Lévy-processen en bijhorende stochastische calculus

Transcriptie

1 Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde Voorzitter: Prof. Dr. G. Vanden Berghe Lévy-processen en bijhorende stochastische calculus door Geert Van Mol Promotor: Prof. Dr. M. Vanmaele Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van Master in de wiskunde optie Zuivere Wiskunde Academiejaar 29-21

2 VOORWOORD i Voorwoord Wie de voorbije twee jaar niets gehoord of gemerkt heeft van de financiële crisis, moet haast wel op een andere planeet geleefd hebben. Als er iets is dat die crisis vooral heeft duidelijk gemaakt, is dat banken en de financiële markten enorm belangrijk zijn geworden en dat als er iets fout loopt in het financiële systeem, de hele economie daar de gevolgen van ondervindt. Eén van de oorzaken voor de crisis was dat banken zeer risicovolle posities hadden ingenomen, zowel in minder kredietwaardige leningen als in afgeleide producten. De derivatenmarkt is sinds 1973 (met de ontdekking van de Black-Scholes formule enorm gegroeid. Ondanks het feit dat deze producten blijkbaar ook misbruikt kunnen worden, zijn ze onmisbaar in het financiële systeem, omdat ze een partij toelaten om zijn risico te beperken of zelfs te elimineren. De laatste jaren is in de financiële wiskunde echter het besef gegroeid dat de oorspronkelijke Black-Scholes formule ontoereikend is. Ze gaat immers uit van het feit dat Brownse bewegingen de drijfveer zijn voor de prijsschommelingen van aandelen. Dit is echter niet helemaal in overeenstemming met de realiteit, omdat aandelenkoersen ook sprongen kunnen maken. Een stochastisch proces dat deze sprongen wel toelaat is het Lévy-proces. We beginnen deze thesis met enkele algemeenheden omtrent kans- en maattheorie, waarna we het Lévy-proces definiëren. Vervolgens leiden we de bekende Lévy-Itô ontbinding af, die een algemeen Lévy-proces opsplitst in een Brownse beweging, een martingaalproces met kleine sprongen en een proces met grote sprongen. Daarna gaan we over tot stochastische integratie met de welbekende formules van Itô, waarna we het raamwerk ontwikkelen voor de wiskundige beschrijving van aandelenmarkten. Dit bevat ondermeer de stelling van Girsanov en de martingaalrepresentatie, wat toelaat om risiconeutrale maten te definiëren. Het laatste hoofdstuk leidt dan tot de ontwikkeling van de algemene Black-Scholes formule

3 voor de prijsbepaling van Europese opties op aandelen die gedreven worden door Lévyprocessen. De inhoud van deze scriptie is gebaseerd op de hoofdstukken 1, 2, 4 en 5 van het boek Lévy Processes and Stochastic Calculus van David Applebaum [1]. Er rest mij natuurlijk ook om enkele mensen te bedanken. In de eerste plaats mijn promotor, professor Vanmaele, niet alleen voor het vele verbeterwerk en de goede begeleiding, maar ook om een toch eerder toegepast onderwerp toegankelijk te maken voor een student uit de zuivere wiskunde. Ik heb met veel plezier haar cursussen over financiële wiskunde gevolgd en vond dit onderwerp zeer interessant om een heel jaar aan te werken. Daarnaast mijn ouders, voor de niet-aflatende steun gedurende mijn studie en mijn hele schoolcarrière. De laatste jaren vielen mee, maar ook toen de lessenreeksen loodzwaar waren, stonden jullie altijd klaar voor mij. Aan mijn vriendin, ook al heb je niet de hele reis meegemaakt, de laatste twee jaar waren mooier dan ik mij ooit had kunnen voorstellen. Als ik zat te worstelen met een bewijs waar ik niet uit raakte, bracht je mij altijd de rust die ik nodig had. En ook aan al mijn studiegenoten, voor de aangename tijd die ik met jullie in Gent mocht doorbrengen. Bedankt. Geert Van Mol, juni 21

4 TOELATING TOT BRUIKLEEN iii Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie. Geert Van Mol, juni 21

5 INHOUDSOPGAVE iv Inhoudsopgave Voorwoord Toelating tot bruikleen Inhoudsopgave i iii iii 1 Kans- en Maattheorie Inleidende begrippen Maten en meetbare ruimten Stochastische Veranderlijken Integraal m.b.t. een maat Functieruimten Voorwaardelijke verwachting Convergentie van een s.v Karakteristieke functies Elementaire eigenschappen Stochastische processen Oneindige deelbaarheid Convolutie Voorbeelden van oneindige deelbaarheid Stelling van Lévy-Khintchine Lévy-processen Definitie en elementaire stellingen Voorbeelden Brownse beweging Poissonproces Samengesteld Poissonproces Interlacing proces Subordinatoren Canonische Lévy-processen

6 INHOUDSOPGAVE v Convolutie-semigroepen Modificaties Martingalen en Markovprocessen Filtraties Geadapteerde processen Martingalen Martingaalruimten Markovprocessen Stoptijden Lokale martingalen Sprongprocessen Stochastische Poissonmaten Stochastische maten Poissonintegratie Eindige variatie Lévy-Itô ontbinding Inleidende stellingen Lévy-Itô ontbinding Semimartingalen Stochastische integratie Inleiding Integrators Integranda L 2 -integratie Uitgebreide integratie Brownse stochastische integraal Poisson stochastische integraal Lévy stochastische integraal Formule van Itô Formule van Itô voor Brownse integralen Formule van Itô voor Lévy integralen Productformule van Itô Toepassingen Exponentiële martingalen en verandering van maat Exponentiële martingalen Doléans-Dade exponentiële

7 INHOUDSOPGAVE vi Lévy integralen Y als lokale martingalen e Y als exponentiële martingaal Verandering van maat Stelling van Girsanov Martingaalrespresentatie Prijzen van opties Lévy-processen als model voor aandelenprijzen De risiconeutrale maat Black-Scholes formule Complete markten Incomplete markten A Introductie tot financiële wiskunde 124 A.1 Geschiedenis A.2 Opties A.2.1 Terminologie A.2.2 Soorten opties A.2.3 Put-call pariteit A.3 Basisdefinities A.3.1 Arbitrage en risiconeutrale maat A.3.2 Portfolio s A.4 Fundamentele theorema s Bibliografie 131 Lijst met afkortingen 134

8 KANS- EN MAATTHEORIE 1 Hoofdstuk 1 Kans- en Maattheorie 1.1 Inleidende begrippen Maten en meetbare ruimten Definitie Zij F een collectie deelverzamelingen van een niet-ledige verzameling S, dan is F een σ-algebra indien: 1. S F. 2. A F A c F. 3. Als (A n, n N een rij is in F dan is A n F. n=1 n=1 F is dus een collectie deelverzamelingen van S die gesloten is onder de unie en het complement. G is een sub-σ-algebra van F indien G een σ-algebra is en A G A F. Het koppel (S, F is een meetbare ruimte. Op zo n ruimte kunnen we een willekeurige maat definiëren. Definitie Een maat op (S, F is een afbeelding µ : F [, ] zodanig dat: 1. µ( =. ( 2. µ A n = µ(a n, voor elke rij (A n, n N bestaande uit onderling disjuncte n=1 verzamelingen in F. Het triplet (S, F, µ is een maatruimte. De totale massa van S is µ(s en indien deze eindig is noemen we de maat µ eindig. µ is σ-eindig indien er een bedekking (A n, n N van S bestaat met elke µ(a n <. Er zijn twee maten die we veelvuldig zullen gebruiken.

