Euklidiese Meetkunde Graad 10 tot 12 (KABV)

Euklidiese Meetkunde Graad 10 tot 12 (KABV) Saamgestel deur Marlene Malan marlene.mcubed@gmail.com Prepared by Marlene Malan

KABV DOCUMENT (Paper 2) Graad 10 Graad 11 Graad 12 (a) Hersien basiese beginsels wat in vorige grade vasgelê is. (b) Ondersoek lynsegmente wat die middelpunte van twee sye van n driehoek verbind. (c) Eienskappe van spesiale vierhoeke. (a) Ondersoek en bewys stellings aangaande sirkelmeetkunde. Aanvaar feite uit vorige grade tesame met een ander feit rakende raaklyne en radiusse van sirkels. (b) Los sirkelmeetkundeprobleme op en gee redes wanneer vereis word. (c) Bewys meetkundige vraagstukke/probleme. (a) Hersien vorige (graad 9) werk oor die nodige en voldoende voorwaardes vir veelhoeke om gelykvormig te wees. (b) Bewys (aanvaar bewyse vanuit vorige grade): dat n lyn wat ewewydig aan een sy van n driehoek getrek word die ander twee sye eweredig verdeel (en die middelpuntstelling as n spesiale geval van hierdie stelling) ; dat gelykhoekige driehoeke ook gelykvormig is; dat driehoeke waarvan die sye eweredig is ook gelykvormig is; die stelling v Pythagoras deur gelykvormige driehoeke meetkundige vraagstukke/probleme. HERSIENING VAN VORIGE GRADE GELYKVORMIGHEID HHH of SSS KONGRUENSIE SSS HHS SHS (ingeslote hoek) RHS

EIENSKAPPE VAN SPESIALE VIERHOEKE PARALLELOGRAM Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig Beide pare teenoorstaande sye is gelyk Beide pare teenoorstaande hoeke is gelyk Hoeklyne halveer mekaar REGHOEK Alle eienskappe van parallelogram PLUS Hoeklyne is ewe lank Alle binnehoeke is gelyk aan 90 elk RUIT Alle eienskappe van parallelogram PLUS Alle sye is gelyk Hoeklyne halveer mekaar loodreg Hoeklyne halveer binnehoeke VIERKANT Alle eienskappe van n ruit PLUS Alle binnehoeke is 90 elk Hoeklyne is ewe lank VLIEËR Twee pare aangrensende sye is gelyk Hoeklyn tussen gelyke sye halveer ander hoeklyn Een paar teenoorstaande hoeke is gelyk (hoek tussen ongelyke sye) Hoeklyn tussen gelyke sye halveer binnehoeke Hoeklyne sny loodreg TRAPESIUM Een paar teenoorstaande sye is ewewydig HOE OM TE BEWYS DAT 'N VIERHOEK N PARALLELOGRAM IS Bewys enige EEN van die volgende: Bewys dat beide pare teenoorstaande sye ewewydig is Bewys dat beide pare teenoorstaande sye gelyk is Bewys dat beide pare teenoorstaande hoeke gelyk is Bewys dat die hoeklyne mekaar halveer Bewys dat EEN paar teenoorstaande sye gelyk EN ewewydig is

HOE OM TE BEWYS DAT N PARALLLELOGRAM N RUIT IS Bewys enige EEN van die volgende : Bewys dat die hoeklyne mekaar loodreg sny Bewys dat enige twee aangrensende sye gelyk is DRIEHOEKE TUSSEN EWEWYDIGE LYNE Die OPPERVLAKTE van twee driehoeke op DIESELFDE (OF GELYKE) BASISSE, is GELYK. Oppv van = Oppv van MIDDELPUNTSTELLING Die lynstuk wat die middelpunte van twee sye van n driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy van die driehoek en die helfte van die lengte van daardie sy. ( Midpt Stelling ) As AD = DB en AE = EC, dan is DE ǁ BC en DE = BC. OMGEKEERDE VAN MIDDELPUNTSTELLING n Lyn getrek vanuit die middelpunt van een sy van n driehoek ewewydig aan n ander sy, sal die derde sy halveer en sal die helfte wees van die lengte van die sy waaraan dit ewewydig is. ( lyn deur midpt aan 2de sy ) As AD = DB en DE ǁ BC, dan sal AE = EC en DE = BC.

