Kraak de Eschercode met GeoGebra Chris Cambré Het Alhambra als inspiratie Escher bezoekt twee maal het Alhambra. Wat inspireert hem? De schetsende toerist In 1922 rondt Maurits Escher zijn opleiding tot graficus af. In oktober van dat jaar bezoekt hij voor de eerste keer het Alhambra in Granada. Hij schetst een middag lang tegels met geometrische patronen na. De volgende dertien jaar woont hij in Italië. Uit zijn grafisch werk blijkt vooral zijn belangstelling voor het landschap en het perspectief. Vlakvullingen vormen nog geen centraal thema in zijn werk. Beslissende inspiratie In 1936 bezoekt Escher het Alhambra voor de tweede keer en nu laat het bezoek wel zijn sporen na in zijn werk. Samen met zijn vrouw verblijft hij drie dagen in Granada. In zijn schetsboek kan je zien welke motieven hij uitkiest en wat hem boeit. De twee patronen op de bovenste rij zijn identiek opgebouwd, maar de inkleuring verschilt. De opties verticale of schuine kleurpanden geven de patronen een totaal andere dynamiek. De grootte van de vierkantjes tussen de veelhoekige motieven verandert ook de balans tussen wit en kleur. Wit en kleur is ook wat Escher boeit in de onderste rij. Is wit gewoon de achtergrondkleur, of staan er juist witte motieven op een gekleurde achtergrond? Je kunt voortdurend je blik verleggen en het patroon anders bekijken. Vlakverdelingen worden een belangrijk thema in Eschers werk. En steeds staan centraal: de dynamiek en de meerdere lagen waarin je ze kunt bekijken. Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 1
Verwerking in eigen werk Deze tekening toont hoe Escher de patronen verwerkt. Bovenaan tekent hij drie patronen (A - B - C) uit het Alhambra. De abstracte motieven zijn op drie verschillende manieren geschikt in het patroon. Alle spelen ze met voor- en achtergrond. Escher past dezelfde schikkingen toe in vlakvullingen met dierenmotieven. De kevers zijn enkel verschoven, zoals in tekening A. De rode en witte libellen staan loodrecht op elkaar, zoals in tekening B. De rijen vliegende vissen krijg je enkel op elkaar door een glijspiegeling, zoals in tekening C. nieuwe inhoud aan vlakvullingen Een jaar na zijn bezoek aan Andalusië geeft Escher het begrip vlakvulling een heel nieuwe inhoud. Op een baanbrekende manier verwerkt hij dynamiek en vervaging tussen voor- en achtergrond in enkele meesterwerken. Metamorphose I (1938) Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 2
Vlakvullingen Op weg gezet door zijn broer Berend, Maurits oudste broer ziet het werk Metamorphose I. Hij is geoloog aan de universiteit in Leiden en bezorgt Maurits recente wetenschappelijke studies over kristallografie. In oefenschriftjes bestudeert Maurits de verschillende symmetrieën en legt hij de basis voor zijn latere honderden tekeningen. Marcus du Sautoy De link tussen het Alhambra en symmetrie wordt boeiend verteld in het boek Het symmetriemonster van Marcus du Sautoy. Hij neemt de lezer mee in zijn persoonlijke zoektocht. Als jonge knaap leert hij dat er een manier blijkt te zijn om afbeeldingen in een taal om te zetten. De taal van de wiskunde biedt een alternatieve manier om de wereld te zien. Voor hem werd die wiskundige taal een virtueel venster op n-dimensionale ruimten. In het hoofdstuk Het paleis van de symmetrie vormen de 17 behangpatronen de leidraad voor zijn bezoek aan het Alhambra. Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 3
