Leeswijzer Functioneel Programmeren

Transcriptie

1 Leeswijzer Functioneel Programmeren Jeroen Fokker 23 oktober 2000 Dit artikel beschrijft in het kort welke onderwerpen behandeld worden in het kollege Functioneel Programmeren en het gelijknamige diktaat. Voor een aantal beslissingen wordt ook een motivatie gegeven. In deze beschrijving komen wiskundige begrippen voor die niet expliciet (maar wel impliciet!) in de stof voorkomen. Aan de andere kant wordt van de lezer van deze beschrijving geen voorkennis van functioneel programmeren of van de gebruikte programmeertaal verondersteld. Elke hoofdstuk in deze beschrijving komt overeen met een hoofdstuk in het diktaat. Aan het eind van elk hoofdstuk wordt verwezen naar een klein aantal paragrafen waarin een kenmerkend of belangrijk concept wordt behandeld. Hoewel deze selectie niet representatief is (inleidende voorbeelden en syntactische details zijn niet in de selectie opgenomen), geven ze een goed beeld van het soort onderwerpen dat mij belangrijk lijkt. 1 Functioneel programmeren Een programma in de functionele programmeerstijl wordt beschreven als de definitie van een aantal functies (verband tussen parameters en resultaat). Bij het uitvoeren van een programma wordt één functie van parameters voorzien en wordt het resultaat berekend, zonder dat de programmeur precies hoeft voor te schrijven in welke volgorde dat gebeurt. In dit hoofdstuk wordt voornamelijk verteld hoe de interpreter bediend moet worden, en wat de syntax van de taal Gofer is. Wat betreft de interpreter: die evalueert in principe expressies (die gebruik maken van zelf- of voorgedefinieerde functies). Daarnaast kan de opdracht gegeven worden om de functiedefinities te herzien, een andere file met definities toe te voegen, of een expressie te typeren. Wat betreft de syntax van de taal zijn vooral de volgende notatie-conventies van belang: Bij aanroep van een functie mogen de haakjes worden weggelaten, omdat ze overbodig zijn, dus f x in plaats van f(x) Namen van functies bestaan voornamelijk uit letters; daarnaast zijn er infix-operatoren waarvan de naam uit symbolen bestaat. Operatoren kunnen ook zelf gedefinieerd worden. 1

2 Een functiedefinitie heeft de vorm f x = e, met f de naam van de functie, x een of meer formele parameters, en e een definiërende expressie. Een definitie met gevalsonderscheid heeft de vorm f x c 1 = e 1... c n = e n, waarbij c i een conditie is. De formele parameter mag behalve een naam ook een patroon zijn. Informeel kun je een patroon beschouwen als expressie waarin meerdere parameters voorkomen, waarvan de waarde eenduiding vastligt na unificatie met een actuele parameter. In de sectie Typering wordt beschreven dat elke expressie een type heeft, hetgeen wordt genoteerd als e :: t. Er zijn basis-typen (Bool, Char, Int en Float) en lijst-typen (als t een type is, dan is [t] het type van lijsten met elementen van type t). Ook functies hebben een type: een functie met parametertype a en resultaattype b heeft type a->b. Bij functies met meerdere parameters worden de parametertypen onderling ook gescheiden door een pijltje. Deze notatie wordt hier zonder motivatie gegeven; de uitleg ervan (Currying) volgt in sectie 2.2. paragraaf op blz 18 over recursie, en hoe dit vooral in combinatie met patronen als formele parameters mogelijkheid biedt voor elegante definities. paragraaf op blz 25 over polymorfie. 2 Getallen en functies Dit hoofdstuk lijkt gewijd te zijn aan voorbeelden (van functies op resp. functies en getallen). Deze voorbeelden zijn echter zo gekozen, dat belangrijke ideeën er steeds in naar voren gebracht worden: generalisatie door invoeren van een extra parameter, partiële parametrizering, en hogere-orde functies. Eerst worden echter enkele conventies over operatoren behandeld: operatoren hebben een prioriteit (9 nivo s) en een associatievolgorde (links of rechts). Dat spaart in de praktijk een boel haakjes. Functies mogen functies als resultaat hebben, en mogen daarom partiëel geparametrizeerd worden. Zo kan de opvolger-functie gedefinieerd worden door opv = plus 1, in plaats van opv x = plus 1 x. De Curry-Howard connectie uit de verzamelingentheorie ((A B) C A (B C)) wordt in paragraaf op intuïtieve wijze uitgelegd. Dit verklaart ook de notatie voor functies met meerdere parameters, door af te spreken dat de het symbool -> in typen naar rechts associëert. Om ook operatoren partieel te kunnen parametrizeren wordt de zgn. sectie - notatie ingevoerd: (2*) is de verdubbelfunctie, (^2) de kwadraat-functie, enz. Als voorbeeld van hogere-orde functies worden behandeld: map en filter als eenvoudig voorbeeld van een functie met een functieparameter foldr om te demonstreren dat concrete functies waarvan de definities 2

