5.6. Boekverslag door R woorden 7 april keer beoordeeld

Transcriptie

1 Boekverslag door R woorden 7 april keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding: De boogbrug is één van de oudste type brug. De Grieken hebben het bedacht. De Romeinen hebben de constructie gebruikt in veel bouwwerken. Ze bouwden boogbruggen van wigvormige stenen om een mal. Als laatste werd de sluitsteen ertussen gezet. Die zorgt ervoor dat de constructie blijft staan. Het waren degelijke constructies want sommige van die bruggen bestaan nog steeds. Tot ongeveer 1800 werden in heel Europa de bruggen op Romeinse manier gebouwd. Een voorbeeld daarvan is de St- Servaesbrug in Maastricht uit De stenen boogbrug is de oudste brug in ons land. Sinds de Industriële Revolutie is het vervoer binnen Europa geweldig toegenomen. Ingenieurs kregen opdracht om bruggen te ontwerpen met meer rijstroken en een grote overspanning die zwaarder belast kon worden. Bovendien moesten de bruggen hoger boven het water komen, want de schepen moesten een vrije doorvaart hebben. Met natuursteen zijn de mogelijkheden beperkt. Vooral de vrije overspanning en voldoende doorvaarhoogte voor schepen worden dan een probleem. Het is geen toeval dat juist tijdens de Industriële revolutie nieuwe constructiematerialen zijn uitgevonden, zoals staal en gewapend beton. Ook al werden de 'nieuwe' materialen staal en beton gebruikt, toch bleven de bruggen aan de buitenkant op de Romeinse bruggen van natuursteen lijken. Pas na een tijdje werd duidelijk, dat met staal en beton heel andere modellen mogelijk zijn. In de natuur vind je ook boogbruggen terug. Deze zijn door erosie gevormd tot natuurlijke boogconstructies. Dit komt vooral voor in rotsachtige gebieden, de ondergrond moet namelijk stevig zijn. Anders stort het hele natuurverschijnsel in. Hier kan je zien hoe knap moeder natuur is. Zij was de Romeinen dus al jaren voor. Het principe: Boogbruggen kunnen een grotere afstand overbruggen dan balkbruggen omdat er door de boogconstructie een gelijknamige belasting is. Dit kan je zien aan het voorbeeld van een rij boeken. Deze pers je hard met je handen samen zodat je het uit de boekenkast kunt halen. Als je niet hard en gelijkmatig drukt dan valt het op de grond. De belasting die op de brug werkt zal niet via buiging op de brug inwerken maar door middel van druk. De boog is hier de hoofddraagas. De belasting word door middel van normaalkrachten via de boog naar de ondergrond gebracht. De boogbrug is opgebouwd uit wiggen. De drukkracht van de bovenste wig wordt gelijkmatig verdeeld over de wig links en rechts van hem. De wiggen die hieraan liggen zetten de drukkracht zo gelijkmatig om naar de wiggen links respectievelijk rechts van hen. Uiteindelijk wordt deze kracht opgevangen in het steunpunt. Deze kracht, ook wel normaalkracht genoemd, kan dan weer onderverdeeld worden in een Pagina 1 van 5