In het GeoGebraboek Symmetrie in het Alhambra: https://www.geogebra.org/m/cwdeuhuw kan je de symmetrieën van de 17 behangpatronen mee analyseren. In aanvullende oefeningen kan je zelf op zoek gaan naar de symmetrieën. Hieronder vind je een voorbeeld van oefening en antwoord. Door de kleurkeuze is er geen draaisymmetrie. Er is evenmin een symmetrie door spiegeling of glijspiegeling. Het patroon behoort tot de behangpatroongroep p1. Regelmatige veelhoeken als basis voor een rooster Om een regelmatig rooster op te bouwen, vertrek je van regelmatige veelhoeken. In een GeoGebra applet kan je illustreren welke veelhoeken je wel en welke je niet kunt gebruiken. Vierkanten, gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken kan je aan elkaar passen tot een vlakvullend geheel. Gelijkzijdige vijfhoeken of zevenhoeken kan je niet gebruiken als basis voor het rooster van een vlakvulling. In het vlak sluiten regelmatige vijfhoeken niet aan elkaar aan. In de ruimte kan je er wel een regelmatig twaalfvlak mee bouwen. Zevenhoeken overlappen elkaar reeds in het vlak. Ook ruimtelijk zijn ze niet bruikbaar. Rooster en compositie Het gebruik van een eenvoudig vierkant raster betekent niet dat de compositie van het basismotief eenvoudig is. In het Alhambra vind je varianten van een eenvoudige vierkant tot vernuftige bandconstructies en secundaire motieven. Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 4
Door de schikking van de gekleurde vierkante tegels krijg je een indruk van horizontale panden op een witte muur. In een variant krijgt het vierkant een witte rand met op de hoekpunten kleine zeshoeken. Kijk je naar de hele wand, dan zie je ofwel blauwe, groene en oranje vierkanten die zelf bestaan uit kleinere vierkanten, ofwel zie je in de eerste plaats een zwart, vierkant rooster. Bandmotieven en secundaire motieven Links worden lijnen binnen een basisvierkant uitgewerkt tot gekleurde banden. Hierdoor ontstaat een gelaagdheid waarbinnen je voortdurend je blik kunt verleggen. In het rechtse patroon worden de hoekpunten en het middelpunt van het basisvierkant uitgewerkt tot een achthoekig roosmotief. Binnen het basisvierkant vormen haakse pijlfiguren een swastika-figuur. En toch hebben al deze patronen verticale, horizontale en diagonale symmetrieassen binnen een vierkant rooster. Zelf vlakvullingen maken De zijden van een vierkant aanpassen In een GeoGebra applet kan je stapsgewijs een vlakvulling opbouwen door de zijden van een vierkant aan te passen en te verslepen. Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 5
Om de zijden van het basismotief te tekenen, maken we gebruik van veelhoekslijnen. Bepaal de versleepbare punten op één zijde van het vierkant als vrije punten in een commando: E = (0, 0.5), F = (0, 1) en G = (0,1.5). Let op wanneer de je de punten definieert via de knoppenbalk. Klik je b.v. ergens op de y-as dan kan je het punt enkel op de y-s verslepen! Met deze extra punten definiëren we een veelhoekslijn. Selecteer de knop Veelhoekslijn, klik achtereenvolgens op de punten A, E, F, G, D en nog eens op A. Je definieert dezelfde veelhoekslijn ook met het commando Veelhoekslijn(A, E, F, G, D). Versleep je een of meerdere van de punten, dan lijkt het of je de zijde van het vierkant verandert en een aangepaste vorm creëert. De aanpassing overbrengen naar de overstaande zijde De aanpassing van een zijde van het vierkant brengen we door een verschuiving over naar de overstaande zijde. - Typ het commando u = Vector(A, B) in de invoerbalk of bepaal de vector via de knoppenbalk door de knop Vector te selecteren en de punten A en B aan te klikken. - Bepaal een schuifknop s1 van 0 tot 1 met als stapgrootte 0.05. - - Verschuif de veelhoekslijn met Verschuiving(<veelhoekslijn>, s1*u) (controleer in je bestand de juiste naam van de veelhoekslijn!). Door de vector u te vermenigvuldigen met de factor s1 lijkt het alsof je de veelhoekslijk effectief mee verschuift met de schuifknop. Dit verhaal doen we nog een keer over met de bovenzijde van het vierkant. Met de 4 aangepaste zijden definiëren we een nieuw vierkant veelhoek2 = Veelhoek(A, E, F,G,D,H,I,J,C,G',F',E',C',J',I',H'). Let in deze definitie goed op de volgorde van de punten! Deze nieuwe veelhoek vormt het basismotief. Dit basismotief kan je dan weer dupliceren om de vlakvulling te vormen. Ook dit kan je met een schuifknop, zodat je de vlakvulling ziet ontstaan. Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 6
