IV - 1 HOOFDSTUK TRGHEIDSMOMENTEN + OPLOSSINGEN VN OPGVEN Traageidsmomenten zijn niet weg te denken uit de sterkteleer of structuurleer. Ze komen voor in o.a. formules voor buigspanningen, weerstandsmomenten, alle formules voor vormverandering (doorbuiging, ellingsoek, ), en zijn dus onmisbaar bij et dimensioneren van structuurelementen. 1. Lijntraageidsmoment 1.1. Definitie Een lijntraageidsmoment is een traageidsmoment van een oppervlak berekend omeen een as. Het lijntraageidsmoment omeen een as is dus : ² d d Uit de definitie volgt : - Een traageidsmoment is steeds positief (eeneid : lengte tot de -de mact). - Het traageidsmoment van een samengestelde doorsnede is de som van de traageidsmomenten van de onderdelen. Wanneer de -as et zwaartepunt van et oppervlak bevat spreken we van et eigen traageidsmoment.
IV - 1.. Traageidsmomenten van eenvoudige oppervlakken 1..1. Rectoek : eigen traageidsmoment (-as gaat door et zwaartepunt) ² d met d = b d d b ² b d = b ³ = b b ( )³ ( )³ = ³ b ³ 1 de plaats van de -as eeft geen belang 1... Rectoek : traageidsmoment t.o.v. de basis (-as gaat door de basis) d b
IV - 0 ² b d = b ³ 0 ³ = b b ³ 1... Drieoek : traageidsmoment t.o.v. de basis : -as gaat door de basis b' d b b' b = 1 b' = b ( 1 ) d = b' d = b ( 1 ) d ² d = 0 ² b (1 ) d = b ³ 0 = b ³ b ³ 1
IV -. Polair traageidsmoment.1. Definitie Een polair traageidsmoment is een traageidsmoment van een oppervlak berekend omeen een punt, dus : I p = ² d d P Vermis ² = ² + ² is I p = ² d = ² d + ² d I p = I + I.. Polair traageidsmoment van een cirkel r I P = ² d met d = d I P = r 0 ² d = r 0 ³ d = r 0 = r I P = r
IV - 5.. Polair traageidsmoment van een ring r u r i I P = ² d met d = d I P = ru ri ² d = ru ri ³ d = ru ri = (r u i r ) I P = (r u i r ) Het polair traageidsmoment van een ring is dus gelijk aan et verscil van et polair traageidsmoment van de buitencirkel en et polair traageidsmoment van de binnencirkel.. Verscuivingsformules voor et traageidsmoment.1. Het traageidsmoment van een figuur met oppervlakte t.o.v. een recte is gelijk aan et traageidsmoment van die figuur t.o.v. een evenwijdige recte ' door et zwaartepunt, vermeerderd met et product van oppervlakte met et kwadraat van de onderlinge afstand a tussen beide recten. I ' + a² ' Z d a '
IV - 6 ² d = ( ' a)² d = '² d a ' d a² d a I ' + 0 + a² ' d is et statisc moment van oppervlak t.o.v. recte '. Deze recte ' gaat ecter ier door et zwaartepunt Z, en dus is et statisc moment gelijk aan 0. Het statisc moment t.o.v. een recte is et product van de oppervlakte van een doorsnede met de afstand van et zwaartepunt van die doorsnede tot die recte. Wanneer die recte door et zwaartepunt gaat is et statisc moment dus 0. Dus : I ' + a² Vermits ' door et zwaartepunt Z gaat stelt men I ' ook voor door I Z, en dus : I Z + a².. Voorbeeld Gevraagd et traageidsmoment I van een rectoek t.o.v. de basis (zie ook art. 1...) Z ' b I Z + a² = b ³ 1 + b ³ b = 1 + b ³ = b ³