3 sterk op elkaar lijken (sum en product) gegeneraliseerd kunnen worden door extra parameters in te voeren until als nog een voorbeeld van abstractie, maar ook omdat deze functie later in het hoofdstuk nodig is functiecompositie, omdat je daarmee zo mooi op functie-nivo definities kunt doen (f = g h). Omdat lijsten nauwelijks en andere datastructuren nog helemaal niet zijn behandeld, kunnen we naast functies op functies alleen functies op getallen als voorbeeld geven. Van zowel Int als Float is er een typisch voorbeeld: De functies voor deling met rest worden geïntroduceerd, en als toepassingen worden behandeld: genereren van een lijst priemgetallen (brute-force, maar wel elegant dankzij filter) en bepalen van de weekdag bij gegeven datum. Numeriek differentiëren door benadering met een differentiequotiënt (tevens voorbeeld van een hogere-orde functie, en bovendien kandidaat voor generalisatie met een nauwkeurigheid -parameter); bepaling van vierkantswortel door iteratie van Newton s formule; generalisatie: inverse van een willekeurige functie (met afleiding van Newton s formule). paragraaf op blz 35 over Currying, en eventueel over associatievolgorde van functie-applicatie paragraaf op blz 49 over generalisatie van wortel tot inverse. 3 Datastructuren In dit hoofdstuk wordt wat gedetailleerdere informatie gegeven over lijsten en andere datastructuren. Een aantal standaardfuncties op lijsten wordt behandeld: steeds in de vorm van een informele beschrijving en/of voorbeeld, en de formele definitie van de functie. Omdat deze definitie in de taal zelf gegeven kan worden, is er geen misverstand mogelijk over het gebruikte formalisme. Als toepassing van deze standaardfuncties behandelen we sorteren: insertion sort en merge sort. Strings zijn gedefinieerd als lijsten van characters, en van de gelegenheid wordt gebruik gemaakt om het noodzakelijke over characters te vertellen. Interessanter als theoretisch concept zijn oneindige lijsten, die mogelijk zijn dankzij lazy evaluatie. Als voorbeeld hiervan wordt o.a. de priemgetallen-zeef besproken, die dankzij oneindige lijsten zeer elegant geformuleerd kan worden. Naast lijsten (onbeperkt aantal elementen, één type) kent de taal tupels (vast aantal, verschillende typen). Als toepassing hiervan worden functies voor de manipulatie van rationale getallen besproken. Met een data-definitie kan een signatuur worden gedefinieerd. Het door zo n definitie gecreëerde type is het termmodel behorend bij deze signatuur. Dit mechanisme wordt ingevoerd als generalisatie van lijsten, waarbij de analogie tussen recursie over een lijst en recursie over de opbouw van een term gede- 3

4 monstreerd wordt. Als toepassing bekijken we zoekbomen (als analogon van gesorteerde lijsten) met insert, delete en enumerate en een daarop gebaseerd sorteeralgoritme. paragraaf op blz 63 over sorteeralgoritmen paragraaf 3.2.6, tweede voorbeeld onderaan blz 73 over de priemzeef m.b.v. oneindige lijsten paragraaf op blz. 83 over data-definities 4 Algoritmen op lijsten In dit hoofdstuk worden geen nieuwe theoretische concepten behandeld, maar worden drie meer ingewikkelde voorbeelden gegeven van functies op lijsten: combinatorische functies, matrixrekening, en polynoom-manipulatie. Kennis over deze drie toepassingsgebieden die wordt behandeld is mooi meegenomen. De redenen dat juist voor deze toepassingen is gekozen zijn: Combinatorische functies zijn een leuk voorbeeld van functies met lijsten van lijsten als resultaat. De definities bieden een herhaling van zowel gebruik van standaardfuncties als van inductie. Bij de functie die combinaties uitrekent een aardig geval van dubbele inductie (zie blz 102). De operaties op vectoren en matrices worden in wiskundeboeken vaak gedefinieerd met veel indices; het is leuk om te zien dat dit ook kan met gebruikmaking van standaardfuncties op lijsten. De functie transpose blijkt zelfs een speciaal geval te zijn van foldr (zie blz 110), en het ingewikkelde algoritme voor de bepaling van de determinant kan zeer nauwkeurig worden opgeschreven (zie blz 115). Polynoom-manipulatie is een goed voorbeeld van symbolische expressiemanipulatie. In dit voorbeeld komt tevens ter sprake dat je sorteerfuncties kunt parametriseren met een vergelijkings-functie. In hoofdstuk 6 wordt gesproken over geparametriseerde typen; dankzij dit voorbeeld kunnen we dan spreken van polynomen met rationale getallen als coëfficiënt. 5 Programmatransformatie In dit hoofdstuk wordt gesproken over de (asymptotische) efficiëntie van functies. Het verbeteren van de efficiëntie wordt als aanleiding gebruikt om programmatransformatie te bestuderen, en meer in het bijzonder wetten te bewijzen. Wetten en hun bewijs blijken daarna ook om andere redenen dan efficiëntie-verhoging nuttig te zijn. Voor de efficiëntie wordt de O-notatie informeel geïntroduceerd Aan de hand hiervan worden recursieve functies in 8 soorten verdeeld: één of twee recursieve aanroepen, parameter van de recursieve aanroep 1 kleiner of half zo groot, vervolgwerk na de recursieve aanroepen constant of lineair. In bijna alle gevallen wordt een voorbeeld uit eerdere hoofdstukken opgerakeld en wordt de 4

