Puls/FT-NMR Spindynamica & Puls/FT-Spectroscopie Vrije Universiteit Brussel 17 april 2012
Puls/FT-NMR Outline 1 Puls/FT-NMR 2
Outline Puls/FT-NMR 1 Puls/FT-NMR 2
Quantumbeschrijving van een Spin-1/2
Larmorprecessie (1) Puls/FT-NMR De interactie tussen een individuele spin en een uniform extern magnetisch veld leidt ertoe dat de spin een precessiebeweging rond de richting van het externe veld uitvoert: De hoek θ tussen de richting van het veld en de richting van de spin blijft hierbij constant. De frequentie van de precessie is de Larmorfrequentie ν = γ(1 σ)b 0 2π of ω = γ(1 σ)b 0.
Larmorprecessie (2) Puls/FT-NMR De interactie tussen de spin en het krachtige externe magneetveld is beduidend sterker dan alle andere interacties tussen de kern en de deeltjes in zijn omgeving. In een eerste benadering gedraagt de kern zich hierdoor als een geïsoleerde gyroscoop dat zich niets aantrekt van de omgeving of van de bewegingen van het molecuul waarin hij zich bevindt.
Puls/FT-NMR Populaties en Populatieverschillen (1) De verhouding tussen de populaties van de twee energieniveau s (n α en n β ) wordt bepaald door het energieverschil E en de temperatuur T: waaruit we kunnen afleiden dat n β = e E kt n α n α n β n α + n β = E 2kT De Boltzmannconstante (k = k B = 1.38066 10 23 J K ) fungeert hier als een omzettingsfactor van temperatuur naar thermische energie.
Puls/FT-NMR Populaties en Populatieverschillen (2) Bij een temperatuur T = 300K is de gemiddelde thermische energie kt = 4.14 10 21 J. Het energieverschil tussen de twee stationaire toestanden van een een spin I = 1/2 is zeer klein, zelfs voor 1 H (met de grootst mogelijke gyromagnetische verhouding van alle realistisch beshikbare nuclei) in een sterk extern veld: γ = 26.73 10 7 T 1 s 1 ; B 0 = 9.4T; E = γb 0 = 2.65 10 25 J Dit impliceert dat het verschil tussen de twee populaties zeer klein is: n α n β = E = 3.2 10 5 n α + n β 2kT M.a.w. is er slechts 1 spin op 10 5 in de lage-energietoestand zonder een "tegengewicht" in de hoge-energietoestand.
Puls/FT-NMR Populaties bij Elke individuele spin draagt een zekere fractie "α-karakter" (evenredig met c α 2 ) en een complementaire fractie "β-karakter (evenredig met c β 2 = 1 c α 2 ) bij aan het ensemble. De populaties n α en n β van de twee energieniveau s zijn de gemiddelde waarden van c α 2 en c β 2 over alle spins in het ensemble.
Thermische Koppeling Puls/FT-NMR Heel af en toe treedt er toch een interactie tussen de kern en andere deeltjes in de omgeving op, waardoor de orientatiehoek θ tussen de kern en het externe veld kan veranderen. De energie voor deze interacties komt van de thermische energie van de atomen. De minuscule energieveranderingen van de kernspins gaan gepaard met minuscule temperatuursveranderingen van het systeem. Door het energieverschil tussen de α- en β-toestanden is er bij deze willekeurige verstoringen een lichte voorkeur voor de lage energietoestand. Hierdoor stelt zich na verloop van tijd een thermisch evenwicht in, dat beschreven wordt door de Boltzmannverdeling.
Puls/FT-NMR Bulkmagnetisatie bij Evenwicht (1) De individuele dipoolmomenten van alle spins kunnen bij elkaar opgeteld worden om de totale magnetisatie van het staal te bekomen. In de x- en y-richting zijn de spins volledig willekeurig geörienteerd, zodat de totale magnetisatie in deze richtingen op nul uitkomt.
