Tangram en het derde Problem von Hilbert

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Tangram en het derde Problem von Hilbert"

Transcriptie

1 Tangram en het derde Problem von Hilbert Prof. Dr. Duco van Straten Johannes Gutenberg Universiteit Mainz 5 Februari 2005 Voordracht Noorwijkerhout

2 David Hilbert ( )

3 Parijs 1900 ICM Lijst met 23 wiskundige problemen

4 Parijs 1900 ICM Lijst met 23 wiskundige problemen Problem Nr.3: Die Volumengleichheit zweier Tetraeder von gleicher Grundfläche und Höhe.

5 1. Het eeuwenoude Tangram-Spel

6 1. Het eeuwenoude Tangram-Spel is helemaal niet zo oud! China ca. 1780

7 Het gaat erom leuke figuren te leggen. URL:

8 Zoals deze mooie zwaan:

9 Hier zijn de stukken:

10 Zo moet je ze neerleggen:

11 Schilderij van Jusepe de Ribera (1630) (Madrid)

12 Archimedes,

13 Het Stomachion van Archimedes.

14 Het idee is verder hetzelfde...

15 Vraag: Welke figuren kun je met Tangram leggen?

16 Vraag: Welke figuren kun je met Tangram leggen? De oppervlakte moet kloppen!

17 Vraag: Welke figuren kun je met Tangram leggen? De oppervlakte moet kloppen! Lange dunne figuren kunnen niet!

18 2. De Oppervlakte van Figuren h a A( ) = ah

19 Het Parallelogram h a A( ) = ah

20 De Driehoek h A( a ) = (1/2) ah

21 Nu een willekeurige Figuur F

22 Die delen we natuurlijk op...

23 in driehoeken D 1, D 2, D 3,... D N en zetten dan A(F ) = A(D 1 ) + A(D 2 ) +... A(D N ) We krijgen zo een Funktie A : {F iguren} R, F A(F )

24 3. Het Vloerbedekkingsprobleem Verhuizen naar een andere kamer, met dezelfde oppervlakte. Wat doe je met de vloerbedekking?

25 3. Het Vloerbedekkingsprobleem Verhuizen naar een andere kamer, met dezelfde oppervlakte. Wat doe je met de vloerbedekking? Weggooien?

26 3. Het Vloerbedekkingsprobleem Verhuizen naar een andere kamer, met dezelfde oppervlakte. Wat doe je met de vloerbedekking? Weggooien? Verknippen!

27 Bij deze verhuizing

28 is het vrij makkelijk

29 Maar hoe ga je dit aanpakken?

30 De zijde is 2/ 4 3 = maal groter

31 Opgelost door Dudney, 1902!

32 Voor...

33 ...deze...

34 ...verhuizing...

35 ...moet...

36 ...je...

37 ...zo...

38 ...slim...

39 ...zijn...

40 ...als...

41 Gavin Theobald!

42 Maar is het altijd mogelijk?

43 Vraag: Gegeven figuren F en G met A(F ) = A(G) Kun je de figuur F tot Tangram verknippen, en daaruit de figuur G leggen?

44 Wanneer dit mogelijk is schrijven we F G en noemen F en G schaar-equivalent. Dus: F = F 1 + F F r G = F 1 + F F r waarbij F i kongruent met F i

45 De volgende zaken zijn vrij duidelijk F F F G = G F F G en G H = F H Het is een equivalentie-relatie.

46 G G F H

47

48 Duidelijk is: F G = A(F ) = A(G) maar is omgekeerd waar? A(F ) = A(G) = F G

49

50 Laat geen der Geometrie onwetende hier binnentreden!

51 Euclides ( )

52 De Axiomatische Methode De Elementen Axioma Definitie Stelling BEWIJS!

53 4. Oplossing von het vloerbedekkingsprobleem Stelling: (Euclides, F.Bolyia, P. Gerwien) (1832) A(F ) = A(G) = F G Bewijs:

54 Stap 1: We verdelen F zoals voorheen

55 Stap 2: We werken met de driehoeken en maken er rechthoeken van.

56 Stap 3: Bij rechthoeken met gelijk oppervlak b b ab=a b, b/a = b /a a a

57 Stap 3: b b...heb je evenwijdigheid ab=a b, b/a = b /a a a

58 Stap 3: De truc is... b b ab=a b, b/a = b /a a a

59 Stap 3:...verschuiven! b b ab=a b, a a b/a = b /a

60 Stap 4: In deze situatie...

61 ..moet je eerst halveren.