5 complexiteit bepaald. Aan de hand van deze classificatie worden heuristieken besproken om de efficiëntie te verbeteren: één in plaats van twee recursieve aanroepen, parameter halveren i.p.v. verminderen, constant i.p.v. lineair vervolgwerk. Dit alles steeds toegelicht met een voorbeeld ( mergesort in plaats van insertion sort ). Over efficiëntie met betrekking tot geheugen wordt kort iets gezegd over stackgebruik bij recursie en lazy evaluatie: deels om de foutmelding stackoverflow te verklaren, en deels om het nut van de tweede dualiteitswet uit de volgende paragraaf te motiveren. Het nut van wetten wordt gemotiveerd door de analogie met de rekenkunde en de logica op te merken. Alle wetten in het diktaat hebben de vorm van een gelijkheid, en worden bewezen met een equationeel bewijs. Deze bewijzen verlopen in de meeste gevallen met inductie. Voor zo n inductiebewijs wordt een speciaal stramien gebruikt (zie blz ; representatief voorbeeld blz 141). In de kolommen van dit stramien worden de linker- en rechterkant van de vergelijking apart uitgewerkt en aan elkaar gelijk gepraat. Dit heeft als voordeel dat je in de praktijk ook in deze volgorde een bewijs bedenkt; zou je dit in één kolom opschrijven dan heeft de tweede helft van het bewijs onnodige eureka -stappen. De rijen van het stramien vertegenwoordigen de volgende onderdelen: formulering van de wet op functie nivo; overeenkomstige formulering op object-nivo (door toepassing van extensionaliteit); bewijs van de inductiebasis; bewijs van de inductiestap, waarbij op de laatste regel de inductiehypothese te herkennen is. De reden dat dit stramien gebruikt wordt is dat studenten in de praktijk grote moeite hebben met het formuleren van een free-format inductiebewijs. Valkuilen zoals geval n = n + 1 liggen daarbij dan ook overal op de loer. Dankzij dit stramien kunnen ook ingewikkelde dubbele inducties overzichtelijk worden weergegeven (zie blz 151). Nadat de stramien-methode is ingevoerd (overigens zonder die te expliciteren zoals hierboven) worden wetten achtereenvolgens voor drie doeleinden gebruikt: Verbetering van efficiëntie (reverse lineair ipv kwadratisch; fibon logaritmisch ipv lineair). Voor het beschrijven van eigenschappen van functies, met het doel daar meer inzicht in te krijgen. Vooral over hoe de lengte van een lijst verandert onder map, concat en onder combinatorische functies. Om nieuwe begrippen in te voeren: een functie heet combinatorisch als hij voldoet aan de wet.... Zelfs het begrip polymorf kan op deze manier gedefinieerd worden. Als slot wordt de bewijsmethode gebruikt om allerlei wetten te bewijzen over de natuurlijke getallen. De natuurlijke getallen en functies voor optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen worden voor dit doel eerst inductief gedefinieerd. paragraaf op blz 140, waarin de stramien-methode informeel wordt geïntroduceerd het bewijs op blz 151, waarin de stramien-methode in een niet-triviaal 5