Puls/FT-NMR Bulkmagnetisatie bij Evenwicht (2) In de z-richting is een lichte voorkeur voor de lage-energietoestand, wat zich uit in een lichtjes grotere populatie n α : n α n β = n eq n α + n β N = E 2kT Hierdoor blijft er netto een klein beetje magnetisatie in de richting van de positieve z-as over, evenredig met het populatieverschil n eq : M 0 = 1 2 γ n eq
Puls/FT-NMR Larmorprecessie bij Evenwicht Bij evenwicht blijven de x- en y-componenten van de spindipolen willekeurig verdeeld, en blijft hun som nul. De verdeling van α- en β- componenten wordt evenmin beïnvloed door de precessiebeweging, zodat ook de z-component niet verandert. De bulkmagnetisatievector blijft dus constant terwijl de individuele spins hun precessiebeweging rond de z-as uitvoeren. Er is geen transversale magnetisatie, en geen waarneembaar signaal in de detectiespoel.
Outline Puls/FT-NMR 1 Puls/FT-NMR 2
Opbouw van een Modern Instrument (1)
Opbouw van een Modern Instrument (2)
Puls/FT-NMR Bulkmagnetisatie bij Evenwicht (3) (Het populatieverschil is hier om illustratieve redenen zeer sterk overdreven.)
Opbouw van een Modern Instrument (3)
Effect van een RF-Puls Een geschikte RF-puls doet alle spins op een coherente manier rond de x-as roteren. Het resultaat is dat de nettomagnetisatie als geheel dezelfde rotatie ondergaat:
Opbouw van een Modern Instrument (4)
Terugkeer naar Evenwicht (Relaxatie) Wanneer de excitatie door de RF-puls ophoudt, keert het systeem terug naar de eveniwichtsituatie. De verandering van de nettomagnetisatie in het het (x, y)-vlak levert een waarneembaar signaal op:
Het Magnetisch Veld van de RF-Puls Het blijkt dat enkel de magnetische component van de RF-straling die door de excitatiespoel gegenereerd wordt een invloed heeft op de spins. Door de opstelling van de spoel t.o.v. staal roteert dit magnetische veld B 1 in het x,y-vlak, met een door het instrument bepaalde frequentie ω RF en fase φ RF : B 1,x = B 1 cos(ω RF t + φ RF ) B 1,y = B 1 sin(ω RF t + φ RF )
Puls/FT-NMR Het Roterend Assenstelsel Om de beschrijving van de precessie van de spins rond een magnetisch veld dat zelf roteert te vereenvoudigen, voeren we een nieuw referentiekader in dat zelf rond de z-as draait aan de frequentie ω RF van de RF-golf: e x = cos(φ(t)) e x + sin(φ(t)) e y e y = cos(φ(t)) e y sin(φ(t)) e x e z = e z Φ(t) = ω RF t + φ RF
Implicaties Puls/FT-NMR In het roterend assenstelsel lijkt het magnetisch veld van de RF-puls stil te staan op de x-as. De precessiefrequentie ω 0 van de spins moet in het nieuwe assenstelsel vervangen worden door de offset-frequentie Ω 0 : Ω 0 = ω 0 ω RF De frequentie ω RF wordt meestal in het midden van het frequentiebereik van de bestudeerde kernen gekozen, zodat de offset-frequenties zowel positief als negatief kunnen zijn.
Het Effect van Resonantie De offsetfrequentie stemt overeen met Larmorprecessie rond een gereduceerd magneetveld B: B = Ω γ = ω 0 ω RF γ Wanneer ω RF = ω 0, wordt B = 0 en wordt het effectieve magneetveld B eff volledig bepaald door B 1 langs de x-as. Dit is de quantitatieve formulering van het resonantieprincipe.
Puls/FT-NMR Coherente Excitatie (1) Bij resonantie roteren de spins dus rond een effectief veld dat langs de x-as ligt. De rotatiehoek β p rond de x-as wordt bepaald door de intensiteit van de puls (B 1 ) en de duur van de puls (t p ): β p γb 1 t p Aangezien alle spins coherent over dezelfde hoek geroteerd worden, draait de bulkmagnetisatie eveneens over dezelfde hoek.
Puls/FT-NMR Coherente Excitatie (2) Door een 90-graden-puls wordt het populatieverschil (in de z-richting) bij evenwicht volledig omgezet in een coherente orientatie in het x, y- vlak. De grootte van het meetbare, transversale signaal wordt dus bepaald door de grootte van het oorspronkelijke populatieverschil.