62 Stap 5: Maak de lengte van alle rechthoeken gelijk 1 1 A(F) en zet ze achter elkaar

63 Stap 6: We hebben nu F R en net zo G R en dus F G QED

64 Pythagoras

65

66 Perigal,(1873)

67 5. 3-D Tangram

68 Chientu

69 Yangma

70 Piehnao

71 Een Kubus

72 is of zijn

73 3 Yangma s

74 En een Piehnao

75 kun je

76 verknippen tot

77 een prisma

78 Een willekeurig lichaam...

79 ...kun je opdelen...

80 ...in Pyramiden

81 Volume van figuur F V (F ) = V (P 1 ) + V (P 2 ) +... V (P N ) Wat is het volume von een pyramide?

82 Stelling van Eudoxos V (P ) = 1 3 HA(B)

83 Eudoxos ( ) Limietproces!

84 Hilberts Vraag: Bestaat er een Tangram-bewijs voor Stelling von Eudoxos? Of, wat op hetzelfde neerkomt: V (F ) = V (G) = F G

85 Max Dehn ( )

86 Stelling van Dehn (1902): Tetraeder en Prisma met gelijk volume T zijn niet schaar-equivalent! W

87 Dehn-Invariant: D(F + G) = D(F ) + D(G) D(F ) = D(F ) F G = D(F ) = D(G).

88 D gedraagt zich als V, maar: D(Prisma) = 0 maar D(T) 0

89 Definitie van D Gegeven een lichaam met ribben K 1, K 2,..., K r. Dan heb je: l i R de lengte van de ribbe. θ i R/πZ de hoeken tussen de vlakken bij die ribbe.

90 l i θ i

91 D(F ) := l 1 θ 1 + l 2 θ l r θ r

92 D(F ) is geen getal maar element van een Tensorprodukt R (R/πZ) Dit is een rare groep met rekenregels: (l 1 + l 2 ) θ = l 1 θ + l 2 θ l (θ 1 + θ 2 ) = l θ 1 + l θ 2

93 θ l 1 l 2 θ

94 l θ 1 θ 2

95 De Dehn-invariant von een Prisma is 0,

96 D(Prisma) = 0 omdat 1) l (π/2) + l (π/2) = l π = 0 en 2) de som van de hoeken in een driehoek=π. h θ 1 + h θ 2 + h θ 3 = 0

97 Dus ook D(Yangma) = 2 D(Piehnao) = 0 want D(Piehnao) = D(Prisma) = 0 maar: D(T) 0 omdat cos(α) = 1 3 = α Qπ (de moeilijkste stap)

98 Fazit: Wiskunde is tijdnoos en nooit af.

99 Fazit: Dehn-invariant iets heel geks.

100 Fazit: Tensorprodukten op school?

101 Satz van Sydler (1965): V (F ) = V (G) en D(F ) = D(G) = F G

102 Boekenlijst

103 Over verknippen: S. Coffin: The Puzzling World of Polyhedral Dissections, Oxford University Press, Oxford-NewYork, Greg N. Frederickson: Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 2002.

104 Over Meetkunde: C. Pritchard (ed): The changing shape of geometry. Celebrating a century of Geometry and Geomatry teaching, Cambridge University Press, R. Hartshorne: Geometry, Euclid and beyond, Springer, 2001.

105 Over de problemen van Hilbert: C. Reid: Hilbert, Springer Verlag, Berlin Heidelberg NewYork, F. Browder (ed): Mathematical Problems arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Volume XXVIII, American Mathematical Society, Rhode Island, The master class

106 Over Hilberts derde probleem: V. G. Boltianski: Hilbert s Third Problem, Scripta Series in Mathematics, V. H. Winston & Sons, Washington, C.-H. Sah: Hilbert s third Problem: Scissors Congruence, Research Notes in Mathematics Vol. 33, Pitman, San Francisco-London-Melbourne, P. Cartier: Décomposition des polyèdres: le point sur le troisième probleéme de hilbert, Seminaire Bourbaki, No. 646, (1985).

Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple. Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.

Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple. Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft. Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.nl Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Veronderstel: zijde

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.)

Nadere informatie

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur 4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de

Nadere informatie

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...