GRAAD 11 MEETKUNDE Let Wel: STELLINGS WAARVAN BEWYSE EKSAMINEERBAAR IS, WORD AANGEDUI MET Stelling 1 Omgekeerde van Stelling 1 As AC = CB in sirkel O, dan sal OC AB. As OC koord AB, dan sal AC = BC. ( Midpt. ʘ ; Midpt. koord) (Loodlyn uit midpt. ʘ na koord) Stelling 2 Die hoek by die middelpunt van n sirkel wat onderspan word deur n boog/koord, is dubbel die hoek wat dit by enige punt op die omtrek onderspan. AO B 2 AC B (midpts = 2 Xomtreks ) Stelling 3 Omgekeerde van Stelling 3 Die omtrekshoek wat deur die middellyn As 90, dan is AB die middellyn onderspan word, is n regtehoek. van die sirkel. Die hoek in n halfsirkel is 90. ( in halfsirkel ) (koord onderspan 90 OF) omgekeerde in halfsirkel)

Stelling 4 Omgekeerde van Stelling 4 Die hoeke op die omtrek van n As n lynstuk gelyke hoeke by twee ander sirkel onderspan deur dieselfde punte onderspan, dan lê hierdie vier boog/koord, is gelyk. punte op die omtrek van n sirkel. ( e in dieselfde seg) (lyn onderspan gelyke e OF omgekeerde e in dieselfde seg) Afleiding van Stelling 4 Gelyke koorde onderspan Gelyke koorde onderspan gelyke Gelyke koorde van gelyke gelyke hoeke by die omtrek hoeke by die middelpunt sirkels onderspan gelyke van die sirkel. van die sirkel. hoeke by die omtrek. (gelyke koorde; gelyke e) (gelyke koorde; gelyke e) (gelyke sirkels; gelyke koorde; gelyke e) Stelling 5 Omgekeerde van Stelling 5 Die teenoorstaande hoeke van n koordevierhoek is supplementêr. 180 180 (teenoorst e van kvh ) As die teenoorstaande hoeke van n vierhoek supplementêr is, dan is dit n koordevierhoek. ( teenoorst e van vierh suppl OF omgekeerde teenoorst e van kvh)

Stelling 6 Omgekeerde van Stelling 6 Die buitehoek van n koordevierhoek is gelyk aan die teenoorstaande binnehoek. (buite van kvh ) As die buitehoek van n vierhoek gelyk is aan die teenoorstaande binnehoek, dan is dit n koordevierhoek. (buite = teenoorst binne OF omgekeerde v buite van kvh) Stelling 7 Omgekeerde van Stelling 7 Die raaklyn aan n sirkel is loodreg n Lyn wat deur die eindpunt van n radius op die radius by die raakpunt. loodreg op die radius getrek word, is n raaklyn aan die sirkel. ( raaklyn radius OF ( lyn radius OF omgekeerde raaklyn radius OF raaklyn middellyn) omgekeerde raaklyn middellyn ) Stelling 8 As twee raaklyne vanuit dieselfde punt buite n sirkel getrek word, dan is die lyne ewe lank. (raaklyne vanuit dies. punt)