Puls/FT-NMR Calibratie van de Pulsen Door een reeks pulsen met toenemende lengtes uit te testen, kan men bepalen welke duur t p overeenstemt met een rotatie β p van 180 graden. Eens deze waarde gekend is, kan men eenvoudig voor elke gewenste rotatiehoek de benodigde duur berekenen.
Puls/FT-NMR Larmorprecessie na Excitatie Wanneer de RF-puls ophoudt, gaan de spins weer roteren rond het externe veld. Aangezien ze allemaal aan dezelfde frequentie roteren, draait hun voorkeurrichting en dus de bulkmagnetisatie ook mee aan de Larmorprecessie. De rotatie van de bulkmagnetisatie in het x,y-vlak stemt overeen met een variabel magnetisch veld, en induceert een waarneembare stroom in de detectorspoel. 10 10 5 5 Mx 0 My 0-5 -5-10 -10 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14 t t
Outline Puls/FT-NMR 1 Puls/FT-NMR 2
Puls/FT-NMR Het Signaal van Verschillende Ensembles Wanneer er verschillende ensembles van spins met verschillende Larmorfrequenties naast elkaar bestaan in het staal, worden alle spins samen geëxciteerd. Vervolgens gaat elke subgroep oscilleren aan zijn eigen Larmorfrequentie, zodat de totale waargenomen transversale magnetisatie de som is van een aantal signalen met verschillende frequenties: Mx 10 5 0-5 -10 0 2 4 6 8 10 12 14 t + Mx 10 5 0-5 -10 0 2 4 6 8 10 12 14 t = Mx 15 10 5 0-5 -10-15 0 2 4 6 8 10 12 14 t
De Fourieranalyse
Relaxatie Puls/FT-NMR Door een aantal relaxatiefenomenen (zie later) keert de bulkmagnetisatie geleidelijk terug tot de evenwichtssituatie, en deint het oscillerende signaal uit: 10 10 5 5 Mx 0 My 0-5 -5-10 0 2 4 6 8 10 12 14 t -10 M x = M 0 sin(ω 0 t) exp( t T 2 ) M y = M 0 cos(ω 0 t) exp( t T 2 ) waarin T 2 een karakteristieke tijdscontante is. 0 2 4 6 8 10 12 14 t
De Lorentziaan van een dergelijk oscillerend en exponentieel uitdovend signaal heeft als analytische vorm λ S(Ω) = A λ 2 + (Ω Ω 0 ) 2 waarin A de amplitude van het signaal is, en λ = 1 T 2.
Puls/FT-NMR (1) Een realistisch NMR-staal bevat enorme aantallen individuele spins, die elk hun eigen quantumtoestand bezitten en aan de Larmorfrequentie roteren rond de richting van het externe veld. De totale magnetisatie van alle spins kan voorgesteld worden door een bulkmagnetisatievector, die aan een aantal relatief eenvoudige regels gehoorzaamt. Bij thermisch evenwicht is de bulkmagnetisatie langs de z-as gericht, met een magnitude die bepaald wordt door het verschil in populatie tussen de twee energietoestanden van de kernen.
Puls/FT-NMR (2) Een RF-puls met een frequentie rond de resonantiefrequentie van de kernen kan de bulkmagnetisatie over elke gewenste hoek rond de x- of y-as doen roteren. De meest courante rotatiehoeken zijn 90 en 180 graden. Eens uit evenwicht, gaat de bulkmagnetisatie zelf een precessiebeweging uitvoeren in het x,y-vlak, aan de Larmorfrequentie. Deze oscillatie geeft aanleiding tot het meetbare signaal in de detectorspoel. De initiële amplitude van het signaal is weer evenredig met de evenwichtsmagnetisatie, en dus met het populatieverschil tussen de energietoestanden.
Puls/FT-NMR (3) Verschillende relaxatiemechanismen zorgen ervoor dat de bulkmagnetisatie geleidelijk terugkeert naar de evenwichtstoestand langs de z-as. Het meetbare signaal zwakt hierdoor ook voortdurend af, en wordt een free induction decay (FID). van een FID-signaal is een Lorentzlijn rond de resonantiefrequentie, met een lijnbreedte die bepaald worden de snelheid van de relaxatie.