Nadere informatie

Archimedes, De methode van de mechanische stellingen, inleiding

Archimedes, De methode van de mechanische stellingen, inleiding Archimedes, De methode van de mechanische stellingen, inleiding en propositie 2. De volgende vertaling is gebaseerd op de editie van Heiberg, vol. 2, pp. 426-430, 438-446, vergeleken met de vertaling van

Nadere informatie

Stelling van Pythagoras

Stelling van Pythagoras 1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2 Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Paragraaf Loodrechte stand en inproduct Opgave De lijnen HM En BD snijden elkaart, want ze liggen eide in het vlak door de punten H, D, B en M Ze snijden elkaar

Nadere informatie

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras inhoudsopgave 1 de grote lijn applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een

Nadere informatie

Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016

Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016 Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016 Wiskunde is een wetenschap waarin precies geredeneerd wordt over getallen, figuren in de ruimte, of formele structuren in het algemeen. In

Nadere informatie

8.1 Inhoud prisma en cilinder [1]

8.1 Inhoud prisma en cilinder [1] 8.1 Inhoud prisma en cilinder [1] Een prisma heeft twee evenwijdige grensvlakken. Een grondvlak en een bovenvlak. De andere grensvlakken zijn rechthoeken. De hoogte van de prisma is de lengte van de opstaande

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1

Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.) 1.

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99-99 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant D zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren BALK EN KUBUS hoogte Figuur lengte reedte In figuur is een alk getekend. Bij een alk zijn steeds de twee tegenover elkaar liggende vlakken gelijk. Alle vlakken

Nadere informatie

1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 1.1 Verkennende opdrachten 1.1.1 Pythagoras puzzel (mozaïek van Henry Perigal 1801-1898) Open de link naar het bestand 1 Pythagoras_puzzel.htm Gegeven is een rechthoekige driehoek

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx

Nadere informatie

Oppervlakte en volume door de eeuwen heen Sneetjes of geen sneetjes: that s the question

Oppervlakte en volume door de eeuwen heen Sneetjes of geen sneetjes: that s the question Oppervlakte en volume door de eeuwen heen Sneetjes of geen sneetjes: that s the question Michel Roelens Deze syllabus bevat enkele fragmenten uit de loep Oppervlakte en volume door de eeuwen heen verschenen

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid

Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande

Nadere informatie

Griekenland DE DRIEDELING VAN EEN HOEK

Griekenland DE DRIEDELING VAN EEN HOEK Griekenland Zoals Berlinghoff schrijft, was de Griekse wiskunde sterk op de meetkunde gericht. We zullen daarom vooral naar de meetkunde kijken. Eerst zullen we twee van de drie klassieke problemen (Berlinghoff

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] 6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2014 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het

Nadere informatie

i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.)

i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.) Mathematics. - Over de benadering van ~ in de Aegyptische meetkunde. i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.) 1. In het onderstaande

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

19 De stelling van Pick

19 De stelling van Pick 19 De stelling van Pick 19.1 Historiek De Oostenrijkse wiskundige Georg Alexander Pick werd in 1859 geboren in Wenen en werd in 1942, omwille van zijn Joodse afkomst, gedeporteerd naar het concentratiekamp

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 988-989: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

Dag van de wiskunde. Ideeën voor de klaspraktijk. Kortrijk 26 november Spreker: E. Jennekens

Dag van de wiskunde. Ideeën voor de klaspraktijk. Kortrijk 26 november Spreker: E. Jennekens Dag van de wiskunde Kortrijk 26 november 2009 Ideeën voor de klaspraktijk Spreker: E. Jennekens 1. De provincie West-Vlaanderen is 3144 km² groot. Kun je de hele wereldbevolking, 6,7 miljard, verwelkomen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 97-9: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (Annual High School Mathematics Examination - USA en

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de

Nadere informatie

Wat kan er (niet) zonder ε-δ?

Wat kan er (niet) zonder ε-δ? Oneindig klein. Wat kan er (niet) zonder ε-δ? Michel Roelens University Colleges Leuven Limburg Maria-Boodschaplyceum Brussel Hilde Eggermont Sint-Pieterscollege Leuven Redactie Uitwiskeling Afgeleide

Nadere informatie

Dynamische meetkunde. Een reactie op euclides 84-8

Dynamische meetkunde. Een reactie op euclides 84-8 Dynamische meetkunde Een reactie op euclides 84-8 Dit stuk is geschreven naar aanleiding van enkele toevalligheden die bij elkaar kwamen in Euclides nummer 8 van juli 2009. De eerste aanleiding was het

Nadere informatie

Volume doorheen de eeuwen: in stukjes of in plakjes?