2 horizontale en verticale kracht De verticale kracht is de drukkracht op het steunpunt en de horizontale kracht wordt de spatkracht genoemd. De spatkracht zorgt ervoor dat de steunpunten uit elkaar worden gedrukt. Er is dus iets nodig dat deze bij elkaar houdt. Dat is bijvoorbeeld het wegdek, maar ook de kracht van de aarde op de pijler. Materiaal: Boogbruggen bestaan al heel lang. Daarom heeft deze brug een grote revolutie aan materiaal gebruik doorstaan. De eenvoudigste bruggen bestaan uit hout, maar deze zijn zeker niet de langdurige. Er werd in het begin veel gewerkt met natuursteen. Dit kon natuurlijk alleen als er een steiger onder werd gebouwd. Anders vallen alle stenen in een keer naar beneden. De steiger kan pas worden weggehaald als de bovenste wig, de sluitsteen, is geplaatst. Die zorgt er namelijk voor dat alle krachten gelijknamig worden verdeeld. Vooral tijdens en na de industriële revolutie is men begonnen om materiaal te zoeken dat meer draagkracht heeft zodat er een grotere belasting kon zijn. Men heeft toen materialen gevonden als staal en beton. Beton is een heel mooi nieuw product. Het heeft niet alleen voordelen, maar ook nadelen. Zo kan beton bijvoorbeeld heel goed drukkrachten opnemen. Maar kan het slecht weerstand bieden aan trekkrachten. Het beton zal dan gaan scheuren. Staal is nog zo n product. Het voordeel van staal is dat het heel goed trekkrachten kan opvangen. Enig nadeel is wel dat het vele malen zwaarder is dan beton. Hierdoor wordt er ook geen gebruik gemaakt van massief staal maar van balken in bepaalde vormen. Zo wordt er veel gebruik gemaakt van de I-vorm. Met deze vorm bespaar je veel gewicht en blijf je gebruik maken van de eigenschappen van het materiaal. Om op de juiste plaatsen de beste weerstand te kunnen bieden, worden meestal verschillende materialen in een constructie verwerkt. Vele bruggen zijn gemaakt uit een combinatie van staal en beton. Het beton wordt verstevigd door er stalen kabels in te verwerken, ook wel gewapend beton genoemd. Voorgespannen beton is een vorm van gewapend beton. Hierin worden eerst de stalen kabels worden volledig opgespannen. Hier giet men beton rond. Als het beton hard is, worden de kabels losgesneden. De moleculen in de kabel proberen weer in rusttoestand te komen. Het rondliggende beton verhindert dit echter. De combinatie is nu bestand tegen zowel druk- als trekkrachten. Gewapend beton heeft wel wat grondregels waar rekening mee gehouden moet worden(zie grondregels). Zo bestaat beton dus niet uit een stof, maar uit een mengsel. Zo moet er met meerdere factoren rekening gehouden worden. Hoe het met de krachten zit, dus punt 2 en 3 is hierboven al uitgelegt. Het is dus logisch voor de stevigheid van het gewapend beton dat waar trekkrachten zijn staal te gebruiken. Fundamenten: Bij het bouwen van een brug wordt niet meteen in de hoogte gebouwd. Er wordt eerst begonnen met een constructie in de diepte. Dit is de fundering. Elk zwaar bouwwerk heeft er een nodig. Dit is niet alleen om zijn eigengewicht te dragen, maar ook om zijwaartse krachten zoals wind te weerstaan. De fundering wordt mede bepaald door het gewicht van de bovenbouw, maar ook door de ondergrond. In een losse, zachte grond moeten de fundamenten zeer zwaar en stevig zijn. Omdat bruggen een redelijk groot eigen gewicht hebben moeten de pijlers van een brug een enorme drukkracht kunnen weerstaan. Er zijn zo al twee soorten van fundering te benoemen. Er kan sprake zijn van een fundering die geheid moet worden. Hierbij wordt een lange paal net zo lang de grond in geslagen totdat deze op een stevige ondergrond steunt. Pagina 2 van 5

