Discrete Wiskunde, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University

Transcriptie

1 Discrete Wiskunde, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University

2 Mijn contactgegevens Han Hoogeveen BBG Website:

3 Boek + stof F.S. Roberts en B. Tesman CRC Press (2009) Applied Combinatorics, 2nd edition ISBN: Behandelde hoofdstukken: 2, 5, 6, 7, 8 (Telproblemen: bepaling aantal mogelijkheden) Resterende stof: geen boek; komt op het web. Zie ook Hoofdstuk 13.

4 Hoorcollege Dinsdag Donderdag (overmorgen van ) Stijl: interactief met vragen. Tussentijds korte opgaven. Probeer zelf mee te denken. Stel hem als je een vraag hebt!!

5 Werkcollege Dinsdag Donderdag (overmorgen geen werkcollege) Nu nog twee groepen; wordt één groep. Werkcollege docent: Marieke van der Weegen Student-assistenten: Feike (FA) en Mieke (MW).

6 Inleveropgaven Vijf (misschien vier) series inleveropgaven. Niveau: redelijk pittig (goede oefening en auto-diagnostische toets) Worden nagekeken door Marieke, Feike en Mieke (streng doch rechtvaardig) Niet verplicht; je kunt er je eindcijfer mee verhogen.

7 Tentamens Tentamen 1 (Stof t/m H7): Donderdag 7 maart, in Olympos (extra tijd??). Tentamen 2 (Stof H8 en verder): Donderdag 11 april: Beatrix gebouw (wordt BBG). Hertentamen: Donderdag 4 juli, in EDUC ALFA (wordt BBG).

8 Cijferregeling Eindcijfer is gemiddelde over tentamen 1 en 2. Indien het cijfer van de inleveropgaven hoger is, dan telt dat voor 20% mee (niet bij herkansing) Herkansing op maat: Je kunt Tentamen 1, Tentamen 2, of beide tegelijkertijd herkansen. Geef je keus van te voren door!!. Cijfer inleveropgaven vervalt. Mondeling indien er weinig herkansers zijn.

9 Benodigde voorkennis Gezond verstand!! Wiskundige rijping en training (dus kom naar het werkcollege)!! Herkennen van probleemsituaties. Maak de inleveropgaven.

10 Herkennen situaties: nuttige gegevens afleiden Een groep bewoners van een verzorgingshuis werd door een groep van 8 vrijwilligers (zes dames en twee mannen) meegenomen op een dagje uit. Na afloop vertelt één van hen over de hoogtepunten van de dag. Alle veertig bewoners van Zonnedael wilden graag mee, maar Mevr. de Vries was ziek en kon niet mee, zodat er maar 24 dames meegingen. Met z n allen zijn we eerst naar het park gegaan, waar we een rondleiding kregen met koffie en appeltaart toe. Toen weer de bus in naar het museum, waar we hebben geluncht. Na de lunch kwamen we in een grote zaal, waar een mooi bingo apparaat stond. Na een aantal rondjes bingo zie de spelleider ineens: jullie hebben allemaal in de bus een verschillend nummer gekregen. Bij het volgende rondje bingo roep ik een keer ATTENTIE, en wanneer je daarna je nummer hoort, dan roep je HOERA, en de eerste twee (de begeleiders uitgezonderd) krijgen daarna een prijs.

11 Herkennen situaties: bla-bla deel 2 Iedereen lette goed op, maar Meneer Pieters had het blijkbaar niet helemaal goed begrepen, want hij riep dolblij al HOERA toen zijn nummer werd getrokken voordat ATTENTIE had geklonken. Het werd toen heel spannend, en het duurde even voordat eindelijk het nummer van één van ons werd getrokken, maar uiteindelijk gebeurde het toch, en de tweede keer werd mijn nummer getrokken! Wat een geluk. En weet je wat de prijs was: wij beiden mochten met de burgemeester op de foto! Daarna zijn we weer met de bus teruggebracht; we hebben een geweldige dag beleefd. Wat is de kans dat de burgemeester met een man en een vrouw op de foto is gezet?