6 geval wordt gebruikt het eind van paragraaf op blz 154, waarin wordt voorbereid op het catagorie-theoretische begrip natuurlijke transformatie paragraaf op blz 155; ik heb het idee dat het probleem constructie van getalsystemen in deze benadering eerder aanspreekt dan in een klassieke behandeling met Peano-axioma s e.d. 6 Klassen en hun instances Eén van de aardige eigenschappen van de taal Gofer is de mogelijkheid om overloaded functies te definiëren. Dat zijn functies die op verschillende typen kunnen werken, waarbij de definitie (anders dan bij polymorfe functies) niet uniform hoeft te zijn. Voor deze mogelijkheid is het concept klasse geschapen. Zo is er bijvoorbeeld de klasse Num, bestaande uit alle types waarop de numerieke operatoren +, * enz gedefinieerd zijn. In de prelude wordt gespecificeerd dat Int en Float tot deze klasse behoren, maar het is ook mogelijk (met een instance-declaratie ) om zelf nieuwe typen aan een klasse toe te voegen (bijvoorbeeld rationale getallen, complexe getallen, of polynomen). Bovendien is het mogelijk om zelf nieuwe klassen te definiëren. In dit hoofdstuk worden al deze mogelijkheden besproken. Daarbij worden als voorbeeld drie in de prelude gedefinieerde klassen gebruikt: Num (numerieke typen), Eq (typen waarop een gelijkheid is gedefinieerd) en Ord (typen waarop een ordening is gedefinieerd). Aan de hand van deze voorbeelden worden defaultdefinities ( ongelijkheid is voor alle Eq-typen de ontkenning van gelijkheid ) en voorwaardelijke instances ( lijsten kunnen geordend worden mits de elementen geordend kunnen worden ) besproken. Een beperking van het klasse-systeem is, dat je niet kunt specificeren dat de operatoren die op alle typen in een klasse zijn gedefinieerd, ook aan bepaalde wetten moeten voldoen. Als voorbeeld hiervan worden de wetten genoemd waaraan een equivalentierelatie en een partiële ordening moet voldoen. Ik denk dat het, zeker voor informatici, de duidelijkheid ten goede komt om deze abstracte begrippen op deze manier in te voeren. Om dit nog eens te demonstreren wordt in paragraaf de klassieke hierarchie van algebraïsche structuren ingevoerd: Monoid, Groep, Ring, Euclid en Lichaam. Het definiëren van die klassen is niet het interessantste, leuk wordt het pas door instances ervan te definiëren. Dit culmineert in de programmatekst die aantoont: polynomen vormen een Euclidische ring, mits de coëfficiënten een lichaam vormen. Dergelijke abstracte formuleringen zijn in slechts weinig programmeertalen mogelijk. paragraaf op blz 169, waarin een formele definitie van lexicografische ordening wordt gegeven paragraaf op blz 174, waarin equivalentierelaties en partiële ordeningen worden geaxiomatiseerd 6

7 het voorbeeld op blz , waarin deling van polynomen over een willekeurig lichaam wordt geformuleerd opgave 6.4 en 6.7 en 6.12 op blz 188, die nog twee voorbeelden geven van hoe matematische noties gepresenteerd kunnen worden als programmeerprobleem. 7 Programmeertechnieken In dit hoofdstuk wordt een drietal programmeertechnieken behandeld, die typisch zijn voor het functionele programmeerparadigma: expressiebomen, functionele I/O, en ontleding. Dit jaar zijn overigens alleen de expressiebomen behandeld. Rekenkundige expressies kunnen ontleed worden tot een ontleedboom. Zo n ontleedboom kan eenvoudig worden gerepresenteerd met een boom-datatype (zie blz 191). Een als ontleedboom gerepresenteerde expressie kan symbolisch gemanipuleerd worden (iets wat, als je het computer-algebra noemt tegenwoordig erg in de mode is). Typisch voorbeeld is symbolisch differentiëren (blz 193). Dit vormt trouwens een leuk contrast met numeriek differentiëren uit hoofdstuk 1. Een tweede voorbeeld van expressiebomen vormen de proposities, waarvan de taal beschreven wordt door de declaratie op blz 193. Symbolische manipulaties op proposities (zoals het schrijven van en met behulp van en ) laten zich nu eenvoudig formuleren. Eén van de praktikumopgaven van dit jaar sloot aan op dit voorbeeld. Gegeven een declaratie die de taal van de predicatenlogica beschrijft, moesten de studenten algorimten formuleren voor diverse symbolische manipulaties, waaronder het bepalen van de disjunctieve normaalvorm en de prenex-normaalvorm. De sectie over I/O is voornamelijk toegevoegd om het argument te ontkrachten dat functionele talen niet gebruikt kunnen worden voor echte programma s. De daarvoor benodigde techniek ( continuatie-parameters ) wordt echter ook gebruikt in de mathematische semantiek van programmeertalen, zodat dit onderwerp goed voorbereidt op bestudering daarvan. De sectie over ontleden is een mooi voorbeeld van (zeer-)hogere orde functies. Een ontleder is voor te stellen als functie die een string omzet in een ontleedboom (en een reststring). Uit een paar elementaire ontleders (bijvoorbeeld getal, en keyword ) kunnen nu grotere ontleders worden samengesteld door middel van ontleder-combinators voor sequentiële en alternatieve compositie. Als voorbeeld wordt gegeven hoe een ontleder voor rekenkundige expressies kan worden gemaakt, en hoe je zelf nieuwe ontleder-combinators kunt maken om in de toekomst nog eenvoudiger ontleders te maken. 7