3 Een andere vorm is er een waarbij het oppervlak van de fundering groter is dan die van de pijler. Hierbij wordt de kracht regelmatig verdeeld over het grondoppervlak. Spatkracht: Bij een boogbrug vind de krachtsafwikkeling naar de opleggingen via een boog plaats. De boog is voor het opnemen van gelijkmatige druk een goede constructieve vorm. Drukbogen worden in brugconstructies bijna altijd toegepast. Hierbij is de boog naar boven gekromd en is de belasting verticaal naar beneden gericht, zie figuur 1. Bij de oplegging van de boog loopt de kracht in de richting van de boog (zie de rode pijlen), deze kracht is te ontbinden in een kracht verticaal (Fv) en horizontaal (Fh). De horizontale kracht wordt spatkracht genoemd. Er kan onderscheid worden gemaakt naar boogbruggen met hooggelegen rijvloer (figuur 2) en die met laaggelegen rijvloer (figuur 3). Bruggen met een hoog gelegen rijvloer komen vooral in bergachtige gebieden voor. Als de brug een hoog gelegen rijvloer heeft dat trekt deze aan de boog. Ook neemt deze rijvloer de spatkracht op. Hierdoor werken er alleen maar krachten verticaal naar beneden. Al deze krachten kun je ook in beeld brengen. Daarvoor is een vereenvoudigde tekening van de werkelijkheid iets makkelijker (Figuur 4). Op de tekening is een boogbrug met een hooggelegen rijvloer te zien. Hierop is een gelijkmatige kracht verdeeld. Deze steunt op de boog. De boog verdeelt de krachten gelijkmatig over de wiggen en komen uiteindelijk bij het steunpunt terecht. Daar wordt de kracht verdeeld in een horizontale en verticale kracht (Fh en Fv). Deze kunnen via de volgende formules worden uitgerekend: Fh = ql2/8f & Fv = ½ql. q is hierin de gelijkmatige belasting in N/m2, l is de overspanning in m en f is de hoogte van de boog in m. Om het principe nog duidelijker te maken komt er nu een voorbeeld. Stel, je hebt een boogbrug met een lengte van 400 m waarop gelijkmatige verdeelde belasting van 200 N/m2 rust. De hoogte van de boog is 9,00 m. Hoe groot is dan de verticale kracht? Fv = ½ql = ½ * 200 * 400 = N 4.00 * 104 N. Dit betekent dat de ondersteunende kracht groter dan of gelijk aan N moet zijn. De ondersteunende kracht is zo gekozen dat de brug niet snel verzakt. Dit betekent dat er rekening gehouden wordt met het gewicht van de brug + alles wat er op staat. Zelfs dan moet de brug blijven staan. Er is dus sprake van een ruim gekozen mate, dit in verband met de veiligheid. Als je de druk op het bovenste gedeelte van de brug wilt weten, dus op de sluitsteen, kan je dit berekenen door de druk per steunpunt te nemen en deze bij elkaar op te tellen. Dat mag omdat de druk vanuit de sluitsteen regelmatig verdeeld wordt over de stenen links respectievelijk rechts van hem. De druk vanuit het steunpunt kun je berekenen via hoeken. Als je namelijk de verticale kracht weet en je weet de hoek tussen de verticale kracht en de druk dan kan je via de cosinus de druk op het steunpunt uitrekenen. Namelijk, cosinus De aanliggende is dan de Fv en de schuine de Fdruk. Fdruk = Fv / cosinus Fdruksluitsteen = 2 * Fdruk = 2 * = N 1.0 * 105 N. Voorbeeldsom: Een boogbrug kan je vergelijken met een parabool. Een parabool heeft als standaardfunctie: f(x) = x2+b. B geeft in deze formule het punt weer waar het hoogste/laagste punt van de parabool ligt. Als er bij de parabool sprake is van een verschuiving naar links of naar rechts geef je dat als volgt aan. Het laagste punt (dal parabool) ligt op: x = -2. In de standaardfunctie geef je dat dan aan als: f(x) = (x+2)2+ b. Dus als de parabool naar links verschuift geef je het aan met plus en als het naar rechts verschuift met min. Omdat een boogbrug een bergparabool is, is de standaardfunctie daar: f(x) = (x a )2 Pagina 3 van 5