IV - 7. Traageidsmomenten van samengestelde doorsneden : voorbeeld Bepaal I en I ( en gaan door et zwaartepunt) afmetingen in mm 500 50 (1) 00 0 () 500 50 (1) I,1 = I Z + a² = I, = 0 00³ 1 500 50³ + 5² 500 50 = 1 70 800 000 mm 1 = 1 0 000 mm I,1 + I, = 75 90 000 = 75 9. 10 mm I = 50 500³ 1 + 00 0³ 1 = 10 170 000 + 1 = 106 0 000 mm
IV - 8 5. Lijntraageidsmomenten van cirkel en alve cirkel 5.1. Cirkel, traageidsmoment rond zijn middellijn Vermits I en I P = I + I is I = I P / = r 5.. Halve cirkel, traageidsmoment I rond zijn middellijn, en traageidsmoment I rond zijn smmetrieas I van een alve cirkel is de elft van et traageidsmoment van een volledige cirkel, dus : r 8 I van een alve cirkel is de elft van et traageidsmoment van een volledige cirkel, dus : r I = 8
IV - 9 5.. Halve cirkel, eigen traageidsmoment I Z rond een as // met zijn middellijn Z a z r ligging van zwaartepunt Z : a = = r² I Z + a² I Z = I - a² I Z = r - 8 r² r 8 ( )² = ( - ) r = 0,11 r 8 9
IV - 10 6. Opgaven 1. Bereken de traageidsmomenten rond de smmetrieassen en 0 0 mm 10 10 0 10. 160 1 100. 10 1 = 6 560 000 mm = 656. 10 mm 0. 10 I = 1 10. 0 1 = 5 80 000 mm = 58. 10 mm
IV - 11. Bereken de traageidsmomenten rond de smmetrieassen en van dit HEB00 staalprofiel, dat boutgaten bevat 15 7 9 7 170 15 110 00 mm I,profiel - I,gat 00. 00 1 191. 170 1 7. 15-9,5. 7. 15 1 = 1 0 000-78 198 58 - (7 59 + 65 81) = 1 9 917 mm I = I,profiel - I,gat I = 15. 00 1 170. 9 1 15. 7-55. 7. 15 1 = 0 000 000 + 10 8 - ( 60 + 1 5 15) = 15 007 1 mm
IV - 1.. Bereken de traageidsmomenten rond de assen en 50 mm 0 60 0 60. 0 0. 80 0,11. 15 (80. 15 ). 15 = 50 000 + 5 10 000 + 6 000 = 8 0 000 mm I = 0. 60 80. 0 15 8 15. 15 = 160 000 + 70 000 + 990 000 = 979 000 mm
IV - 1. Bereken de traageidsmomenten rond de assen en 0 0 mm 0 0 60 0. 80 60. 0 10 0 10 = 560 000 mm I = 80. 0 0. 60 10 0 10 = 80 000 mm
IV - 1 5. Bereken de traageidsmomenten rond de assen en 60 180 mm 10 10 10. 180 0,11. 10 (180. 10 ). 10 0 180 0 = 1 70 10 000 mm = 17 01. 10 mm I = 180. 10. 10 8 0 0. 60 = 17 00 000 mm = 17 0. 10 mm
IV - 15 6. Bereken de traageidsmomenten rond de assen en die door et zwaartepunt Z van de figuur gaan v 0 180 mm Z 0 u 10 We moeten eerst de ligging van et zwaartepunt Z bepalen in et assenkruis u-v. Dit gebeurt op basis van volgende eigenscap : Het statisc moment van een figuur is gelijk aan de som van de statisce momenten van de onderdelen van die figuur, berekend rond dezelfde as. M.a.w. : et product van de oppervlakte van een figuur met de afstand van zijn zwaartepunt tot een as, is gelijk aan de som van de producten van de oppervlakte van de respectieve onderdelen van de figuur met telkens de afstand van et zwaartepunt van de oppervlakte van dat onderdeel tot die as. Dus : (180. 0 + 100. 0) v Z = 180. 0. 90 + 100. 0. 10 en dus : v Z = 180. 0. 90 180. 0 100. 0. 10 100. 0 = 61, mm naloog : (180. 0 + 100. 0) u Z = 180. 0. 10 + 100. 0. 70 en dus : u Z = 180. 0. 10 180. 0 100. 0. 70 100. 0 = 1, mm
IV - 16 Nu kunnen we I en I vinden : 0. 180 1 180. 0 (90 61,) 100. 0 1 100. 0 (10 61,) = 18 015 000 mm I = 180. 0 1 180. 0 (10 1,) 0. 100 1 100. 0 (70 1,) = 6 15 000 mm