Werken met lijsten Een alternatief voor een overvloed van punten en onoverzichtelijke commando s is het werken met lijsten van punten. Er is wel een heel grote maar: let er op dat de punten in de definitieve lijst één logische tekenvolgorde vormen. Zo loopt lijstboven de punten af van links naar rechts. Maar na rotatie rond de rechterbovenhoek komen we deze punten in omgekeerde volgorde tegen in lijstrechts. Gelukkig bestaat er een commando Omkeren( <Lijst> ). Denk dus goed na hoe je het motief gaat tekenen: - Met welk punt begin je? - Volgens welke lijst begin je te tekenen? - Welke lijst volgt en moet de volgorde van deze lijst omgekeerd worden? - Ga zo verder tot je terug aan het beginpunt bent. Concreet in dit bestand: Als je linksboven in wijzerzin begint te tekenen, doorloop je achtereenvolgens lijstboven, de omkering van lijstrechts, de omkering van lijstonder en lijstlinks. We definiëren daarom de lijst lijstbasisvorm als een samenvoeging van lijsten met het commando: lijstbasisvorm=samenvoegen(lijstboven, Omkeren(lijstrechts), Omkeren(lijstonder),lijstlinks). Het basismotief van de vlakvulling definieer je nu als Veelhoek(lijstbasisvorm). De manier waarop het basismotief herhaald wordt in de vlakvulling vertelt je meteen ook hoe het basismotief gevormd is: door horizontale en verticale verschuiving. Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 7
De zijden van een vierkant aanpassen en roteren Ook nu vertelt de manier waarop het basismotief herhaald wordt in de vlakvulling hoe het basismotief gevormd is: door rotatie rond de hoekpunten van het basisvierkant. Een patroon op verschillende manieren bekijken Escher maakte deze schets bij zijn bezoek in 1936. Het basismotief is een driehoek met gekromde zijden. In het Alhambra vind je dezelfde driehoek ook terug in een eenvoudigere zwart-wit versie zonder de kleine zeshoekige sterfiguren. Je kunt het op verschillende manieren bekijken: Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 8
Welk symmetrisch patroon zie ik in een wand en op welk rooster is de vlakvulling gebaseerd? Met welke transformaties vorm ik de basisveelhoek om tot het basismotief? Hoe tekenden de Arabische handwerklieden dit motief? De basisvorm en het rooster De basisvorm volgt niet altijd de grenzen van het rooster. In onderstaand patroon kan je nagaan hoe ook een driehoek met gedraaide zijden een geschikte vorm is voor een vlakvulling. In een GeoGebra applet kan je nagaan dat het patroon een draaisymmetrie heeft van 120. Draai je slechts over 60, dan bedekken de zwarte driehoeken de witte. Transformatie van de basisvorm Je kunt het motief met de gekromde driehoek construeren door transformatie van de basisdriehoek. Teken een cirkelboog op de helft van een zijde van de driehoek. Draai deze cirkelboog over 180 rond het midden van deze zijde. Roteer de aangepaste zijde rond zijn twee uiteinden Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 9
Snijpunten van rechten, cirkels en bogen De Arabische tekenaars creëerden hun basismotieven niet met (glij)spiegelingen, rotaties of verschuivingen. Ze maakten enkel gebruik van een liniaal en een passer en verbonden snijpunten van lijnen, cirkels en bogen. In een GeoGebra applet kan je stap voor stap de opbouw van hetzelfde motief volgen op de manier van de Arabische tekenaars. Het motief met de gekromde driehoek verschijnt pas wanneer je de zeshoeken aan elkaar past. De tekenaar tekent een zeshoekig motief met cirkelbogen. De toeschouwer ziet een patroon met een driehoekig rooster en als motief gekromde driehoeken. Een aantal van deze Islamitische patronen is uitgewerkt in het boek Islamitische Geometrische Patronen Zelf Ontwerpen En Maken van Eric Broug. De auteur heeft een eigen website http://www.broug.com/ ontwerpt zelf, publiceert, geeft les en zet allerlei projecten op rond Islamitische geometrische patronen. Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 10