12 Vertalen vraag Oorspronkelijk zitten er in de vaas 24 rode en 15 blauwe ballen (rood correspondeert met een mevrouw; blauwe bal correspondeert met een man). Er wordt een blauwe bal uit de vaas gehaald (meneer Pieters). Vervolgens worden er twee ballen getrokken zonder teruglegging. Bereken de kans dat er een rode en een blauwe bal worden getrokken in willekeurige volgorde.

13 Drie hoofdvragen Bestaat er een toegelaten (met de gewenste eigenschappen) oplossing? Hoeveel toegelaten oplossingen bestaan er? Wat is de beste toegelaten oplossing? Eerste deel: aandacht voor vraag 2; daarna vraag 1 (kort) en vraag 3.

14 Productregel Als gebeurtenis Z bestaat uit de combinatie van delen X en Y, waarbij iedere mogelijkheid voor X kan worden gecombineerd met iedere mogelijkheid voor Y, dan geldt dat het aantal mogelijkheden voor Z gelijk is aan het aantal mogelijkheden voor X maal het aantal mogelijkheden voor Y. Mathematisch: #Z = #X #Y of Z = X Y. Voorbeeld: aantal pizza s wanneer je kunt kiezen uit 9 ingrediënten en er minstens 2 wilt.

15 Somregel Somregel: als gebeurtenis Z kan worden opgesplitst X óf Y (met X en Y disjunct), dan geldt #Z = #X + #Y (of Z = X + Y ). Voorbeeld: aantal pizza s wanneer je kunt kiezen uit 9 ingrediënten, maar niet zowel broccoli als ansjovis niet zowel paprika als ansjovis als paprika, dan ook ham.

16 Basisregel: Permutaties Een permuatie beeldt ieder element af op een willekeurig ander element, waarbij ieder element precies één keer wordt gebruikt. Het aantal mogelijke permutaties van n elementen bedraagt n! n(n 1)(n 2) 1. Mogelijke notatie: ( n π(1) π(2)... π(n) Je kunt een permutatie ook representeren met behulp van een graaf. Wat is de kans dat de graaf uit één cykel bestaat? )

17 Basisregel: r-permutaties Het aantal mogelijkheden om r elementen te kiezen uit n elementen, waarbij de volgorde van belang is, is gelijk aan P(n, r) n! (n r)! Er zijn n mogelijkheden voor de eerste, (n 1) voor de tweede, enz. tot en met (n r + 1) voor de rde.

18 Basisregel: r-combinaties Het aantal mogelijkheden om r elementen te kiezen uit n elementen, waarbij de volgorde niet van belang is, is gelijk aan C(n, r) = ( ) n r ( ) n! n (n r)!r! = n r Je kunt namelijk de r gekozen elementen op r! manieren permuteren, zodat je steeds een andere mogelijkheid krijgt waarbij de volgorde wel van belang is. Voorbeeld: binomium van Newton. ( ) n n (x + y) n = x k y n k k k=0 Gevolg voor x = y = 1: n k=0 ( n k) = 2 n.

19 Combinatorische bewijzen (1) Het basisidee is dat je het aantal mogelijkheden op verschillende manieren telt, bijv. door op te splitsen in combinatie met de somregel. Bijv. ( ) n + 1 = 2 n i i=1 Kies een situatie waarvoor het correcte aantal gelijk is aan de uitdrukking links en splits dan op zodanig dat je de uitdrukking rechts krijgt. Binomium van Newton (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k k