Stelling 9 (Raaklyn koord stelling) Omgekeerde van Stelling 9 Die hoek tussen die raaklyn aan n sirkel en As n lyn deur die eindpunt van n koord n koord wat vanaf die raakpunt getrek word, getrek word om n hoek te vorm wat gelyk is gelyk aan die hoek in die teenoorstaande is aan die hoek in die teenoorstaande segment, sirkelsegment. dan is die lyn n raaklyn. ( raaklyn koord stelling ) ( omgekeerde raaklyn koord stelling OF tussen lyn en koord ) Skerphoek Stomphoek DRIE MANIERE OM TE BEWYS DAT N VIERHOEK N KOORDEVIERHOEK IS Bewys dat : een paar teenoorstaande hoeke supplementêr is die buitehoek gelyk is aan die teenoorstaande binnehoek twee hoeke wat onderspan word deur n lynstuk by twee ander hoekpunte van die vierhoek, gelyk is

GRAAD 12 MEETKUNDE Die Beginsel van Eweredigheid (Hersiening) A 6 cm B 4 cm C D 9 cm E 6 cm F AB : BC = 6 : 4 = 3 : 2 en DE : EF = 9 : 6 = 3 : 2 Al is AB : BC = DE : EF beteken dit NIE dat AB = DE, AC = DF of BC = EF. Stelling 1 Omgekeerde van Stelling 1 Die lyn ewewydig aan een sy van n driehoek As n lyn twee sye van n driehoek in eweredige verdeel die ander twee sye in eweredige dele. dele verdeel, is die lyn ewewydig aan die derde sy van die driehoek. ( lyn een sy van Δ) ( lyn verdeel twee sye van Δ ewer ) As DE ǁ BC dan of AD : DB = AE : EC As dan is DE ǁ BC. Stelling 2 (Middelpunt Stelling) Omgekeerde van Stelling 2 (Spesiale geval van Stelling 1) Die lynstuk wat die middelpunte van twee As n lyn getrek word vanaf die middelpunt van een sye van n driehoek verbind, is ewewydig aan sy van n driehoek ewewydig aan n ander sy, sal die derde sy van die driehoek en helfte die die lyn die derde sy halveer. lengte van daardie sy. ( midpt stelling ) ( lyn deur midpt aan 2 de sy ) As AD = DB en AE = EC, dan is DE ǁ BC en DE = BC. As AD = DB en DE ǁ BC, dan is AE = EC en DE = BC.

Stelling 3 Omgekeerde van Stelling 3 Die ooreenstemmende sye van twee gelykhoekige driehoeke is eweredig en gevolglik is die driehoeke gelykvormig. As die sye van twee driehoeke eweredig is, dan is die driehoeke gelykhoekig en gevolglik is die driehoeke gelykvormig. ( Δe OF gelykhoekige Δe ) ( Sye van Δ ewer ) As dan As dan Stelling 4 Die loodlyn wat getrek word van die hoekpunt van die regte hoek van n reghoekige driehoek tot by die skuinssy, verdeel die driehoek in twee driehoeke wat gelykvormig is en gelykvormig aan die oorspronklike driehoek. A B Afleidings van Stelling 4 D C... Stelling 5 (Die Stelling van Pythagoras) Uit die afleidings kan dit bewys word dat:

WENKE OM MEETKUNDESOMME OP TE LOS LEES-LEES-LEES die inligting langs die diagram deeglik deur DUI AL die inligting op die DIAGRAM aan Kyk vir SLEUTELWOORDE, bv. RAAKLYN: Wat sê die stellings oor raaklyne? KOORDEVIERHOEK: Wat is die eienskappe van n kvh? MOET NOOIT IETS AANVAAR NIE! - Moenie aanvaar dat n sekere lyn die MIDDELLYN van n sirkel is, behalwe as jy dit kan bewys - Moenie aanvaar dat n punt die MIDDELPUNT van n sirkel is, behalwe as dit duidelik gesê is ( sirkel M beteken die sirkel met middelpunt M ) Stel vir jouself SEKONDÊRE DOELWITTE, bv. - Om te bewys dat (primêre doelwit), bewys eers dat (sekondêre doelwit) en vice versa - Om te bewys dat lyn AC n raaklyn is (primêre doelwit), bewys eers dat die lyn loodreg is op die radius OB (sekondêre doelwit) AC is n raaklyn - Om te bewys dat BC die middellyn van die sirkel is (primêre doelwit), bewys eers dat 90 (sekondêre doelwit) BC is die middellyn van die sirkel Vir vrae soos: Bewys dat. Begin met EEN DEEL. Beweeg stap-vir-stap na die ANDER DEEL met redes. Onthou dat dit duidelik en logies vir die LESER moet wees! Bv. ; ; ;