Kraak de Eschercode Escher gebruikte de wiskundige achtergrond van vlakvullingen om de patronen in het Alhambra te bestuderen en te achterhalen hoe je ze kunt creëren. Op dezelfde manier kan jij op jouw beurt de tekeningen van Escher ontleden met wat je reeds leerde over vlakvullingen. De punten waar dierfiguren elkaar raken, leiden je naar het rooster. Kijk naar de symmetrie in het patroon. Dezelfde symmetrieën gebruikte Escher om binnen de basisvorm het basismotief te ontwerpen. Teken binnen het rooster de basisvorm en kijk waar de buitenrand van het basismotief afwijkt van de basisvorm. Ga na met welke transformatie je de verandering van één zijde kan overbrengen naar een andere. Overloop de verschillende zijden tot de basisvorm veranderd is in het basismotief. Vogels De basisvorm van de vlakvulling is een vierkant. De overstaande zijden gaan in elkaar over door verschuiving. Verschuiving is ook de enige manier waarop je het patroon overlappend kunt verplaatsen. Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 11
Vissen De verandering van een zijde van het basisvierkant gaan door rotatie over naar een andere zijde. Na het tekenen van het basismotief verkrijg je de vissen in de andere kleuren door het motief te roteren rond de hoeken van het basisvierkant. Reptielen Het zeshoekige rooster van de vlakvulling is nog zichtbaar op de tekening van Escher. De veranderingen van een zijde van de zeshoek gaan over naar een andere zijde door rotatie rond een hoekpunt van de zeshoek. Als je aandachtig naar de figuur kijkt, zie je: In elke zijde van de zeshoek gaat het motief buiten de rand van de zeshoek Elke overschrijding wordt in een andere zijde gecompenseerd door een uitsparing Overschrijding en uitsparing gaan telkens in elkaar over door rotatie rond een van de hoekpunten van de zeshoek Na het tekenen van het basismotief verkrijg je de reptielen in de andere kleuren door het basismotief te roteren rond de hoekpunten van de zeshoek. Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 12
Vogels en vissen De vlakvulling heeft een parallellogramvormig rooster. Het basismotief met de twee dieren is getekend over twee aangrenzende parallellogrammen. Door verschuiving van de randen die de vis vormen, verkrijg je de vogel (en omgekeerd). Met dezelfde verschuivingen verkrijg je de aangrenzende vogels en vissen. Vogels en vissen (2) Op het eerste zicht staan de vogels en vissen in de tekening gedraaid t.o.v. elkaar. Maar als je over elkaar draait, merk je dat het niet klopt door hun licht gedraaide staart. Er is geen rotatie gebruikt, maar een glijspiegeling. Je vindt twee horizontale glijspiegelassen, wat betekent dat er ook glijspiegeling gebruikt werd om het basismotief te creëren. Kijk waar deze glijspiegelassen liggen en gebruik ze om het rooster van het patroon te tekenen. Voor de verticale aflijning van de basisveelhoek kan je snijpunten van deze assen met grenslijnen tussen vogel en vis gebruiken. Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 13
Door glijspiegeling veranderen bovenrand en onderrand van de vogel in bovenrand en onderrand van de vis. Je ziet meteen ook dat door verschuiving de linkerrand van de vogel overgaat in de rechterrand van de vis. Samen vormen vogel en vis het basismotief. Om dit basismotief te dupliceren, gebruiken we de glijspiegelingen die we eerder gebruikten om het basismotief te ontwerpen. De horizontale verschuiving kan je gebruiken om de motieven te dupliceren op horizontale rijen. Chris Cambré, gewezen leerkracht wiskunde en esthetica, webbeheerder http://wiskunde-interactief.be, chris.cambre@telenet.be Bibliografie en achtergrondinformatie 1. E. Broug, Islamitische Geometrische Patronen Zelf Ontwerpen En Maken, Uitgeverij Bulaaq, Amsterdam, 2006. 2. C. Cambré, Escher en het Alhambra, https://www.geogebra.org/m/m4bjvn9m. 3. C. Cambré, Symmetrie in het Alhambra, https://www.geogebra.org/m/cwdeuhuw. 4. Escher en Schatten uit de Islam, publicatie bij de gelijknamige tentoonstelling in het Gemeentemuseum Den Haag, Uitgeverij Thoth, Bussum, 2013. 5. M. du Sautoy, Het symmetrie-monster, Uitgeverij Nieuwezijds, Amsterdam, 2009. Chris Cambré - Dag van wiskunde 25 november 2017 pag. 14