4 + b. Het hoogste punt op de parabool is y = 16. Dat betekent dat de brug op het hoogste punt 16 meter hoog is. Dit is geen gegeven, maar gewoon een getal dat is gekozen. De x waarde hiervan is x = 6. Ook dit is een gekozen getal. Dit betekent dat het midden van de brug op 6 meter van de y-as staat. De formule is bij deze parabool dus: f(x) = - (x-6) Om nou precies de plaatsen van de steunpunten te kunnen uitrekenen moet je de formule f(x) gelijk stellen aan 0. Als je dit dan uitwerkt krijg je de plaatsen van de steunpunten op het assenstelsel. f(x) = 0 - (x-6) = 0 - (x-6)2 = -16 (x-6)2 = 16 x 6 = 4 v x 6 = -4 x = 10 v x = 2 Je weet nu dat de steunpunten van de parabool, dus de brug, op x = 2 en x = 10 liggen. Dat betekent dus dat de brug 8 meter lang is. Nu moet er berekend worden hoe groot de hoek is tussen de Fv en de Fdruk. Dit kan je doen door de afgeleide van de grafiek te maken. Als je dan in de afgeleide een eindpunt invult, dus x = 2 of x = 10, dan krijg je een getal. Dit getal geeft aan dat de grafiek op dat punt met een bepaald aantal meters per meter stijgt Dus vanaf x = 2 een stapje naar rechts betekent op de grafiek een x aantal stapjes omhoog. f(x) = - (x-6) f'(x) = -2x + 12 f'(2) = = 8 Nu is dus duidelijk dat vanaf x = 2 eentje naar recht de grafiek 8 omhoog gaat. Om vanuit deze helling een hoek te krijgen in graden moet je de inverse tangens van 8 nemen. tan < = 8/1 < = tan-1(8) = (Je moet wel rekening houden dat de rekenmachine op graden i.p.v. radiale staat) Duidelijk is nu dus dat de hoek tussen Fh (x-as) en Fdruk 83 is. Fh is te berekenen met de formule: Fh = ql2 / 8f. q is hier dus de gelijkmatig verdeelde belasting in N/m2, l is de lengte tussen de steunpunten en f is de hoogte van de boog. Deze gegevens zijn, op q na, allemaal te halen uit de grafiek. Omdat voor q geen duidelijke informatie te vinden is neem ik hier gewoon een willekeurig getal voor, laat zeggen 1250 N/m2. Fh = ql2 / 8 f = 1250 * 82 / 8 * 16 = 625 N 6.3 * 102 N. cosinus 83 = Fh / Fdruk Fdruk = Fh / cosinus 83 = 625 / cosinus 83 = N 5.1 * 103 N. Dit kan je ook weer controleren. Als je namelijk de hoek weet tussen Fh en Fdruk, dan weet je ook de hoek tussen Fdruk en Fv. Fv is namelijk de kracht die bij het punt x = 2 verticaal naar beneden gaat. Deze kracht maakt dan met de x-as een hoek van 90. De hoek tussen Fdruk en Fv is dan = 7. Ook kun je Fv zelf uitrekenen met de formule: Fv = ½ql. Fv = ½ql = ½ * 1250 * 8 = 5000 N 5.0 * 103 N. cosinus 7 = Fv / Fdruk Fdruk = Fv / cosinus 7 = 5.0 * 103 / cosinus 7 = N 5.0 * 103 N. Er is een klein verschil in de uitkomsten te zien, maar dat maakt niet uit. Het is namelijk maar een klein Pagina 4 van 5

5 verschil. De onnauwkeurigheid wordt verkleind door een gemiddelde van deze twee uitkomsten te nemen = N / 2 = N 5.1 * 103 N. Om ervoor te zorgen dat de boog blijft staan moet er natuurlijk een kracht zijn die tegengesteld is aan de richting van Fh, de spatkracht. Anders kan de boog niet blijven staan. Bij boogbruggen met een hoge rijvloer dient ook de rijvloer als object dat ervoor zorgt dat de brug niet uit elkaar glijdt. Hierbij kan je bijvoorbeeld een groot betonnen blok als steunpunt zien. Als de ondergrond sterk genoeg is kan het ook de rotswand zijn. Pagina 5 van 5