GRAAD 11 MEETKUNDE VOORBEELDVRAE Vraag 1 AB en CD is twee koorde van die sirkel met middelpunt O., AF = FB, OE = 4 cm, OF = 3 cm en AB = 8 cm. Bereken die lengte van CD. [8] Vraag 2 Vraag 3 O is die middelpunt van die sirkel. STU is n raaklyn by T. BC = CT 105 en =40 Bereken, met redes, die grootte van: 2.1 (2) 2.2 (2) 2.3 (3) 2.4 (6) [13] 3.1 Skryf, met redes, vier ander hoeke neer wat ook gelyk aan is. (8) 3.2 Bewys dat ABC EDC. (4) 3.3 Bewys dat =. (2) [14] Vraag 4 O is die middelpunt van die sirkel. BC = CD Druk die volgende in terme van uit: 4.1 (2) 4.2 (3) 4.3 (4) [9]

Vraag 5 LOM is die middellyn van sirkel LMT. Die middelpunt van die sirkel is O. TN is n raaklyn by T. Bewys dat: 5.1 MNPT n koordevierhoek is. (3) 5.2 NP = NT (6) [9] Vraag 6 PA en PC is raaklyne aan die sirkel by C en A. AD ǁ PC en PD sny die sirkel by B. Bewys dat: 6.1 vir halveer (6) 6.2 (6) 6.3 (4) [16] Vraag 7 TA is n raaklyn aan die sirkel. M is die middelpunt van koord PT.. O is die middelpunt van die sirkel. Bewys dat: 7.1 MTAR n koordevierhoek is. (3) 7.2 PR = RT (4) 7.3 TR hoek halveer (4) 7.4 (4) [15]

GRAAD 12 MEETKUNDE VOORBEELDVRAE Voorbeeld Gegee: : 2:3 en =. Instruksie: Bepaal die verhouding :. Oplossing: In : = Maar dit is gegee dat = = = = = In : = = :=15:8 Vraag 1 =22, 33, 15. Bereken die waarde van. [4] Vraag 2,= : 4:3 Bepaal die verhouding :. [8] Vraag 3, : 1:2. 3.1 Skryf die waardes van : en : neer. (2) 3.2 Bepaal : (1) 3.3 Bewys dat. (6) [9]

Vraag 4 Gegee: Bewys dat. [4] Vraag 5 is n ingeskrewe sirkel.,= PR is die middellyn van die sirkel. Bewys dat: 5.1 (2) 5.2 O is die middelpunt van die sirkel (2) 5.3 BORT is n trapesium. (2) [6] Vraag 6 Gegee: :=5:4 : 5:2 S is die middelpunt van AQ 6.1 Bewys dat =2 (8) 6.2 As, bepaal : (6) [14] Vraag 7 Reghoek DEFK word binne-in reghoekige ABC getrek. Bewys dat: 7.1.=. (4) 7.2 :=: (4) 7.3 :=: (1) 7.4 = (3) [12]

Vraag 8 ABOC is n vlieër met = =90 8.1 Waarom is? (2) 8.2 Voltooi: 8.2.1 =... 8.2.2 =... 8.2.3 =... (3) 8.3 Bewys dat = (3) 8.4 Bewys dat =. (2) 8.5 As = =, bewys dat = 2. (2) [12]