20 Combinatorische bewijzen (2) ( ) n = r ( ) n = r ( ) n 1 + r 1 ( ) n 1 + r ( ) n 1 r 1 ( ) n r 1 ( ) r 1 r 1

21 Het gevangenen probleem 2n gevangenen (nummer 1,..., 2n); bijv. n = Hun nummers zijn op willekeurige wijze in 2n enveloppen (nummers 1,..., 2n) gestopt. De gevangenen moeten één voor één uitzoeken in welke envelop hun nummer zit. Iedereen mag maximaal n enveloppen openen. Overleg vooraf is toegestaan; daarna is alle communicatie verboden. Onheil wacht, tenzij iedereen slaagt... Vind een goede strategie... (alleen wiskunde)

22 Problemen vertalen naar standaardsituaties Gegeven n getallen 1,..., n, bepaal het aantal mogelijkheden om hieruit twee getallen x en y, met x < y, te kiezen. Equivalent met: kies twee verschillende getallen k en l uit {1, 2,..., n}. Om dit te bewijzen moet je aantonen dat iedere oplossing (x, y) kan worden afgebeeld op iedere oplossing (k, l) en omgekeerd (een bijectie dus); dan weet je dat het aantal mogelijkheden in beide gevallen gelijk is. Hier: gegeven (k, l), kies x = min{k, l} en y = max{k, l}. Omgekeerd: gegeven (x, y), kies k = x en l = y (de volgorde is niet van belang). Wat is het aantal mogelijkheden voor x y uit {1,..., n}?

23 Variant Gegeven n getallen 1,..., n, bepaal het aantal mogelijkheden om hieruit twee getallen x en y, met x y, te kiezen. Equivalent met: kies twee verschillende getallen k en l uit {1, 2,..., n + 1}. Bewijs: gegeven (k, l), kies x = min{k, l} en y = max{k, l} 1. Omgekeerd: gegeven (x, y), kies k = x en l = y + 1 (de volgorde is niet van belang). Omdat l = y + 1 geldt nu dat 1 x < y n + 1. Wat nu als je x, y en z wilt kiezen uit {1,..., n} met x < y + 1 en y < z + 2? Hint: Vertaal het naar een rij stoelen.

24 De MP3 speler Een MP3 speler bevat n liedjes: k zijn een lust voor het oor Rest is bagger De n liedjes worden in willekeurige volgorde gepland. De toehoorder stopt de MP3 speler indien er twee waardeloze liedjes na elkaar komen. Wat is de kans dat alle liedjes worden gespeeld? Maakt het uit of de liedjes herkenbaar zijn?

25 Trekken met teruglegging Er zijn m soorten; je wilt r maal trekken. Volgorde is van belang. Aantal? Volgorde is niet van belang. Bijv. je wilt een doos vullen met r chocolaatjes, waarbij je kunt kiezen uit m smaken. Tel het aantal mogelijkheden door een geschikte bijectie te vinden naar een situatie waarbij je wel kunt tellen. Hier: gegeven een gevulde doos met chocolaatjes, haal ze eruit en leg ze op een rij. Hierbij komen eerst de chocolaatjes van smaak 1, dan die van smaak 2, enz., waarbij je steeds een scheidingsstreepje plaats om aan te geven dat de volgende smaak begint.

26 Occupancy problemen: n ballen in k dozen (1) Maak onderscheid naar ballen/dozen herkenbaar en dozen wel/niet leeg. Ballen en dozen herkenbaar; dozen mogen leeg zijn. Ballen onherkenbaar, dozen herkenbaar, dozen mogen leeg zijn. Ballen onherkenbaar, dozen herkenbaar, dozen mogen niet leeg zijn.

27 Occupancy problemen: n ballen in k dozen (2) Ballen herkenbaar, dozen onherkenbaar, dozen mogen niet leeg zijn. S(n, k) = 1 ( ) k k ( 1) i (k i) n k! i i=0 S(n, k) staat bekend als het Stirling getal van de tweede soort. Ballen herkenbaar, dozen onherkenbaar, dozen mogen leeg zijn. Kijk naar het aantal niet-lege dozen. Ballen herkenbaar, dozen herkenbaar, dozen mogen niet leeg zijn. Bewijs dat S(n, k) = ks(n 1, k) + S(n 1, k 1)