 π
Nadere informatieDe twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.
Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek
Nadere informatieEen ander zijvlak is het regelmatige vijfhoek met aantal zijden P=5. Hierbij moeten Q=3 zijvlakken samenkomen in een hoekpunt van het veelvlak.
Praktische-opdracht door een scholier 1498 woorden 6 juni 2003 6,5 134 keer beoordeeld Vak Wiskunde Deelvraag 1: Wat is de definitie van een Platonische Lichaam / Platonisch Veelvlak? De definitie: Een
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 2014 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor
Nadere informatieOrigami Meetkunde. Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011
Origami Meetkunde Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011 Samenvatting In dit dictaat beschouwen we een manier om hoeken en afstanden te construeren: origami. We vergelijken het met het construeren
Nadere informatieHet metriek stelsel. Grootheden en eenheden.
Het metriek stelsel. Metriek komt van meten. Bij het metriek stelsel gaat het om maten, zoals lengte, breedte, hoogte, maar ook om gewicht of inhoud. Er zijn verschillende maten die je moet kennen en die
Nadere informatieAFSTANDEN IN PERSPECTIEF
ESECTIEFTEKENEN AFLEVEING 2 In de eerste aflevering over perspectieftekenen, afgelopen november in ythagoras, hebben we het tekenen van evenwijdige lijnen geïntroduceerd. In deze aflevering denken we na
Nadere informatieVoorkennis meetkunde (tweede graad)
Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige
Nadere informatieOver de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig
Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.
Nadere informatieDE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL
Inhoud GETALLENKENNIS 13 1 Getallen 13 2 Het decimale talstelsel 14 3 Breuken 16 Begrippen 16 Soorten breuken 16 Een breuk vereenvoudigen 17 4 Breuken, percenten, kommagetallen 18 Breuk omzetten in een
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatieOefenopgaven Stelling van Pythagoras.
Oefenopgaven Stelling van Pythagoras. 1. Teken een assenstelsel met daarin de punten A(2,5), B(5,2) en C(9,6). A. Bereken AB, BC en CD. B. Laat door middel van berekening zien dat hoek B van driehoek ABC
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 988-989: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieCabri en Internet. Sangaku. Tangram en de kromme van Von Koch. Cirkels van Apollonius. Mozaïeken. Volgende. Volgende. Cabri Internet Overzicht
Cabri Internet Overzicht Cabri en Internet Volgende Cabri-werkbladen door M.P. Knapper-Kersten april 2000 Met toestemming van de auteur zijn onderstaande door haar ontworpen Cabri-werkbladen opgenomen
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 008-009: eerste ronde 1 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? () 4,444 + 5,555 (B), + 6,666 (C), + 7,777 (D) 5,555 +, (E) 9,999 + 1,111 Voor hoeveel natuurlijke getallen
Nadere informatieHET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET...
In dit artikel laten we zien hoe je een kubus, een rombendodecaëder en een afgeknotte octaëder kunt omvormen tot een. Om de constructie zelf uit te voeren, heb je de bouwtekeningen nodig die bij dit artikel
Nadere informatiePolyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012
2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................
Nadere informatieRekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A
Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk
Nadere informatieMeetkunde. MBO Wiskunde Niveau 4 - Leerjaar 1, periode 3
Meetkunde MBO Wiskunde Niveau 4 - Leerjaar 1, periode 3 LOCATIE: Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal DOMEINEN: Bouwkunde, Werktuigbouw, Research Instrumentmaker LEERWEG: BOL - MBO Niveau 4 DATUM:
Nadere informatieMNEMOTECHNISCHE MIDDELTJES WISKUNDE. 2de 3de graad
MNEMOTECHNISCHE MIDDELTJES WISKUNDE 2de 3de graad n.a.v. Personeelsvergadering 25/11/2014 Hoofdrekenen DELEN VAN NATUURLIJKE GETALLEN. Voorbeeld: 7800 : 6 = 1000 300 7800 : 6 = (6000 : 6) + (1800 : 6)
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieRakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde
Rakende cirkels Keuzeopdracht voor wiskunde Verrijkende opdracht over construeren en redeneren in figuren Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor bekende hoeken als
Nadere informatieEen paradox bij kansrekenen
Een paradox bij kansrekenen 1 Inleiding Sinds Zeno aantoonde dat de snelvoetige Achilles de schildpad nooit zou inhalen, hebben vele paradoxen de wiskundige gemeenschap bezig gehouden. Ook de kanstheorie
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden
WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal
Nadere informatieBereken de oppervlakte van de donkere gedeelten in de tekeningen hieronder.
Oefenopgaven oppervlakte en inhoud 1. Bereken de oppervlakte van de driehoeken en parallellogrammen hieronder. 2. Bereken de oppervlakte van de donkere gedeelten in de tekeningen hieronder. 3. A. Bereken
Nadere informatie7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte
1 Tekenen in roosters Kern 1 Tegelvloeren Kern 2 Oppervlakte Kern 3 Het assenstelsel Kern 4 Rechthoeken 2 Rekenen Kern 1 De rekenmachine Kern 2 Voorrangsregels Kern 3 Afronden Kern 4 Afronden 3 Grafieken
Nadere informatie5,7. Praktische-opdracht door N woorden 4 mei keer beoordeeld
Praktische-opdracht door N. 3292 woorden 4 mei 2001 5,7 175 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding en probleemstelling De laatste jaren hoor je steeds meer over fabrikanten die proberen hun verpakkingen
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 97-9: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (Annual High School Mathematics Examination - USA en
Nadere informatie