Volume doorheen de eeuwen: in stukjes of in plakjes? Volume doorheen de eeuwen: in stukjes of in plakjes? Michel Roelens geïntegreerde lerarenopleiding bachelor secundair onderwijs Katholieke Hogeschool Limburg, Diepenbeek Maria Boodschaplyceum, Brussel

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS HAVO 17.1 INTRO 1 b c 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100 1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder

Nadere informatie

5.1 Punten, lijnen en vlakken [1]

5.1 Punten, lijnen en vlakken [1] 5.1 Punten, lijnen en vlakken [1] Snijdende lijnen hebben een snijpunt. De snijdende lijnen FH en EG liggen in het vlak EFGH. Snijdende lijnen liggen altijd in één vlak. Een vlak is altijd plat en heeft

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde

Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde Florine Meijer, Wisknutsels Inleiding Creativiteit en wiskunde, gaat dat samen? Kan je wiskunde doen en tegelijk knippen en plakken, of haken, breien en borduren?

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

DE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL

DE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL Inhoud GETALLENKENNIS 13 1 Getallen 13 2 Het decimale talstelsel 14 3 Breuken 16 Begrippen 16 Soorten breuken 16 Een breuk vereenvoudigen 17 4 Breuken, percenten, kommagetallen 18 Breuk omzetten in een

Nadere informatie

Opgave 4. Opgave 5. Opgave 6. (5) a) Isoleer de variabele B uit de formule P A B P B. (6) b) Isoleer de variabele B uit de formule

Opgave 4. Opgave 5. Opgave 6. (5) a) Isoleer de variabele B uit de formule P A B P B. (6) b) Isoleer de variabele B uit de formule EXAMEN SCHAKELCURSUS MIDDELBARE LASTECHNIEK WISKUNDE 009 Datum: 14 jan 009 Aantal opgaven: 6 Beschikbare tijd: 100 minuten De maximale score is 90 punten, vooraf 10 punten: totaal 100 punten. Aantal te

Nadere informatie

De stelling van Pick. Dion Gijswijt

De stelling van Pick. Dion Gijswijt Sommige wiskundige stellingen zijn zo fantastisch simpel en elegant, dat je je afvraagt: Waarom ben ik daar niet op gekomen! Dit stukje gaat over precies zo n stelling: eenvoudiger dan de stelling van

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34)

Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) - 39- Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) Som hoekgrootten van een driehoek ( boek pag 35) Stelling: Voor ABC geldt: A ˆ + Bˆ + Cˆ = 180 o Bewijs: Trek door het punt A een rechte

Nadere informatie

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen 7 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp "Vectormeetkunde" doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994-1995 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

Tussendoelen in MathPlus

Tussendoelen in MathPlus MALMBERG UITGEVERIJ B.V. Tussendoelen in MathPlus Versie 1 Inhoud Tussendoelen onderbouw in MathPlus... 2 Tabel tussendoelen... 2 1HVG... 7 Domein Rekenen... 7 Domein Meten en tekenen... 9 Domein Grafieken

Nadere informatie

4 - Stelling van Pythagoras

4 - Stelling van Pythagoras 4 - Stelling van Pythagoras De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: D1 - Maak de 5 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. D2 - Maak een powerpoint over de stelling van

Nadere informatie

Oefenopgaven Stelling van Pythagoras.

Oefenopgaven Stelling van Pythagoras. Oefenopgaven Stelling van Pythagoras. 1. Teken een assenstelsel met daarin de punten A(2,5), B(5,2) en C(9,6). A. Bereken AB, BC en CD. B. Laat door middel van berekening zien dat hoek B van driehoek ABC

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

Wiskunde C vwo. Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal. Programma

Wiskunde C vwo. Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal. Programma Wiskunde C vwo Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal Programma 1. Vorm en ruimte in Getal & Ruimte 2. Logisch redeneren in Getal & Ruimte 1. Examenprogramma

Nadere informatie

Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam W I N G O = W I S K U N D E - B I N G O W I N G O 17 15 π

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 20 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen 1 We proberen alle mogelijkheden van klein naar groot: p = 1 is uitgesloten: dan zou elke dag hetzelfde resultaat geven. p = 2 is uitgesloten: dan zouden dag 1 en