GEMENGDE OEFENINGE 1. In die diagram is TBD n raaklyn aan sirkels BAPC en BNKM by B. AKC is n koord van die groter sirkel en ook n raaklyn aan die kleiner sirkel by K. Koorde MN en BK sny by F. PA word verleng na D. BMC, BNA en BFKP is reguitlyne. Bewys dat: a) MN ǁ CA b) gelykbenig is c) = d) DA is n raaklyn aan die sirkel deur punte A, B en K. 2. In die onderstaande diagram word koord BA en raaklyn TC van sirkel ABC verleng om in R te sny. BC word verleng na P met RC=RP. AP is nie n raaklyn nie. Bewys dat: a) ACPR n koordevierhoek is. b) c) =. d).=. e) Bewys vervolgens dat =. 3. In die diagram sny sirkels ACBN en AMBD by A en B. CB is n raaklyn by die groter sirkel by B. M is die middelpunt van die kleiner sirkel. CAD en BND is reguitlyne. Laat = a) Bepaal die grootte van in terme van. b) Bewys dat: i) CB ǁ AN ii) AB is n raaklyn aan sirkel ADN.

4. In die diagram is O die middelpunt van sirkel ABCD. DC is verleng om sirkel BODE in punt E te sny. OE sny BC by F. Laat =. a) Bepaal in terme van. b) Bewys dat: i) BE=EC ii) BE NIE n raaklyn aan sirkel ABCD is nie. 5. In die diagram sny mediane AM en CN van by O. BO word verleng om AC in P te sny. MP en CN sny in D. ORǁMP met R op AC. a) Bereken, met redes, die numeriese waarde van. b) Gebruik :=2:3, om die numeriese waarde van te bereken. 6. In die diagram is AD die middellyn van sirkel ABCD. AD is verleng om raaklyn NCP in P te sny. Reguitlyn NB is verleng om Q en AC in M te sny, met Q op reguityn ADP. AC NQ at M. a) Bewys dat NQ ǁ CD. b) Bewys dat ANCQ n koordevierhoek is. c) i) Bewys dat. ii) Voltooi vervolgends: = d) Bewys dat =. e) As dit verder gegee is dat PC=MC, bewys dat 1. =.

OPLOSSINGS VAN GEMENGDE OEFENINGE 1. a) = raaklyn koord = = ooreenk e = b) = verw e = = raaklyn koord is isosceles c ) = verw e = = e in dies segm e in dies segm = verw e = lyn een sy van But lyn een sy van d) = e in dies segm = gelyk koorde onderspan gelyke e = is n raaklyn aan die sirkel deur A, B en K 2. a) = e teenoor gelyke sye + = + buite van = raaklyn koord = = beide = ACPR is n koordevierhoek (buite v kvh) b) In en : c) = = = = e in dies segm bewys in 2 a buite van kvh 3 de van. uit 2 b but = =. d) In en : = raaklyn koord is common = 3 de hoek

e).=. = = uit 2. b) RC=RP =. From 2.d) =.. =. =. 3. a) = = e teenoor gelyke sye =180 2 =2 som e van of b. i) = by middelpunt =2x op omtrek 90 180 (90 +2 ) som s of 90 90 buite van kvh ooreenk e b. ii) = =2 raaklyn koord = = AB is a raaklyn verw e ts lyn&koord 4. a) e in dies segm e teenoor = sye 180 2 som e van =90 b. i) 90 buite van kvh by middelpunt =2x by omtrek 180 ( +90 ) som e van =90 In en : = =90 BF = FC FE is common BE = EC e op rgt lyn s s b. ii) =90 som e van = BE is not a raaklyn +

5. a) P is middelpunt van n C mediane samelopend AB PM midpt stelling In : = = lyn een sy van = = b) In : = = = = = BP is n mediaan lyn een sy van 6. a) =90 in semi =90 AM NM ooreenk e= b) = lyne, ooreenk e = = ANCQ is a kvh c) i) In en : = is common = 3 de c) ii) =. d) In en : raaklyn koord e onderspan deur dies lynsegm raaklyn koord = e in dies segm = e in dies segm = raaklyn koord = e in dies segm = 3 de. e) 1 =.. Pyth.