9 1.1 Inleidende begrippen 2 Borelmaten De Borel σ-algebra B(R d van R d is de kleinste collectie deelverzamelingen van R d die alle open verzamelingen bevat. Het eenvoudigste voorbeeld van een maat op B(R d is de Lebesguemaat. Voor open verzamelingen van de vorm A = d i=1(a i, b i is deze gedefinieerd d als µ(a = (b i a i. Deze maat is niet eindig, maar wel σ-eindig. i=1 Voor een willekeurige verzameling S B(R d is B(S = { E S; E B(R d }. Elementen hieruit noemen we Borelverzamelingen en elke maat hierop gedefinieerd is een Borelmaat. Kansmaten In dit geval is S = Ω en deze verzameling stelt alle mogelijke uitkomsten voor van een zeker kansexperiment. Elementen van de bijhorende σ-algebra noemen we gebeurtenissen. Een kansmaat op (Ω, F is een maat P die voldoet aan de bijkomende voorwaarde P (Ω = 1. De totale massa van deze maat is dus 1 en bijgevolg zijn alle kansmaten eindige maten. Het triplet (Ω, F, P is een kansruimte. In deze context spreken we ook nog van eigenschappen die bijna zeker (b.z. zijn. Dit betekent dat de verzameling van alle elementen waarvoor de eigenschap niet geldt er een is met maat. Indien (A(n, n N een rij is in F met A(n A(n + 1 dan schrijven we A(n A met A = A(n. Dan geldt ook dat µ(a = lim µ(a(n. Als µ een kansmaat is, spreken n n=1 we bij zo n limiet dan van continuïteit van kans Stochastische Veranderlijken Definitie Zij (S 1, F 1 en (S 2, F 2 twee meetbare ruimten. Een afbeelding f : S 1 S 2 is (F 1, F 2 -meetbaar indien voor alle A F 2 : f 1 (A F 1. Voor een gegeven kansruimte (Ω, F, P is een stochastische veranderlijke (s.v. een meetbare afbeelding van Ω in R d. In het speciale geval dat S 1 R d, S 2 R m en F i = B(S i noemen we f Borelmeetbaar. Een paar begrippen zijn onlosmakelijk verbonden met een s.v. X. De verdeling (of distributie van X is de kansmaat p X = P X 1. Hierbij moet wel vermeld worden dat een verdeling niet gelijk is aan de variabele zelf. Verschillende veranderlijken kunnen immers dezelfde verdeling hebben en dan noemen we ze identiek verdeeld. Anderzijds kan

10 1.1 Inleidende begrippen 3 een s.v. ook verschillende verdelingen hebben onder verschillende kansmaten. De cumulatieve verdelingsfunctie is de rechts continue en stijgende functie: F X : R d [, 1] : (x 1,, x d p X ((, x 1 (, x d. Een s.v. X is meetbaar m.b.t. een σ-algebra F indien voor elke Borelverzameling A van R d geldt dat X 1 (A F. De kleinste σ-algebra waarvoor dit geldt is de σ-algebra voortgebracht door X, genoteerd σ(x. Zij S een Borelverzameling van R d. B b (S is de ruimte van alle Borelmeetbare functies die begrensd zijn m.b.t. de supremumnorm ( f = sup f(x. C b (S is de deelruimte van x S B b (S die alle continue functies bevat, C (S bevat de continue functies die verdwijnen op en C c (S bevat alle continue functies met compacte drager. Dit geeft aanleiding tot de volgende relaties: C c (S C (S C b (S B b (S. (1.1 Indien S zelf compact is vallen de eerste drie ruimten samen. De ruimte Bb n (S bevat alle functies uit B b (S waarvan de partiële afgeleiden t.e.m. orde n bestaan en tot B b (S behoren. Definitie Zij (S, F een meetbare ruimte. Een meetbare functie f : S R d is n simpel indien f = c j χ Aj voor een zekere n N, met c j R d en A j F, 1 j n. j=1 Hierbij is χ A de indicatorfunctie met het volgende voorschrift: { 1 als x A χ A (x = als x / A Integraal m.b.t. een maat We beginnen met het eenvoudigste geval, de integraal van een simpele functie f = m.b.t. µ: I µ (f = n c j χ Aj j=1 n c j µ(a j. (1.2 j=1 Aangezien elke niet-negatieve meetbare functie willekeurig dicht kan benaderd worden door simpele functies, wordt de integraal van een dergelijke functie: I µ (f = sup{i µ (g, g f en g simpel}. (1.3

11 1.1 Inleidende begrippen 4 Definitie Met een meetbare functie f associëren we volgende twee niet-negatieve meetbare functies: ˆ f + = max{f, }. ˆ f = max{ f, }. De integraal van zo n algemene meetbare functie wordt dan: I µ (f = I µ (f + I µ (f (1.4 en we noteren: I µ (f = f(xµ(dx. We noemen f integreerbaar indien I µ (f + < en I µ (f <. Tot slot merken we ook nog op dat we via indicatorfuncties eenvoudig de overgang kunnen maken naar een willekeurig integratiegebied A F: f(xµ(dx = A Definitie De verwachtingswaarde van een s.v. is E(X = µ X = X(ωP (dω = xp X (dx. Ω R d f(xχ A (xµ(dx. (1.5 Twee begrippen die hieruit volgen zijn de covariantie tussen twee s.v.: Cov(X, Y = E[(X µ X (Y µ Y ] en de variantie van een s.v. X, Var(X = σ 2 X = Cov(X, X. Stelling (Ongelijkheid van Jensen Indien f : R R een convexe functie is en zowel X als f(x integreerbaar zijn, dan geldt dat E(f(X f(e(x. Voor een ééndimensionale s.v. kunnen we een n-de moment definiëren: E(X n. Stelling (Ongelijkheid van Chebyshev-Markov met C >, α R en n N. P ( X αµ X C E( X αµ X n C n (1.6

12 1.1 Inleidende begrippen 5 Speciale gevallen hiervan zijn de ongelijkheid van Chebyshev (n = 2, α = 1 en de ongelijkheid van Markov (n = 1, α =. Stelling (Monotone convergentie Zij (f n, n N een rij niet-negatieve meetbare functies op S die bijna overal (b.o. convergeert, dan is monotoon stijgt en b.o. puntsgewijze naar f lim f n (xµ(dx = f(xµ(dx. n S S Stelling (Gedomineerde convergentie Zij (f n, n N een rij meetbare functies op S die b.o. puntsgewijze naar f convergeert en zij g een niet-negatieve, integreerbare functie, zodat voor alle n N geldt dat f n (x g(x b.o., dan is: f n (xµ(dx = f(xµ(dx. lim n Functieruimten S Definitie De p-norm van een meetbare afbeelding f : S R d is: [ f p = S S ] 1 f(x p p µ(dx, 1 p <. De ruimte L p (S, F, µ, R d (of kortweg L p (S bevat alle equivalentieklassen van meetbare afbeeldingen met eindige p-norm die b.o. samenvallen. Indien deze ruimte een aftelbare, dichte deelverzameling heeft, noemen we ze separabel. In het geval p = 2 hebben we een Hilbertruimte met inproduct f, g = (f(x, g(xµ(dx waarbij (f(x, g(x het inproduct voorstelt in R d. f en g zijn orthogonaal indien f, g = S. Stelling (Ongelijkheid van Hölder Zij p en q beiden groter dan 1 en 1 p + 1 q = 1. Als f L p (S en g L q (S dan is (f, g L 1 (S en (f, g 1 f p g q. (1.7 Indien p = q = 2 spreken we van de Cauchy-Schwarz ongelijkheid (C.S Voorwaardelijke verwachting Definitie Een maat ν op (S, F is absoluut continu m.b.t. µ indien A F met µ(a = ν(a =. We noteren dit als ν µ.

13 1.1 Inleidende begrippen 6 Twee maten zijn equivalent indien ze wederzijds absoluut continu zijn. Dit betekent dat ze dezelfde nulverzamelingen hebben. Een zeer belangrijke stelling i.v.m. absolute continuïteit is de volgende: Stelling (Radon-Nikodým Als µ σ-eindig en ν eindig is, met bovendien ν µ, dan bestaat er een meetbare functie g : S R + zodanig dat voor alle A F geldt dat: ν(a = A g(xµ(dx. De functie g wordt dan symbolisch genoteerd als dν en noemen we de Radon-Nikodým dµ afgeleide van ν naar µ. Zij nu X een niet-negatieve s.v. die waarden aanneemt in R, met E(X < en G een sub-σ-algebra van F. We introduceren een eindige maat Q X op (Ω, G met het voorschrift Q X (A = E(Xχ A, A G. Er geldt dan dat Q X volgende definitie zin heeft: Definitie De voorwaardelijke verwachting (v.v. van X m.b.t. G is E(X G = dq X dp. P, waardoor de De v.v. is dus opnieuw een s.v. die P -b.z. uniek gedefinieerd is. We breiden dit als volgt uit voor een willekeurige s.v. X met waarden in R en E( X < : E(X G = E(X + G E(X G. Indien X = (X 1,..., X d waarden aanneemt in R d en bovendien E( X <, ligt de volgende uitbreiding voor de hand: E(X G = (E(X 1 G,..., E(X d G. De v.v. wordt soms verkort genoteerd: E(X G = E G (X. Er zijn vijf fundamentele eigenschappen verbonden aan de v.v. die we hieronder opsommen: ˆ E(X G is G-meetbaar. ˆ Buitenzetten wat gekend is: als Y G-meetbaar is en E( (X, Y <, dan is E((X, Y G = (E(X G, Y b.z. ˆ Toreneigenschap: als H een sub-σ-algebra is van G, dan is E(E(X G H = E(X H b.z.

14 1.1 Inleidende begrippen 7 ˆ E(X G E( X G b.z. ˆ Jensen s ongelijkheid: E(f(X G f(e(x G met f convex. Als Y een s.v. is gedefinieerd op dezelfde kansruimte als X dan schrijven we E(X σ(y = E(X Y. We kunnen ook de voorwaardelijke kans van een gebeurtenis A F gegeven G beschrijven: P (A G = E(χ A G. Dit is niet noodzakelijk een echte kansmaat op F. Definitie Een rij sub-σ-algebra s (F n, n N ( noemen we onafhankelijk indien n n voor elk n-tal i 1,..., i n en elke A ij F j geldt dat P A ij = P (A ij. j=1 j=1 Een rij s.v. is onafhankelijk indien de σ-algebra s die ze voortbrengen onafhankelijk zijn. Een s.v. X en een sub-σ-algebra G van F zijn onafhankelijk indien σ(x en G onafhankelijk zijn. Dit leidt tot nog een eigenschap van v.v.: Zij X onafhankelijk van G, dan is E(X G = E(X b.z. Lemma (Onafhankelijkheidslemma Zij G een sub-σ-algebra van F. Als X en Y s.v. zijn met waarden in R d zodanig dat X G-meetbaar is en Y onafhankelijk is van G, dan is E(f(X, Y G = G f (X b.z. (1.8 voor alle f B b (R 2d en waarbij G f (x = E(f(x, Y, voor alle x R d. Zie [27, p.7]. Definitie Het product van de ruimten {(S i, F i, µ i, 1 i n} is de ruimte (S, F, µ, waarbij S gelijk is aan het cartesiaans product S 1 S n en F de kleinste σ-algebra is die alle verzamelingen van de vorm A 1 A n met A i F i bevat. n µ(a 1 A n = µ i (A i noemen we de productmaat. i= Convergentie van een s.v. Zij (X(n, n N een rij s.v. en X een s.v. die waarden aannemen in R d. ˆ X(n convergeert naar X b.z. als lim n X(n(ω = X(ω, voor alle ω Ω N met P (N =, N F.

15 1.1 Inleidende begrippen 8 ˆ X(n convergeert naar X in L p, 1 p < als lim E( X(n X p =. Als n p = 2 spreken we van convergentie in mean square en dit wordt genoteerd als L 2 lim n X(n = X. ˆ X(n convergeert naar X in probabiliteit als voor alle a >, lim n P ( X(n X > a =. ˆ X(n convergeert naar Xin verdeling als lim f(xp X(n (dx = f(xp X (dx, f C b (R d. n R d R d De volgende relaties zijn hierbij van belang: convergentie b.z. convergentie in probabiliteit convergentie in distributie convergentie in L p convergentie in probabiliteit convergentie in distributie Als X(n naar X convergeert in probabiliteit, dan bestaat er een deelrij van X(n die b.z. naar X convergeert. Lemma Als (X(n, n N en (Y (n, n N rijen s.v. zijn waarvoor X(n X in probabiliteit en Y (n b.z. dan X(nY (n in probabiliteit. Voor alle n N en a >, bekomen we achtereenvolgens: P ( X(nY (n > a = P ( X(nY (n XY (n + XY (n > a P ( X(nY (n XY (n > a 2 + P ( XY (n > a 2. De tweede term van deze som nadert tot aangezien XY (n b.z. XY (n in probabiliteit. Voor de eerste term maken we, zonder verlies van algemeenheid, de veronderstelling dat: voor voldoende grote n en we definiëren voor alle k > : Er volgt voor een willekeurige a > : P (ω Ω Y (n(ω = =, (1.9 N k = {ω Ω Y (n(ω k}, P ( X(nY (n XY (n > a 2 P ( Y (n X(n X > a 2 = P ( Y (n X(n X > a 2, N k +P ( Y (n X(n X > a 2, N c k P ( X(n X > a + P ( Y (n > k. 2k

16 1.2 Karakteristieke functies 9 Hier nadert nu de eerste term tot omdat X(n X in probabiliteit, terwijl de tweede nadert tot omdat Y (n b.z. (en dus ook in probabiliteit tot nadert. Onderstelling (1.9 is nodig omdat anders Y (n X(n X > a niet zinvol is. We beschouwen dus m.a.w. 2 alleen de rijen die naar convergeren zonder effectief identisch te worden vanaf een zekere n. 1.2 Karakteristieke functies Definitie De karakteristieke functie van een s.v. X gedefinieerd op (Ω, F, P en met verdeling p X, is de functie φ X : R d C met voorschrift: φ X (u = E(e i(u,x = e i(u,x(ω P (dω = Ω e i(u,y p X (dy, R d voor alle u R d Elementaire eigenschappen ˆ φ X (u 1 ˆ φ X ( u = φ X (u ˆ Als X = (X 1,..., X d en E( X n j < voor een zekere j met 1 j d en n N, dan is E(X n j = 1 i n n u n j φ X (u u=. (1.1 Indien M X (u = φ X ( iu bestaat in een omgeving van, noemen we dit de momentgenererende functie van X. Als deze bestaat, bestaan ook alle momenten van X en kunnen ze berekend worden via (1.1. Zij u 1,..., u d gegeven elementen van R d. De (d d-matrix waarvan het element (i, j gelijk is aan φ X (u i u j noteren we met Φ X. In dat kader hebben we volgend lemma en volgende stelling. Lemma φ X en Φ X hebben volgende eigenschappen: 1. Φ X is positief definiet voor alle u 1,..., u d R d. 2. φ X ( = De afbeelding u φ X (u is continu in de oorsprong.

17 1.2 Karakteristieke functies 1 (1 We moeten aantonen dat d j,k=1 c j c k φ X (u j u k voor alle u 1,..., u d R d en voor alle c 1,..., c d C. Daartoe voeren we de afbeelding f : R d C in met voorschrift f(x = d j=1 c je i(uj,x, x R d. f L 2 (R d, p X en er volgt: d d c i c j φ X (u i u j = c i c j e i(u i u j,x p X (dx R d i,j=1 = f(x 2 p X (dx R d = f 2. i,j=1 (2 en (3 zijn triviaal. Stelling (Bochner Als φ : R d C voldoet aan (1, (2 en (3 uit vorig lemma, dan is het de karakteristieke functie van een kansverdeling. Bekijken we ook nog even het speciale geval φ(u = e tψ(u met t >. Dan zijn er voorwaarden die we kunnen opleggen aan ψ die equivalent zijn met het positief definiet zijn van φ. Definitie ψ : R d C is conditioneel positief definiet als voor alle n N en voor alle c 1,..., c n C met n j=1 c j = geldt dat: n c j c k ψ(u j u k, u 1,..., u n R d. j,k=1 Definitie ψ : R d C is hermitisch als ψ(u = ψ( u, voor alle u R d. Stelling (Schoenberg De afbeelding ψ : R d C is hermitisch en conditioneel positief definiet als en slechts als e tψ positief definiet is voor alle t >. Zie [3, p.41]. Stelling (Glivenko Zij φ n de karakteristieke functies van verdelingen p n, voor alle n N en φ de karakteristieke functie van de verdeling p, dan zal p n p zwak als n als φ n (u φ(u, voor alle u R d. Hierbij betekent zwakke convergentie dat f(xp n (dx = f(xp(dx, f C b (R d. lim n

18 1.2 Karakteristieke functies 11 Stelling (Continuïteitsstelling van Lévy Als (φ n, n N een rij karakteristieke functies is en er een functie ψ : R d C bestaat zodanig dat voor alle u R d : φ n (u ψ(u als n en dat ψ continu is in, dan is ψ de karakteristieke functie van een kansverdeling. Stelling (Kac De s.v. X 1,..., X n zijn onafhankelijk als en slechts als voor alle u 1,..., u n R d : E ( exp [ i ] n (u j, X j = φ X1 (u 1 φ Xn (u n. j= Stochastische processen Definitie Een stochastisch proces (s.p. X is een familie s.v. (X(t, t die allemaal gedefinieerd zijn op de dezelfde kansruimte. De afbeeldingen van R + naar R d gegeven door t X(t(ω met ω Ω noemen we de paden van het proces X. Een s.p. is uitermate geschikt om de evolutie van een kans in de tijd te beschrijven. We noemen het proces continu, begrensd, stijgend,... indien bijna alle paden deze eigenschap hebben. Twee s.p. X en Y zijn onafhankelijk indien voor alle m, n N; t 1 < < t n < en s 1 < < s m < de σ-algebra s σ(x(t 1,..., X(t n en σ(y (s 1,..., Y (s m onafhankelijk zijn. Met zo n proces kunnen we eindig-dimensionale verdelingen associëren. Dit is een collectie kansmaten op R dn : (p t1,...,t n, t 1 door:... t n R +, n N die bepaald worden p t1,...,t n (H = P ((X(t 1,..., X(t n H, H B(R dn. Stelling (Consistentiecriteria van Kolgomorov Zij π een permutatie van {1,..., n} en H 1,..., H n B(R d : p t1,...,t n (H 1... H n = p tπ(1,...,t π(n (H π(1... H π(n, (1.11 p t1,...,t n,t n+1 (H 1... H n R d = p t1,...,t n (H 1... H n. (1.12 Definitie Een s.p. X is separabel indien er een aftelbare deelverzameling D R + bestaat, zodanig dat voor alle t er een rij (t(n, n N bestaat met elke t(n t en lim t(n = t en lim X(t(n = X(t. n n

19 1.3 Oneindige deelbaarheid 12 Stelling (Existentiestelling van Kolgomorov Gegeven een familie kansmaten (p t1,...,t n, t 1... t n R +, n N die voldoen aan de criteria (1.11 en (1.12. Dan bestaat er een kansmaat P op (Ω, F en een s.p. X op (Ω, F, P dat de gegeven familie als eindigdimensionale distributies heeft en dat bovendien separabel is. Dankzij deze stelling mogen we dus, zonder verlies van algemeenheid, veronderstellen dat alle stochastische processen die we vanaf nu ontmoeten, separabel zijn. 1.3 Oneindige deelbaarheid Convolutie Definitie De convolutie van twee maten µ 1 en µ 2 M 1 (R d is: (µ 1 µ 2 (A = R d χ A (x + yµ 1 (dxµ 2 (dy, R d A B(R d. (1.13 Hierin stelt M 1 (R d de verzameling voor van alle Borel-kansmaten op R d, m.a.w alle Borelmaten op R d met massa 1. (1.13 kan vereenvoudigd worden door één van beide integralen uit te werken, en de verkorte notatie {y x, y A} = A x in te voeren: (µ 1 µ 2 (A = µ 1 (A xµ 2 (dx = R d µ 1 (dxµ 2 (A x. R d (1.14 Stelling De convolutie µ 1 µ 2 van twee Borel-kansmaten op R d is opnieuw een Borel-kansmaat op R d. Eerst tonen we aan dat µ 1 µ 2 een maat is. Dat (µ 1 µ 2 ( = volgt meteen uit het feit dat χ de nulfunctie is. Zij verder (A n, n N een rij disjuncte verzamelingen in B(R d, dan zijn de verzamelingen (A n x, n N eveneens disjunct voor elke x R d en geldt: ( [( ] (µ 1 µ 2 A n = µ 1 A n x µ 2 (dx n N R d n N [ ] = µ 1 (A n x µ 2 (dx R d n N = µ 1 (A n xµ 2 (dx R d n N = µ 1 (A n xµ 2 (dx n N R d = 1 µ 2 (A n, n N(µ

20 1.3 Oneindige deelbaarheid 13 waarbij we voor de omwisseling van som en integraal steunen op de gedomineerde convergentiestelling (stelling Het feit dat µ 1 µ 2 een kansmaat is, volgt eenvoudig uit het feit dat een translatie een bijectie is, dus R d x = R d en (µ 1 µ 2 (R d = µ 1 (R d xµ 2 (dx = R d µ 1 (R d µ 2 (dx = R d µ 2 (dx = 1. R d Stelling Zij f B b (R d, dan geldt voor alle µ 1, µ 2, µ 3 M 1 (R d : 1. f(z(µ 1 µ 2 (dz = R d R d f(x + yµ 1 (dyµ 2 (dx. R d 2. µ 1 µ 2 = µ 2 µ (µ 1 µ 2 µ 3 = µ 1 (µ 2 µ 3. Stelling Zij X 1 en X 2 twee onafhankelijke s.v. met gezamenlijke verdeling p en marginale verdelingen µ 1 en µ 2, dan is voor alle f B b (R d : E(f(X 1 + X 2 = f(z(µ 1 µ 2 (dz. R d (1.15 Wegens (1 in stelling volgt: E(f(X 1 + X 2 = = = R d R d f(x + yp(dx, dy R d f(x + yµ 1 (dxµ 2 (dy R d R d f(z(µ 1 µ 2 (dz. Convolutie geeft dus de kansverdeling weer van de som van twee onafhankelijke s.v. We zeggen dat de maat µ een convolutie n-de machtswortel heeft indien er een maat ν bestaat zodanig dat ν ν = ν n = µ. Deze ν kan dan genoteerd worden als µ 1/n. Definitie De s.v. X, met verdeling µ X, is oneindig deelbaar indien er voor alle n N onafhankelijke, identiek verdeelde (i.i.d. s.v. Y (n 1,..., Y n (n bestaan zodanig dat X d = Y (n Y (n n. (1.16

21 1.3 Oneindige deelbaarheid 14 De notatie d = betekent gelijkheid in verdeling. Zoals voorheen is φ X (u = E(e i(u,x de karakteristieke functie van de s.v. X. Algemener, zij µ M 1 (R d, dan is φ µ (u = R d e i(u,y µ(dy. Stelling De volgende beweringen zijn equivalent: 1. X is oneindig deelbaar. 2. µ X heeft een convolutie n-de machtswortel die zelf de verdeling is van een s.v., en dit voor alle n N. 3. φ X heeft een n-de machtswortel die zelf de karakteristieke functie is van een s.v., en dit voor alle n N. (1 (2. De gemeenschappelijke verdeling van de Y (n j is de gezochte convolutie n-de machtswortel. (2 (3. Zij Y een s.v. met verdeling µ 1/n. Dankzij (1 in stelling volgt dat voor alle u R d : φ X (u = = = X e i(u,x (µ 1/n X n (dx e i(u,y 1+ +y n µ 1/n X (dy 1 µ 1/n X (dy n ( n e i(u,y µ 1/n X (dy = (ψ Y (u n. (3 (1. Kies Y (n 1,..., Y n (n onafhankelijke kopieën van de s.v. waarvan de karakteristieke functie de n-de wortel is van φ X. E(e i(u,x = φ X (u = (ψ Y (u n (n i(u,y = E(e 1 E(e (n i(u,y n = E(e (n i(u,y 1 + +Y (n n. Hieruit volgt (1.16 en het bewijs is voltooid. Dankzij deze stelling kunnen we de definitie van oneindige deelbaarheid veralgemenen tot willekeurige kansmaten: µ M 1 (R d is oneindig deelbaar indien ze een convolutie n-de machtswortel heeft in M 1 (R d, voor alle n N.

22 1.3 Oneindige deelbaarheid Voorbeelden van oneindige deelbaarheid Normaal verdeelde s.v. Zij X = (X 1,..., X d een s.v. die waarden aanneemt in R d. Dan is X normaal verdeeld indien er een vector m R d en een positief definiete (d d-matrix A bestaan zodat X een dichtheid heeft van de vorm: f(x = [ 1 (2π (d/2 det(a exp 1 ] 2 (x m, A 1 (x m (1.17 en dit voor alle x R d. We noteren dit als X N(m, A. De vector m is het gemiddelde van X, m = E(X, en de matrix A is de covariantiematrix, A = E((X m(x m T. We berekenen nu de karakteristieke functie van een willekeurige X i : φ X (u = E(e iux = = R R = e 1 e iux 1 2πσ 2 e[ 1 2σ 2 (x 2 2xµ+µ 2 ] dx [ 1 e 1 2σ 2 (x (µ+iuσ 2 2 2iuµσ 2 +u 2 σ ]dx 4 2πσ 2 2σ 2 ( 2iuµσ 2 +u 2 σ 4 = e iuµ 1 2 u2 σ 2. Dit is dan te veralgemenen naar de karakteristieke functie van een normaal verdeelde s.v. X met waarden in R d : φ X (u = exp[i(m, u 1 (u, Au]. ( Uit deze karakteristieke functie is eenvoudig af te leiden dat X oneindig deelbaar is, met ( ( m 1 N n, A. X noemen we standaardnormaal verdeeld indien X N(, σ 2 I n voor een zekere σ >. Y (n j Poisson verdeelde s.v. Zij X een s.v. die waarden aanneemt in N {}. Dan is X Poisson verdeeld indien er een c > bestaat zodat We noteren dit als X π(c. E(X = n N np (X = n = n N P (X = n = cn n! e c. (1.19 n n! cn e c = ce c c n 1 (n 1! = ce c e c = c. n N

23 1.3 Oneindige deelbaarheid 16 Var(X = E(X 2 c 2 = n 2 P (X = n c 2 n N = e c n 2 c n c 2 n! n N = e c (n 1c n + c n c 2 (n 1! n N c n 2 = c 2 e c (n 2! c2 + ce c n 2 n N = c 2 e c e c c 2 + ce c e c = c. c n 1 (n 1! Y (n j φ X (u = E(e iux = e iun P (X = n = e c e iun c n n! = e c (ce iu n n! = e c e ceiu = exp[c(e iu 1]. (1.2 Uit deze ( karakteristieke functie is eenvoudig af te leiden dat X oneindig deelbaar is, met c π. n Samengesteld Poisson verdeelde s.v. Zij (Z(n, n N een rij i.i.d. s.v. die waarden aannemen in R d met gemeenschappelijke verdeling µ Z. N π(c is Poisson verdeeld en onafhankelijk van alle Z(n. Dan is X samengesteld Poisson verdeeld indien X = Z(1 + + Z(N. X is dus een stochastische wandeling met een willekeurig aantal stappen. Het aantal stappen wordt bepaald door de Poisson verdeelde ( s.v. N. We noteren dit als X π(c, µ Z. X is oneindig deelbaar, met Y (n c j π n, µ Z. De momenten van X worden rechtstreeks bepaald door de momenten van de Z(n en de karakteristieke functie wordt gegeven door: φ X (u = E (exp[i(u, Z(1 + + Z(N] N = n P (N = n n= c cn = E (exp[i(u, Z(1 + + Z(n] e n! n= = e c [cφ Z (u] n n! n= = exp[c(φ Z (u 1]

24 1.3 Oneindige deelbaarheid 17 [ ] φ X (u = exp (e i(u,y 1cµ Z (dy. (1.21 R d Stelling van Lévy-Khintchine Definitie Zij ν een Borelmaat gedefinieerd op R d {}. ν is een Lévymaat als ( y 2 1ν(dy <. (1.22 R d {} Eindige maten zijn steeds Lévymaten en we kunnen de definitie uitbreiden tot heel R d door te eisen dat ν({} =. De stelling van Lévy-Khintchine werd voor het eerst beschreven in de jaren 3 door Paul Lévy en A. Ya. Khintchine. Ze geeft een karakterisatie van oneindige deelbaarheid via karakteristieke functies. Stelling (Lévy-Khintchine µ M 1 (R d is oneindig deelbaar indien er een vector b R d, een positief definiete (d d-matrix A en een Lévymaat ν op R d {} bestaan, zodanig dat voor alle u R d : φ µ (u = exp [i(b, u 12 ] (u, Au + [e i(u,y 1 i(u, yχ ˆB(y]ν(dy, (1.23 R d {} met ˆB = B 1 (, de open bal met middelpunt en straal 1. Het triplet (b, A, ν noemen we de karakteristieken van de oneindig deelbare s.v. X. Omgekeerd is elke afbeelding van de vorm (1.23 de karakteristieke functie van een oneindig deelbare kansmaat µ op R d. We bewijzen hier alleen het tweede deel van de stelling, het eerste deel zal eenvoudig volgen eens we de Lévy-Itô ontbinding hebben bewezen. Als eerste tonen we aan dat het rechterlid van (1.23 een karakteristieke functie voorstelt. Zij (U(n, n N een rij Borelverzamelingen, die monotoon daalt tot {}. Definieer voor alle u R d : [ ( φ n (u = exp i b yν(dy, u 12 ] (u, Au + (e i(u,y 1ν(dy. U(n c ˆB U(n c We herkennen hierin de karakteristieke functie van de convolutie van een normaal verdeelde s.v. met een samengesteld Poisson verdeelde s.v. Het is dus de karakteristieke functie van een kansmaat µ n. Het is duidelijk dat lim n φ n (u = φ µ (u. Het resultaat volgt nu via de

25 1.3 Oneindige deelbaarheid 18 Continuïteitsstelling van Lévy (stelling als we kunnen aantonen dat φ µ continu is in. Dit komt neer op het aantonen van de continuïteit in van ψ µ (u = [e i(u,y 1 i(u, yχ ˆB(y]ν(dy R d {} = [e i(u,y 1 i(u, y]ν(dy + [e i(u,y 1]ν(dy. ˆB ˆB c Na een Taylor-ontwikkeling van e i(u,y en het toepassen van C.S. volgt: ψ µ (u 1 (u, y 2 ν(dy + e i(u,y 1 ν(dy + O( u 3 2 ˆB ˆB c u 2 y 2 ν(dy + e i(u,y 1 ν(dy + O( u 3 2 ˆB c als u. ˆB In de laatste stap hebben we nog gebruikt dat wegens de definitie van Lévymaat (1.22, ˆB y 2 ν(dy <. We hebben dus de karakteristieke functie in de vorm geschreven φ µ (u = e η(u. De afbeelding η : R d C noemen we een Lévy-symbool. Uit een vergelijking van de algemene vorm van φ µ en de speciale gevallen die we reeds behandeld hebben, leiden we de volgende karakteristieken af: ˆ Normale verdeling: (m, A,. ˆ Poissonverdeling: (,, cδ 1, c >. ˆ Samengestelde Poissonverdeling: (c ˆB yµ(dy,, cµ, c >. Hierin is δ x de Diracmaat met voorschrift: { 1 als x A δ x (A = als x / A, voor elke Borelverzameling A. Stelling Voor alle u R d geldt: voor een zekere C >. η(u C(1 + u 2, (1.24

26 1.3 Oneindige deelbaarheid 19 Aangezien η(u = ln(φ µ (u volgt uit (1.23 dat: η(u = i(b, u 1 2 (u, Au + [e i(u,y 1 i(u, yχ ˆB(y]ν(dy R d {} (b, u (u, Au + ( e i(u,y i(u, yχ ˆB(y ν(dy R d {} (b, u u Au + 2 ν(dy + (u, y ν(dy (C.S. R d {} ˆB (b, u + 2ν(R d {} + (u, y ν(dy + 1 ˆB 2 max a ij u 2 (Lévymaat (1.22 i,j }{{}}{{} C C C(1 + u 2. Stelling De afbeelding η is een Lévy-symbool als en slechts als het een continu, hermitische en conditioneel positief definiete functie is met η( =. Stel dat η een Lévy-symbool is, dan is ook tη dat, voor alle t >. Er bestaat dus een kansmaat µ(t waarvoor φ µ(t = e tη. Het is eenvoudig in te zien dat η( =. Dat η continu is, volgt uit bewijs (aangetoond in, eenvoudig te veralgemenen naar een willekeurig punt. Uit lemma volgt dat φ µ(t positief definiet is (en bovendien voor een willekeurige t en dus is wegens de correspondentie van Schoenberg (stelling η hermitisch en conditioneel positief definiet. Omgekeerd, zij η een continu, hermitische en conditioneel positief definiete functie met η( =. Wegens de correspondentie van Schoenberg (stelling is e tη positief definiet. Stellen we t = 1 dan vinden we dat φ µ = e η positief definiet is. De voorwaarden van lemma zijn dus voldaan zodat wegens Bochner (stelling φ µ de karakteristieke functie is van een zekere kansmaat µ. Wat we net hebben afgeleid voor η kunnen we opnieuw doen voor η, n N; zodanig dat µ oneindig deelbaar is. n

27 LÉVY-PROCESSEN 2 Hoofdstuk 2 Lévy-processen 2.1 Definitie en elementaire stellingen Zij X een stochastisch proces gedefinieerd op een kansruimte (Ω, F, P. Definitie X heeft onafhankelijke toenames als voor alle n N en t 1 < < t n+1 <, de s.v. (X(t j+1 X(t j, 1 j n onafhankelijk zijn. Definitie X heeft stationaire toenames als voor alle n N en t 1 < < t n+1 <, elke X(t j+1 X(t j d = X(t j+1 t j X(. Definitie X is stochastisch continu als voor alle a > en voor alle s : Definitie X is een Lévy-proces als (A1 X( = b.z. lim P ( X(t X(s > a =. t s (A2 X heeft onafhankelijke en stationaire toenames. (A3 X is stochastisch continu. In de aanwezigheid van (A1 en (A2, is (A3 equivalent met lim P ( X(t > a =, a >. (2.1 t Stelling Als X een Lévy-proces is, dan is X(t oneindig deelbaar voor alle t.

28 2.1 Definitie en elementaire stellingen 21 Voor alle n N, hebben we dat: waarbij X(t = Y (n 1 (t + + Y (n (t Y (n k (t = X ( kt X n n ( (k 1t Wegens (A2 zijn de Y (n k (t onafhankelijk en hebben ze ook dezelfde verdeling, namelijk die van X ( t n. X(t is dus oneindig deelbaar. Dankzij voorgaande stelling, gecombineerd met de stelling van Lévy-Khintchine (stelling 1.3.5, weten we dat φ X(t (u = e η(t,u, voor alle t en u R d. Voor elke t is η(t, : u η(t, u een Lévy-symbool. We kunnen zelfs aantonen dat η(t, u = tη(1, u. Lemma Als X = (X(t, t stochastisch continu is, dan is de afbeelding t φ X(t (u continu, voor alle u R d. Stelling Zij X een Lévy-proces, dan is φ X(t (u = e tη(u, voor alle u R d en voor alle t. Hierin is η het Lévy-symbool van X(1. Stel φ X(t (u := φ u (t. Wegens (A2 hebben we voor alle s : φ u (t + s = E(e i(u,x(t+s n. = E(e i(u,x(t+s X(s e i(u,x(s = E(e i(u,x(t+s X(s E(e i(u,x(s = E(e i(u,x(t E(e i(u,x(s = φ u (tφ u (s. (2.2 Verder is ook φ u ( = 1 (2.3 en dit wegens (A1. Dankzij (A3 en lemma volgt dat de afbeelding t φ u (t continu is. Er is echter maar één unieke continu functie die aan (2.2 en (2.3 voldoet, zie [4, p.4 6], en dat is φ u (t = e tα(u met α : R d C. Verder is e α(u = φ u (1 = φ X(1 (u en aangezien wegens stelling X(1 oneindig deelbaar is, is wegens Lévy-Khintchine (stelling de afbeelding α het Lévy-symbool van X(1.

29 2.1 Definitie en elementaire stellingen 22 We hebben dus de Lévy-Khintchine formule voor een Lévy-proces X: ( φ X(t (u = exp t [i(b, u 12 ] (u, Au + [e i(u,y 1 i(u, yχ ˆB(y]ν(dy. (2.4 R d {} (b, A, ν zijn de karakteristieken van X(1 en noemen we bij uitbreiding ook de karakteristieken van het proces X. Stelling Zij X = (X(t, t een s.p. en (X n, n N een rij Lévy-processen zodanig dat X n (t X(t in kans voor alle t. Als bovendien lim lim sup P ( X n (t X(t > a =, voor alle a >, dan is X een Lévyproces. n t (A1 Aangezien X n ( X( in kans, bestaat er een deelrij X nk ( die bijna zeker naar X( convergeert. Daar dit een nulrij is, zal X( = b.z. (A2 Voor alle u R d met s < t < : E(e i(u,x(t X(s = lim E(e i(u,xn(t Xn(s n = lim E(e i(u,xn(t s n = E(e i(u,x(t s. X heeft dus stationaire toenames. De onafhankelijkheid van de toenames wordt analoog bewezen. (A3 Zij a >, t en n N: Daaruit volgt: lim sup t P ( X(t > a P ( X(t ( X n (t + X n (t > a P X(t X n (t > a + P 2 P ( X(t > a lim sup P t ( X(t X n (t > a 2 ( X n (t > a 2. ( + lim sup P X n (t > a. t 2 In deze uitdrukking is de eerste term als n wegens de opgelegde voorwaarde, terwijl de tweede term is wegens de stochastische continuïteit van elke X n. Ook X is dus stochastisch continu, en voldoet daarmee aan de drie axioma s van een Lévy-proces.

30 2.2 Voorbeelden Voorbeelden Brownse beweging Definitie Een standaard Brownse beweging in R d is een Lévy-proces B = (B(t, t waarvoor: (B1 B(t N(, ti, voor alle t. (B2 B heeft continu paden. Hieruit volgt onmiddellijk dat voor alle u R d en voor alle t : φ B(t (u = exp ( 12 t u 2 (2.5 en dat de karakteristieken van B(t gelijk zijn aan (, ti,. De karakteristieken van de Brownse beweging B zijn dan (, I,. De Brownse beweging is het meest bestudeerde Lévy-proces, en werd reeds in de beginjaren van de twintigste eeuw ingevoerd om de dynamische evolutie van aandelenprijzen te kunnen beschrijven. Een interessante eigenschap is dat, hoewel de paden wel overal continu zijn, ze nergens afleidbaar zijn. Voor meer informatie over de Brownse beweging verwijzen we naar [31] en [32]. Zij A een positief definiete (d d-matrix en σ een wortel van A, d.w.z. dat σ een (d m- matrix is waarvoor σσ T = A. Indien B een Brownse beweging is en b R d, kunnen we een nieuw proces C construeren als volgt: C(t = bt + σb(t. C is een Lévy-proces met elke C(t N(tb, ta. Het proces C noemen we een Brownse beweging met drift en het heeft het volgende Lévy-symbool: η C (u = i(b, u 1 (u, Au. ( Poissonproces Een Poissonproces van intensiteit λ > is een Lévy-proces N dat waarden aanneemt in N {} en waarvoor elke N(t π(λt. Er geldt dus dat: P (N(t = n = (λtn e λt, n N {} en t. n! Ook dit proces komt vaak voor en is uitgebreid bestudeerd, we verwijzen naar [15].

31 2.2 Voorbeelden 24 Definitie De wachttijden van het Poissonproces N zijn de niet-negatieve s.v. (T n, n N, bepaald door T = en T n = inf{t ; N(t = n}. (2.7 De T n zijn gamma-verdeeld. Voor meer informatie hierover, zie [13]. Samengevat kunnen we opmerken dat het Poissonproces stuksgewijs constante paden heeft, met sprongdiscontinuïteiten van grootte 1 op elk van de tijden T n. Stelling Zij (N 1 (t, t en (N 2 (t, t twee onafhankelijke Poissonprocessen, gedefinieerd op dezelfde kansruimte en met respectievelijke wachttijden (T n (j, n N voor j = 1, 2. Dan springen ze op verschillende tijdstippen b.z., m.a.w. P (T (1 m = T (2 n voor zekere m, n N =. Stel N 1 (t+n 2 (t = N(t. Dan is eenvoudig te verifiëren dat N opnieuw een Poissonproces is. We kunnen dan N(t als volgt schrijven: N(t = Z(1 + + Z(N(t met (Z(n, n N i.i.d. en elke Z(n = 1 b.z. Stel dat er dan een n en een m N zouden bestaan zodat T m (1 = T n (2 b.z. Dan weten we dat vlak voor deze sprong N(t = Z(1 + + Z(m 1 + Z((m Z((m 1 + (n 1. De s.v. Z(m + n 1 zal dus de waarde 2 b.z. aannemen, omdat N 1 en N 2 tegelijk springen, en dit is strijdig met Z(n = 1 b.z. voor alle n N. Later zullen we ook nog gebruik maken van het gecompenseerde Poissonproces Ñ: Ñ(t = N(t λt, t. (2.8 Uit deze formule blijkt meteen dat E(Ñ(t = en dat var(ñ(t = E(Ñ 2 (t = λt Samengesteld Poissonproces Zij (Z(n, n N een rij i.i.d. s.v. die waarden aannemen in R d met gemeenschappelijke dichtheid µ Z. N is een Poissonproces met intensiteit λ en onafhankelijk van alle Z(n. Dan is Y een samengesteld Poissonproces indien Y (t = Z(1 + + Z(N(t. Y (t is dus een stochastische wandeling met een willekeurig aantal stappen. Het aantal stappen wordt

32 2.3 Subordinatoren 25 bepaald door de Poisson verdeelde s.v. N(t π(λt. We noteren dit als Y(t π(λt, µ Z. Y is een Lévy-proces en uit (1.21 volgt meteen het Lévy-symbool van Y : η Y (u = (e i(u,y 1λµ Z (dy. (2.9 R d Net als het Poissonproces heeft het samengesteld Poissonproces stuksgewijs constante paden, met sprongdiscontinuïteiten op elk van de tijden T n. De grootte van de sprongen is echter zelf variabel: de sprong op tijdstip T n kan elke waarde aannemen in de reikwijdte van de s.v. Z(n Interlacing proces Zij C een Brownse beweging met drift en Y een samengesteld Poissonproces, onafhankelijk van C. Definieer X(t = C(t + Y (t, voor alle t. Het proces X heeft sprongen van willekeurige grootte, die zich voordoen op willekeurige tijden. We kunnen voor elk pad ω het voorschrift expliciet opschrijven, door op het continu pad van proces C de sprongen van proces Y in te lassen. C(t als t < T 1 C(T 1 + Z 1 als t = T 1 X(t = C(t + Z 1 als T 1 < t < T 2 C(T 2 + Z 1 + Z 2 als t = T Subordinatoren Een subordinator is een ééndimensionaal Lévy-proces dat b.z. niet-dalend is, waardoor het geschikt wordt als een model voor de evolutie van de tijd. Er geldt immers dat: ˆ T (t b.z. voor alle t >. ˆ T (t 1 T (t 2 b.z. als t 1 t 2. Stelling Een subordinator T heeft een Lévy-symbool van de vorm η(u = ibu + (e iuy 1λ(dy (2.1 waarbij b en de Lévymaat λ voldoet aan twee bijkomende eisen:

33 2.3 Subordinatoren λ(, =. 2. (y 1λ(dy <. Omgekeerd is ook elke afbeelding van R d naar C van de vorm (2.1 het Lévy-symbool van een subordinator. Het paar (b, λ noemen we de karakteristieken van de subordinator. Zie [23, p.78 79]. Voor alle t kunnen we de afbeelding u E(e iut (t uitbreiden tot de verzameling {iu, u > }. E(e i(iut (t = E(e ut (t = e tψ(u met (2.11 ψ(u = η(iu = bu + (1 e uy λ(dy. (2.12 De functie ψ noemen we de Laplace-exponent van de subordinator. Beschikken we nu over een Lévy-proces X en een subordinator T, gedefinieerd op dezelfde kansruimte als X en onafhankelijk van X. Met de subordinator kunnen we de tijd waarin X doorlopen wordt, wijzigen. We definiëren een nieuw proces Z als volgt: Z(t(ω = X(T (t(ω(ω. Stelling Z is een Lévy-proces. (A1 Z( = X(T ( = X( = b.z. (A2 Eerst tonen we aan dat de toenames van Z stationair zijn. Zij t 1 < t 2 < en A B(R d. De gezamenlijke verdeling van T (t 1 en T (t 2 noteren we als p t1,t 2. We vinden, achtereenvolgens steunend op de definitie van Z, de onafhankelijkheid van X en T en de stationaire en onafhankelijke toenames van X en T : P (Z(t 2 Z(t 1 A = P (X(T (t 2 X(T (t 1 A = = P (X(s 2 X(s 1 Ap t1,t 2 (ds 1, ds 2 P (X(s 2 s 1 Ap t1,t 2 (ds 1, ds 2 = P (Z(t 2 t 1 A. Vervolgens tonen we aan dat de toenames van Z onafhankelijk zijn. Zij t 1 < t 2 < t 3 < en de gezamenlijke verdeling van T (t 1, T (t 2 en T (t 3 noteren we als p t1,t 2,t 3. Voor

34 2.3 Subordinatoren 27 een willekeurige y R d definiëren we h y : R + C : s E(e i(y,x(s en voor willekeurige y 1, y 2 R d definiëren we f y1,y 2 : R + R + R + C met het volgende voorschrift: f y1,y 2 (u 1, u 2, u 3 = E (exp[i(y 1, X(u 2 X(u 1 ] E (exp[i(y 2, X(u 3 X(u 2 ], met u 1 < u 2 < u 3 <. We weten dat f y1,y 2 (u 1, u 2, u 3 = h y1 (u 2 u 1 h y2 (u 3 u 2, omdat X onafhankelijke toenames heeft. Dit leidt tot: E (exp{i[(y 1, Z(t 2 Z(t 1 + (y 2, Z(t 3 Z(t 2 ]} = E(f y1,y 2 (T (t 1, T (t 2, T (t 3 = E(h y1 (T (t 2 T (t 1 h y2 (T (t 3 T (t 2 = E(h y1 (T (t 2 T (t 1 E(h y2 (T (t 3 T (t 2 = E(exp[i(y 1, Z(t 2 t 1 ]E(exp[i(y 2, Z(t 3 t 2 ]. Hierbij hebben we gebruikt dat X en T onafhankelijk zijn en dat T eveneens onafhankelijke en stationaire toenames heeft. Door toepassing van Kac (stelling volgt nu meteen dat Z onafhankelijke toenames heeft. De uitbreiding tot n intervallen gaat volledig analoog, voor meer details zie [27, p.199-2] (A3 X en T zijn stochastisch continu. willekeurige ɛ > een δ > en een δ > vinden zodanig dat: Neem nu h < min{δ, δ }, dan volgt: P ( Z(h > a = P ( X(T (h > a = = [,δ sup u<δ < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. We kunnen dus voor alle a R d en voor een < h < δ P ( X(h > a < ɛ 2, < h < δ P ( T (h > δ < ɛ 2. P ( X(u > ap T (h (du P ( X(u > ap T (h (du + [δ, P ( X(u > a + P (T (h δ P ( X(u > ap T (h (du Stelling Het Lévy-symbool η Z van het subordinator-proces Z wordt gegeven door: η Z = ψ T ( η X. (2.13

35 2.4 Canonische Lévy-processen 28 Voor alle u R d en voor alle t : e tη Z(u = E(e i(u,z(t = E(e i(u,x(t (t = = E(e i(u,x(s p T (t (ds e sη X(u p T (t (ds = E(e ( η X(uT (t = e tψ T ( η X (u. Hierbij hebben we opnieuw gesteund op de onafhankelijkheid van X en T en op ( Canonische Lévy-processen Convolutie-semigroepen In het laatste deel van dit hoofdstuk gaan we ook nog even kort in op Canonische Lévyprocessen. Voor meer details verwijzen we naar [1]. Definitie Zij (p t, t een familie kansmaten op R d. convergent naar δ indien voor alle f C b (R d : lim f(yp t (dy = f(. t R d We noemen ze zwak Definitie Een dergelijke familie (p t, t met p = δ noemen we een convolutiesemigroep als voor alle s, t : p s+t = p s p t. De semigroep is zwak continu indien ze zwak convergent is naar δ. We hebben het volgende verband tussen Lévy-processen en zwak-continue convolutiesemigroepen: Stelling Zij X een Lévy-proces waarin elke X(t verdeling p t heeft, voor elke t. Dan is (p t, t een zwak-continue convolutie-semigroep. Stelling Als (p t, t een zwak-continue convolutie-semigroep van kansmaten is, dan bestaat er een Lévy-proces X zodanig dat voor alle t, X(t de verdeling p t heeft.

36 2.4 Canonische Lévy-processen 29 Het Lévy-proces waarvan sprake in bovenstaande stelling, dat bovendien analytisch geconstrueerd kan worden, noemen we een canonisch Lévy-proces. Via zwak-continue convolutiesemigroepen kunnen we nu een expliciet verband opstellen tussen Lévy-processen en oneindig deelbare kansmaten, wat we later zullen gebruiken bij het bewijs van Lévy-Khintchine. Stelling Zij µ een oneindig deelbare kansmaat op R d bestaat er een Lévy-proces X zodanig dat µ de verdeling is van X(1. met Lévy-symbool η, dan Stel dat µ de karakteristieken (b, A, ν heeft. Dan is voor alle t de afbeelding van R d naar C gegeven door u e tη(u van de vorm (1.23. Wegens Lévy-Khintchine (stelling is dit dan de karakteristieke functie van een zekere kansmaat p t. Hierbij geldt dat p = δ en bovendien is p s p t = p s+t, voor alle s, t. De zwakke convergentie p t δ als t volgt wegens de stelling van Glivenko (stelling Inroepen van stelling besluit het bewijs Modificaties Zij X en Y twee s.p. gedefinieerd op dezelfde kansruimte. Y noemen we een modificatie van X indien voor alle t : P (X(t Y (t =. X en Y hebben dan dezelfde eindigdimensionale verdelingen. Stelling Als Y een modificatie is van een Lévy-proces X, dan is Y eveneens een Lévy-proces en heeft het bovendien dezelfde karakteristieken als X. (A1 P (X( Y ( = Y ( = b.z. (A2 Zij s < t < en definieer N (s, t = {ω Ω X(s(ω = Y (s(ω en X(t(ω = Y (t(ω}, dan is P (N (s, t = 1, omdat Y een modificatie is van X. A B(R d, dan zal Neem nu een willekeurige P (Y (t Y (s A = P (Y (t Y (s A, N (s, t + P (Y (t Y (s A, N (s, t c = P (X(t X(s A, N (s, t P (X(t X(s A = P (X(t s A = P (Y (t s A.

37 2.4 Canonische Lévy-processen 3 De omgekeerde ongelijkheid volgt analoog. We hebben dus aangetoond dat Y stationaire toenames heeft. Onafhankelijke toenames en (A3 volgen via dezelfde techniek. X en Y zullen ook dezelfde karakteristieke functie en bijgevolg dezelfde karakteristieken hebben. Dankzij deze stelling mogen we dus een Lévy-proces zonder verlies van algemeenheid vervangen door een modificatie. Dit zal vooral interessant zijn indien deze mooiere eigenschappen heeft. Zo zal elk Lévy-proces een modificatie hebben die càdlàg (rechtscontinu met linkerlimiet is, wat we later zullen bewijzen.