Nadere informatie

MNEMOTECHNISCHE MIDDELTJES WISKUNDE. 2de 3de graad

MNEMOTECHNISCHE MIDDELTJES WISKUNDE. 2de 3de graad MNEMOTECHNISCHE MIDDELTJES WISKUNDE 2de 3de graad n.a.v. Personeelsvergadering 25/11/2014 Hoofdrekenen DELEN VAN NATUURLIJKE GETALLEN. Voorbeeld: 7800 : 6 = 1000 300 7800 : 6 = (6000 : 6) + (1800 : 6)

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

PTA wiskunde BBL Kijkduin, Statenkwartier, Waldeck cohort

PTA wiskunde BBL Kijkduin, Statenkwartier, Waldeck cohort Eindtermen wiskunde BBL WI/K/1 Oriëntatie op leren en WI/K/2 Basisvaardigheden Leervaardigheden in het WI/K/4 Algebraïsche verbanden Rekenen, meten en Meetkunde WI/K/7 Informatieverwerking, Geïntegreerde

Nadere informatie

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016 In het juninummer zagen we hoe we met behulp van de piramidemethode en invarianten ruimtelijke figuren binnenstebuiten kunnen keren. Aan de invarianten stelden we voorwaarden, zoals dat alle vlakken zoveel

Nadere informatie

EXAMEN SCHAKELCURSUS MIDDELBARE LASTECHNIEK WISKUNDE 2010

EXAMEN SCHAKELCURSUS MIDDELBARE LASTECHNIEK WISKUNDE 2010 EXAMEN SCHAKELCURSUS MIDDELBARE LASTECHNIEK WISKUNDE 010 Datum: 13 januari 010 Aantal opgaven: 6 Beschikbare tijd: 100 minuten De maximale score is 90 punten, vooraf 10 punten: totaal 100 punten. Aantal

Nadere informatie

Stelling van Pythagoras vmbo-kgt12. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.

Stelling van Pythagoras vmbo-kgt12. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Auteur VO-content Laatst gewijzigd Licentie Webadres 25 May 2016 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/57160 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs Maken van

Nadere informatie

gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek

gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid gelijkvormigheid 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn

Nadere informatie

Bewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR

Bewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR Cabri-vraag VRAAG Hoe teken je een kegelsnede waarvan een punt P, een brandpunt F en de bij F behorende richtlijn r gegeven zijn? ANTWOORD Zoals bekend kan je met Cabri een kegelsnede tekenen (we spreken

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Meten, rekenen en redeneren in de ruimte

Meten, rekenen en redeneren in de ruimte Dag van Wiskunde tweede en derde graad 18 november 2006 Werkwinkel 9 Meten, rekenen en redeneren in de ruimte Jan Roels Deze workshop sluit aan bij de volgende eindterm van de tweede graad: de leerlingen

Nadere informatie

Vraagstukken van de tweede graad

Vraagstukken van de tweede graad Vraagstukken van de tweede graad 1. Een getal en zijn tweedemacht hebben als som 90. Bepaal dat getal.. Bepaal twee opeenvolgende getallen waarvan de som van de kwadraten 365 is. 3. Verdeel het getal 37

Nadere informatie

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1

Nadere informatie

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Gemaakt door: Harm Bakker Peter Vaandrager April 2002. Met dank aan mevr.o. De Meulemeester van KSO Glorieux uit Ronse in België. Geschiedenis

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie

Wiskunde Opdrachten Pythagoras

Wiskunde Opdrachten Pythagoras Wiskunde Opdrachten Pythagoras Opdracht 1. Teken een assenstelsel met daarin de punten A(2,5), B(5,2) en C(9,6). A. Bereken AB, BC en AC. B. Laat door middel van berekening zien dat hoek B van driehoek

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen

Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen l. e omtrek van een rechthoek is 8 m en de diagonaal 10 m. Welke afmetingen heeft deze rechthoek?. Bereken x zodat de opp van de rechthoek even groot

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen. Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Tweede Ronde e tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt (opnieuw) als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord

Nadere informatie

Het volume van een piramide

Het volume van een piramide Michel Roelens hield op de NWD van 2008 een inspirerende workshop over de vraag of je een volume moest benaderen als een verzameling stukjes of juist als een groot aantal plakjes. Met een dramatische ontknoping...

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie